伯努利分布参数p的区间估计 _ 几何分布法
2.3几种重要的离散型分布
C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差中，伯努利试验n次几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在次成功的概率。
次皆失败，第k试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1 公式：它分两种情况：; ...』2，3，概率分布次伯努利实验，n的，取值范围为『1，11. 得到次成功而进行，n. ...』，3，的概率分布，取值范围为『次成功，m0，1，22. m = n-1次失败，第n 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。
的分布列：首次发生所进行的试验次数，则XA的事件A，以X记概率为p，)。
~Geo(pX具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为几何分布的期望，方差。
）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中II高中数学教科书新版第三册（选修p?11???D?E）2，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
1只给出了结论：（），（2pp1?k?q?)k?p(P）由，知1（供参考．2k?12k?1??p??kq3p??1?E2?p?2pq?3q?pkqq?q)???(?下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记2k?1kq3q??S?1?2q??k2k?1k kq?1?2qq??k?qS?q)?(k两式相减，得2k?1k kqq?q?q????(1q)S?1?kkk kqq1?S??k21?q(1?q)k0?limq110?q?p0??，知由，则，故??k111k?2?S???2p?3qkq???1lim??k22(1?q)p??k1??E从而pa1(|q|?1)S?也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：q1?2k?1???3q?kq?S?12q??记2k?1?k?1qqS?q?2q???)(?相减，11k2????????(1q)S1?qqq??1?q11??S则22pq1(?)供参考．nn?1nx?(x)'，推导如下：还可用导数公式2k?1???3xkx?1?2x??23k)'?(xx)'??x'?(x?)'?(??k23)'??x???(x?xx??)?(?xx(1?x)()'??2x?1)x(1?1?2)(1?xq?x上式中令，则得111?2k???3q??kq?1?2q??22p)1?q(22???)EE?D(?来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法
Out[109]=
1.等尾置信区间： 0.0771355, 0.385667 等尾区间长度： 0.308531 2.最短置信区间：
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[116]=
4
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
0.38
0.36
Out[117]=
0.34
0.32
BetaDistribution k, n k Α 2 ; BetaDistribution k 1, n 1 Α 2 ;
1 , k ,
"2.最短置信区间 ：" Plot L Quantile BetaDistribution k 1, n k , 1 Β Quantile BetaDistribution k, n k 1 , Α Β , Β, 0, Α
设X1 , X2 ,
n
, Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量 ，
k
i 1
Xi 为成功数 ，根据定理一 ，知 k B n, p 。 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB k FB
n,p n,p
参数 p的置信水平为 1 1 和 FB 从上两式分别得到 Α Β和 FB
n,p
伯努利分布参数 p的区间估计 _贝塔分布法 本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系 、 二项分布与贝塔分布关系的基础上 ，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度 ， 以及最短置信区间和区间长度的求法 ，并通过程序实现 。 定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
统计学中的常用概率分布及其性质
统计学中的常用概率分布及其性质概率论是数学中的一个分支，它研究的是随机事件的发生概率以及由随机变量带来的影响。
概率分布则是衡量随机变量取值的可能性的一种方法。
概率分布可以用来得出某些随机变量出现的概率，同时可以用来比较多个随机变量之间的差异。
在统计学中，常用的概率分布有正态分布、伯努利分布、泊松分布、指数分布、二项分布、负二项分布以及几何分布。
正态分布正态分布是一种非常常见的概率分布，也叫高斯分布。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值、方差以及标准差的值决定了曲线的位置与形态。
伯努利分布伯努利分布是一种离散概率分布，其只有两个可能结果，即成功或失败。
在伯努利分布中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布可以用来估计投掷硬币等随机事件的概率。
泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，它用来衡量独立随机事件在一段时间内发生的次数。
泊松分布的概率密度函数为: P(X=k)= e^-λ * λ^k/k!，其中λ为平均发生次数。
指数分布指数分布是一种连续概率分布，其用途非常广泛，例如在可靠性工程学中，指数分布可以用来描述设备故障发生之间的时间间隔。
指数分布的概率密度函数为: f(x) = λ * e^-λx，其中λ为发生比例。
二项分布二项分布是一种离散概率分布，其表示在n次试验中成功的次数。
二项分布的概率函数为：P(X=k)= (n!/(k!*(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中p为成功概率，n为试验次数。
负二项分布负二项分布是一种离散概率分布，其表示在成功x次之前，需要进行n次试验中失败的次数。
负二项分布的概率密度函数为：P(X=k)= (k-1)!((r-1)!*(k-r)!)p^r(1-p)^(k-r)几何分布几何分布是二项分布的一个特例，其表示在n次试验中，首次发生成功的次数。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k)=(1-p)^(k-1)* p，其中p为成功概率，k为试验次数。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差的证明几何分布的定义以及期望与方差分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括E p ξ=1D p p ξ=-12P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq pk k ξ=++++=+++++--231232121 ()号内的值。
记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：记相减，S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k=----1112()01<<p 01<<q lim k k q →∞=01231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E pξ=1S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121()()111121-=+++++=--q S q q q qk则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
p值超几何公式
p值超几何公式摘要：一、引言1.p 值超几何分布的概念2.p 值超几何分布的应用场景二、超几何分布的定义和性质1.超几何分布的概念2.超几何分布的性质3.超几何分布的概率密度函数三、p 值超几何公式的推导1.基础公式2.p 值超几何公式的推导过程四、p 值超几何公式的应用1.在假设检验中的应用2.在置信区间中的应用五、总结1.p 值超几何公式的重要性2.未来研究方向正文：一、引言在假设检验和置信区间估计中，我们经常会遇到超几何分布的问题。
超几何分布是一种离散型概率分布，描述了从有限总体中抽取样本，不放回抽样的概率分布。
然而，在实际应用中，我们往往关心的是某个事件发生的概率，即p 值。
因此，研究p 值超几何分布显得尤为重要。
本文将介绍p 值超几何分布的概念、性质以及应用。
二、超几何分布的定义和性质1.超几何分布的概念超几何分布，记作H(M, N, K)，是指从有限总体中不放回地抽取K 个样本，成功事件数为M 的离散概率分布。
其中，M 表示总体中成功的个数，N 表示总体大小，K 表示抽取的样本数。
2.超几何分布的性质超几何分布具有以下性质：（1）当M=N 时，超几何分布退化为二项分布；（2）当K=1 时，超几何分布退化为伯努利分布；（3）超几何分布的期望值为E(X) = M/N；（4）超几何分布的方差值为Var(X) = M(N-M)/N(N-1)。
3.超几何分布的概率密度函数超几何分布的概率密度函数为：f(x; M, N, K) = [M!/(x!(M-x)!K!)] * [N/(N-1)!]^K * [(N-M)/(M-x)!]^K 其中，! 表示阶乘。
三、p 值超几何公式的推导1.基础公式对于一个二项分布B(N, p)，其p 值可以表示为：P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^N2.p 值超几何公式的推导过程当总体大小N 固定时，我们可以通过以下步骤推导p 值超几何公式：令M = Np，K = N，代入超几何分布概率密度函数，可得：f(x; M, N, K) = [M!/(x!(M-x)!K!)] * [N/(N-1)!]^K * [(N-M)/(M-x)!]^K 令x = 0, 1, ..., M，求和得到概率质量函数：P(X = x) = [M!/(x!(M-x)!N!)] * [N/(N-1)!]^K * [(N-M)/(M-x)!]^K我们需要求解P(X ≥ 1)，即求解：P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - [(N-M)/(N-1)!]^K四、p 值超几何公式的应用1.在假设检验中的应用在假设检验中，我们通常使用p 值来判断是否拒绝原假设。
随机过程-6伯努利过程
• 现在假设伯努利过程运行了n次,得到观测数 据X1, X2,...Xn.未来试验序列Xn+1, Xn+2,...仍 然是独立的伯努利试验，形成了新的伯努 利过程。这些未来的试验与过去的试验都 是相互独立的。
p (1 p)2
• 现在我们考虑第一个忙碌时间段。起始于 第一个忙碌瞬间，称之为瞬间L，直到出现
下一个空闲瞬间（包括这个瞬间）的瞬间 数Z与T具有相同的分布,这是因为伯努利过 程从时间L+1“重新开始”.
• 然后我们注意到Z=B，所以B与T一样,具有 相同的分布列。
• 如果我们把空闲瞬间和忙碌瞬间的位置对 换，把p换成1-p，则第一个空闲段的长度I 与第一个忙碌段的长度具有一样的分布列， 所以
• 与伯努利过程相关的独立性质：
• (1)对任意给定的时间n，随机变量序列Xn+1, Xn+2,...(过程的将来)也是伯努利过程,且与X1, X2,...Xn(过程的过去)独立。
• (2)任意给定的时间n，令T1是时间n之后首 次成功的时间，则随机变量T1-n服从参数为 p的几何分布，且与随机变量X1, ...Xn独立。
伯努利过程
• 定义：伯努利过程为一串相互独立的伯努 利随机变量序列X1.....Xn，且对任意的i， P(Xi =1)=P(第i次试验成功）=p P(Xi =0)=P(第i次试验不成功）=1-p
• 伯努利过程可视为独立投掷硬币序列，每 次投掷硬币正面向上的概率都是p。
• 伯努利过程经常用于对顾客到来，服务中 心找到工作等系统进行建模。这里，时间 被离散化成为若干时间段，在第k段时间内， 至少有一个顾客到达服务中心，就视为第k 次试验成功。因此，我们经常用“达到” 这个词而不用“成功”。
2020精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(3)
2020精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(3)共70道题1、已知损失额X服从单参数的Pareto分布，其分布密度函数为：随机抽取5个样本，其中2个样本都超过了25，但具体数额未知，另外3个样本分别为3，6和14。
则参数α的极大似然估计为（）。
（单选题）A. 0.1575B. 0.2507C. 0.3750D. 0.4500E. 0.6250试题答案：B2、设某承保人承保的风险损失随机变量服从参数λ=2的复合泊松分布，个别理赔额随机变量的可能取值为1，2，3；则个别理赔额小于3的概率为（）。
（单选题）A.B.C.D.E.试题答案：E3、S服从复合泊松分布，泊松参数为λ=ln2，个体理赔额的概率函数为：则下面说法正确的是（）。
（单选题）A. S服从几何分布B. S服从二项分布C. S服从泊松分布D. S服从对数正态分布E. S服从负二项分布试题答案：A4、给定含有删失和截断的生存数据如表所示。
使用Nelson-?alen估计得到H（3）的90%置信水平的对数变换置信区间为（）。
（单选题）A. （0.688，0.969）B. （0.475，0.688）C. （0.475，0.994）D. （0.563，0.995）E. （0.475，0.764）试题答案：C5、下列说法正确的有：（单选题）A. （1）（2）（3）正确B. （1）（2）正确C. （1）（3）正确D. （2）（3）正确E. 只有（3）正确试题答案：B6、一个双减因模型的信息如下:则E（T|J=2）为（）。
（单选题）A. 7.42B. 7.50C. 7.63D. 7.85试题答案：C7、设理赔次数N服从均值为4的几何分布，个别理赔额X恒等于40。
S表示聚合理赔额，则E［J100（S）］=（）。
（单选题）A. 81.92B. 92.16C. 102.40D. 128.07E. 132.25试题答案：B8、对于泊松参数λ为6的复合泊松分布，个别索赔额的分布如表1所示，并已知索赔总额的一些概率值如表2所示，则表中P（6）=（）。
几何分布概率
几何分布概率
几何分布概率是一种离散概率分布，常用于描述在一系列独立的伯努利试验中，第一次成功所需要的试验次数的概率分布。
在几何分布中，每一次试验成功的概率是固定且相同的，且每次试验都是独立的。
以投掷硬币为例，假设我们要在多次投掷中第一次出现正面的概率为p。
我们可以用几何分布来计算在这个过程中需要投掷多少次硬币才能出现正面的概率。
具体地，设X表示第一次出现正面所需要的投掷次数，则有：
P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p
其中k表示需要投掷的次数，(1-p)^(k-1)表示前k-1次投掷都是反面的概率，p表示第k次投掷是正面的概率。
几何分布的期望为E(X) = 1/p，方差为Var(X) = (1-p)/p^2。
由此可得，当成功的概率p越小，需要尝试的次数就越多，期望和方差也会增大。
几何分布在实际应用中有很多用途，比如研究客户在网站上第一次进行购买的时间间隔、研究一支股票从开始涨势到第一次下跌所需要的时间等等。
掌握几何分布概率的计算方法，能够帮助我们更好地理解和分析实际问题，做出更准确的预测和决策。
- 1 -。
概率与统计的离散分布与连续分布
概率与统计的离散分布与连续分布概率与统计是一门重要的数学学科，它研究了随机事件发生的规律性和不确定性。
其中，离散分布与连续分布是概率与统计中两个重要的概念。
本文将对离散分布与连续分布进行详细介绍与比较。
一、离散分布离散分布是指概率分布中随机变量取值有限或可数的分布。
在离散分布中，每个可能的取值都有一个特定的概率与之对应。
离散分布通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来描述。
常见的离散分布包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一种只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果只能是正面或反面。
伯努利分布描述了这种试验的概率分布。
2. 二项分布：二项分布是一种描述多次独立重复伯努利试验的概率分布。
它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生k次的概率。
3. 泊松分布：泊松分布是一种描述在一段固定时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布常用于描述单位时间或单位空间内事件发生的频率。
4. 几何分布：几何分布是一种描述独立重复伯努利试验中，首次成功事件发生所需的试验次数的概率分布。
二、连续分布连续分布是指概率分布中随机变量的取值为连续的分布。
在连续分布中，每个可能的取值都有一个对应的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。
连续分布中的概率是通过对概率密度函数进行积分得到的。
常见的连续分布包括：1. 均匀分布：均匀分布是指在一个区间内各个取值的概率是相等的。
例如，抛一枚均匀的骰子，每个点数的概率均为1/6。
2. 正态分布：正态分布是一种最常见的分布。
它以一个对称的钟形曲线描述，具有均值和标准差两个参数。
许多现实世界的数据都可以用正态分布来进行建模和分析。
3. 指数分布：指数分布是一种描述在一段固定时间或空间内连续随机事件发生的概率分布。
它常用于描述无记忆性的随机过程，如设备的寿命分布和等待时间分布等。
三、离散分布与连续分布的比较离散分布和连续分布在描述随机事件时有一些明显的区别和特点。
3章几种常见的分布
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/5/27
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
13
十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布
几何分布的定义以及期望与方差的证明
精心整理几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometricdistribution ）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E pξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记两式相减，得k （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
可见关键是求E ξ2。
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p pξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。
求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。
1，2，3因此k ＝10ξ用倍差法，可求得所以E p pp p p p p p ξ=----+-=--[()()()()119110111929910说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。
但求解过程可参照相关公式的推导方法。
【精】几种常见的分布
十三、泊松分布（Poisson ion）
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数， 交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
几何分布的mle推导
几何分布的mle推导
几何分布是描述了在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。
假设成功的概率为p，失败的概率为1-p。
现在我们来推导几何分布的最大似然估计（MLE）。
假设我们进行了n次独立的伯努利试验，其中有x次成功，那么在第x次成功之前有x-1次失败。
几何分布的概率质量函数为：
P(X=x) = (1-p)^(x-1) p.
我们的目标是找到p的最大似然估计。
对数似然函数为：
L(p) = log(∏(1-p)^(xi-1) p) = ∑(xi-1) log(1-p) + ∑log(p)。
为了找到p的最大似然估计，我们对L(p)关于p求导，并令导数等于0，解出p的值。
我们有：
dL(p)/dp = (1-p) ∑(xi-1) / p ∑(1/p) = 0。
整理得到：
(1-p) ∑(xi-1) p ∑(1) = 0。
(1-p) ∑(xi-1) = p n.
∑(xi-1) p ∑(xi-1) = p n.
∑(xi-1) = p n.
p = ∑(xi-1) / n.
因此，最大似然估计得到的p值为成功的次数除以总的试验次数。
这就是几何分布的最大似然估计推导的过程。
需要注意的是，最大似然估计是一种估计参数的方法，它通过最大化观察到的数据的概率来估计参数的值。
在实际应用中，我们可以使用这个估计来估计成功的概率p，从而更好地理解和描述几何分布的特征。