圆形波导的理论分析和特性
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3.2-7通解可取： F f = B1cos kff+B2sinkff 3.29
由于f的方向必须是周期性变化的，故kf必须 为整数m 。上面的结可写为：
圆形波导分析 6 – TE modes（续二）
F(f )=B1cos m f +B2sin m f =B
cos m f sin m f
3.2-10 m=0,1,...
Hz (r)=A1J m (kc r)+A2Ym (k cr)
H z (r , f , z )=A1 BJ ( kc r )
' m
3.2-11
考虑到圆柱中心场解有限，而 J m (k c r) r 0 故A 2 0 cos mf sin mf e j z 3.2 13
带入边界条件（3.2-4）有：J,'(kca)=0,设根为 umn'可得： Kc= umn'/a n=1,2, …
2 2
2
对任意r，f均成立，左右两端均必须为常数: (设为kf2)，则有：
圆形波导分析 6 – TE modes（续一）
d F(f ) 2 kபைடு நூலகம் F(f ) 0 2 df
2 2 2
3.2 7 / 8
d R(r ) dR(r ) 2 2 r r (kc kf ) R(r ) 0 2 dr dr
圆形波导分析 6 – TE modes(续四). umn ' cos mf j (w t z ) jw ma 2 Er H mn J m ( r) e 2 sin mf a m 0 n 1 u 'mn r cos mf j (wt z ) jw a ' umn ' Ef H mn J m ( r) e sin mf a m 0 n 1 u 'mn
圆形波导分析 6 – TE modes(续三).
于是得到基本解为:
umn ' cosmf j z Hz (r , f , z )=H mn J m ( r) e sin mf a
3.2 15a
其中：Hmn=A1B为波型指数,每一个mn均对应 一个基本函数,其线性组合也必为本征方程的 解。通解为: umn ' cosmf j z H(r , f , z ) H mn J m ( r) e 3.2 15b sin mf a m0 n 0 利用纵横关系3.2-1,即可求出所有场分量：
圆形波导分析 5 -- 边界条件
E0f r , f E0 z r , f
r a
0, TE波导 (Ez 0) 3.2 4 0, TM 波导(H z 0) 3.2 5
r a
类似于矩形波导：可先求解这两个导波系统方程→ Ez / Hz，再由前面的纵横关系，求出所有的场分量。 这样做的目的是简化计算过程（规范化），对各种 特殊条件可得到简化。
Ez 0 cos mf j (wt z ) j a ' umn ' H r H mn J m ( r) e sin mf a m 0 n 1 u 'mn
3.2 16
Hf
m 0 n 1
umn ' cos mf j (w t z ) j ma 2 H mn J m ( r) e 2 sin mf u 'mn a
3.2-1圆
形波导
分析： 采用圆柱坐标系(r,f,z); 梅拉系数h1=1;h2=r 沿+z 方向传播,时谐变化可约去时间因子ejwt
圆形波导分析 2 -- 纵横关系
j Ez w H z Er 2 kc r r f j Ez H z Ef 2 w kc r f r j H z w Ez Hr 2 kc r r f j H z Ez Hf 2 w kc r f r
3.2 1a r x 1 r f y
圆形波导分析 3 -- 纵横关系
w r Er H f j r H r kc2 0 E f 0
w
0 0
0 0
w
圆形波导分析 6 – TE modes
对于TE模：其Ez=0,Hz(r,q,z)=H0z(r,q)e-jz≠0可采 用分离变量法:令: H0z（r,f）=R(r)F(f),带入本征 方程有:
r d R r dR 1 dF 2 kc 2 2 R(r ) dr R(r ) dr F(f ) df
后面的一种表示是由波导结构的对称性决定 的——场的极化方向具有不确定性，使波导 在f方向有可能存在cos或者sin两种可能的分 布。二者独立存在，相互正交，具有相同的 截止波长——极化简并(polarization degenerate)
圆形波导分析 6 – TE modes（续三）
3.2-8为柱贝塞尔方程，其解为：
圆形波导分析 4 -- 本征振方程
若为有耗介质： 为复数， 0r(1-jg/0r) = 0r(1-jtgd) 由式本征方程1.4.23可得（h1=1,h2=r）电场及 磁场纵向分量必须满足的Heimholtz方程：
1 2 1 2 2 E0 z r , f r 2 kc 0 2 2 r r r r f H 0 z r ,f 3.2 3
kc2 k 2 2 ; k w 2 /
H z 0 f E z 0 r w H z r r Ez r f
由于f的方向必须是周期性变化的，故kf必须 为整数m 。上面的结可写为：
圆形波导分析 6 – TE modes（续二）
F(f )=B1cos m f +B2sin m f =B
cos m f sin m f
3.2-10 m=0,1,...
Hz (r)=A1J m (kc r)+A2Ym (k cr)
H z (r , f , z )=A1 BJ ( kc r )
' m
3.2-11
考虑到圆柱中心场解有限，而 J m (k c r) r 0 故A 2 0 cos mf sin mf e j z 3.2 13
带入边界条件（3.2-4）有：J,'(kca)=0,设根为 umn'可得： Kc= umn'/a n=1,2, …
2 2
2
对任意r，f均成立，左右两端均必须为常数: (设为kf2)，则有：
圆形波导分析 6 – TE modes（续一）
d F(f ) 2 kபைடு நூலகம் F(f ) 0 2 df
2 2 2
3.2 7 / 8
d R(r ) dR(r ) 2 2 r r (kc kf ) R(r ) 0 2 dr dr
圆形波导分析 6 – TE modes(续四). umn ' cos mf j (w t z ) jw ma 2 Er H mn J m ( r) e 2 sin mf a m 0 n 1 u 'mn r cos mf j (wt z ) jw a ' umn ' Ef H mn J m ( r) e sin mf a m 0 n 1 u 'mn
圆形波导分析 6 – TE modes(续三).
于是得到基本解为:
umn ' cosmf j z Hz (r , f , z )=H mn J m ( r) e sin mf a
3.2 15a
其中：Hmn=A1B为波型指数,每一个mn均对应 一个基本函数,其线性组合也必为本征方程的 解。通解为: umn ' cosmf j z H(r , f , z ) H mn J m ( r) e 3.2 15b sin mf a m0 n 0 利用纵横关系3.2-1,即可求出所有场分量：
圆形波导分析 5 -- 边界条件
E0f r , f E0 z r , f
r a
0, TE波导 (Ez 0) 3.2 4 0, TM 波导(H z 0) 3.2 5
r a
类似于矩形波导：可先求解这两个导波系统方程→ Ez / Hz，再由前面的纵横关系，求出所有的场分量。 这样做的目的是简化计算过程（规范化），对各种 特殊条件可得到简化。
Ez 0 cos mf j (wt z ) j a ' umn ' H r H mn J m ( r) e sin mf a m 0 n 1 u 'mn
3.2 16
Hf
m 0 n 1
umn ' cos mf j (w t z ) j ma 2 H mn J m ( r) e 2 sin mf u 'mn a
3.2-1圆
形波导
分析： 采用圆柱坐标系(r,f,z); 梅拉系数h1=1;h2=r 沿+z 方向传播,时谐变化可约去时间因子ejwt
圆形波导分析 2 -- 纵横关系
j Ez w H z Er 2 kc r r f j Ez H z Ef 2 w kc r f r j H z w Ez Hr 2 kc r r f j H z Ez Hf 2 w kc r f r
3.2 1a r x 1 r f y
圆形波导分析 3 -- 纵横关系
w r Er H f j r H r kc2 0 E f 0
w
0 0
0 0
w
圆形波导分析 6 – TE modes
对于TE模：其Ez=0,Hz(r,q,z)=H0z(r,q)e-jz≠0可采 用分离变量法:令: H0z（r,f）=R(r)F(f),带入本征 方程有:
r d R r dR 1 dF 2 kc 2 2 R(r ) dr R(r ) dr F(f ) df
后面的一种表示是由波导结构的对称性决定 的——场的极化方向具有不确定性，使波导 在f方向有可能存在cos或者sin两种可能的分 布。二者独立存在，相互正交，具有相同的 截止波长——极化简并(polarization degenerate)
圆形波导分析 6 – TE modes（续三）
3.2-8为柱贝塞尔方程，其解为：
圆形波导分析 4 -- 本征振方程
若为有耗介质： 为复数， 0r(1-jg/0r) = 0r(1-jtgd) 由式本征方程1.4.23可得（h1=1,h2=r）电场及 磁场纵向分量必须满足的Heimholtz方程：
1 2 1 2 2 E0 z r , f r 2 kc 0 2 2 r r r r f H 0 z r ,f 3.2 3
kc2 k 2 2 ; k w 2 /
H z 0 f E z 0 r w H z r r Ez r f