《管理运筹学》整数规划

…，N）所需投资为Ii万元，占地Li亩，建成以后的生产能力为 Pi万吨。现在有总投资I万元，土地L亩，应如何选择厂址，使 建成后总生产能力最大。
பைடு நூலகம்
设
0 表示在i地不建厂
xi 1 表示在i地建厂
整数规划模型为: max
s.t.
N
z
Pi x i
i 1
N
Iixi I
i 1
N
Lixi L
i 1
N
xi r
的目标函数值可作为整数规划最优目标函数值的上界。
如果某一个子问题的解还不是整数解，但这个非整数解的目标 函数值已经超过这个上界，那么这个子问题不必再进行分枝。
如果在分枝过程中得到新的整数解且该整数解的目标函数值小 于已记录的上界，则用较小的整数解的目标函数值代替原来的 上界。上界的值越小，就可以避免更多不必要的分枝。
图3-3. 探索过程示意图
x2≤0
√ Sub-9
x1 7 x2 0 z 14 z z 14
x2≥1
Sub-10
无可行解
11
3.3.1 割平面法基本思想
•首先放弃变量的整数要求，求得线性规划的最优解。
•如果最优解恰是一个整数解，则线性规划的最优解就是相 应的整数规划的最优解。
•如果线性规划的最优解不是整数解，则要构造一个新的约 束，对线性规划问题的可行域进行切割，切除已经得到的 线性规划的最优解，但保留原可行域中所有的整数解，求 解新的线性规划问题
x1
312 17
,
x2
26 17
,
z 14 8 17
第3章 整数规划
10
Sub-1
x1
41 5
x1≤4
√ Sub-3
x1 4 x2 2 z 14
z 14
Sub-6
无可行解
x2 2
z 14 2 5
x2≤2
x1
原3问1题2 17
x2
26 17
z 14 8 17
× x2≥3
x1≥5
Sub-4
确定整数解目标函数值上界并不断更新上界，并且不断“剪除 ”目标函数值超过上界的分枝的过程，称为定界（Bound）。
第3章 整数规划
9
例3-4 用分枝定界法求解以下整数规划
min z 2x1 3x2
s.t.
54xx11
7 x2 9 x2
35 36
x1,
x2
0
且为整数
先求得相应的线性规划的最优解，为
Integer Programming
第3章 整数规划
IP
3.1 整数规划问题及其建模 3.2 分支定界法 3.3 割平面法 3.4 0-1型整数线性规划的解法 3.5 指派问题 3.6 整数规划应用
第3章 整数规划
2
整数规划：变量取整数的线性规划； 纯整数规划：所有变量都取整数的线性规划； 混合整数规划：部分变量取整数的线性规划； 0-1规划：所有变量都取0、1两个值的规划； 0-1混合规划：部分变量取0、1两个值的规划。
i 1
x i 0,1
0-1规划
5
例3-3 考虑固定成本的最小生产费用问题
在最小成本问题中，设第j种设备的固定成本为d j，运行的变
动成本为c j，则生产成本与设备运行时间的关系为：
0 f j ( x j ) d j c j x j
当x j 0 当x j 0
设第j种设备运行每小时可以生产第i种产品aij 件，而第i种产品
定货为 bi 件。要满足定货同时使设备运行的总成本最小的问题
为： n min z (d j y j c j x j )
j 1
n
s.t.
aij x j bi
i 1,2, , m
j 1
x j My j
j 1,2, , n
混合0-1规划
x j 0, y j 0,1
6
max z x1 4x2
线 性 规
14 x1 42 x4 196 s.t. x1 2x2 5
划
x1, x2 0
max z x1 4x2
整 数 规
14 x1 42 x4 196 s.t. x1 2x2 5
划
x1, x2 0 且为整数
X*=（13/5，19/5） Z*=89/5=17.8
X*=（5，3） Z*=17
•如果最优解仍不是整数解，再增加附加的约束将其切除， 但仍保持最初可行域中所有的整数解，如此一直进行，直 至得到一个整数的最优解为止。
第3章 整数规划
12
3.3.1 割平面法基本思想 设放弃变量整数要求得到的线性规划的最优单纯形表如下：
设其中基变量Xr的值br不是整数，以I表示整数，以 F表 示正的真分数，令
7
基本思想 分支（Branch） 定界（Bound）
Min z CX AX b X 0
Min z CX AX b xr Ir X 0
Min z CX AX b xr Ir 1 X 0
xr≤Ir
xr≥Ir+1
第3章 整数规划
8
分支（Branch）这两个子问题的可行域都是原线性规划问
j m 1
b r= Ir+ Fr
(0 < Fi < 1)
yrj = Irj + Frj (0 ≤ Frj < 1) 将上面两式代入约束r中，得
第3章 整数规划
13
改写成
n
xr (I rj Frj )x j I r Fr
j m 1
n
n
xr I rj x j I r Fr Frj x j
j m 1
x1 5,
x2
13 7
z 14 2 7
x2≥2
x2≤1
Sub-5
x1
53 5
x2 1
z 14 1 5
Sub-2
x1
312 17
x2 3
z z 14
x1≤5
Sub-7
x1 5 x2 1 z 13
z z 14
Sub-8
x1≥6
x1 6
x2
5 7
z 14 13 7
z 13 1 2
题可行域的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会 比原线性规划问题的最优解的目标函数值更小。如果这两个问 题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，继 续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过程称为 “分枝（Branch）”。
定界（Bound）如果某一个子问题的最优解是整数解，则它
例3-1背包问题
max z= s.t.
17x1 10x1 x1, x1,
+72x2 +42x2 x2, x2,
+35x3
+20x3 ≤50
x3
≥0
x3为整数
线性规划最优解为:
x1=0，x2=0，x3=2.5 而整数规划的最优解是
x1=1，x2=0，x3=2
4
例3-2厂址选择问题
在N个地点中选r个（N>r）建厂，在第i个地点建厂（i=1，2，