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新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版

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2024届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件

2024届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
点、离心率、渐近线).
4.与双曲线有关的
3.了解双曲线的简单应用.
最值和范围问题
核心素养
直观想象
逻辑推理
数学运算
强基础 增分策略
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值 等于非零常数(小于|F1F2|)
的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离
2x2-y2=k(k≠0).又点 P(2 2,- 2)在双曲线上,所以 k=16-2=14,所以双曲线的方
程为
2

2x2-y2=14,所以双曲线的标准方程为
7
2
− =1.故选
14
B.
(3)3x±4y=0


可化为4 ± 3=0.


设以4 ± 3=0
2
2
为渐近线的双曲线方程为16 − 9 =λ(λ≠0).
2
2
C:36 − 64=1
可得 a2=36,b2=64,
所以 c2=a2+b2=36+64=100,即 a=6,b=8,c=10,
所以|F1F2|=2c=20,所以|PF2|=|F1F2|=20.
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以在△PF1F2 中,PF1 边上的高为 202 -
1 2
)
2
2.(多选)(2022 湖北武汉高三期末)已知双曲线 C:12
判断正确的是(
)
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
−
2
=1,下列对双曲线 C 的

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线课件(理)

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线课件(理)

(9)e＝ac(e＞1)
(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近
线方程为 y＝±2x 的是( )
A．x2－y42＝1
B.x42－y2＝1
C.y42－x2＝1
D．y2－x42＝1
解：A，B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C，D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，又令y42－x2＝0，得 y
(1)(2014·北京)设双曲线 C 的两 个焦点为(－ 2，0)，( 2，0)，一个顶点是(1， 0)，则 C 的方程为________．
解：根据已知条件可判断双曲线 C 的中心 在坐标原点，焦点在 x 轴上，c＝ 2，a＝1， b2＝c2－a2＝1，∴C 的方程为 x2－y2＝1.故填 x2－y2＝1.
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做________．“离心率 e＝ 2”是“双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ” 的 ______ 条 件 ， 且 等 轴 双 曲 线 两 条 渐 近 线 互 相 ______．一般可设其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上
∵双曲线过点(－5，2)，∴2a52－b42＝1，得 a2＝b225＋b24.
联立a2＝b225＋b24，
解得
a2＋b2＝c2＝6，
a2＝5，b2＝1，故所求双曲线方程为x52－
y2＝1.
(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，
故可设双曲线方程为 Ax2＋By2＝1(AB＜0)，
第九章
平面解析几何
§9.7 双 曲 线
1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的________等于常数 2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线教案(含解析)

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线教案(含解析)

§9.7双曲线考情考向分析主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以填空题的形式考查，难度为中低档．解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质．1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率e ＝2，渐近线方程为y ＝±x . 4．双曲线的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l (点F 不在直线l 上)的距离的比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线．定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为y ＝±a 2c.概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示 当2a ＝F 1F 2时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >F 1F 2时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二 教材改编2．[P48T15]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为______．答案 5解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．[P58T7]若双曲线x 29－y 216＝1左支上的一点P 到左焦点的距离为15，则点P 到右准线的距离为________． 答案635解析 ∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，∴e ＝53.∵PF 1＝15，∴PF 2＝PF 1＋2a ＝15＋6＝21， ∴点P 到右准线的距离d ＝PF 2e ＝635. 4．[P48A 组T7]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________． 答案 53解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.7．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为________． 答案 45解析 由题意，双曲线的一条渐近线y ＝2x 与右准线x ＝55的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫55，255，其到另一条渐近线y ＝－2x 的距离为45.题型一 双曲线的定义例1(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是________． 答案 双曲线解析 如图，连结ON ，PF 1，由题意可得ON ＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴MF 2＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得PM ＝PF 1，∴|PF 2－PF 1|＝|PF 2－PM |＝MF 2＝2<F 1F 2，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有PF 1－PF 2＝PF 2＝2a ＝22，∴PF 1＝2PF 2＝42，在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例(2)中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12，∴PF 1·PF 2＝8， ∴12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin60°＝2 3. 2．本例(2)中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“PF 1—→·PF 2—→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22，∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴PF 1—→⊥PF 2—→， ∴在△F 1PF 2中，有PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝16，∴PF 1·PF 2＝4， ∴F PF S＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系．跟踪训练1设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________． 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又PF 1＋PF 2＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ，MC －BC ＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．跟踪训练2(1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________． 答案x 216－y 29＝1 解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5，0)， 设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8<F 1F 2，符合双曲线定义． 由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. (2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为________． 答案x 24－y 25＝1解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 如图所示，连结OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a,0)，F (－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为OA ＝OC ＝a ，所以△ACO 为等边三角形， 所以∠AOC ＝60°.因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以OF ＝2OA ，即c ＝2a ， 所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ，B 是圆(x ＋c )2＋y 2＝4c 2与C 位于x 轴上方的两个交点，且F 1A ∥F 2B ，则双曲线的离心率为________． 答案3＋174解析 由双曲线定义及题意得AF 2＝2a ＋2c ，BF 2＝2c －2a ，因为F 1A ∥F 2B ，所以∠F 2F 1A ＋∠F 1F 2B ＝180°， 所以cos∠F 2F 1A ＝－cos∠F 1F 2B ， 则4c 2＋4c 2－(2a ＋2c )22×2c ×2c＝－4c 2＋(2c －2a )2－4c 22×2c ×(2c －2a )，化简得2e 2－3e －1＝0， 因为e >1，所以e ＝3＋174.思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．2．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足F 1F 2＝2OP ，PF 1≥3PF 2，则双曲线C 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 解析 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 22＝F 1F 22. 由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2， 整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ， 所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝c a ，且e >1，可得1<e ≤102.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析 设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.∴离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 例2已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为________． 答案3解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，取B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则C 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a 且F 1(－c,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1—→＝0，又AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 22a ，BF 1—→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ，可得2c 2－3b 42a 2＝0，又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或13，又e >1，所以e ＝ 3.1．(2019·江苏南京外国语学校月考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条准线为x ＝－32，则该双曲线的离心率为________． 答案233解析 由－a 21＋a2＝－32得a ＝3，c ＝2， 所以双曲线的离心率为c a＝23＝233. 2．(2018·南京金陵中学期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m2－y 2＝1(m >0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则实数m 的值为________． 答案3解析 双曲线x 2m 2－y 2＝1(m >0)的渐近线方程为y ＝±1mx ，∴1m ＝13，∴m ＝ 3. 3．若双曲线x 2－y 2k＝1的焦点到渐近线的距离为22，则实数k 的值是__________．答案 8解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝kx ，一个焦点坐标为(k ＋1，0)，由题意得k k ＋1k ＋1＝22，解得k ＝8.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为________． 答案x 24－y 26＝1 解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32. ①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.5．设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则MO －MT ＝________. 答案 1解析 连结PF 2，OT ，则有MO ＝12PF 2＝12(PF 1－2a )＝12(PF 1－6)＝12PF 1－3，MT ＝12·PF 1－F 1T ＝12PF 1－c 2－32＝12PF 1－4，于是有MO －MT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12PF 1－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PF 1－4＝1.6．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P —→·F 2F 1—→的值为________．答案 2解析 由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2＝e ＝2，∴PF 1＝2PF 2，由双曲线的定义知PF 1－PF 2＝2， ∴PF 1＝4，PF 2＝2， 又F 1F 2＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos∠PF 2F 1＝PF 22＋F 1F 22－PF 212PF 2·F 1F 2＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P —→·F 2F 1—→＝|F 2P →|·|F 2F 1—→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.7．已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为________． 答案 4(1＋2)解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为PA ＋PF ＋AF ，而PF ＝2a ＋PF 0，∴l ＝PA ＋PF 0＋2a ＋AF ≥AF 0＋AF ＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”． 8．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是________． 答案 16解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ，所以OM ＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 答案 43解析 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，AF ＝PF ＝c ＋a ， ∴PF 1＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，PF 21＝PF 2＋F 1F 2－2PF ·F 1F cos∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负)．10．(2019·徐州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点，若PF 1与x 轴垂直，cos∠PF 2F 1＝1213，则该双曲线的离心率为________．答案 32解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，cos∠PF 2F 1＝1213，∴PF 1＝b 2a ，PF 2＝13b25a，又PF 2－PF 1＝2a ，∴13b 25a －b 2a＝2a ，即8b 2＝8(c 2－a 2)＝10a 2， ∴e 2＝c 2a 2＝94，又e >1，∴e ＝32.11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若AF 2＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________． 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知AF 1－AF 2＝2a ＝2，BF 1－BF 2＝2a ＝2，∴AF 1＝2＋AF 2＝4，BF 1＝2＋BF 2.由题意知AB ＝AF 2＋BF 2＝2＋BF 2，∴BA ＝BF 1， ∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°， ∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴BA ＝BF 1＝22AF 1＝22×4＝22， ∴1F ABS＝12BA ·BF 1＝12×22×22＝4. 12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝b ax 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为________． 答案5解析 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b(x －c )，设直线PF 2与直线y ＝b a x 的交点为N ，易知N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，2ab c .因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 5.14．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若AF 1＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则122AF F ABF S S＝________.答案 12解析 如图所示，由双曲线定义可知AF 2－AF 1＝2a .又AF 1＝2a ，所以AF 2＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以12AF F S＝12AF 1·AF 2·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2. 由双曲线定义可知BF 1－BF 2＝2a ， 所以BF 1＝2a ＋BF 2，又知BF 1＝2a ＋BA ，所以BA ＝BF 2. 又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以2ABF S＝34AB 2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以122AF F ABF S S＝23a 243a 2＝12.15．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝8，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若AQ ＝3，则E 的离心率是________． 答案433解析 如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于点M ，N ，依题意，有MA＝AQ ，NP ＝MP ，NF 2＝QF 2，AF 1＝AF 2＝QA ＋QF 2，2a ＝PF 1－PF 2＝(AF 1＋MA ＋MP )－(NP ＋NF 2)＝2QA ＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝43＝433. 16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝6PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 75解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝6PF 2，∴PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos∠F 1PF 2.∵cos∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，75. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵PF 1＝6PF 2，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75.。

2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析新人教A版

2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析新人教A版

第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P ＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.4.若渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b .6.若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝c ＋a ，|PF 2|min ＝c －a .7.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1.( )解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(老教材选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案x 28－y 28＝1 3.(老教材选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案 64.(2019·北京卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( )A. 6B.4C.2D.12解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.答案 D5.(2019·全国Ⅲ卷)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32B.52C.72D.92解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.答案 B6.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案 y ＝±2x考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)(2020·合肥质检)x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示的曲线方程为( ) A.x 24－y 25＝1(x ≤－2) B .x 24－y 25＝1(x ≥2) C.y 24－x 25＝1(y ≤－2) D .y 24－x 25＝1(y ≥2) (2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)x 2＋（y －3）2的几何意义为点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离，x 2＋（y ＋3）2的几何意义为点M (x ，y )到点F 2(0，－3)的距离，则x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，则x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示的曲线方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)，故选C.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2020·郑州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( ) A.8B.9C.10D.11(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由题意知2a ＝6，则a ＝3，又由b a ＝13得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，则F 1(－10，0).根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝（10）2＋（－6）2＋5＝9，当且仅当F 1，M ，N ，E 共线时取等号，故选B.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)B (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(一题多解)(2020·东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 (2)(2019·洛阳二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的方程为( ) A.x 2－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 216－y 24＝1 解析 (1)法一 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝± 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将(2，1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，b a＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.法二 设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，将(2，1)代入方程可得，4m －n ＝1.① 双曲线的渐近线方程为y ＝±m nx ， 圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1， 由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，可得21＋m n＝1，即m n＝3，②由①②可得m ＝311，n ＝111，所以该双曲线的标准方程为x 2113－y211＝1，故选A.(2)∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋（2c －a ）2－（2c ＋a ）24c （2c －a ）＝c －2a2c －a ，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3（2c －a ）2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选A. 答案 (1)A (2)A规律方法 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·昆明调研)“0<n <2”是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________. 解析 (1)若方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线，则(n ＋1)·(n －3)<0，解得－1<n <3，则0<n <2的范围小于－1<n <3，所以“0<n <2”是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)A (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (2020·广州模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.3x ±y ＝0 B.2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D.2x ±3y ＝0解析 ∵F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝（3a ）2＋a 2－4c 22×3a ×a，∴3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，∴b 2a 2＝34，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，故选C.答案 C规律方法 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答. 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (2019·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2B. 3C.2D. 5解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0).则c ＝a 2＋b 2，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.在Rt△OPM 中，|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca＝2，即e ＝ 2.答案 A规律方法 求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.角度3 双曲线几何性质的综合应用【例3－3】 (1)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233(2)(2019·太原模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. (2)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.答案 (1)A (2)B规律方法 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系. 2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(角度1)(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x(2)(角度2)(2020·石家庄模拟)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是( )A.(0，2)B.(1，3]C.[2，3)D.[3，＋∞)(3)(角度3)(2019·长沙统一考试改编)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则△PF 1F 2的面积为________.解析 (1)因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . (2)由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，∴|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋|PF 2|）2|PF 2|＝4a 2＋|PF 2|2＋4a |PF 2||PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a2|PF 2|＋4a＝8a ，当且仅当|PF 2|＝4a 2|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时，等号成立.∵|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a . ∵点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，当且仅当P ，F 1，F 2三点共线且点P 为右顶点时等号成立，即6a ≥2c ，∴e ≤3，又∵e >1，∴e ∈(1，3]，故选B.(3)设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的过一、三象限的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 2＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，x 20＋y 20＝2得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝ 2.答案 (1)B (2)B (3) 2A 级 基础巩固一、选择题1.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x 解析 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 答案 A3.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析 由题意可得－b a＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.故选D. 答案 D4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2解析 法一 由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.答案 D5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A. 答案 A6.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C7.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 答案 D8.(2020·沈阳模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6)D.6＋3 2解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝（0＋6）2＋（2－0）2＋（6－0）2＋（0－2）2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B. 答案 B 二、填空题9.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________.解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20， 所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝1 10.(多填题)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2. 答案 1 211.设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________.解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 答案x 216－y 29＝1 12.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________. 解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案3215B 级 能力提升13.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.(1，2]B.[2，＋∞)C.(1，2]D.[2，＋∞)解析 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，则e ≥2，选B. 答案 B14.(2020·石家庄模拟改编)已知双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交C 的左、右支于点A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |的值为________. 解析 由双曲线定义知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，由于|AF 1|＝|BF 1|，所以两式相加可得|AF 2|－|BF 2|＝4a ，而|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，∴|AB |＝4a ，由双曲线方程知a ＝4，∴|AB |＝16.答案 1615.(2020·南昌联考)点P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F 1PF 2＝π3，则b 1b 2的值是________.解析 不妨设P 是第一象限内的交点， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可知m ＋n ＝2a 1，① 由双曲线定义可知m －n ＝2a 2，② 由①②得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理的推论可得，cos ∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－（2c ）22mn ＝12，即m 2＋n 2－mn ＝4c 2，∴(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝4c 2， 即a 21＋3a 22＝4c 2，又知a 21－b 21＝c 2，a 22＋b 22＝c 2，∴b 21＋c 2＋3(c 2－b 22)＝4c 2，∴b 21＝3b 22， 又知b 1>0，b 2>0，∴b 1b 2＝ 3. 答案316.(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________.解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图.所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝1tan∠AOF 1＝a b，tan∠BOF 2＝b a .因为tan∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案 2C 级 创新猜想17.(多填题)(2020·昆明诊断改编)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，则△APF 周长的最小值为________，此时该三角形的面积为________. 解析 设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1.由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0).当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋（66）2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小.由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示).|AF 1|＝|AF |＝15，故△APF 周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1得y 2＋66y－96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 32 12 6。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学

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§9.7 抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用. 抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左 向上向下 焦半径 x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p2通径长 2p概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠5.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x 答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.6.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是__________. 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________. 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)(2019·某某中学调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝4x B.y 2＝36xC.y 2＝4x 或y 2＝36x D.y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6).因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .抛物线的几何性质例3(1)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D.2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E . ∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)(2020·某某检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点.O 为坐标原点.若△OAB 的面积为1，则p 的值为________. 答案2解析 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △AOB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. (3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值X 围是________.答案 (8,12)解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12). ∴△ABF 的周长的取值X 围是(8,12).思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)(2020·某某期中)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12B.4C.6D.8 答案 B解析 由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.(2)(2020·某某龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PF |＝m |PA |，则m 的最小值为________. 答案22解析 过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN |＝|PF |，∵|PF |＝m |PA |，∴|PN |＝m |PA |，则|PN ||PA |＝m ，设PA 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ， 可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0， ∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1， ∴m 的最小值为22. 直线与抛物线例4(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)由题设可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3， 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1， 故|AB |＝4133.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). ③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2020·某某模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程.解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2－kmk2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，k DE·k ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.1.抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B.－14C.4D.－4 答案 B解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a＝1，解得a ＝－14.2.(2019·某某青山区模拟)已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A.2B.3C.3D. 2 答案 B解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，结合定义点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.4.(2020·某某调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN →|等于( )A.58B.12C.38D.1 答案 A解析 由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18， 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点N 的坐标为(a ,0)， 所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－18，MN →＝(a －x 0，－y 0)，由2FM →＝MN →可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝a －x 0，2y 0－14＝－y 0，解得y 0＝112，x 0＝13a ，代入抛物线方程可得x 0＝±612，则a ＝±64，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±64，0， 由两点之间的距离公式可得|FN |＝58.5.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A.4B.3 3 C.43D.8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |， ∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0， 过F 作FM ⊥AH 于M ，则在Rt△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4， ∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.6.(2019·某某模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A.6B.22C.23D.4 答案 A解析 根据题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0).设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x ，得 y 2－4k y －4＝0，y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4， 则x 1＋x 2＝y 1＋y 2k ＋2＝4k2＋2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k2＋2＋2＝6， 则k ＝±2， |y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝26，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×26＝6，∴△AOB 的面积为 6.7.(2020·某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x 答案 B解析 如图所示，过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′，设|AF ′|＝3x ，因为cos∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ， 则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝|PF |＋|AA ′|·|PA ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .8.(2019·某某模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为________.答案 10解析 由抛物线的定义可知|PF |＝|PM |＝5，并且点P 到准线的距离x P ＋1＝5， ∴x P ＝4，y P ＝±4， ∴S ＝12×5×4＝10.9.(2020·江淮十校联考)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________. 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 10.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的的直线与C 交于A ，B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)， 则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则抛物线C 与直线必有两个交点.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0， 所以k ＝2.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？说明理由.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3).设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)， 所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0). 因为车与箱共高4.5m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)， 则x 20＝32，所以|x 0|＝32＝62， 所以2|x 0|＝6<3，故此车不能通过隧道.12.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知点F (0,1)，点A (x ，y )(y ≥0)为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足|AF |＝|AB |＋1.(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于两个不同点P ，Q (非原点)，过P ，Q 两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M ，设线段PQ 的中点为N ，若|FM |＝|FN |，求直线l 的斜率. 解 (1)由|AF |＝|AB |＋1，得x 2＋y －12＝|y |＋1，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 设N (x N ，y N )，则x N ＝x 1＋x 22＝2k ，y N ＝2k 2＋b ，又曲线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，y ′＝x2，∴过P 点的切线斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21.同理，过Q 点的切线方程为y ＝x 22x －14x 22，联立两切线可得交点M 的坐标为x M ＝x 1＋x 22＝2k ，y M ＝14x 1x 2＝－b .所以x M ＝x N ，又因为|FM |＝|FN |，所以MN 中点纵坐标为1，即2k 2＋b －b2＝1，k ＝±1，故直线l 的斜率为k ＝±1.13.长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________. 答案 34解析 由题意知，2大于抛物线的通径，即AB 可以过焦点.设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图.由梯形的中位线定理，可得|MN |＝12(|AC |＋|BD |).连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |.根据平面几何知识，可得|AF |＋|BF |≥|AB |，当且仅当点F 在AB 上时取等号， ∴|AC |＋|BD |≥|AB |＝2，∴|MN |＝12(|AC |＋|BD |)≥12|AB |＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN |＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为34.14.过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3).若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________. 答案 4解析 若(DA →＋DB →)·AB →＝0， 则线段AB 的垂直平分线过点D .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式相减得x 1＋x 2＝4y 1－y 2x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24，则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率 k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2，所以y 1＋y 2＝2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.15.(2019·全国100所名校联考)已知点P (1,2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若Rt△PAB 内接于该抛物线，且∠A ＝90°，则点B 的纵坐标的取值X 围是________. 答案 (－∞，－6)∪[10，＋∞)解析 由题意可得抛物线的方程为y 2＝4x ，设A (x ，y )，B (x 0，y 0)，△PAB 的外接圆的方程为(x －1)(x －x 0)＋(y －2)(y －y 0)＝0，所以(4x －4)(4x －4x 0)＋16(y －2)(y －y 0)＝0， 即(y 2－4)(y 2－y 20)＋16(y －2)(y －y 0)＝0， 化简可得y 0＝－16y ＋2－y ＝－16y ＋2－(y ＋2)＋2. 令t ＝－(y ＋2)，且y ≠y P ，则y 0＝－16y ＋2－y ＝16t＋t ＋2∈(－∞，－6)∪[10，＋∞). 16.已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜率为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B两点，求|FA |·|FB |的取值X 围.解 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20. 令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0.又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 4， 则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34.∴|FA |·|FB |＝y 23＋94·y 24＋94＝y 3y 42＋94y 23＋y 24＋8116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－342＋94⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y 20－2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－34＋8116＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|. ∵x 0≥0，∴|FA |·|FB |∈[3，＋∞).。

高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件理

高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件理

)
D.( 3 ,0)
2 2 y x 答案 C ∵原方程可化为 - =1, 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 6 . ∴a =1,b = ,∴c =a +b = ,∴右焦点的坐标为 ,0 2 2 2
x2 y 2 2.(2015福建,3,5分)若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P 9 16
则△F1PF2的面积是多少? 解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2 ,
线,则C的方程为 答案
x2 y 2 - =1;y=±2x 3 12
;渐近线方程为
.
y2 2 解析 根据题意,可设双曲线C: -x =λ(λ≠0),将(2,2)代入双曲线C的方 4 x2 y 2 程得λ=-3,∴C的方程为 - =1.渐近线方程为y=±2x. 3 12
考点突破
考点一 双曲线的定义及标准方程 典例1 (1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1| =2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( A.
(2)当⑤ 2a=|F1F2| 时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当⑥ 2a>|F1F2| 时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
1.双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点的坐标为 (
2 A. ,0 2 5 B. ,0 2 6 C. ,0 2
y 2 x2 4.若双曲线 - =1的离心率e∈(1,2),则m的取值范围为 5 m
.
答案 (0,15) 解析 ∵e= =
c a
5m 5m ,∴1< <2,即5<5+m<20,故0<m<15. 5 5

高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案(文,含解析)新人教A版

高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线学案(文,含解析)新人教A版

学习资料9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1。

双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的等于非零常数（小于｜F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P=｛M|||MF1｜—|MF2||=2a}，｜F1F2｜=2c，其中a>0,c>0，且a，c为常数。

（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线;(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线；(3）若a c,则点M不存在.2.标准方程(1）中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0);（2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质续表1.过双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b〉0）上一点M（x0,y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1。

2。

双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2,点P（x0，y0)为双曲线上任意一点，且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.3.若点P （x 0，y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1（a>0，b 〉0）内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2。

4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0，y 0）为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a>0,b 〉0）的弦AB (不平行y 轴）的中点，则k AB ·k OM =b 2a 2,即k AB =b 2x0a 2y 0。

5。

双曲线的焦半径公式 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a 〉0，b>0)的焦点为F 1(-c ，0),F 2(c ,0)，当点M （x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,｜MF 2｜=ex 0-a ;当点M （x 0,y 0）在双曲线左支上时,｜MF 1|=-ex 0-a ，｜MF 2｜=—ex 0+a.6。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6节 双曲线教学案(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册

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第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)假设a<c，那么集合P为双曲线；(2)假设a＝c，那么集合P为两条射线；(3)假设a>c，那么集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.4.假设渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b .6.假设P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，那么|PF 1|min ＝c ＋a ，|PF 2|min ＝c －a .7.焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，那么△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2. 诊 断 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，那么1e 21＋1e 22＝1.( )解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时那么表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(老教材选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案x 28－y 28＝1 3.(老教材选修2－1P61A1改编)双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，那么||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案 64.(2019·卷)双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，那么a ＝( )A.6B.4C.2D.12解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.答案 D5.(2019·全国Ⅲ卷)F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.假设|OP |＝|OF |，那么△OPF 的面积为( ) A.32B.52C.72D.92解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.答案 B6.(2019·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，那么该双曲线的渐近线方程是________.解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案 y ＝±2x考点一 双曲线的定义及应用[例1] (1)(2020·某某质检)x 2＋〔y －3〕2－x 2＋〔y ＋3〕2＝4表示的曲线方程为( ) A.x 24－y 25＝1(x ≤－2) B.x 24－y 25＝1(x ≥2) C.y 24－x 25＝1(y ≤－2) D.y 24－x 25＝1(y ≥2) (2)(2019·某某质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，那么当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8 B.10 C.4＋37D.3＋317解析 (1)x 2＋〔y －3〕2的几何意义为点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离，x 2＋〔y ＋3〕2的几何意义为点M (x ，y )到点F 2(0，－3)的距离，那么x 2＋〔y －3〕2－x 2＋〔y ＋3〕2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b2＝c 2－a 2＝5，那么x 2＋〔y －3〕2－x 2＋〔y ＋3〕2＝4表示的曲线方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)，应选C.(2)由得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，那么|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形〞中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.[训练1] (1)(2020·某某一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，那么|MN |＋|MF 2|的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2019·某某调研)圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由题意知2a ＝6，那么a ＝3，又由b a ＝13得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，那么F 1(－10，0).根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝〔10〕2＋〔－6〕2＋5＝9，当且仅当F 1，M ，N ，E 共线时取等号，应选B.(2)如下图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)B (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)考点二 双曲线的标准方程[例2] (1)(一题多解)(2020·东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 (2)(2019·某某二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么该双曲线的方程为( ) A.x 2－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1C.x 2－y 23＝1D.x 216－y 24＝1解析 (1)法一 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝± 3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将(2，1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，ba ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.法二 设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，将(2，1)代入方程可得，4m －n ＝1.①双曲线的渐近线方程为y ＝±m nx ， 圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1， 由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，可得21＋m n＝1，即m n＝3，②由①②可得m ＝311，n ＝111，所以该双曲线的标准方程为x 2113－y211＝1，应选A.(2)∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋〔2c －a 〕2－〔2c ＋a 〕24c 〔2c －a 〕＝c －2a2c －a ，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3〔2c －a 〕2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，应选A. 答案 (1)A (2)A规律方法 1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量〞，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).[训练2] (1)(2019·某某调研)“0<n <2〞是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，那么双曲线的方程为________________. 解析 (1)假设方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线，那么(n ＋1)·(n －3)<0，解得－1<n <3，那么0<n <2的X 围小于－1<n <3，所以“0<n <2〞是“方程x 2n ＋1＋y 2n －3＝1表示双曲线〞的充分不必要条件.应选A.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)A (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质 多维探究角度1 求双曲线的渐近线[例3－1] (2020·某某模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，假设|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，那么双曲线C 的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0B.2x ±7y ＝0C.3x ±2y ＝0D.2x ±3y ＝0解析 ∵F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝〔3a 〕2＋a 2－4c 22×3a ×a，∴3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，∴b 2a 2＝34，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，应选C.答案 C规律方法 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答. 角度2 求双曲线的离心率[例3－2] (2019·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.假设|PQ |＝|OF |，那么C 的离心率为( ) A.2B.3C.2 D. 5解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0).那么c ＝a 2＋b 2，如下图，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，那么|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.在Rt△OPM 中，|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca＝2，即e ＝ 2.答案 A规律方法 求双曲线离心率或其取值X 围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.角度3 双曲线几何性质的综合应用[例3－3] (1)M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，假设MF 1→·MF 2→<0，那么y 0的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233(2)(2019·某某模拟)F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，假设|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，那么S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. (2)如下图，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.应选B.答案 (1)A (2)B规律方法 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系. 2.与双曲线有关的取值X 围问题的解题思路(1)假设条件中存在不等关系，那么借助此关系直接变换转化求解.(2)假设条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.[训练3] (1)(角度1)(2019·某某模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，那么双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12x B.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x(2)(角度2)(2020·某某模拟)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么该双曲线离心率e 的取值X 围是( )A.(0，2)B.(1，3]C.[2，3)D.[3，＋∞)(3)(角度3)(2019·某某统一考试改编)F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，那么△PF 1F 2的面积为________. 解析 (1)因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . (2)由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，∴|PF 1|2|PF 2|＝〔2a ＋|PF 2|〕2|PF 2|＝4a 2＋|PF 2|2＋4a |PF 2||PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a2|PF 2|＋4a＝8a ，当且仅当|PF 2|＝4a 2|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时，等号成立.∵|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a . ∵点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，当且仅当P ，F 1，F 2三点共线且点P 为右顶点时等号成立，即6a ≥2c ，∴e ≤3，又∵e >1，∴e ∈(1，3]，应选B.(3)设P (x 0，y 0)，不妨设点P 在双曲线C 的过一、三象限的渐近线x －y ＝0上，因此可得x 0－y 0＝0.F 1(0，2)，F 2(0，－2)，所以|F 1F 2|＝22，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，又以F 1F 2为直径的圆经过点P ，所以x 20＋y 20＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，x 2＋y 20＝2得|x 0|＝1，于是S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|x 0|＝12×22×1＝ 2.答案 (1)B (2)B (3) 2A 级 基础巩固一、选择题1.(2018·某某卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22x D.y ＝±32x 解析 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 答案 A3.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，那么C的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析 由题意可得－b a＝tan 130°， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.应选D. 答案 D4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，那么点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A.2B.2 C.322D.2 2解析 法一 由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.答案 D5.方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值X 围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，应选A. 答案 A6.F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C7.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，那么|MO |－|MT |等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1解析 连接PF 2，OT ，那么有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，应选D. 答案 D8.(2020·某某模拟)双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，那么△APF 周长的最小值为( ) A.4＋2B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，那么F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝〔0＋6〕2＋〔2－0〕2＋〔6－0〕2＋〔0－2〕2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝〞，应选B. 答案 B 二、填空题9.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，那么双曲线方程为_________________________.解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20， 所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝1 10.(多填题)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，那么a ＝________；b ＝________.解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.答案 1 211.设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，假设曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，那么曲线C 2的标准方程为________________.解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，那么||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 答案x 216－y 29＝1 12.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，那么△AFB 的面积为________. 解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案3215B 级 能力提升13.(2020·某某雅礼中学模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，那么此双曲线的离心率e 的取值X 围是( ) A.(1，2] B.[2，＋∞) C.(1，2] D.[2，＋∞)解析 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，那么e ≥2，选B.14.(2020·某某模拟改编)双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交C 的左、右支于点A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，那么|AB |的值为________. 解析 由双曲线定义知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，由于|AF 1|＝|BF 1|，所以两式相加可得|AF 2|－|BF 2|＝4a ，而|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，∴|AB |＝4a ，由双曲线方程知a ＝4，∴|AB |＝16.答案 1615.(2020·某某联考)点P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F 1PF 2＝π3，那么b 1b 2的值是________.解析 不妨设P 是第一象限内的交点， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可知m ＋n ＝2a 1，① 由双曲线定义可知m －n ＝2a 2，② 由①②得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理的推论可得，cos ∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－〔2c 〕22mn ＝12，即m 2＋n 2－mn ＝4c 2，∴(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝4c 2， 即a 21＋3a 22＝4c 2，又知a 21－b 21＝c 2，a 22＋b 22＝c 2， ∴b 21＋c 2＋3(c 2－b 22)＝4c 2，∴b 21＝3b 22， 又知b 1>0，b 2>0，∴b 1b 2＝ 3.16.(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.假设F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，那么C 的离心率为________.解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图.所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝1tan∠AOF 1＝a b，tan∠BOF 2＝b a .因为tan∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案 2C 级 创新猜想17.(多填题)(2020·某某诊断改编)F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，那么△APF 周长的最小值为________，此时该三角形的面积为________.解析 设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1.由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0).当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋〔66〕2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小.由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如下图).|AF 1|＝|AF |＝15，故△APF 周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 32 12 6。

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆教案理解析版

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基础知识整合１．椭圆的概念在平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹（或集合）叫做错误!椭圆．这两定点叫做椭圆的错误!焦点，两焦点间的距离叫做错误!焦距．集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若错误!a>c，则集合P表示椭圆；（２）若错误!a＝c，则集合P表示线段；（３）若错误!a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质（１）设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上任意一点P（x，y），则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．（２）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a２＝b２＋c２．（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为错误!.（５）椭圆离心率e＝错误!.１．已知椭圆错误!＋错误!＝１，长轴在y轴上，若焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．7 Ｄ．8答案D解析椭圆焦点在y轴上，∴a２＝m—２，b２＝１0—m.又c＝２，∴m—２—（１0—m）＝c２＝４．∴m＝8．２．（２0１8·广西模拟）若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｃ．３．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则椭圆C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），所以错误!解得a２＝9，b２＝8．故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝１．４．（２0１9·西安模拟）已知点P（x１，y１）是椭圆错误!＋错误!＝１上的一点，F１，F２是其左、右焦点，当∠F１PF２最大时，△PF１F２的面积是（）Ａ．错误!Ｂ．１２Ｃ．１6（２＋错误!）Ｄ．１6（２—错误!）答案B解析∵椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，∴a＝５，b＝４，c＝错误!＝３，∴F１（—３,0），F２（３,0）．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F１PF２最大，此时△PF１F２的面积S＝错误!×２×３×４＝１２，故选Ｂ．５．椭圆３x２＋ky２＝３的一个焦点是（0，错误!），则k＝________.答案１解析方程３x２＋ky２＝３可化为x２＋错误!＝１．a２＝错误!>１＝b２，c２＝a２—b２＝错误!—１＝２，解得k＝１．6．设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F ２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为________．答案错误!解析设|PF２|＝x，∵PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２x，|F１F２|＝错误!x.又|PF１|＋|PF ２|＝２a，|F１F２|＝２c.∴２a＝３x,２c＝错误!x，∴C的离心率为e＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例１（１）（２0１8·湖北八校联考）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF１的中点在y轴上，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２．设线段PF１的中点为M，则有OM∥PF２，∵OM⊥F１F２，∴PF２⊥F１F２，∴|PF２|＝错误!＝错误!.又∵|PF１|＋|PF２|＝２a＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）设F１，F２分别是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点，|AF１|＝３|F１B|，且|AB|＝４，△ABF２的周长为１6．则|AF２|＝________.答案５解析由|AF１|＝３|F１B|，|AB|＝４，得|AF１|＝３．∵△ABF２的周长为１6，∴４a＝１6，∴a＝４．则|AF１|＋|AF２|＝２a＝8，∴|AF２|＝8—|AF１|＝8—３＝５．触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等.即时训练１．（２0１9·甘肃联考）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x２＋y２＝１0的一个交点，则||PA|—|PB||＝（）Ａ．２错误!Ｂ．４错误!Ｃ．４错误!Ｄ．6错误!答案C解析由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝２a＝４错误!，|PA|２＋|PB|２＝（２c）２＝４0，∴（|PA|＋|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２＋２|PA||PB|，解得２|PA||PB|＝8，∴（|PA|—|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２—２|PA||PB|＝３２，则||PA|—|PB||＝４错误!，故选Ｃ．２．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F１的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F２的对称点为B，则有|GF１|＝错误!|AN|，|GF２|＝错误!|BN|，所以|AN|＋|BN|＝２（|GF １|＋|GF２|）＝４a＝１２．考向二椭圆的标准方程例２（１）（２0１9·杭州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案A解析由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，∴c＝１，∴b２＝２，∴C的方程为错误!＋错误!＝１．选Ａ．（２）已知A错误!，B是圆：错误!２＋y２＝４（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x２＋错误!y２＝１解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝２．所以|PA|＋|PF|＝２且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝１，c＝错误!，b２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为x２＋错误!y２＝１．触类旁通求椭圆方程的常用方法（１）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．２待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx２＋ny２＝１m>0，n>0，m≠n，再用待定系数法求出m，n的值即可.即时训练３．（２0１9·青岛模拟）已知F１（—１,0），F２（１,0）是椭圆C的两个焦点，过F２且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝３，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案C解析如图，|AF２|＝错误!|AB|＝错误!，|F１F２|＝２，由椭圆定义，得|AF１|＝２a—错误!. １在Rt△AF１F２中，|AF１|２＝|AF２|２＋|F１F２|２＝错误!２＋２２．２由１２得a＝２，∴b２＝a２—c２＝３．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，应选Ｃ．４．设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，经过F１的直线交椭圆C于A，B两点，若△F２AB是面积为４错误!的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析l经过F１垂直于x轴，得yA＝错误!，在Rt△AF１F２中，∠AF２F１＝３0°，得错误!＝错误!×２c，错误!×２c×错误!＝４错误!，a２＝b２＋c２，解得a２＝9，b２＝6，c２＝３．所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１．考向三椭圆的几何性质例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的一个焦点为（２,0），则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意，可知c＝２，因为b２＝４，所以a２＝b２＋c２＝8，即a＝２错误!，所以椭圆C的离心率为e＝错误!＝错误!.故选Ｃ．率e的取值范围是________．答案错误!解析∵c２—b２＋ac<0，∴c２—（a２—c２）＋ac<0，即２c２—a２＋ac<0，∴２错误!—１＋错误! <0，即２e２＋e—１<0，解得—１<e<错误!.又∵0<e<１，∴0<e<错误!.∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练５．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF１⊥PF ２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１答案D解析在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，设|PF２|＝m，则２c＝|F１F２|＝２m，|PF １|＝错误!m，又由椭圆定义可知２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）m，则离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．6．（２0１9·江苏模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________．答案错误!解析由题意得A（—a,0），B（0，b），F（c,0），∵AB⊥BF，∴错误!·错误!＝0，∴（a，b）·（c，—b）＝ac—b２＝ac—a２＋c２＝0，∴e—１＋e２＝0，解得e＝错误!.考向四直线与椭圆的位置关系角度错误!弦的中点问题例４（２0１8·全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B两点．线段AB 的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上一点，且F错误!＋F错误!＋F错误!＝0．证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列，并求该数列的公差．解（１）证明：设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.１由题设得m< 错误!＝错误!，且m>0，即0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１,0）．设P（x３，y３），则由（１）及题设得（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0,0），x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|F错误!|＝错误!.于是|F错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|F错误!|＝２—错误!.所以|F错误!|＋|F错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|F错误!|＝|F错误!|＋|F错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．设该数列的公差为d，则２|d|＝||错误!|—|错误!||＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!.２将m＝错误!代入１得k＝—１．所以l的方程为y＝—x＋错误!，代入C的方程，并整理得7x２—１４x＋错误!＝0．故x１＋x２＝２，x１x２＝错误!，代入２解得|d|＝错误!.所以该数列的公差为错误!或—错误!.角度错误!弦长的问题例５（２0１9·陕西咸阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），且离心率e＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）直线l的斜率为错误!，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解（１）∵e２＝错误!＝错误!＝错误!，∴a２＝４b２．又椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），∴错误!＋错误!＝１，∴a２＝8，b２＝２．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设l的方程为y＝错误!x＋m，点A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!整理，得x２＋２mx ＋２m２—４＝0．∵Δ＝４m２—8m２＋１6>0，解得|m|<２．∴x１＋x２＝—２m，x１x２＝２m２—４．则|AB|＝错误!× 错误!＝错误!.点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!.∴S△PAB＝错误!d|AB|＝错误!×错误!×错误!＝错误!≤错误!＝２．当且仅当m２＝２，即m＝±错误!时取得最大值．触类旁通１解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.（３）直线与椭圆相交时常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式（直线与椭圆有两交点）中点弦或弦点差法（结果要检验Δ>0）的中点即时训练7．（２0１9·广西联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>１）的焦距为２，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为错误!，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D错误!，求k的值．解（１）由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为错误!.设椭圆的右焦点的坐标为（c,0），依题意知错误!又因为b>１，解得a＝２，b＝错误!，c＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意，过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k（x—１），将其代入错误!＋错误!＝１，得（３＋４k２）x２—8k２x＋４k２—１２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，所以y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为错误!.又因为直线PD的斜率为—错误!，所以直线PD的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，得x＝错误!，所以点D的坐标为错误!，则错误!＝错误!，解得k＝±１．8．（２0１9·云南昆明模拟）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0,１），离心率为错误!.（１）求椭圆E的方程；（２）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，求直线l的方程．解（１）设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由已知得错误!解得a２＝２，b２＝１，所以椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）由已知，直线l过左焦点F（—１,0）．当直线l与x轴垂直时，A错误!，B错误!，此时|AB|＝错误!，则S△OAB＝错误!×错误!×１＝错误!，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得（１＋２k２）x２＋４k２x＋２k２—２＝0，所以x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为S△OAB＝错误!|OF|·|y１—y２|＝错误!|y１—y２|，由已知S△OAB＝错误!得|y１—y２|＝错误!.因为y１＋y２＝k（x１＋１）＋k（x２＋１）＝k（x１＋x２）＋２k＝k· 错误!＋２k＝错误!，y１y２＝k（x１＋１）·k（x２＋１）＝k２（x１x２＋x１＋x２＋１）＝错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝错误!＝错误!，所以k４＋k２—２＝0，解得k＝±１，所以直线l的方程为x—y＋１＝0或x＋y＋１＝0．１．已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!答案C解析解法一：设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），所以错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.因为点P在椭圆上，所以0≤y 错误!≤１，所以当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．解法二：由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝２错误!求解．故选Ｃ．２．已知F是椭圆错误!＋错误!＝１的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１,１）是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２，F（—２,0）．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF′|＋6．当P，A，F′三点共线时，|PA|—|PF′|取到最大值|AF′|＝错误!，或者最小值—|AF′|＝—错误!.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.３．在椭圆错误!＋错误!＝１上求一点，使它到直线２x—３y＋１５＝0的距离最短．解设所求点坐标为A（３错误!cosθ，２错误!sinθ），θ∈R，由点到直线的距离公式得＝错误!，当θ＝２kπ＋错误!，k∈Z时，d取到最小值错误!，此时A点坐标为（—３,２）．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有３种解法：（１）利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e）；（２）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上）；（３）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练１．设P，Q分别为圆x２＋（y—6）２＝２和椭圆错误!＋y２＝１上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）Ａ．５错误!Ｂ．错误!＋错误!Ｃ．7＋错误!Ｄ．6错误!答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q（x，y），则圆心（0，6）到点Q的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤５错误!，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋错误!＝6错误!.解法二：易知圆心坐标为M（0,6），|PQ|的最大值为|MQ|max＋错误!，设Q（错误!cosθ，sinθ），则|MQ|＝错误!＝错误!当sinθ＝—错误!时，|MQ|max＝５错误!，所以|PQ|max＝５错误!＋错误!＝6错误!.故选Ｄ．２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．答案４解析设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝a２—c２＝３．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２．即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．。

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第九章平面解析几何创新引领微课盘点优化解析几何中的方略

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第九章平面解析几何创新引领微课盘点优化解析几何中的方略

姓名，年级：时间：盘点优化解析几何中的方略技法微点聚焦突破技法一巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量分析有机结合起来，可使解题计算量大为简化.【例1】如图，F1，F2是椭圆C1：错误!＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点。

若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ）A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析焦点F1（－错误!，0)，F2（错误!，0),在Rt△AF1F2中,|AF1｜＋|AF2｜＝4，①｜AF1｜2＋|AF2｜2＝12，②联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝2错误!，即2a ＝22，又2c＝2错误!，故双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!,故选D.答案D思维升华本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，｜AF2｜的等量关系，从而快速求出双曲线的实轴长,进而求出双曲线的离心率,大大减小了运算量.【训练1】抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点,若点A(－m，0)，则错误!的最小值为________.解析设点P的坐标为(x P，y P)，由抛物线的定义,知|PF|＝x P＋m,又｜PA｜2＝（x P＋m)2＋y错误!＝(x P＋m）2＋4mx P，则错误!错误!＝错误!＝错误!≥错误!＝错误! (当且仅当x P＝m时取等号)，所以错误!≥错误!,所以错误!的最小值为错误!。

答案错误!技法二设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程时，常常用代点法求解。

【例2】已知点A，B的坐标分别是(－1,0），（1，0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2。

(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N错误!的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.解(1）设M（x，y),因为k AM·k BM＝－2，所以错误!·错误!＝－2(x≠±1)，化简得2x2＋y2＝2（x≠±1），即为动点M的轨迹方程.(2）设C（x1，y1),D（x2,y2)。

高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 6 第6讲 双曲线教案 理-人教版高三全册数学教案

高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 6 第6讲 双曲线教案 理-人教版高三全册数学教案

第6讲双曲线1．双曲线的定义条件结论1结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．4．双曲线中一些常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)假设P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，那么|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，那么直线PA与PB的斜率之积为b2a2.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，那么S △PF1F2＝b2·1tanθ2，其中θ为∠F1PF2.判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，那么C的方程为( )A.x28－y210＝1 B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1 D.x24－y23＝1解析：选B.根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B.(教材习题改编)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为53，那么其渐近线方程为________．解析：法一：由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，解得b a ＝43，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.法二：由题意，得e ＝c a ＝53，即c ＝53a ，所以b 2＝c 2－a 2＝169a 2，所以b a ＝43，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.答案：4x ±3y ＝0(2016·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，那么a ＝________；b ＝________．解析：由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1. 答案：1 2双曲线的定义[典例引领](1)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△PF 1F 2的面积等于( ) A ．10 3 B ．8 3 C ．8 5D ．16 5(2)(2018·某某质检)△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么顶点C的轨迹方程是________．【解析】(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝12×8×62－⎝⎛⎭⎪⎫822＝8 5.(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)．【答案】(1)C (2)x29－y216＝1(x>3)假设本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4〞变为“PF1⊥PF2〞，其他条件不变，如何求解．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，那么⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝36，m2＋n2－2mn＝4，解得mn＝16，所以S△PF1F2＝12mn＝8.双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题“常数〞小于|F1F2|，否那么轨迹是线段或不存在．[通关练习]1．双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．假设|PF 1|＝43|PF 2|，那么△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12D ．6解析：选 B.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.2．(2018·某某某某调研)假设双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，那么|PF |＋|PA |的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12解析：选B.由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B ，那么B (4，0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋〔4－1〕2＋〔0－4〕2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|PA |的最小值为9.双曲线的标准方程[典例引领](1)(2017·高考某某卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，那么双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)假设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，那么双曲线的方程为________．【解析】 (1)由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，b a＝tan 60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)D (2)x 24－y 2＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；②假设双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③假设双曲线过两个点，那么双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．[通关练习]1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，那么双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：选A.由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，所以ba ＝2，即b 2＝4a 2.又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c ＝5，即a 2＋b 2＝25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2，a 2＋b 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选 B.法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.双曲线的几何性质 (高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线的离心率(或X 围)．[典例引领]角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长(2018·某某某某模拟)离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，假设S △OMF 2＝16，那么双曲线的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．84D ．4【解析】 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C B. 【答案】 B角度二 求双曲线的渐近线方程过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，假设∠ACB ＝120°，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 【解析】 如下图，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，那么C (－a ，0)，F (－c ，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，那么∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ， 所以b ＝c 2－a 2＝〔2a 〕2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .【答案】 A角度三 求双曲线的离心率(或X 围)(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)假设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，那么C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.233(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，假设双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，那么该双曲线的离心率的取值X 围是________．【解析】 (1)依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －aybx －ay＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2，选择A. (2)在△PF 1F 2中，由正弦定理知|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ，所以|PF 2||PF 1|＝ac ，所以P 在双曲线右支上，设P (x 0，y 0)，如图，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a2c －a .由双曲线几何性质知|PF 2|>c －a ，那么2a 2c －a >c －a ，即e 2－2e －1<0，所以1<e <1＋ 2.【答案】 (1)A (2)(1，1＋2)与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或X 围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[通关练习]1．(2018·某某市第三次调研考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，那么它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x解析：选A.由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，可得c 2a 2＝134，所以b 2a2＋1＝134，可得b a ＝32，故双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .选A. 2．(2018·某某市第二次质量预测)双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，那么两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1x 2a 2－y 2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a2y 2＝3〔1－a 2〕，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3〔1－a 2〕＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x212－y212＝1，离心率e＝ 2.答案： 2直线与双曲线的位置关系[典例引领]中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)假设直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值X围．【解】(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由得，a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36〔1－k2〕>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，解得33<k<1.x A x B＝－91－3k2>0，所以k的取值X围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1.在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值X围．解：由(2)得：x A＋x B＝62k1－3k2，所以y A＋y B＝(kx A＋2)＋(kx B＋2)＝k(x A＋x B)＋22＝221－3k2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.因为33<k <1，所以－2<1－3k 2<0.所以m <－2 2. 所以m 的取值X 围为(－∞，－22)．研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，利用方程解的个数确定；(2)假设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，那么|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.[提醒] 由方程法判断直线与双曲线位置关系时，应注意当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB 的长．解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33〔x －3〕，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635.双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点〞：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线〞：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形〞：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1〞为“0〞就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0.b >0)的两条渐近线方程． 易错防X(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ＞|F 1F 2|，那么轨迹不存在．(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．1．(2018·某某模拟)双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，那么双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，那么c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，应选A.2．(2018·某某某某模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .应选C.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，那么△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23D.32解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.应选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.应选D.4．(2018·某某市武昌区调研考试)F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，假设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，那么2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D. 3解析：选 A.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|－|PF 2|＝2a ′，2a ＝2a ′＋4c ，所以2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝〞，应选A. 5．(2018·某某某某模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，假设BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，那么双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 解析：选D.不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， 所以a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，应选D.6．双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，那么n ＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 答案：57．(2018·某某某某模拟)设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，假设△AMN 的面积为12c 2，那么该双曲线的离心率为________．解析：设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，根据矩形的性质，得|MO |＝|OF 1|＝|OF 2|＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＝c 2，那么x ＝a ，所以M (a ，b )．因为△AMN 的面积为12c 2，所以2×12·a ·b ＝12c 2，所以4a 2(c 2－a 2)＝c 4，所以e 4－4e 2＋4＝0，所以e ＝ 2. 答案： 28．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，假设△PF 1F 2的面积为12，那么∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，那么△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝⎛⎭⎪⎫51313，121313，那么PF 1→＝(－181313，－121313)，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2.答案：π29．椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，那么tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.1．(2018·某某市质量检测(二))过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，那么|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：选 B.由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|B. 2．(2018·某某模拟)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，那么S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点． (1)求双曲线的方程；(2)假设△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意，b ＝3，c a ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －2〕，x 2－y23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4〔k 2－3〕〔4k 2＋3〕|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，那么kl 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.4．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，A (1，0)，假设DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ， 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，所以m ＝0(舍)或m ＝2， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，因为DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，所以AD ⊥AB ，所以过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， 因为点M 的横坐标为1，所以MA ⊥x 轴， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．。

【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第6节双曲线课件

【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第6节双曲线课件
(1)当 2a<|F1F2|
时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当
2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当
2a>|F1F2|
时,点P不存在.
微点拨若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
,两焦
微思考若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,
则点的集合是双曲线的哪一支?
第九章
第六节 双曲线
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲
线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和
标准方程,以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习,进一步体会数
形结合的思想.
衍生考点
核心素养
1.直观想象
1.双曲线的定义及应用
0
=1.
2

F1,F2,点 P(x0,y0)为双曲线
上任意一点,且不与点 F1,F2 共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为
2

tan
2
2
3.若点 P(x0,y0)在双曲线 2 −

0
0
02
02
方程为 2 − 2 = 2 − 2 .




2
=1(a>0,b>0)内,则被点
(1)定义:实轴和虚轴的长相等的双曲线叫做等轴双曲线;
(2)性质:①两渐近线垂直且方程为y=±x,②离心率为e=
2.
常用结论
2
1.过双曲线 2

高考数学一轮复习 第九章解析几何9.6双曲线教学案 理 新人教A版

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9.6 双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点顶点坐标： A 1____，A 2____ 顶点坐标： A 1____，A 2____渐近线 y ＝____y ＝____离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的______，它的长|A 1A 2|＝______；线段B 1B 2叫做双曲线的______，它的长|B 1B 2|＝____；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)1．双曲线x216－y29＝1的焦距为( )．A ．10B ．7C ．27D ．52．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．483．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．14．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )．A ． 5B ．5C ． 2D ．25．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．一、双曲线的定义及应用【例1－1】已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】△PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△PF 1F 2的面积S .方法提炼1．求点的轨迹方程时，首先要根据给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法可以减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．请做演练巩固提升4二、求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 请做演练巩固提升2三、双曲线的几何性质【例3】(2012重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________.方法提炼根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做演练巩固提升1莫忽略对轨迹中x 范围的界定【典例】(12分)(2012四川高考)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m ＞0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 规范解答：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，(3分)化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48＞0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1.(6分)结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |＜|PR |，所以|x Q |＜|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m2＋121＋3m2－1＝1＋221＋3m2－1.(9分)此时1＋3m2＞1，且1＋3m2≠2，所以1＜1＋221＋3m 2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1＜|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＜3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.(11分)综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.(12分) 答题指导：(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±abx .(4)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．1．(2012浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )．A ．3B ．2C ． 3D ． 22．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1 C ．x 23－y 26＝1 D ．x 26－y 23＝1 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )．A ．2B ．4C ．6D ．84．(2012天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝__________，b ＝__________.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b a x ±a bx 实轴 2a 虚轴 2b a b 基础自测1．A 解析：∵c 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5,2c ＝10.2．C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2是直角三角形．∴S ＝12×6×8＝24.3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，所以a ＝23b ＝23×3＝2.4．A 解析：焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bca 2＋b 2＝2a ，则b ＝2a . 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴离心率e ＝c a＝ 5.5．y ＝±2x 解析：∵焦点坐标为(－3，0)， ∴a ＞0且a ＋2＝3，∴a ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，渐近线方程为y ＝±2x .考点探究突破【例1－1】解：设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)． 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |. 所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上． 所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 【例1－2】解：设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1 ＝－2b 2|PF 1||PF 2|＋1， ∴|PF 1||PF 2|＝2b21－cos θ.在△F 1PF 2中，由正弦定理，得12F PF S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝sin θ1－cos θ·b 2. 【例2】解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1， 将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【例3】324 解析：因为F 1为左焦点，PF 1垂直于x 轴，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－bc 3a .又因为P 点为直线与双曲线的交点，所以c 2a 2－b 2c 29a 2b 2＝1，即89e 2＝1，所以e ＝324.演练巩固提升1．B 解析：由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍，即a 1＝2a 2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为c a 2c a 1＝a 1a 2＝2.2．A 解析：由题意得，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay＝0.又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b2＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为x 25－y 24＝1.3．B 解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线的定义得： |PF 1|－|PF 2|＝2.两边平方得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4.① 在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，② 由①②可解得|PF 1||PF 2|＝4.4．1 2 解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴b a＝2.又C 1的右焦点为F (5，0)，∴c ＝5，即a 2＋b 2＝5. ∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2.5．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2. 同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。

2020届高考数学一轮第九单元解析几何第讲双曲线理新人教A版

2020届高考数学一轮第九单元解析几何第讲双曲线理新人教A版
所以|PC|＝|PA|＋2，
即|PC|－|PA|＝2，
因为0<|PC|－|PA|<|AC|，
所以由双曲线的定义，知点P
的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴
长的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3， 所以b2＝c2－a2＝9－1＝8. 故所求的轨迹方程为x2－y82＝1(x≤－1)． 答案：x2－y82＝1(x≤－1)
x2 4
＋
y2 3
＝1的左、右焦点，平面内
一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解：对于椭圆有c2＝a2－b2＝4－3＝1，
所以椭圆的左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)， 因为|MF1|－|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以M点的轨迹为一条射线． 答案：D
10
2．(2018·浙江卷)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2，0)，(2，0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0，2) 解：因为双曲线方程为x32－y2＝1， 所以 a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3＋1＝2， 即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
37
解：(方法 1)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线， 垂足为 P′，连接 P′F2，
由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3.

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何曲线与方程教案理解析版

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基础知识整合１．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（１）曲线上点的坐标都是错误!这个方程的解；（２）以这个方程的解为坐标的点都在错误!曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．２．曲线的交点设曲线C１的方程为F１（x，y）＝0，曲线C２的方程为F２（x，y）＝0，则C１，C２的交点坐标即为方程组错误!的错误!实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．３．求动点的轨迹方程的一般步骤（１）建系——建立适当的坐标系；（２）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；（３）列式——列出动点P所满足的关系式；（４）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；（５）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．１．“曲线C是方程f（x，y）＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”的充分不必要条件．２．求轨迹问题常用的数学思想（１）函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件（性质）表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．（２）数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．（３）等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．１．（２0１9·云南质量检测）已知M（—２,0），N（２,0），则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为（）Ａ．x２＋y２＝２Ｂ．x２＋y２＝４Ｃ．x２＋y２＝２（x≠±错误!）Ｄ．x２＋y２＝４（x≠±２）答案D解析MN的中点为原点O，易知|OP|＝错误!|MN|＝２，∴P的轨迹是以原点O为圆心，２为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x２＋y２＝４（x≠±２），故选Ｄ．２．（２0１9·金华模拟）已知点P是直线２x—y＋３＝0上的一个动点，定点M（—１,２），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是（）Ａ．２x＋y＋１＝0 Ｂ．２x—y—５＝0Ｃ．２x—y—１＝0 Ｄ．２x—y＋５＝0答案D解析设Q（x，y），则P为（—２—x,４—y），代入２x—y＋３＝0，得Q点的轨迹方程为２x—y＋５＝0．３．已知平面内有一条线段AB，其长度为４，动点P满足|PA|—|PB|＝３，O为AB的中点，则|OP|的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．３答案B解析以AB中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线c＝２，a＝１．５，∴|OP|min ＝a＝１．５．４．已知圆的方程为x２＋y２＝４，若抛物线过点A（—１,0），B（１,0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．答案错误!＋错误!＝１（y≠0）解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA１，BB１，OO１，则|AA１|＋|BB１|＝２|OO １|＝４，由抛物线定义得|AA１|＋|BB１|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝４，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为４的椭圆（去掉长轴两端点），所以抛物线的焦点轨迹方程为错误!＋错误!＝１（y≠0）．５．（２0１9·人大附中模拟）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，—４），以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________．答案x２＝４y解析由题意可得OP⊥OM，所以错误!·错误!＝0，所以（x，y）·（x，—４）＝0，即x２—４y＝0，所以动点P的轨迹方程为x２＝４y.6．（２0１9·武汉模拟）如图，设P是圆x２＋y２＝２５上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD 上一点，且|MD|＝错误!|PD|.当P在圆上运动时，点M的轨迹C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（xP，yP），由已知得错误!因为P在圆上，所以x２＋错误!２＝２５，即轨迹C的方程为错误!＋错误!＝１．核心考向突破考向一定义法求轨迹例１（２0１9·大庆模拟）已知圆C１：（x＋３）２＋y２＝１和圆C２：（x—３）２＋y２＝9，动圆M 同时与圆C１及圆C２相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解如图所示，设动圆M与圆C１及圆C２分别外切于点A和点B，则有|MC１|—|AC１|＝|MA|，|MC ２|—|BC２|＝|MB|.又|MA|＝|MB|，所以|MC２|—|MC１|＝|BC２|—|AC１|＝３—１＝２，即动点M到两定点C２，C１的距离的差是常数２，且２<|C１C２|＝6，|MC２|>|MC１|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C２，C１为焦点的双曲线的左支，则２a＝２，所以a＝１．又c＝３，则b２＝c２—a２＝8．设动圆圆心M的坐标为（x，y），则动圆圆心M的轨迹方程为x２—错误!＝１（x≤—１）．触类旁通定义法求轨迹方程及其注意点（１）在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．２利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.即时训练１．（２0１9·福建模拟）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0,１）的距离比它到x轴的距离大１，记点P的轨迹为曲线Ｃ．（１）求点P的轨迹方程；（２）设圆M过点A（0,２），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？解（１）依题意知，动点P到定点F（0,１）的距离等于P到直线y＝—１的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0,１）为焦点的抛物线．∵错误!＝１，∴p＝２，∴曲线C的方程是x２＝４y.（２）设圆的圆心为M（a，b），∵圆M过点A（0,２），∴圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝a２＋（b—２）２．令y＝0得x２—２ax＋４b—４＝0．设圆M与x轴的两交点分别为E（x１，0），G（x ２,0），不妨设x１>x２，由求根公式得x１＝错误!，x２＝错误!，∴x１—x２＝错误!.又∵点M（a，b）在抛物线x２＝４y上，∴a２＝４b，∴x１—x２＝错误!＝４，即|EG|＝４，∴当M运动时，弦长|EG|为定值４．考向二直接法求轨迹方程角度１利用动点满足的关系式求轨迹例２在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，—１），B点在直线y＝—３上，M点满足错误!∥错误!，错误!·错误!＝错误!·错误!，M点的轨迹为曲线Ｃ．（１）求曲线C的方程；（２）P为曲线C上的动点，l为曲线C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．解（１）设M（x，y）．由已知得B（x，—３），又A（0，—１），所以错误!＝（—x，—１—y），错误!＝（0，—３—y），错误!＝（x，—２）．再由题意可知（错误!＋错误!）·错误!＝0，即（—x，—４—２y）·（x，—２）＝0，所以曲线C的方程为y＝错误!x２—２．（２）设P（x0，y0）为曲线C：y＝错误!x２—２上一点，因为y′＝错误!x，所以l的斜率为错误!x0，因此直线l的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），即x0x—２y＋２y0—x错误!＝0，所以O点到l的距离d＝错误!.又y0＝错误!x错误!—２，所以d＝错误!＝错误!错误!≥２，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为２．角度２无明确等量关系求轨迹方程例３已知动圆过定点A（４,0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（１）求动圆圆心的轨迹C的方程；（２）已知点B（—１,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的平分线，证明直线l过定点．解（１）如图，设动圆圆心为O１（x，y），由题意得|O１A|＝|O１M|，当O１不在y轴上时，过O１作O１H⊥MN交MN于点H，则点H是MN的中点，∴|O１M|＝错误!，又|O１A|＝错误!，∴错误!＝错误!，化简得y２＝8x（x≠0）．又当O１在y轴上时，O１与O重合，点O１的坐标为（0,0）也满足方程y２＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y２＝8x.（２）证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x１，y１），Q（x２，y２），将y＝kx＋b代入y２＝8x中，得k２x２＋（２bk—8）x＋b２＝0．其中Δ＝—３２kb＋6４>0．由根与系数的关系，得x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!，２∵x轴是∠PBQ的平分线，所以错误!＝—错误!，即y１（x２＋１）＋y２（x１＋１）＝0，（kx１＋b）（x２＋１）＋（kx２＋b）（x１＋１）＝0，２kx１x２＋（b＋k）（x１＋x２）＋２b＝0，３将１２代入３，得２kb２＋（k＋b）（8—２bk）＋２k２b＝0，∴k＝—b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k（x—１），即直线l过定点（１,0）．触类旁通直接法求轨迹方程应注意的问题直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．即时训练２．已知|AB|＝２，动点P满足|PA|＝２|PB|，求动点P的轨迹方程．解如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（—１,0），B（１,0）．设P（x，y），因为|PA|＝２|PB|，所以错误!＝２错误!，整理得x２＋y２—错误!x＋１＝0，即错误!２＋y２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为错误!２＋y２＝错误!.３．如图，过点P（２,４）作两条互相垂直的直线l１，l２，若l１交x轴非负半轴于A点，l２交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解设点M坐标为（x，y）．因为M（x，y）为线段AB的中点，所以点A，B的坐标分别为A（２x,0），B（0,２y）．当x≠１时，因为l１⊥l２，且l１，l２过点P（２,４），所以kPA·kPB＝—１，即错误!·错误!＝—１（x≠１），化简得x＋２y—５＝0（x≠１）．当x＝１时，A，B分别为（２,0），（0,４），所以线段AB的中点为（１,２），满足方程x＋２y—５＝0（x≥0，y≥0）．综上得M的轨迹方程为x＋２y—５＝0（x≥0，y≥0）．考向三代入法求轨迹方程例４（２0１7·全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y２＝１上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（１）求点P的轨迹方程；（２）设点Q在直线x＝—３上，且错误!·错误!＝１．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解（１）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0,0），错误!＝（x—x0，y），错误!＝（0，y0）．由错误!＝错误!错误!得x0＝x，y0＝错误!y.因为点M（x0，y0）在C上，所以错误!＋错误!＝１．因此点P的轨迹方程为x２＋y２＝２．（２）证明：由题意知F（—１,0）．设Q（—３，t），P（m，n），则错误!＝（—３，t），错误!＝（—１—m，—n），错误!·错误!＝３＋３m—tn，错误!＝（m，n），错误!＝（—３—m，t—n）．由错误!·错误!＝１得—３m—m２＋tn—n２＝１，又由（１）知m２＋n２＝２，故３＋３m—tn＝0．所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.触类旁通代入法求轨迹方程的四个步骤（１）设出所求动点坐标P（x，y）．错误!错误!错误!即时训练４．（２0１9·安徽合肥调研检测）已知M为椭圆C：错误!＋错误!＝１上的动点，过点M作x 轴的垂线，垂足为D，点P满足错误!＝错误!错误!.（１）求动点P的轨迹E的方程；（２）若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求错误!的取值范围．解（１）设P（x，y），M（m，n），依题意知D（m,0），且y≠0．由错误!＝错误!错误!，得（m—x，—y）＝错误!（0，—n），则有错误!⇒错误!又M（m，n）为椭圆C：错误!＋错误!＝１上的点，∴错误!＋错误!＝１，即x２＋y２＝２５，故动点P的轨迹E的方程为x２＋y２＝２５（y≠0）．（２）依题意知A（—５,0），B（５,0），F（—４,0），设Q（x0，y0），∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为kPB，则kPA＝—错误!，错误!＝错误!＝—kQFkPB＝—kQFkQB＝—错误!·错误!＝—错误!＝—错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴—５<x0<５且x0≠—４，又y＝错误!在（—５，—４）和（—４,５）上都是减函数，∴错误!错误!∈（—∞，0）∪错误!，故错误!的取值范围是（—∞，0）∪错误!.考向四参数法求轨迹方程例５（２0１9·湖北武汉模拟）在平面直角坐标系xOy中取两个定点A１（—错误!，0），A２（错误!，0），再取两个动点N１（0，m），N２（0，n），且mn＝２．（１）求直线A１N１与A２N２的交点M的轨迹C的方程；（２）过R（３,0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F 为轨迹C的右焦点，若错误!＝λ错误!（λ>１），求证：错误!＝λ错误!.解（１）依题意知，直线A１N１的方程为y＝错误!（x＋错误!），１直线A２N２的方程为y＝—错误!（x—错误!），２设M（x，y）是直线A１N１与A２N２的交点，１×２得y２＝—错误!（x２—6），又mn＝２，整理得错误!＋错误!＝１．故点M的轨迹C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设过点R的直线l：x＝ty＋３，P（x１，y１），Q（x２，y２），则N（x１，—y１），由错误!消去x，得（t２＋３）y２＋6ty＋３＝0，（*）所以y１＋y２＝—错误!，y１y２＝错误!.由错误!＝λ错误!，得（x１—３，y１）＝λ（x２—３，y２），故x１—３＝λ（x２—３），y１＝λy２，由（１）得F（２,0），要证错误!＝λ错误!，即证（２—x１，y１）＝λ（x２—２，y２），只需证２—x１＝λ（x２—２），y１＝λy２，只需错误!＝—错误!，即证２x１x２—５（x１＋x２）＋１２＝0，又x１x２＝（ty１＋３）（ty２＋３）＝t２y１y２＋３t（y１＋y２）＋9，x１＋x２＝ty１＋３＋ty２＋３＝t（y１＋y２）＋6，所以２t２y１y２＋6t（y１＋y２）＋１8—５t（y１＋y２）—３0＋１２＝0，即２t２y１y２＋t（y１＋y２）＝0，而２t２y１y２＋t（y１＋y２）＝２t２·错误!—t·错误!＝0成立，即证．触类旁通参数法求轨迹方程的步骤（１）选取参数k，用k表示动点M的坐标．错误!错误!错误!即时训练５．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，上、下顶点分别是B１，B２，C是线段B１F２的中点，若错误!·错误!＝２，且错误!⊥错误!.（１）若点Q是椭圆上任意一点，A（9,6），求|QA|—|QF１|的最小值；（２）若点M，N是椭圆上的两个动点，M，N两点处的切线相交于点P，当错误!·错误!＝0时，求点P 的轨迹方程．解（１）由题意得F１（—c,0），F２（c,0），B１（0，b），则C错误!，由错误!得错误!即错误!解得错误!从而a２＝４，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．由椭圆的定义得|QF１|＋|QF２|＝４，所以|QA|—|QF１|＝|QA|—（４—|QF２|）＝|QA|＋|QF２|—４，而|QA|＋|QF２|≥|AF２|＝错误!＝１0，所以|QA|—|QF１|的最小值为6．（２）设P（x0，y0），１当PM⊥x轴，或PN⊥x轴时，可知P（２，错误!）或P（２，—错误!）或P（—２，错误!）或P（—２，—错误!）．２当PM与x轴不垂直且不平行时，x0≠±２，设直线PM的斜率为k，则k≠0，PN的斜率为—错误!，直线PM的方程为y—y0＝k（x—x0），由错误!得（３＋４k２）x２＋8k（y0—kx0）x＋４（y0—kx0）２—１２＝0．因为直线PM与椭圆相切，所以Δ＝0，即４k２（y0—kx0）２—（３＋４k２）[（y0—kx0）２—３]＝0，即（x错误!—４）k２—２x0y0k＋y错误!—３＝0，所以k是方程（x错误!—４）k２—２x0y0k＋y错误!—３＝0的一个根，同理—错误!是方程（x错误!—４）k２—２x0y0k＋y错误!—３＝0的另一个根，所以k·错误!＝错误!，即x错误!＋y错误!＝7，其中x0≠±２，所以点P的轨迹方程为x２＋y２＝7（x≠±２）．P（２，错误!）或P（２，—错误!）或P（—２，错误!）或P（—２，—错误!）满足上式，综上，点P 的轨迹方程为x２＋y２＝7．。

2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案(理)(含解析)新人教A版

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第6讲 双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，M 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，M 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，M 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质续表a ，b ，c 的关系,□19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a.(5)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2.1．(2018·浙江高考)双曲线x23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)答案 B解析 因为双曲线方程为x 23－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，c ＝2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B.2．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.3．(2019·湖北模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵点P (2,1)在曲线C 的渐近线y ＝b a x 上，∴1＝2b a ，∴a ＝2b .又∵a 2＋b 2＝102＝5，即4b 2＋b 2＝25，∴b 2＝5，a 2＝20，故选A.5．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.答案 4解析 在双曲线中，c ＝a 2＋b 2＝a 2＋4，且e ＝c a ＝52，∴a 2＋4a ＝52，a 2＋4a 2＝54，a 2＝16，∵a >0，∴a ＝4.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题可知双曲线焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b ax ，又一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，∴b a＝2，即b ＝2a .又∵该双曲线的一个焦点为(5，0)，∴c ＝ 5.由a 2＋b 2＝c 2可得a 2＋(2a )2＝5，解得a ＝1，b ＝2.核心考向突破考向一 双曲线的定义例1 (1)(2019·山西模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C.(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16答案 C解析 设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.故选C.触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.即时训练 1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24答案 B解析 由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22，① |BF 2|－|BF 1|＝22，② ①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.考向二 双曲线的标准方程例2 (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 答案 B解析 由题意可得c a＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)，则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c，化简即得y ＝4cx ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝b ax 平行，则4c ＝ba，即4a ＝bc .故⎩⎨⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1.故选B.触类旁通即时训练 3.(2019·西安模拟)已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 答案 A解析 依题意，双曲线的渐近线为y ＝2x ，故b a＝2①；在直线y ＝2x ＋10中，令y ＝0，故x ＝－5，所以a 2＋b 2＝25②.联立①②，解得a 2＝5，b 2＝20.4．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 C解析 设双曲线的右焦点坐标为F (c,0)(c >0)，则x A ＝x B ＝c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1可得，y ＝±b 2a，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，据此可得，d 1＝|bc －b 2|a 2＋b2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b2＝bc ＋b 2c ，则d 1＋d 2＝2bc c ＝2b ＝6，则b ＝3，b 2＝9，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2＝1＋9a 2＝2，据此可得，a 2＝3，则双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 考向三 双曲线的几何性质角度1 双曲线离心率问题例3 (1)(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是___． 答案 2解析 因为双曲线的焦点F (c,0)到渐近线y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0的距离为|bc ±0|a 2＋b 2＝bcc＝b ，所以b ＝32c ，因此a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝14c 2，a ＝12c ，e ＝2. (2)(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练 5.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.33答案 B解析 如图所示，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，∴MF 1＝2c cos30°＝433c ，MF 2＝2c ·tan30°＝233c ，∴2a ＝MF 1－MF 2＝433c －233c ＝233c ⇒e ＝ca＝ 3.6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e－1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D.角度2 双曲线的渐近线问题例4 (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案 A解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴ba＝ 2.因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.(2)(2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52C. 3D ．2答案 A解析 依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±ab x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa＝ 5.触类旁通即时训练 7.(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2答案 D解析 因为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝1，所以双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以点(4,0)到渐近线的距离d ＝41＋1＝2 2.故选D. 8．(2019·河北武邑中学模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与x 轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.53 C.132D.133答案 D解析 设A (x 0，y 0)，由题意，得x 0＝c ，代入渐近线方程y ＝b a x 中，得y 0＝bc a ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，则12×2bc a ×c ＝13bc 3.整理，得ca ＝133，即双曲线的离心率为133.故选D. 考向四 直线与双曲线的位置关系例5 已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b2＝1. 不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，∴b ＝1，a 2＝2，∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0.∴x 1＋x 2＝－4km 2k 2－1，① x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.② ∵PA →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0，∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0.而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立，∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是： 1设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 2利用点差法.即时训练 9.设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值． 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， 所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此得x 1＝512x 2. 由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.。

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基础知识整合１．双曲线的概念平面内与两个定点F１，F２（|F１F２|＝２c>0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F１F２|且不等于零）的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0：（１）当错误!a<c时，M点的轨迹是双曲线；（２）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（３）当错误!a>c时，M点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质续表a，b，c的关系,错误!c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）双曲线中的几个常用结论（１）焦点到渐近线的距离为Ｂ．（２）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（３）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．（４）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（５）双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!.１．（２0１8·浙江高考）双曲线错误!—y２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｂ．（—２,0），（２,0）Ｃ．（0，—错误!），（0，错误!）Ｄ．（0，—２），（0,２）答案B解析因为双曲线方程为错误!—y２＝１，所以焦点坐标可设为（±c,0），因为c２＝a２＋b２＝３＋１＝４，c＝２，所以焦点坐标为（±２,0），选Ｂ．２．（２0１9·宁夏模拟）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线的左、右焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于（）Ａ．１Ｂ．１7Ｃ．１或１7 Ｄ．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF１|—|PF２||＝8⇒|PF２|＝１或１7．又|PF２|≥c—a＝２，故|PF２|＝１7，故选Ｂ．３．（２0１9·湖北模拟）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，点（３，—４）在渐近线上，∴错误!＝错误!，又a２＋b２＝c２，∴c２＝a２＋错误!a２＝错误!a２，∴e＝错误!＝错误!.故选Ｄ．４．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C 的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析∵点P（２,１）在曲线C的渐近线y＝错误!x上，∴１＝错误!，∴a＝２Ｂ．又∵错误!＝错误!＝５，即４b２＋b２＝２５，∴b２＝５，a２＝２0，故选Ａ．５．（２0１8·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0）的离心率为错误!，则a＝________.答案４解析在双曲线中，c＝错误!＝错误!，且e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，a２＝１6，∵a>0，∴a＝４．6．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线为２x＋y＝0，一个焦点为（错误!，0），则a＝________；b＝________.答案１２解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±错误!x，又一条渐近线为２x＋y＝0，即y＝—２x，∴错误!＝２，即b＝２a.又∵该双曲线的一个焦点为（错误!，0），∴c＝错误!.由a２＋b２＝c２可得a２＋（２a）２＝５，解得a＝１，b＝２．核心考向突破考向一双曲线的定义例１（１）（２0１9·山西模拟）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0）的一条渐近线方程为２x＋３y＝0，F１，F２分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF１|＝２，则|PF２|＝（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１0答案C解析由题意得错误!＝错误!，解得a＝３．因为|PF１|＝２，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF２|—|PF １|＝２a，解得|PF２|＝8．故选Ｃ．（２）（２0１9·河南濮阳模拟）已知双曲线x２—y２＝４，F１是左焦点，P１，P２是右支上的两个动点，则|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１6答案C解析设双曲线的右焦点为F２，∵|F１P１|＝２a＋|F２P１|，|F１P２|＝２a＋|F２P２|，∴|F１P１|＋|F １P２|—|P１P２|＝２a＋|F２P１|＋２a＋|F２P２|—|P１P２|＝8＋（|F２P１|＋|F２P２|—|P１P２|）≥8（当且仅当P１，P２，F２三点共线时，取等号），∴|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是8．故选Ｃ．触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立与|PF１|·|PF２|的联系.即时训练１．虚轴长为２，离心率e＝３的双曲线的两焦点为F１，F２，过F１作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF２的周长为（）Ａ．３Ｂ．１6＋错误!Ｃ．１２＋错误!Ｄ．２４答案B解析由于２b＝２，e＝错误!＝３，∴b＝１，c＝３a，∴9a２＝a２＋１，∴a＝错误!.由双曲线的定义知，|AF２|—|AF１|＝２a＝错误!，１|BF２|—|BF１|＝错误!，２１＋２得|AF２|＋|BF２|—（|AF１|＋|BF１|）＝错误!，又|AF１|＋|BF１|＝|AB|＝8，∴|AF２|＋|BF２|＝8＋错误!，则△ABF２的周长为１6＋错误!，故选Ｂ．２．已知F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，A（１,４），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析设双曲线的右焦点为F１，则由双曲线的定义，可知|PF|＝４＋|PF１|，所以当|PF１|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F１共线时，满足|PF１|＋|PA|最小，|AF１|即|PF １|＋|PA|的最小值．又|AF１|＝５，故所求的最小值为9．考向二双曲线的标准方程例２（１）（２0１7·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由y＝错误!x可得错误!＝错误!.１由椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（３,0），（—３,0），可得a２＋b２＝9．２由１２可得a２＝４，b２＝５．所以C的方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为错误!.若经过F和P（0,４）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由题意可得错误!＝错误!，即c＝错误!Ａ．又左焦点F（—c,0），P（0,４），则直线PF的方程为错误!＝错误!，化简即得y＝错误!x＋４．结合已知条件和图象易知直线PF与y＝错误!x平行，则错误!＝错误!，即４a＝bＣ．故错误!解得错误!故双曲线方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．触类旁通即时训练３．（２0１9·西安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线平行于直线l：y＝２x＋１0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析依题意，双曲线的渐近线为y＝２x，故错误!＝２１；在直线y＝２x＋１0中，令y＝0，故x＝—５，所以a２＋b２＝２５２.联立１２，解得a２＝５，b２＝２0．４．（２0１8·天津高考）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d１和d２，且d１＋d２＝6，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案C解析设双曲线的右焦点坐标为F（c,0）（c>0），则xA＝xB＝c，由错误!—错误!＝１可得，y＝±错误!，不妨设A错误!，B错误!，双曲线的一条渐近线方程为bx—ay＝0，据此可得，d１＝错误!＝错误!，d２＝错误!＝错误!，则d１＋d２＝错误!＝２b＝6，则b＝３，b２＝9，双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝２，据此可得，a２＝３，则双曲线的方程为错误!—错误!＝１．考向三双曲线的几何性质角度错误!双曲线离心率问题例３（１）（２0１8·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为错误!c，则其离心率的值是___．答案２解析因为双曲线的焦点F（c,0）到渐近线y＝±错误!x，即bx±ay＝0的距离为错误!＝错误!＝b，所以b＝错误!c，因此a２＝c２—b２＝c２—错误!c２＝错误!c２，a＝错误!c，e＝２．（２）（２0１6·山东高考）已知双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且２|AB|＝３|BC|，则E的离心率是________．答案２解析由已知得|AB|＝|CD|＝错误!，|BC|＝|AD|＝|F１F２|＝２c.因为２|AB|＝３|BC|，所以错误!＝6c，又b２＝c２—a２，所以２e２—３e—２＝0，解得e＝２，或e＝—错误!（舍去）．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b２＝c２—a２和e＝错误!转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练５．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F１，F２，过F１作倾斜角为３0°的直线交双曲线右支于M点，若MF２⊥x轴，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析如图所示，在Rt△MF１F２中，∠MF１F２＝３0°，F１F２＝２c，∴MF１＝错误!＝错误!c，MF２＝２c·tan３0°＝错误!c，∴２a＝MF１—MF２＝错误!c—错误!c＝错误!c⇒e＝错误!＝错误!.6．已知点F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F１且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF２是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，２错误!）Ｃ．（１＋错误!，＋∞）Ｄ．（１,１＋错误!）答案D解析依题意，0<∠AF２F１<错误!，故0<tan∠AF２F１<１，则错误!＝错误!<１，即e—错误!<２，e ２—２e—１<0，（e—１）２<２，所以１<e<１＋错误!，故选Ｄ．角度错误!双曲线的渐近线问题例４（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!x Ｂ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!x Ｄ．y＝±错误!x答案A解析∵e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝３—１＝２，∴错误!＝错误!.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ａ．（２）（２0１9·深圳调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x—２y＝0，则它的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２答案A解析依题意设双曲线的方程是错误!—错误!＝１（其中a>0，b>0），则其渐近线方程是y＝±错误!x，由题知错误!＝错误!，即b＝２a，因此其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.触类旁通即时训练7．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则点（４,0）到C的渐近线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案D解析因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝１，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以点（４,0）到渐近线的距离d＝错误!＝２错误!.故选Ｄ．8．（２0１9·河北武邑中学模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析设A（x0，y0），由题意，得x0＝c，代入渐近线方程y＝错误!x中，得y0＝错误!，即A错误!，同理可得B错误!，则错误!×错误!×c＝错误!.整理，得错误!＝错误!，即双曲线的离心率为错误!.故选Ｄ．考向四直线与双曲线的位置关系例５已知双曲线Γ：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）经过点P（２,１），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为１．（１）求双曲线Γ的方程；（２）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解（１）∵双曲线错误!—错误!＝１过点（２,１），∴错误!—错误!＝１．不妨设F为右焦点，则F（c,0）到渐近线bx—ay＝0的距离d＝错误!＝b，∴b＝１，a２＝２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x２—２y２＝２中，整理得（２k２—１）x２＋４kmx＋２m２＋２＝0．∴x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!.２∵错误!·错误!＝0，∴（x１—２，y１—１）·（x２—２，y２—１）＝0，∴（x１—２）（x２—２）＋（kx１＋m—１）（kx２＋m—１）＝0，∴（k２＋１）x１x２＋（km—k—２）（x１＋x２）＋m２—２m＋５＝0．３将１２代入３，得m２＋8km＋１２k２＋２m—３＝0，∴（m＋２k—１）（m＋6k＋３）＝0．而P∉AB，∴m＝—6k—３，从而直线AB的方程为y＝kx—6k—３．将y＝kx—6k—３代入x２—２y２—２＝0中，判别式Δ＝8（３４k２＋３6k＋１0）>0恒成立，∴y＝kx—6k—３即为所求直线．∴P到AB的距离d＝错误!＝错误!.∵错误!２＝错误!＝１＋错误!≤２．∴d≤４错误!，即点P到直线AB距离的最大值为４错误!.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：１设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.错误!即时训练9．设双曲线C：错误!—y２＝１（a>0）与直线l：x＋y＝１相交于两个不同点A，Ｂ．（１）求双曲线C的离心率e的取值范围；（２）设直线l与y轴的交点为P，取错误!＝错误!错误!，求a的值．解（１）将y＝—x＋１代入双曲线错误!—y２＝１（a>0）中，得（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0．所以错误!解得0<a<错误!且a≠１．又双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，所以e>错误!且e≠错误!，即e∈错误!∪（错误!，＋∞）．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（0,１），因为错误!＝错误!错误!，所以（x１，y１—１）＝错误!（x２，y２—１），由此得x１＝错误!x２．由于x１，x２是方程（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0的两根，且１—a２≠0，所以x１＋x２＝错误! x２＝—错误!，x１x２＝错误!x错误!＝—错误!，消去x２得—错误!＝错误!，由a>0，解得a＝错误!.。

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