勾股定理解析折叠问题含详细的答案

一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上
的D点，求E点的坐标。精选课件
18
课后作业
3、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘
米，现将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由；
（3）求AE的长。
G
（4）试确定重叠部分△AEF的面积。 A
6
4
8
(E)
6
E
10 6
精选课件
(F) 15
F
10
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将
利用勾股定理 解决折叠问题
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1
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
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2
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。B
图b， 如果∠GEF=20°，那折叠么，∠A或E将G图=形还14原0°。
A
E
DA
E 20°
D' A
E
D
B
FC B
20° G
F C' B
C
图a
图b
?C F
G
C´
图c
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的 度数是 120°
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11
探究活动
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C
落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么
三角形？说明你的理由.
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找到
相应的直角三角形，用勾精选股课件定理建立方程，利用方程12思
想解决问题。
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，
点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
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E D
C
图1
A(B) 3
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4
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 ，DC=DE＋EC ∴在Rt△ABF中
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？
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6
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7
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
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8
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
FD
B
C
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E
19
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点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于HБайду номын сангаас，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
A'
C
相个等问的题线，段自（己不解包决括。矩 形的对边）
E2
１
3
H(x,y)
A
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G F Dx 14
图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用
动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
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16
谢谢大家！
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17
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系
中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取
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9
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就的理是片图由对,形。你称全能轴等，折。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能
折叠成面积减半的矩形吗?
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10
相信你,一定行
折叠问题中,求角度
如图，a是长方形纸带，将时纸，带往往沿可EF通折过叠动成手
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
图中∠1，∠2，∠3 A
有何关系？你能求
出它们的大小吗？
3
F
11 D
6 23
精选课件 B
E
C
13
探究四
证明线段相等的方法有证
如图,矩形纸片ABCD中全四，等边，形A等，B=角 等6c对 量m,等 线A边 段D=， 的8c平 和m行 差，
=EF＋EC=8，A
D
B F A2 F A2 B12 0 8 2 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
∴EC的长为3cm。
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F
图2
E
C
5
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，