03=空间力系
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于是 F x 0得 F ,y 0F ： ,Z 0(3 7 )
结论：空间汇交力系平衡的必要充分条件是，力系中所有的力在三轴上的投影的代 数和分别等于零。 式（3－7）称为：空间汇交力系的平衡方程。
式(3-7)有三个独立方程，可求解也只能求解三个求知数。
4 举例
7
第三章 空间力系
例 3-1: 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向.
Mx(F)yFz zFy My(F)zFx xFz (312) Mz(F)xFy yFx
力F 作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：
xl;yla;z0
FxFsiqn ;Fy0;F zFcoqs
由式(3-12)得
q q M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 0 s F ( l a ) co q q q M y ( F ) z x F x z 0 F F s i ( l n ) ( F c) o F c so l
17
第三章 空间力系
M Z (F )M Z (F x)M Z (F y)M Z (F z)xyF yx F 0, \ M Z(F )xyF yx F
同理可求得对y,Z的矩的式子，合在一起有
M x(F)yzF zF y; M y(F)zF xxzF ; M z(F)xyF yx F(31)2
上式称为：空间力对轴的矩的解析式。显然，平面力对点的矩，可以由它得到， 只要令Z=0,FZ=0即得。
15
第三章 空间力系
2）力对轴的矩计算式：
用MZ(F)表示空间力F 对 z 轴的矩，由图得
z
M z(F ) M O (F x)y F xh y 2 A O A B (3 1)1
表明：力对轴的矩MZ(F) ，等于力F在垂直于该轴平面上的投影 Fxy对于这个平面与该轴的交点O的矩。 3）力对轴的矩MZ(F) 是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，或逆向观察 法－与平面力对点的矩的符号规定相同，逆时针为正，顺为负，如图所示。 4)空间力对轴的合力矩定理
14
第三章 空间力系
3）空间力对点的矩的作用效应，完全可以用力矩矢MO（F）来表示。 式 (38):M O (F)rF
4）由式(3-8)可知：力矩矢MO（F）与矩心O有关，所 以矢端必须位于矩心O，不可移动，是定位矢量。
2. 力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为度量力使刚体绕定轴转动的效应， 有必要了解力对轴的矩的概念。 1)力对轴的矩的概念
上述求力F对z轴的矩的过程中，将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，再分别求各分力对z轴 的矩的过程及计算方法，类似于平面汇交力系的合力矩定理式(2-10)， \式3（ － 1） 1 的求解过： 程可以写为 Mz(F)Mz(Fz)Mz(Fxy)0Mz(Fxy)Mz(Fxy)
16
第三章 空间力系
将上述情形推广到，任意多个空间汇交力系的情形，则
6) 力对轴的矩的单位：由式(13-1)显见，为Nm；kNm.
7）力对轴的矩的解析式
如图，设F沿x,y,z轴的分力分别为Fx,Fy,Fz，力F作用点A的坐标为x,y,z，于 是，由合力矩定理得
M Z ( F ) M Z ( F x ) M Z ( F y ) M Z ( F z ) x y y F x 0 F , \ M Z ( F ) x y y F xF
F RF R
F RF R
F RF R
6
第三章 空间力系
3. 空间汇交力系的平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力FR，因此， 空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力FR等于零，即
F R F 1 F 2 F n F i 0 ( 3 6 )
由式（3-5）知，使FR＝0，须满足： 合力 F R 大 ( F x)2 i小 ( F y) i ： 2 ( F z) i2(3 5 )
q q F x0:F Ac Cocso 3s 0 F Ac Docso 3s 0 0 q q q F y0:F Ac Cossi3n 0 F Ac Dossi3n 0 F Ac Bo s 0 q F z0: F A C F A D F AB sin F 0
解得 FABFACFAD3sFinq,负号表示：受压力
2)举例
20
第三章 空间力系
教材P85，例3-4: 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂 直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行 于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
a ll
解1 解析法：根据式(3-12)求解
在x、y、z轴的投影。
4）合力矢FR的大小，方向余弦
合F 力 R F R 2 大 F x R 2 F y R 2 z 小 ( F x ) 2 i ( ： F y ) 2 i ( F z) 2 i ( 3 5 )
方 c F 向 R o , i ) F R s x F 余 ( x ; c F R o , j ) 弦 F R s y F ( y ; c ： F R o , k ) F R s z F ( z( 3 5 )
解得F： BF3; FBCFBD
3Fcoqt
9
由结构和荷载的对称性，可得取球铰C ，D研究的计算结果：
F FCFD3;FCD
3Fcoqt
9
11
第三章 空间力系
12
第三章 空间力系
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示—力矩矢 对于平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，用代数量表示力对点的矩。 但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同， 要用矢量来表示。为此引入空间力对点的矩：力矩矢MO(F)的概念。
如图，现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上。
将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 Z平行，不能使圆盘 绕 Z 轴转动，故它对 z 轴的矩为零。只有垂直 Z 轴的分力 Fxy 对Z z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。
这样，就将空间力对轴的矩，转化成了平面问题中力对点的矩。
n
对于空间： 汇 FR ＝ 交 Fi， 力则 M 系 Z(F ： R ， ) 若 M Z(Fi) i1
表明：若空间汇交力系有合力FR，则合力对某轴的矩＝各 分力对该轴的力矩的代数和。称为：空间汇交力系对轴的 合力矩定理。
5) 力对轴的矩等于零的情形： ①若力F与转轴Z相交；②若力F与转轴Z平行，即共面时。
表明：即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：[Mo(F)]x)，等于这力对 于该轴的矩(如：Mx(F)) 。
式(3-13)建立了力对点的矩与力对于该轴的矩的关系。
19
第三章 空间力系
1)力对点的矩的大小，方向
如果已知力对通过点O直角坐标轴x,y,z的矩：Mx,My,Mz，则可求得过点O的
力矩MO的大小，方向。
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
13
第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在 (38)： M O (F)rF 中， r,F 在 设 x,y,z轴上的投 x,y 影 ,z;F x 分 ,F y,F 别 z 为
解： 1.取球铰链A研究，作受力图。建坐标系Bxyz。 由于ABCD是正交锥，所以q =∠ CBD=∠ BDC= ∠DCB =＝60o。且y轴平分∠CBD，EC，DE分别平分 ∠DCB 和∠ BDC。
2.列平衡方程：为求各力在轴x，y上的投影，采用间 接投影法，注意：力F 在坐标面Oxy上投影为零。
1）力矩矢MO(F)
如图，以 r 表示力F作用点的矢径，则力F对点 O的矩可以写为
M O(F)rF(38)
即：力对点的矩MO(F)于矩心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积， MO(F)的指向按照右手螺旋法则确定。
q 2）力矩矢MO(F)的大小 M O (F )r FrF si nF h2Δ A OAB
解：由题知：
F x 4 .5 k;N F y 6 .3 k;N F z 1k 8N
\力F 的大小 F Fx2Fy2Fz21.96kN
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cosq Fx 4.5 0.220，q 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
F 19.6
cos Fz 18 0.919, 23
M O (F [M )x (F )]2 [M y(F )]2 [M z(F )]2
co M O s ,i) (M x (F ) , M c O ,jo )s M x ((F ),
|M O (F )|
|M O (F )|
cM o O ,k )s ( M x (F ) (3 1)4 |M O (F )|
3)F的图形：如图所示，力F是以Fx=3kN; Fy=3kN; FZ=3kN为楞的长方体的对角线。
9
第三章 空间力系
例3-3：简易起重机为空间铰接结构形成正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是 活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重， 试求各支座的约束力和各杆的内力。
M x ( F ) y z z F y ; M F y ( F ) z x x F z ; M z F ( F ) x y y x F ( 3 F 1 )2
比 M O ( x M F x ( 较 F ) M O ( ; F ) ) y M y ( 得 F ) M O ( ; F ) z M z ( ： F ) ( 3 1 )
\ r x i yj zk ;F F x i F yj F zk
带入式(3-8)得：力矩矢的解析形式 i jk
MO(F)rF x y z Fx Fy Fz
(yFz zFy)i(zFx xFz)j(xFy yFx)k (39)
式中：单位矢量前面的系数就是 MO（F）在x,y,z轴上的投影，所以
M O ( F ) x y z z y ; F M O F ( F ) y z x x Z F ; M O ( F ) z x y y x ( 3 F 1 F )
第三章 空间力系
3）空间汇交力系的合力
将平面汇交力系的合成扩展到空间，可知：空间汇交力系的 合力FR等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点，如 图所示。即
FRF1F2 FnFi (33)
或FRFxiFyjFzk (34)
式中： F x F R ,xF y F R ,tF z F R z 分别为合力FR
注：可利用对称性，直接写出FAD＝FAC，以简化计算。
10
第三章 空间力系
3.取球铰B 研究,作受力图，列平衡方程：
F x0,F BC F BD F y0,F BC co3s0 F BD co3s0 F Bc A oq s0
F z0,F BA siqn F B0
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由前计算FB得 AF：AB
F
3sinq
F 19.6
A
Fx
x
y Fy
βq γ
Fz
zF
8
第三章 空间力系
例 3-2:已知力沿直角坐标轴的解析式为 F(3i4j5k ) kN, 试求这个力的大小和 方向，并作图表示。 解：由已知条件，和力的解析式
由 F F x i F yj F zk 得 F x ： 3 F y k 4 NF , z k 5 N,kN
1)力 F 的大小为 F Fx2Fy2Fz252kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cosF,i 3 0.42;4F,i θ64.9 52
cosF,j 4 0.56;6 F,j β55.55 52
cosF,k 5 0.707 F;,k γ18045135 52
18
第三章 空间力系
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
比较力对点的矩的解析式(3-10)，和力对轴的矩的解析式(3-12)得
M O ( F ) x y z z y ; F M O F ( F ) y z x x Z F ; M O ( F ) z x y y x ( 3 F 1 F ) 0
结论：空间汇交力系平衡的必要充分条件是，力系中所有的力在三轴上的投影的代 数和分别等于零。 式（3－7）称为：空间汇交力系的平衡方程。
式(3-7)有三个独立方程，可求解也只能求解三个求知数。
4 举例
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第三章 空间力系
例 3-1: 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向.
Mx(F)yFz zFy My(F)zFx xFz (312) Mz(F)xFy yFx
力F 作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：
xl;yla;z0
FxFsiqn ;Fy0;F zFcoqs
由式(3-12)得
q q M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 0 s F ( l a ) co q q q M y ( F ) z x F x z 0 F F s i ( l n ) ( F c) o F c so l
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第三章 空间力系
M Z (F )M Z (F x)M Z (F y)M Z (F z)xyF yx F 0, \ M Z(F )xyF yx F
同理可求得对y,Z的矩的式子，合在一起有
M x(F)yzF zF y; M y(F)zF xxzF ; M z(F)xyF yx F(31)2
上式称为：空间力对轴的矩的解析式。显然，平面力对点的矩，可以由它得到， 只要令Z=0,FZ=0即得。
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第三章 空间力系
2）力对轴的矩计算式：
用MZ(F)表示空间力F 对 z 轴的矩，由图得
z
M z(F ) M O (F x)y F xh y 2 A O A B (3 1)1
表明：力对轴的矩MZ(F) ，等于力F在垂直于该轴平面上的投影 Fxy对于这个平面与该轴的交点O的矩。 3）力对轴的矩MZ(F) 是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，或逆向观察 法－与平面力对点的矩的符号规定相同，逆时针为正，顺为负，如图所示。 4)空间力对轴的合力矩定理
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第三章 空间力系
3）空间力对点的矩的作用效应，完全可以用力矩矢MO（F）来表示。 式 (38):M O (F)rF
4）由式(3-8)可知：力矩矢MO（F）与矩心O有关，所 以矢端必须位于矩心O，不可移动，是定位矢量。
2. 力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为度量力使刚体绕定轴转动的效应， 有必要了解力对轴的矩的概念。 1)力对轴的矩的概念
上述求力F对z轴的矩的过程中，将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，再分别求各分力对z轴 的矩的过程及计算方法，类似于平面汇交力系的合力矩定理式(2-10)， \式3（ － 1） 1 的求解过： 程可以写为 Mz(F)Mz(Fz)Mz(Fxy)0Mz(Fxy)Mz(Fxy)
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第三章 空间力系
将上述情形推广到，任意多个空间汇交力系的情形，则
6) 力对轴的矩的单位：由式(13-1)显见，为Nm；kNm.
7）力对轴的矩的解析式
如图，设F沿x,y,z轴的分力分别为Fx,Fy,Fz，力F作用点A的坐标为x,y,z，于 是，由合力矩定理得
M Z ( F ) M Z ( F x ) M Z ( F y ) M Z ( F z ) x y y F x 0 F , \ M Z ( F ) x y y F xF
F RF R
F RF R
F RF R
6
第三章 空间力系
3. 空间汇交力系的平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力FR，因此， 空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力FR等于零，即
F R F 1 F 2 F n F i 0 ( 3 6 )
由式（3-5）知，使FR＝0，须满足： 合力 F R 大 ( F x)2 i小 ( F y) i ： 2 ( F z) i2(3 5 )
q q F x0:F Ac Cocso 3s 0 F Ac Docso 3s 0 0 q q q F y0:F Ac Cossi3n 0 F Ac Dossi3n 0 F Ac Bo s 0 q F z0: F A C F A D F AB sin F 0
解得 FABFACFAD3sFinq,负号表示：受压力
2)举例
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第三章 空间力系
教材P85，例3-4: 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂 直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行 于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
a ll
解1 解析法：根据式(3-12)求解
在x、y、z轴的投影。
4）合力矢FR的大小，方向余弦
合F 力 R F R 2 大 F x R 2 F y R 2 z 小 ( F x ) 2 i ( ： F y ) 2 i ( F z) 2 i ( 3 5 )
方 c F 向 R o , i ) F R s x F 余 ( x ; c F R o , j ) 弦 F R s y F ( y ; c ： F R o , k ) F R s z F ( z( 3 5 )
解得F： BF3; FBCFBD
3Fcoqt
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由结构和荷载的对称性，可得取球铰C ，D研究的计算结果：
F FCFD3;FCD
3Fcoqt
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第三章 空间力系
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第三章 空间力系
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示—力矩矢 对于平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，用代数量表示力对点的矩。 但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同， 要用矢量来表示。为此引入空间力对点的矩：力矩矢MO(F)的概念。
如图，现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上。
将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 Z平行，不能使圆盘 绕 Z 轴转动，故它对 z 轴的矩为零。只有垂直 Z 轴的分力 Fxy 对Z z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。
这样，就将空间力对轴的矩，转化成了平面问题中力对点的矩。
n
对于空间： 汇 FR ＝ 交 Fi， 力则 M 系 Z(F ： R ， ) 若 M Z(Fi) i1
表明：若空间汇交力系有合力FR，则合力对某轴的矩＝各 分力对该轴的力矩的代数和。称为：空间汇交力系对轴的 合力矩定理。
5) 力对轴的矩等于零的情形： ①若力F与转轴Z相交；②若力F与转轴Z平行，即共面时。
表明：即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：[Mo(F)]x)，等于这力对 于该轴的矩(如：Mx(F)) 。
式(3-13)建立了力对点的矩与力对于该轴的矩的关系。
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第三章 空间力系
1)力对点的矩的大小，方向
如果已知力对通过点O直角坐标轴x,y,z的矩：Mx,My,Mz，则可求得过点O的
力矩MO的大小，方向。
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
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第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在 (38)： M O (F)rF 中， r,F 在 设 x,y,z轴上的投 x,y 影 ,z;F x 分 ,F y,F 别 z 为
解： 1.取球铰链A研究，作受力图。建坐标系Bxyz。 由于ABCD是正交锥，所以q =∠ CBD=∠ BDC= ∠DCB =＝60o。且y轴平分∠CBD，EC，DE分别平分 ∠DCB 和∠ BDC。
2.列平衡方程：为求各力在轴x，y上的投影，采用间 接投影法，注意：力F 在坐标面Oxy上投影为零。
1）力矩矢MO(F)
如图，以 r 表示力F作用点的矢径，则力F对点 O的矩可以写为
M O(F)rF(38)
即：力对点的矩MO(F)于矩心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积， MO(F)的指向按照右手螺旋法则确定。
q 2）力矩矢MO(F)的大小 M O (F )r FrF si nF h2Δ A OAB
解：由题知：
F x 4 .5 k;N F y 6 .3 k;N F z 1k 8N
\力F 的大小 F Fx2Fy2Fz21.96kN
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cosq Fx 4.5 0.220，q 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
F 19.6
cos Fz 18 0.919, 23
M O (F [M )x (F )]2 [M y(F )]2 [M z(F )]2
co M O s ,i) (M x (F ) , M c O ,jo )s M x ((F ),
|M O (F )|
|M O (F )|
cM o O ,k )s ( M x (F ) (3 1)4 |M O (F )|
3)F的图形：如图所示，力F是以Fx=3kN; Fy=3kN; FZ=3kN为楞的长方体的对角线。
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第三章 空间力系
例3-3：简易起重机为空间铰接结构形成正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是 活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重， 试求各支座的约束力和各杆的内力。
M x ( F ) y z z F y ; M F y ( F ) z x x F z ; M z F ( F ) x y y x F ( 3 F 1 )2
比 M O ( x M F x ( 较 F ) M O ( ; F ) ) y M y ( 得 F ) M O ( ; F ) z M z ( ： F ) ( 3 1 )
\ r x i yj zk ;F F x i F yj F zk
带入式(3-8)得：力矩矢的解析形式 i jk
MO(F)rF x y z Fx Fy Fz
(yFz zFy)i(zFx xFz)j(xFy yFx)k (39)
式中：单位矢量前面的系数就是 MO（F）在x,y,z轴上的投影，所以
M O ( F ) x y z z y ; F M O F ( F ) y z x x Z F ; M O ( F ) z x y y x ( 3 F 1 F )
第三章 空间力系
3）空间汇交力系的合力
将平面汇交力系的合成扩展到空间，可知：空间汇交力系的 合力FR等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点，如 图所示。即
FRF1F2 FnFi (33)
或FRFxiFyjFzk (34)
式中： F x F R ,xF y F R ,tF z F R z 分别为合力FR
注：可利用对称性，直接写出FAD＝FAC，以简化计算。
10
第三章 空间力系
3.取球铰B 研究,作受力图，列平衡方程：
F x0,F BC F BD F y0,F BC co3s0 F BD co3s0 F Bc A oq s0
F z0,F BA siqn F B0
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由前计算FB得 AF：AB
F
3sinq
F 19.6
A
Fx
x
y Fy
βq γ
Fz
zF
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第三章 空间力系
例 3-2:已知力沿直角坐标轴的解析式为 F(3i4j5k ) kN, 试求这个力的大小和 方向，并作图表示。 解：由已知条件，和力的解析式
由 F F x i F yj F zk 得 F x ： 3 F y k 4 NF , z k 5 N,kN
1)力 F 的大小为 F Fx2Fy2Fz252kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cosF,i 3 0.42;4F,i θ64.9 52
cosF,j 4 0.56;6 F,j β55.55 52
cosF,k 5 0.707 F;,k γ18045135 52
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第三章 空间力系
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
比较力对点的矩的解析式(3-10)，和力对轴的矩的解析式(3-12)得
M O ( F ) x y z z y ; F M O F ( F ) y z x x Z F ; M O ( F ) z x y y x ( 3 F 1 F ) 0