【学案】第22章二次函数复习

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九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计教案

第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。

九年级数学上册第22章二次函数复习教案

第22章二次函数本章回顾（王继伟）一、思维导图二、典型例题例1. 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积；（3）若抛物线的顶点为D ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】二次函数的图象与性质，三角形面积【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）将点A （2，0）、B （0，﹣6）代入得：2206b c c -++=⎧⎨=-⎩，解得：46b c =⎧⎨=-⎩，故这个二次函数的解析式为：21462y x x =-+-．（2）∵二次函数的解析式为：21462y x x =-+-，∴二次函数的对称轴为x =4，即OC =4， ∴AC =2，故162ABC S AC BO ∆=⨯=．（3）存在，点P 的坐标为2(0,)3．AD 长度固定，只需找到点P 使AP+PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，∵点A'与点A 关于y 轴对称，∴点A'的坐标为（﹣2，0），又∵顶点D 的坐标为（4，2），∴直线A'D 的解析式为：1233y x =+，令x =0，则23y =，即点P 的坐标为2(0,)3．【思路点拨】（1）将点A 及点B 的坐标代入即可得出b 、c 的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC 的长度，根据S △ABC =12AC ×BO 可得出答案．（3）AD 长度固定，故只需找到点P 使AP +PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，求出直线A'D 的函数解析式，可得出点P 的坐标．【答案】21462y x x =-+-，162ABC S AC BO ∆=⨯=，2(0,)3.例2．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y 与售价x 之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．【知识点】列函数解析式，二次函数的最值,解一元二次方程，销售问题【解题过程】解：（1）可卖出千克数为500－10(x －50)=1000－10x ，y 与x 的函数表达式为y =(x －40)(1000－10x )=﹣10x 2+1400x －40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价涨(55－50)元，减少的销售量是(55－50)×10千克，∴月销售量为：500－(55－50)×10=450(千克)，所以月销售利润为：(55－40)×450=6750元；（3）令y =8000，则8000=－10x 2+1400x －40000解得x 1=60，x 2=80．当x =60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x =80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y =－10x 2+1400x －40000=－10(x －70)2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．【思路点拨】（1）月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（3）由（1）中y 与x 的关系式，令y=8000，解出x 即可；（4）利用二次函数性质求出最值即可．【答案】y =﹣10x 2+1400x －40000；销售量：450(千克)，销售利润：6750元；无解；当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y =+x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为﹣5．（1）求直线BD 的解析式；（2）点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF +BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP +PQ +QE 的最小值；【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）令y =0，则20x =，解得x =－4或1，∴A (－4，0)，B (1，0)，令x =0，则y C (0，当x =－5时，y =－3+3=－，∴点D 坐标（－5，－，设直线BD 的解析式为y =kx +b，则有50k b k b ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BD 的解析式为yx．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－3)，设E (m3m－3)，则F （m，－m 2m，∠ABD =30°，∴EF +EB =-m 2-m-m-）+2-m ）=-(m +3)2+ ∴m =-3时，EF +EB 的值最大，此时点E 坐标(-3，-3)，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP =PM ，∵E 、N 关于y 轴对称，∴QE =QN ，∴OP +PQ +QE =PM +PQ +QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN ，在Rt △MNE 中，MN ==∴OP +PQ +QE ．【思路点拨】（1）先求出B 、D 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0)，设E (m m )，则F （m m 2m ，构建二次函数确定m 的值，求出点E 坐标，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN .【答案】y x , 第22章章末检测题（王继伟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（）A ．21y x =-B ．1y x=- C ．31y x =+ D ．2y x x =-【知识点】二次函数的定义【解题过程】解：A 、21y x =-，是一次函数，故此选项错误；B 、1y x=-，右边是分式，故此选项错误； C 、31y x =+，x 的指数是3，故此选项错误；D 、2y x x =-，是二次函数，故此选项正确；【思路点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【答案】D2．抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，4）D ．（0，﹣4）【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：把x=0代入抛物线224y x =+中，解得：y=4，则抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（0，4）．【思路点拨】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x 轴交点坐标就要令y=0，要求函数与y 轴的交点坐标就要令x=0，代入抛物线的解析式求出对应的y 值，写成坐标形式即可．【答案】C3．抛物线2113y x =+，232y x =-+，23y x =-+，224y x =+的图象开口最大的是（）A ．2113y x =+ B ．232y x =-+ C ．23y x =-+ D ．224y x =+【知识点】二次函数的图象【解题过程】解：∵二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵11233<-<<-， ∴抛物线2113y x =+的图象开口最大. 【思路点拨】根据二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．【答案】A4．二次函数23(2)9y x =--+的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）A. 开口向上，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)-B. 开口向上，对称轴为2x =，顶点为(2,9)C. 开口向下，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)D. 开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【知识点】二次函数的图象和性质【解题过程】解：∵23(2)9y x =--+中，30-<，所以抛物线开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【思路点拨】由二次函数的顶点式可得.【答案】D5．若二次函数的解析式为2243y x x =-+，则其函数图象与x 轴交点的情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．以上都不对【知识点】抛物线与x 轴的交点【解题过程】解：因为△=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，所以抛物线与x 轴没有交点．故选A ．【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【答案】A6．已知点1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y 在函数22y x x b =--+的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵22y x x b =--+，∴函数22y x x b =--+的对称轴为直线1x =-，开口向下，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当y ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，∴y 3＜y 1＜y 2，【思路点拨】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y 1、y 2、y 3的大小，从而可以解答本题．【答案】C7．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．2100(1)y x =-B ．2100(1)y x =+C ．2100(1)y x =+ D ．2100100(1)100(1)y x x =++++ 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式【解题过程】解：根据题意，得：y 关于x 的函数关系式为2100(1)y x =+【思路点拨】2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【答案】B ．8．一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,1)-，与y 轴的交点(0,4)-，这个二次函数的解析式是（）A ．21243y x x =-+B ．21243y x x =-+- C ．21(3)13y x =-+- D ．2612y x x =-+- 【知识点】待定系数法求二次函数解析式.【解题过程】解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得a=﹣13，所以抛物线解析式为2211(3)12433y x x x =---=-+-．【思路点拨】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a （x ﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．【答案】B ．9．将二次函数22y x =-的图象平移后，可得到二次函数22(1)y x =-+的图象，平移的方法是（）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【知识点】二次函数图象与几何变换．【解题过程】法1：解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．抛物线y=﹣2（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．则由二次函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=﹣2（x+1）2的图象．法2：根据平移规律：“左加右减，上加下减”可得.【思路点拨】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．或者根据平移规律：“左加右减，上加下减”确定.【答案】C10．如果抛物线262y x x c =-+-的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣14【知识点】待定系数法求二次函数解析式．【数学思想】分类讨论【解题过程】解：根据题意24(2)(6)34c ---=±，解得c=8或14．【思路点拨】本题考查了求顶点的纵坐标公式，根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【答案】C11．在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象是（）A ．B ． C. D ．【知识点】二次函数的图象，一次函数的图象【解题过程】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 错误；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C 正确；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，b ＞0，此时抛物线2y ax b =+的顶点的纵坐标大于零，故D 错误；【思路点拨】用矛盾排除法，可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【答案】C12．小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0abc > ②230a b -= ③240b ac -> ④0a b c ++> ⑤4b c <则其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：①因为函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知，c ＜0，由函数图象开口向上可知，a ＞0，由①知，c ＜0，由函数的对称轴在x 的正半轴上可知，02b x a =->，故b ＜0，故abc ＞0；故此选项正确； ②因为函数的对称轴为123b x a =-=，故23a b =-，即230a b +=；故此选项错误；③因为图象和x 轴有两个交点，所以240b ac ->，故此选项正确；④把1x =代入2y ax bx c =++得：0a b c ++<，故此选项错误；⑤当2x =时，422(3)24y a b c b b c c b =++=⨯-++=-，而点(2,4)c b -在第一象限，∴⑤40c b ->，故此选项正确；其中正确信息的有①③⑤，故选B ．【思路点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】B二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 已知抛物线2y ax =开口向下，且3a =，则a = .【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：∵3a =，∴3a =?又∵抛物线2y ax =开口向下，∴0a <，∴3a =-【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系.【答案】-314．若点(2,)A m 在抛物线2y x =上，则点A 关于y 轴对称点的坐标是．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的点的坐标.【解题过程】解：∵点(2,)A m 在抛物线2y x =上，∴224y ==，∴(2,4)A ∴(2,4)A 关于y 轴对称点的坐标是（﹣2，4）【思路点拨】点在函数图象上代入解析式，求得点A 的坐标，关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为它的相反数.【答案】（﹣2，4）15．已知抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，则22m m -+的值为_______【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【数序思想】整体代换求代数式的值【解题过程】解：∵抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，∴5=m 2﹣m ﹣2，故m 2﹣m=7，∴m 2﹣m+2=9．【思路点拨】直接利用二次函数图象上点的坐标性质得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】916．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分对应值如下表：则二次函数2y ax bx c =++在2x =时，y=_________【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8．【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【答案】﹣817．若抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．【知识点】抛物线与x 轴的交点．【解题过程】解：∵抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，∴a≠0，△＞0，∴9﹣4a×（﹣1）＞0，∴a ＞﹣94，故答案为a ＞﹣94且a≠0．【思路点拨】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，根据题意，令y=0，得方程ax 2+3x ﹣1=0，有两个不同的根得△＞0，从而解出a 的范围．【答案】904a a >-≠且 18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为______．【知识点】二次函数的最值，勾股定理【解题过程】解：在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =6cm ．设运动时间为t （0≤t≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S△ABC ﹣S△CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t=t 2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24是解题的关键．在Rt△ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ 的面积最小值，此题得解．【答案】15cm 2三．解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19. 已知二次函数23y ax bx =+-中x 、y 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m 的值【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：（1）由题意得(1,0)-，(1,4)-在二次函数23y ax bx =+-图象上∴3034a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：1a =，2b =-，∴这个二次函数的解析式为223y x x =--．（2）当3x =时，2239630y x x =--=--=． ∴0m =．【思路点拨】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．（1）找一组点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 值，进而求得解析式．（2）把x=3代入（1）中的解析式即可求得m 的值；【答案】（1）223y x x =--；（2）0m =.20. 如图，抛物线21y x bx c =+-经过直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求四边形ADBC 的面积；（3）直接写出使y 1＜y 2的x 的取值范围．【知识点】二次函数的性质；一次函数的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，∴点B （0，﹣3），点A （3，0），将A 与B 坐标代入抛物线21y x bx c =+-得：3930c b c -=-⎧⎨+-=⎩，解得：c=3，b=﹣2，则抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）∵令y=x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3，∴点C 的坐标为（﹣1，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，﹣4），作DE ⊥AC 于点E ，由题意得：OC =1，OB =3，DE =4，OE =1，AE =2，∴S 四边形ACBD =S △OBC +S 梯形OBDE +S △AED =12OC •OB +12(OB +DE)•OE +12AE •ED =12×1×3+12×（3+4）×1+12×2×4=32+72+4=9；（3）∵y 1＜y 2，∴抛物线位于直线的下方，∴x 的取值范围为：0＜x ＜3．【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够求得图中的几个点的坐标，能够将点的坐标转化为线段的长，从而求得四边形的面积．（1）对于一次函数23y x =-，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；=S△OBC+S梯形OBDE+S△AED （2）分别求得A、B、C、D的坐标，利用S四边形ACBD求面积即可．（3）根据y1＜y2的可以得到抛物线位于直线的下方，从而可以写出自变量的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）9；0＜x＜3．四．解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)=++≠，由对称轴y ax bx c a是y轴得b=0，∵EO=6，∴c=6，∵矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系∴(4,2)D，又∵抛物线经过点(4,2)D，∴16462a b ++=，解得14a =- ，所求抛物线的解析式为：2164y x =-+．（2）取 2.4x =±，代入（1）所求得的解析式中，得21( 2.4)64y =-⨯±+．解得：y=4.56＞4.2故这辆货运卡车能通过隧道．【思路点拨】求抛物线解析式有几种方法，因题而异，灵活处理．会找抛物线上几个关键点的坐标，确定抛物线解析式．（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式．（2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值．【答案】（1）2164y x =-+；（2）能通过隧道．22．如图，是将抛物线2y x =-平移后得到的抛物线，其对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；【知识点】二次函数综合题【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式是2(1)y x k =--+．把(1,0)-代入得20(11)k =---+，解得4k =，则抛物线的解析式是2(1)4y x =--+，即223y x x =-++；（2）在223y x x =-++中令0x =，则3y =，即C 的坐标是(0,3)，OC =3． ∵B 的坐标是(3,0)，∴OB =3，∴OC =OB ，则△OBC 是等腰直角三角形．∴45OCB ∠=︒，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ．∵∠NCB =90°，∴∠NCH =45°，∴NH =CH ，∴HO =OC +CH =3+CH =3+NH ，设点N 纵坐标是2(,23)a a a -++．∴2323a a a +=-++，解得a=0（舍去）或a=1，∴N 的坐标是(1,4).【思路点拨】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B 和C 的坐标，易证△OBC 是等腰直角三角形，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ，设点N 纵坐标是（a ，﹣a 2+2a+3），根据CH =NH 即可列方程求解；【答案】（1）223y x x =-++；（2）(1,4).23．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为112(0600)(6001000)k x x y k x b x ≤<⎧=⎨+≤≤⎩，其图象如图所示：栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+≤≤．（1）请直接写出k 1、k 2和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合，分类讨论思想【解题过程】解：（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x ，得：18000=600k 1，解得：k 1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：2260018000100026000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）当0≤x ＜600时，2230(0.012030000)0.011030000W x x x x x =+--+=-++，∵0.010-<，20.01(500)32500W x =--+，∴当x=500时，W 取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，22206000(0.012030000)0.0136000W x x x x =++--+=-+， ∵0.010-<，∴当600≤x≤1000时，W 随x 的增大而减小，∴当x=600时，W 取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W 取最大值为32500元；（3）由题意得：1000100x -≥，解得：900x ≤，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，∴当x=900时，W 取得最小值27900元．【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x 可得k 1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y 1=k 2x+b可得k 2、b ．（2）分0≤x ＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；（3）根据种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2求得x 的范围，依据二次函数的性质可得．【答案】（1）k 1=30；2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）W 取最大值为32500元；（3）W 取得最小值27900元．24. 设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2=，max{4,3}4=，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}=________，max{0,3}=_________；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的交点坐标，函数224y x x =--的图象如图所示，请你在图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+--的最小值．【知识点】二次函数的最值；一次函数的图象与性质；二次函数的图象．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）max{5,2}5=，max{0,3}3=．故答案为：5；3．（2）∵max{31,1}1x x x +-+=-+，∴311x x +≤-+，解得：0x ≤．（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得：1124x y =-⎧⎨=⎩，2231x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为(2,4)-和(3,1)-．画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max 的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关于x 的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．（1）根据max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x ﹣4}的最小值．【答案】（1）5；3；（2）0x ≤；（3）交点坐标为(2,4)-和(3,1)-；画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．五．解答题（本大题共2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 、C 三点分别为坐标轴上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当||PM AM -为最大值时点M 的坐标，并直接写出||PM AM -的最大值．【知识点】二次函数综合题．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =3，OC =4．∴(1,0)A ，(0,3)B ，(4,0)C -，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =-+，把(0,3)代入得：34a =-，34a =-，∴3(1)(4)4y x x =--+， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =--+；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB =3，OC=4，OA =1，∴BC =AC =5，当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，∴点P 的坐标为（5，3），如图2，当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P 的坐标为（5，3）时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是菱形；（3）设直线P A 的解析式为(0)y kx b k =+≠，∴点A 的坐标为（1，0）点P 的坐标为（5，3），则053k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P A 的解析式为：3344y x =-，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM |=P A ，∴如图3，当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立 2334439344y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得 1110x y =⎧⎨=⎩，22592x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，根据BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，则点P 的坐标为（5，3），且当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）求直线P A 的解析式为：y=3344x -，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM|=P A ，则当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，列方程组解出即可．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P 的坐标为（5，3）；（3）当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．26．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x =-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，连接AD 交y 轴于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图2，将直线AD 向右平移，与线段AB 交于点G ，与x 轴下方的抛物线交于点F ，连接AF 、BF ，当平移到使S △F AG ：S △FGB =3：5时，求点F 的坐标．再将△AFG 绕点A 顺时针旋转60°得到△AF′G′，求此时点F′的坐标与△FGF′的面积．（3）如图3，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线DA 上移动，若抛物线的对称轴始终在y 轴的左侧时，点D 平移后的对应点为D′，平移后的抛物线与y 轴的交点为点P ，△D′EP 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．【知识点】二次函数综合题【数学思想】转化思想，数形结合,分类讨论思想.【解题过程】解：（1）对于抛物线2y-，令y=020=，解得1x=-或3，∴(1,0)A-，(3,0)B，∵221)222y x x=-=---∴顶点(1,D-，设直线AD的解析式为y kx b=+，则有k bk b-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩kb⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线AD的解析式为y=-．（2）如图2中，由（1）可知(0,E，1OA=，OE=在AOERt∆中，2AE=，∴30OEA∠=︒，∴∠OAE=∠BGF=60°，∴∠AGF=120°∵将△AFG绕点A顺时针旋转60°得到△AF′G′，∴△AFF′是等边三角形，且AF′⊥x轴于A，∴G′在直线AD上，△AGG′是等边三角形，∴∠AG′G=60°，∵∠AGF=∠AG′F′=120°∴G、G′、F共线，∴GF′=GG′+F′G′=AG+GF，∵S△F AG：S△FGB=3:5，AB=4，∴33482AG+⨯=，∴12OG AG OA=-=，∴1(,0)2G，∵FG∥AD，∴直线FG的解析式为y =，由222y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点F坐标(2,2-，∴32AG =，FG =3，∴F 'G =AG +FG = 92， ∴A F '=AF =33,∴点F '坐标为（74-, 作FH ⊥GF′于H ，在Rt △GFH 中，∵∠FGH =60°，∴FH= ， ∴S △FGF′=12 F′G •FH= 1922⨯= （3）存在．如图3中，设(,D m '，则平移后的抛物线的解析式为222)y x m -+--∴22P，∵(0,E ，∴2PE ，2ED m '=-，①当ED′=PE 时，222m m -=，解得2m =0舍弃），此时4)P ．②当D′P =D′E 时， PE E '=，2=-，解得2m =-（0舍弃），此时P ， ③观察图象可知，不存在PD′=EP 这种情形．综上所述，满足条件的点P 坐标为4)或．【思路点拨】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，第二个问题的突破点是证明GF′=AG +GF ，学会用分类讨论的思想思考问题.（1）求出A 、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先求出直线GF 的解析式，然后利用方程组求交点F 的坐标，再证明GF′=AG +FG ，作FH ⊥GF′于H ，根据S △FGF′=12F′G •FH 计算即可．（3）设D′（m m ），则平移后的抛物线的解析式为（x﹣m ）2﹣=2x 2x+2m 2m P （0，2m 2），∵E （0），推出PE =2m 2，ED′=﹣2m ，分三种情形讨论即可．【答案】（1）y =（2）F (2,2-，F '（74-,，S △FGF′（3）能，满足条件的点P 坐标为4)或．。

人教版九年级数学上册第22章《二次函数》期末复习课教案

第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。

过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。

情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。

教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。

2.二次函数三种解析式的求法。

3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。

教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。

2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。

3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。

教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。

人教版九年级上册数学：第二十二章二次函数小结与复习学案(1)

人教版九年级上册数学二次函数小结与复习学案（1）【复习目标】1．理解二次函数的概念，掌握二次函数y ＝ax 2的图象与性质；2．会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象。

【学习过程】:一、自主与指导练习1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象性质。

例：已知函数4m m2x )2m (y-++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?注意：二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。

强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。

此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。

、2．用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律。

例：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。

注意：抛物线的一般式与顶点式的互化关系： y ＝ax 2＋bx ＋c ——→ y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b24a利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。

3．知识点串联，综合应用。

例：如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求D 点坐标。

巩固练习：1、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y=a （1－x ）2；B ．y=x 2+a 2； C ．y= a （x －1）； D ．y ＝a （l+x ）2、抛物线y=－12 （x －2）2－1经y=－12x 2平移得到（）A ．向左平移2个单位，向上平移1个单位；；B ．向右平移2个单位，向上平移1个单位C ．向右平移2个单位，向下平移1个单位D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位3. 二次函数 y=-2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A ．向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(3,5)B ．向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为(3，5)C ．向上,对称轴x=－3,顶点坐标为(－3,5)D ．向上,对称轴x=－3,顶点坐标为(－3,－5）4. 设直线 y=2x —3，抛物线 y=x 2－2x ，点P （1，－1），那么点P （1，－1）（） A ．既在直线上，又在抛物线上； B ．既不在直线上，又不在抛物线上 C ．在直线上，但不在抛物线上； D ．在抛物线上，但不在直线上 5. 函数2y ax bx c =++的图象图1所示，那么关于x 的方程230ax bx c ++-= 的根的情况是（）A ．有两个相等实数根；B ．有两个异号实数根；C ．有两个不相等的实数根；D ．无实数根6．不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2的图象（）A ．在x 轴上方；B ．与x 轴只有一个交点；C ．与x 轴有两个交点；D ．在x 轴下方7．已知二次函数21y ax bx c =++（a ≠0）与一次函数2y kx m =+（k ≠0）的图象交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使12y y >成立的x 的取值范围是（）A.2x <-B. 28x -<<C. 8x >D.2x <-或8x > 8. 直线2y x =+与抛物线22y x x =+的交点坐标为。

第22章二次函数复习学案

第22章二次函数复习学案一．二次函数定义(特别注意a ≠0) 1. 若y ＝(2－m )23mx -是二次函数，且开口向上，则m 的值为__________．2. 下列函数中，不是二次函数的是（）A ．y =2x 2+2x B ．y =-x 2+3x +1 C ．2113xy x =-++ D ．y =3-x (x -2)二．二次函数中常数的意义二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)系数符号的确定：⑴a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．⑵b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x = -2ba判断符号(左同右异)． ⑶c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．⑷b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；无交点，b 2-4ac ＜0． ⑸当x =1时，y =a +b +c ，当x =-1时，y =a -b +c .故由点(1, a +b +c ) 所在的象限，可判断a +b +c 的符号；由点(-1, a -b +c ) 所在的象限，可判断a -b +c 的符号.同理，当x =2时，可确定4a +2b +c 的符号，当x =-2时，可确定4a -2b +c 的符号……⑹由对称轴x = -b 与x =±1的位置关系，可确定2a ±b 的符号.当x = -b =1时，b = -2a ，即2a +b =0；当x = -b=-1则下列结论正确的个数是（）①b =2a ②a -b +c ＞-1 ③0＜b 2-4ac ＜4 ④ac +1=b ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.在同一坐标系中一次函数 y =ax+b 和二次函数y =ax 2+bx 的图象可能为（）三．二次函数的三种表达形式的变换一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k ，其中h =-2ba ，k =244acb a- 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)，其中x 1、x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标，且其对称轴为x =122x x +.7.试将y =2x 2+3x -2分别转换为顶点式与交点式，说出该函数图象可以由y =2x 2通过怎样的平移得到.并画出该函数的草图（显示准确的对称轴、顶点、与坐标轴交点）.四．二次函数与二次方程与二次不等式的关系 8.利用7中的图象，解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解： ②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解： ④在以上坐标系中画出直线y ＇= -2x +1；⑤试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：⑥试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解：⑦试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：9. 已知二次函数2(2)1y x m x m =-+-++，⑴ 试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；⑵ m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？⑶ m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？五.求二次函数的解析式10. 已知二次函数26y x x m =-+的最小值为1，求m 的值．11.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：求该二次函数的解析式．12.已知：抛物线M ，顶点T (1，-2)，与x 轴交于A 、B 两点，A (-1,0)，求这条抛物线的解析式.13.已知抛物线2142y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+．求这条抛物线的解析式.六.二次函数与平面几何的构建与再创造15. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式.A B D16. 如图，在△ABC 中，90B ∠=，12m m AB =，24m m BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2m m/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4m m/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小．17. 抛物线y=x2+(k－2)x+1的顶点为M，与x轴交于A（a,0）、B(b,0)两点，且k2－(a2＋ka+1)·(b2+kb+1)=0.⑴求k的值；⑵问抛物线上是否存在点N，使△ABN的面积为N的坐标，若不存在，请说明理由.18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值.19.如图，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点.⑴求抛物线解析式；⑵若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．⑶若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．七.二次函数的应用21. 公路上行驶的汽车急刹车时的刹车距离S（m）与时间t（s）的函数关系为S=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性，汽车要滑行多少米才能停下来？22. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．⑴将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c 的值．⑵求支柱MN的长度．⑶拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．23.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；⑶商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式3368y x=-+，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．⑴试确定b c、的值；⑵求这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；⑶“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？25. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．⑴求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．⑵足球第一次落地点C距守门员多少米？（取734≈）⑶运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取562≈）。

人教版九年级数学上册第22章二次函数复习学案

第22章二次函数
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
例1. 若函数2
221
()m
m y m m x --=+是二次函数，那么m 的值是( )
A.2
B.-1或3
C.3
D.1-±
2. 下列函数中，是二次函数的是( ) A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8x D.y=28
x
练习1： y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2
y a x h k =-+的性质：。

人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案

人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。

人教版九年级数学上册第22章二次函数复习导学案

第 1 页共 2 页第 2页共2页二次函数复习一、二次函数的概念：1、形如)0(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，、、的函数，叫做二次函数。

其中____是自变量，_____，_____，______，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

（二次函数须同时满足两个条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0）。

例题1、当m 为何值时，12)4(422-+-=--x xm y m m 是关于x 的二次函数？二、抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的关系（图像的平移）1、二者的形状（开口大小）______，位置_______，k h x a y +-=2)(是由2ax y =通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________。

2、抛物线)0(2≠=a ax y 个单位平移时向当个单位平移时向当h h h h ____0____0<>2)(h x a y -=的图像个单位平移时向当个单位平移时向当k k k k ____0____0<>k h x a y +-=2)(的图像。

例题1、抛物线3)2(5.02-+=x y 可以由抛物线__________先向_____平移2个单位，再向下平移______个单位得到。

例题2、抛物线2x y -=向左平移1个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_________________。

例题3、将二次函数22312+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标。

三、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与a 、b 、c 、△的关系例题1、在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图（）例题2、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如下图。

则下列5个代数式：ac ，abc ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b ，a-b+c ，ac b 42-，4a+b 中，其值大于0的个数为（）A 、2B 、3C 、4D 、5例题3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>，四、抛物线的增减性要判断二次函数图像的增减性，须弄清两个问题：①a 的正负；②在对称轴的左侧还是右侧。

初中数学九年级上册《第22章二次函数》复习名师导学案

《第22章二次函数》复习学案 NO ：24班级_______姓名_________小组_______评价_______一、复习目标1、理解二次函数的概念、三种形式的解析式，掌握二次函数的图象与性质；2、历经二次函数的图象与性质的探索过程，领会数形结合的思想并能运用解决实际问题；3、极度热情投入，高效参与学习。

二、自主复习（知识点清理）1、形如_________________(_______)的函数叫做二次函数；其中a 、b 、c 分别叫做__________，____________，_________。

2、二次函数解析式的三种形式：（1）一般式y=ax 2+bx+c(a≠0)，（2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，(3) 两根式y=a(x-x 1)(x-x 2) (a≠0)。

3、二次函数的图象与性质：二次函数的图象都是一条曲线，叫做_________。

（1）y=ax 2(a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。

（2）y=ax 2+k (a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。

（3）y=a(x-h)2+k(a≠0)：①顶点坐标是________，②对称轴是________，③当a ＞0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大，④当a ＜0，开口向______，此时，x___时，y 随x 的增大而减小，x___时，y 随x 的增大而增大。

第22章二次函数复习课(1)学案设计

第22章二次函数复习课(第1课时)学习目标1.理解二次函数的有关概念.2.会根据图象确定a,b,c,Δ的符号,能从图象上认识二次函数的性质.3.会求二次函数图象的顶点坐标、对称轴方程及其与x轴的交点坐标,会解决二次函数的最值问题.4.会构建二次函数模型解决以二次函数为基础的综合型题.学习过程一、设计问题,创设情境二、信息交流,揭示规律(一)二次函数的定义:(二)二次函数的解析式:一般式:顶点式:(三)抛物线的平移:将y=ax2沿着y轴(上“+”,下“－”)平移k(k>0)个单位长度得到函数.将y=ax2沿着x轴(左“+”,右“－”)平移h(h>0)个单位长度得到.(四)抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a,b,c的作用:a的正负决定了:当a>0时,开口,在对称轴x=－的左侧,y随x的增大而,在对称轴x=－的右侧,y随x的增大而,此时y有最值,顶点－,为最点;当a<0时,开口,在对称轴x=－的左侧,y随x的增大而,在对称轴x=－的右侧,y随x的增大而,此时y有最值,顶点(,)为最高点.|a|越大,开口,|a|越小,开口.a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴为,当a,b同号时,对称轴x=－0,当a,b异号时,对称轴x=－0.c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过;c>0时,与y轴交于;c<0时,与y轴交于.以上a,b,c的符号与图象的位置是共同作用的,也可以互相推出.三、运用规律,解决问题1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是()A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>02.如图所示为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,且此图象通过(－1,1),(2,－1)两点.下列关于此二次函数的叙述,正确的是()A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=1时,y的值大于1D.当x=3时,y的值小于03.如图所示,在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2－4ac>0(2)c>1(3)2a－b<0(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有()A.2个B.3个C.4个D.1个四、变式训练,深化提高1.两人合作,其中一人画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,另一同学得出a,b,c,b2－4ac 的符号.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是()3.已知二次函数y=－x2－x+.(1)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(2)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围;(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式.4.如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边OA,AB,BC组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆高为4 m,宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离开隧道右壁BC多少米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)五、反思小结,观点提炼自行整理本章主要内容,并再次理解记忆.布置作业已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m－1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.参考答案一、设计问题,创设情境y=ax2(a≠0)(0,0) y轴0y=ax2+c(a≠0)(0,c) y轴cy=a(x－h)2(a≠0)(h,0) x=h0y=a(x－h)2+k(a≠0)(h,k) x=h ky=ax2+bx+c(a≠0)－,x=－二、信息交流,揭示规律(一)一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0)的函数,叫做二次函数.当b=c=0,a≠0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.(二)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),通常要知道图象上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a(x－h)2+k(a≠0),通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式.(三)y=ax2±k y=(x±h)2(四)开口方向向上减小增大小低向下增大减小大越小越大y轴<>原点正半轴负半轴三、运用规律,解决问题1.D2.D3.D四、变式训练,深化提高1.略2.B3.(1)略(2)x<－3或x>1(3)y=－x2+2x4.由已知条件知,该抛物线顶点的横坐标为=5,纵坐标为4.9－2.4=2.5,C点坐标为(0,0),设抛物线的函数解析式为y=a(x－5)2+2.5.把(0,0)或(10,0)代入上式,得0=25a+2.5,解得a=－.∴y=－(x－5)2+2.5.当y=4－2.4=1.6时,1.6=－(x－5)2+2.5,解得x1=8,x2=2(不合题意,舍去).∴x=8,∴OC－x=10－8=2(m).故汽车离开右壁至少2 m,才不会碰到顶部.五、反思小结,观点提炼略布置作业m≤－。

第22章《二次函数》小结与复习课件

形 DEBG 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式； (3)当 x 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值．
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，1BG = BF1 = 2x -130. 1
所= 以 32Sx△2D+EF60-xS-△4G5BF0.= 2DE2 - 2BF2 = 2 x2 - 2 (2x - 30)2
若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且
x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( B )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1＞y2
x
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65
时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的解析式；
解：根据题意，得
65k 75k
b b
55，解得
45.
k
=
-1，b
=
120.
故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.

九年级数学：第22章二次函数复习课教案

第22章二次函数复习课教案教材分析：函数是初中数学中最基本的概念之一，从八级首次接触到函数的概念，就学习了正比例函数、一次函数，然后九年级上册学习了反比例函数，九年级下册学习了二次函数，函数贯穿于整个初中数学体系之中，也是生活实际中构建数学模型的重要工具之一。

二次函数在初中数学教学中占有极其重要的地位，它不仅中初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式等内容打下基础。

在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。

二次函的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起到了很好的推动作用。

并且二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地对自己所学的知识融会贯通。

学情分析：九年级的学生在新课的学习中已经掌握了二次函数的定义、会作二次函数的图象并能根据图象对二次函数的性质进行简单地分析。

并且经过一段时间的练习，学生的分析能力和理解能力都较学习新课时有所提高，学生的学习热情较高，有了一定的自主探究和合作学习能力。

不过，学生学习能力差异较大，两级分化过于明显。

复习目标：知识与技能目标：1.回忆所学二次函数的基础知识，进一步理解掌握2.灵活运用基础知识解决相关问题，提高学生解决问题的能力过程与方法目标：1.学生自查遗忘的知识点，回答问题，提出问题。

2.经历例题习题的解答，提高技能。

3.讨论、交流，教师答疑、解惑、指导。

情感、态度与价值观目标：渗透二次函数在实践中的运用，使学生知道学为所用，树立服务社会的思想。

复习重点、难点：二次函数的基础知识回忆及灵活运用。

复习方法：自主探究、分组合作交流复习过程：一、知识梳理（学生以小组为单位，课前已独立完成）学生分组汇报本章相关知识点，各组互相补充：1、二次函数的概念：若两个变量x 、y 之间的对应关系可以表示成c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，0≠a ）的形式，则称y 是x 的二次函数。

一组选派代表出示相关练习，由一组指定某一组完成练习，汇报结果，评价打分。

九年级数学上册第22章《二次函数》单元复习导学案

第22章二次函数一、知识梳理1. 二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。

2. (1) 二次函数基本形式：的性质：(2)的性质：(3)的性质：(4) 的性质：3.二次函数图象的平移(1) 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；的符号的符号的符号的符号(2)保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：(3)平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．4.二次函数的性质(1) 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．(2) 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．5.二次函数解析式的表示方法(1)一般式：(，，为常数，)；(2)顶点式：(，，为常数，)；(3)两根式：(，，是抛物线与轴两交点的横坐标).6.二次函数与一元二次方程：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.二、题型、技巧归纳类型一：二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3归纳：二次函数平移的两种方法1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论的个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个归纳：类型三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是.(填入正确结论的序号)归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.类型四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.三、随堂检测1.下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是()A.y=3x2+2B.y=3(x-1)2C.y=3(x-1)2+2D.y=2x22.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为()A.b=2,c=-6B.b=2,c=0C.b=-6,c=8D.b=-6,c=23.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是( )A.a>0B.c>0C.b 2-4ac>0D.a+b+c>04.已知两点A(-5,y 1),B(3,y 2)均在抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)上,点C(x 0,y 0)是该抛物线的顶点,若y 1>y 2≥y 0,则x 0的取值范围是( )A.x 0>-5B.x 0>-1C.-5<x 0<-1D.-2<x 0<3 5.二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0; ②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n<b a－; ④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论是________ (写出你认为正确的所有结论序号).6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系22810y x x 999=-++，则羽毛球飞出的水平距离为 m.7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.(1)试求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?参考答案1.【解析】选D.函数y=3x 2的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D 选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x 2的图象平移得到.2. 【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x 2+bx+c 的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2-1,化成一般形式为y=x 2+2x,故b=2,c=0.3. 【解析】选D.4. 【解析】选B.∵y 1>y 2≥y 0,∴抛物线开口向上,且对称轴不可能在A 点的左侧;若对称轴在B 点或其右侧,此时满足题意,则有 x 0≥3;若对称轴在A,B 两点之间,当y 1=y 2时,有x 0=-1,当y 1>y 2时, 应有x 0>532-+,即3>x 0>-1,综上可得x 0的取值范围是x 0>-1. 5. 【解析】对称轴x= b 2a－＞1，所以b>－2a ，即2a+b>0，故①正确；抛物线开口向下，a ＜0，与y 轴交于负半轴，c ＜0，对称轴x=b 2a－＞0，∴b ＞0.根据图象无法确定a 与c 的大小，故②不正确；因为－1＜m ＜n ＜1，∴m n 2+ ＜1，而对称轴x= b 2a －＞1，所以m n 2+ ＜b 2a －，即m+n ＜ b a－，故③正确；因为x=1时，a+b+c ＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，所以3|a|－2|b| +|c|=－3a －2b －c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故 ④正确. 答案：①③④6. 【解析】令y=0，得：22810x x 0999++=－，解得：x 1=5，x 2=-1(不合题意，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为5 m.答案：57. 【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得30 0005k b,k 10 000,20 0006k b b 80 000,=+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得，所以y 与x 之间的关系式为:y =-10000x+80000. (2)设每月的利润为W,则W=(x -4)(-10000x+80000) =-10000(x -4)(x -8)=-10000(x 2-12x+32) =-10000=-10000(x -6)2+40000.所以当x=6时,W 取得最大值,最大值为40000元.答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.。

人教版九年级上册数学第22章二次函数全章复习教案

第22章二次函数全章复习教案【学习目标】　1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)20()y ax bx c a =++≠,,a b c (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题2yax bx c =++利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式例题1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即，也就是，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则，解得．∴ 抛物线的解析式为，即．解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得，∴ 抛物线的解析式为，即．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，2(3)2y a x =--2692y ax ax a =-+-2692y ax ax a =-+-12||6x x -==29a =22(3)29y x =--22493y x x =-2(3)2y a x =--29a =22(3)29y x =--22493y x x =-把(3，-2)代入得，解得．∴ 抛物线的解析式为，即．举一反三【变式】已知抛物线（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得，∴，∴抛物线的顶点坐标为．（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴．∵，∴是完全平方数．∵， ∴，∴取1，4，9，．当时，；当时，；当时，． ∴的值为2或或．∴抛物线的解析式为或或．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号例题2. 如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（）3(36)2a ⨯⨯-=-29a =2(6)9y x x =-22493y x x =-2442y mx mx m =-+-155m <<x 0≠m 2242=--=-=mm a b x m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m )2,2(-x 02442=-+-m mx mx 2x ==±0m >2x =2m155m <<22105m <<2m2x ==±21m =2=m 24m =21=m 29m =29m =m 21296822+-=x x y x x y 2212-=22810999y x x =--A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c ，由②可知﹣c=OA ，而当x=OA 是方程的根，∴x=﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C ．类型三、数形结合例题3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数的图象上，且MO ＝MA ，二次函数的图象经过点A 、M．334y x =+32y x =2y x bx c =++(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．【答案与解析】(1)一次函数，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)，又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M的纵坐标为，又M 在上，当时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为．如图所示，．(2)将点A(0，3)，代入中，得 ∴即这个二次函数的解析式为：．(3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，，．334y x =+334y x =+3232y x =32y =31,2⎛⎫⎪⎝⎭AM ==31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2y x bx c =++3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+25(,3)2C n n n -+3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则|AB|＝3-m ，，．因为四边形ABCD 是菱形，所以．所以解得（舍去）将n ＝2代入，得，所以点C 的坐标为（2，2）．类型四、函数与方程例题4.某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000，解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元；（3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得：w=（x ﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．213||4D C DC y y n n =-=-5||4AD n =||||||AB DC AD ==2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩113,0;m n =⎧⎨=⎩221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+2C y =【答案】由题意得把②代入①得. ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程必有两个相等的实数根， ∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1) (2). (3). (4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， ∴ ∴ ∴ ，即， ∴. ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论例题5．若函数，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．B ．4C ．或4D ．4或【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论.【答案】D ；【解析】由题意知，当时，，∴ ．(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．类型六、与二次函数有关的动点问题例题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩228x +=x =2>x =x =【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，≤m＜0．。

第22章二次函数复习

二次函数复习课
第22章二次函数复习
本章知识结构图
实际问题
二次函数
目标
实际问题的答案
利用二次函数的图象和性质求解
第22章二次函数复习
知识结构
概念： y = a x 2 + b x + c (a 0 )
实二性图际次质像
生函活数
与
开口方向
顶点
对称轴增减性最值与一元二次方程的关系
交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1 ， x2 为两交点的横坐标，它有3个待定系数a、 x1 、 x2 练习：函数 y(m1)xm213x1，当 m= -1 时，它是二
次函数。 2、二次函数的图象是一条抛物线。
3、二次函数图象的性质: 开口方向; 对称轴; 顶点坐标; 增第2减2章二性次;函数复最习值。
y
C
O A Bx
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
变变式式12：：若若抛抛物物线线yyaxx2243xx3a 的2图1的象图如象图如，图则，
则△aA=BC的面积. 是
。
第22章二次函数复习
练习
5、（2015•福建泉州）在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ C ）
第22章二次函数复习
二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_（__—12__，_-_—24_5）__ 对称轴是___x_=—_12____。
y x=—12
画二次函数的大致图象:
①画对称轴
②确定顶点
(-2,0) 0
(3,0)x ③确定与y轴的交点 ④确定与x轴的交点

人教初中数学九年级上册第二十二章二次函数复习(第1课时)教案

【例题1】对于函数，请回答下列问题：
⑴图象的对称轴，顶点坐标各是什么？当x取何值时，函数有最大（小）值，函数最大（小）值是多少？
⑵此图象是由什么抛物线经过怎样的平移得到的？
⑶求抛物线与x轴的交点，与y轴的交点坐标是什么？
【例题2】抛物线与y轴交于点（0,3）.
⑴求出m的值，并画出这条抛物线；⑵求它与x轴的交点和抛物线的顶点坐标；⑶x取什么值时，抛物线在x轴的上方；
2.抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值
3．抛物线的对称轴为直线____，顶点坐标为___，与轴的交点坐标为____；
4.如何平移
的图象可得到函数 .
5.已知二次函数的图象如图26.A_1所示，则
a___0，b___0，
c___0， ____0；
2.本节课中你参与了哪些讨论，你题.学生自由发言，以完善本节的知识、方法、规律.
作业设计
必做题：课本P56 6、7
选做题：
必做题做到作业上.选做题进行选择性的做.
①对称轴是：__________;
②点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上的两个点，且x1＞x2＞2,则y1y2.
3.当x=时，y=-x2+2x-2有最大值，最大值为.
教师利用学案出示题目.
学生独立完成，然后在小组里进行交流.
教师巡视指导，主要是基础较差的同学.
完善
整合
1.本节课你有哪些收获？哪些方面还有疑惑？
二次函数
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.通过回顾教材，说出二次函数的定义；能画出二次函数的图象；能从图象上认识二次函数的性质；掌握各类函数之间的平移规律.

第22章二次函数复习课件

6.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为
（ C ）
A.y ( x 3) 2
2
B. y ( x 3) 2
2
C. y ( x 3) 2
2
D.y ( x 3) 2
2
7.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0, b＜0, c＜0的是（ D ）
A
B
D C
请说明理由。
（3）若该隧道内设双行道，
该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。
（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆
车能否通过该隧道？请说明理由。
解：
1 2 把x=1.2代入 y x 6 4 中，解得y=5.64。
∵4.2＜5.64
∴这辆车能通过该隧道
货车
(3)若该隧道内设双行道，现有一货车卡高4.2 米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。
2 1 当 x 时,y随x的增大而增大 2
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
3. 二次函数y=ax² +bx+c的图象如图所示，则在下列
各不等式中成立的个数是__ __ ________ y ①abc<0 ②a+b+c < 0 -1 x ③a+c > b 1 0 ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．
3
中考链接
12（2012黑龙江）如图，抛物线 y x bx c 经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）。（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且 SOAB 3 ，求点B的坐标。

人教版数学九年级上册教案：第22章二次函数小结与复习(3)

二、课堂小结：让学生谈谈．通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。
作业
设计
必做
练习册P138-140
选做
练习册P141
教
学
反
思
态度
价值观
教学重点
利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
教学难点
将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
一、例题精析，引导学法，指导建模
1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－ (x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－ (50－x)2＋ (50－x)＋308万元。
教师精析：
(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－ (x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。
(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：
P＝－ (25－30)2＋10=9.5(万元)
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?