高中 高考文科数学专项复习 不等式选讲
2020年高考文科数学一轮总复习：不等式选讲
2020年高考文科数学一轮总复习：不等式选讲会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2.(此不等式通常称为平面三角不等式)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：会用向量递归方法讨论排序不等式.1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7. 解：因为|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）＋（x ＋3），x ≥2，－（x －2）＋（x ＋3），－3≤x <2，－（x －2）－（x ＋3），x <－3. 所以原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＋1>7或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x <2，5>7或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2x －1>7.解上述不等式组得所求不等式的解集为{x |x <－4或x >3}． 求函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值．解：因为y ＝|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，所以函数y ＝|x ＋3|－|x －1|的最大值为4.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ， 由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为{x |x ≤－a 2}．由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意． 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32， y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32， 又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2019·湖北省五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解：(1)因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．(2019·福建市第一学期高三期末考试)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0，3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.[基础题组练]1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1. 2．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3， 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．(2019·湖北荆州一模)已知函数f (x )＝|x －a |，不等式f (x )≤3的解集为[－6，0]． (1)求实数a 的值；(2)若f (x )＋f (x ＋5)≥2m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，因为a －3≤x ≤a ＋3，又f (x )≤3的解集为[－6，0]， 所以a ＝－3.(2)因为f (x )＋f (x ＋5)＝|x ＋3|＋|x ＋8|≥|x ＋3－(x ＋8)|＝5， 又f (x )＋f (x ＋5)≥2m 对一切实数x 恒成立， 所以2m ≤5，即m ≤52.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时， f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.[综合题组练]1．(2019·湖南岳阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋2|－|2x －2|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若方程f （x ）2＋a ＝x 有三个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，4x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，4≤3，解得x ≤34，所以不等式f (x )≤3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)方程f （x ）2＋a ＝x 可变形为a ＝x ＋|x －1|－|x ＋1|，令h (x )＝x ＋|x －1|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1，－x ，－1≤x ≤1，x －2，x >1，作出函数h (x )的图象如图，于是由题意可得－1<a <1. 2．设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x 0)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1.则f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x 0)成立⇔a ＋1>f (x )min ，由(1)知，当x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝52，则a ＋1>52，解得a >32， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 3．(2019·太原市模拟试题(一))已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|. (1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎡⎦⎤34，2，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|，当x ≥1时，f (x )＝3x －2≤2，所以1≤x ≤43；当12<x <1时，f (x )＝x ≤2，所以12<x <1； 当x ≤12时，f (x )＝2－3x ≤2，所以0≤x ≤12，综上可得原不等式f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立，当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|＝|x ＋m |＋2x －1≤|2x ＋1|＝2x ＋1，所以|x ＋m |≤2，即－2≤x ＋m ≤2，则－2－x ≤m ≤2－x ，且(－2－x )max ＝－114，(2－x )min ＝0，因此m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－114，0. 4．(综合型)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn ≥4. 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，103.第2讲 不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b.证明：a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）ab >0.即a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b.已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋acb≥2bc a ·acb＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 法一(综合法)：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.法二(分析法)：(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立．(2)要证a ＋b ≤2成立，只需证(a ＋b )3≤8， 再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 再证ab (a ＋b )≤2， 再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， 即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立． 故原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9. (2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy .2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明： 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0. 证明：①设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，(当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ＋6－3x ⎝⎛⎭⎫x <322x －3＋6－3x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤22x －3＋3x －6（x >2）＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9⎝⎛⎭⎫x <32－x ＋3⎝⎛⎭⎫32≤x ≤25x －9（x >2），其图象如图，由图象可知：f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115.(2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤a ＋b2＝14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －4|，g (x )＝9＋2x －x 2. (1)解不等式f (x )>1；(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )．解：(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ＋1－(2x －4)＝5>1恒成立，所以x ≥2. 当－12≤x <2时，f (x )＝2x ＋1－(4－2x )＝4x －3>1，得x >1，所以1<x <2.当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(4－2x )＝－5>1不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )⇔|8x －16|＋2f (x )≥g (x )，因为2f (x )＋|8x －16|＝|4x ＋2|＋|4x －8|≥|(4x ＋2)－(4x －8)|＝10，当且仅当－12≤x ≤2时等号成立，所以2f (x )＋|8x －16|的最小值是10，又g (x )＝－(x －1)2＋10≤10，所以g (x )的最大值是10，当x ＝1时等号成立．因为1∈⎣⎡⎦⎤－12，2，所以2f (x )＋|8x －16|≥g (x )， 所以|8x －16|≥g (x )－2f (x )．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R ，且f (x ＋2)＋f (x －2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.解：(1)由f (x ＋2)＋f (x －2)≥0得，|x ＋1|＋|x －3|≤2m ， 设g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3，数形结合可得g (－2)＝g (4)＝6＝2m ，得m ＝3. (2)证明：由(1)得1a ＋12b ＋13c＝3.由柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝32， 所以a ＋2b ＋3c ≥3.4．(综合型)(2019·陕西省质量检测(一))已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12， 所以f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， 所以M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t ，因为t ∈M ，所以t －3≥0，t 2＋1>0，所以（t －3）（t 2＋1）t ≥0，所以t 2＋1≥3t ＋3t .。
高三数学不等式选讲复习资料.doc
高三数学不等式选讲复习资料
高三数学不等式选讲复习资料
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|
(3)会利用绝对值的.几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a
2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|
(2) x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ x2－x3 2＋ y2－y3 2
≥ x1－x3 2＋ y1－y3 2(通常称作平面三角不等式)
3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
4．了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、缩放法.
近几年的高考试题增强了对密切联系生产和实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：
1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．
2．根本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重"正"、"定"、"等"条件的满足条件.。
高考文科数学复习 专题19 不等式选讲(学生版)
专题19 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211=++-．f x x x（1）画出()=的图像；y f x（2）当[)+f x ax b≤，求a bx+∞∈，，()+的最小值．8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点复习
高中数学《不等式选讲》知识点概括一、 141．不等式 x 8 x 4 2 的解集为 ()A ． { x | x 4}B ． { x | x 5}C ． { x | 4 x 8}D ． { x | 4 x 5}【答案】 B 【分析】 【剖析】分三种状况议论： x 4 ， 4 < x < 8 以及 x8 ，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集 . 【详解】当 x4 时， x8 x 48 x x 44 2 建立，此时 x 4 ；当 4 < x < 8 时， x8x 48 xx 412 2x 2 ，解得 x 5 ，此时4x 5；当 x8 时， x8 x 4 x 8 x 4 4 2，原不等式不建立 .综上所述，不等式x 8 x 4 2 的解集为 x x 5 ，应选 B.【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段议论，从而求解不等式，也能够采纳绝对值的几何意义来进行求解，考察分类议论数学思想，属于中等题.2．已知函数 f ( x) 是定义在 [ a1,2a] 上的偶函数 ,且当 x0 时 , f ( x) 单一递加，则对于 x的不等式 f ( x 1) f (a) 的解集为 （ ）A ．[ 4,5)B ．( 2, 1][1,2) 33333 3C ．[1,2)(4,5] D ．随 a 的值而变化333 3【答案】 C【分析】试题剖析：∵函数f (x) 是定义在 [a 1,2 a] 上的偶函数，∴ 1-a=2a ，∴ a= 1，故函数 f ( x)3的定义的定义域为[ 2,2]，又当 0 x 2 时 , f ( x) 单一递加，∴3 3 3x 1f (1)f ( 1) 1f ( x1)f ( x 1){ 3，解得1 x2 或 4 x5 ，所以33x2333313不等式 f ( x 1)f ( a) 的解集为 [ 1 , 2 )( 4 , 5 ]，应选 C3 33 3考点：此题考察了抽象函数的运用评论：此类问题常常利用偶函数的性质f (x) f ( x ) 防止了议论，要注意灵巧运用3．设 a nsin1sin 2 sin n ，对随意正整数 m 、 n （m>n ）都建立的是（） .2222 nA ． a n1B ． a n a m1 C ． a na m1 D ． a na m1a m2m2n2n2m【答案】 C【分析】【剖析】先作差，再依据三角函数有界性放缩，从而依据等比数列乞降确立选项 .【详解】Q a nsin1sin 2sin na ma n sin( n 1) sin( n 2) sin m2 222n2n 12n 22m| a m a n | |sin( n 1)sin( n 2)sin m2 n 1n 22m |2sin( n 1) sin( n 2) sin m| |2 n 1 || 2 n 2 || 2 m112n 1 2n 2应选： C【点睛】111 2n 1(1 2m n)1 112m11 2n2m 2n2此题考察三角函数有界性、等比数列乞降以及放缩法，考察综合剖析求解与论证能力，属中档题 .4． 不等式 32x 5的解集是 （）A ． { x | x1} B ． { x | 1 x 4} C ． { x | x1或x 4} D ． { x | x 4}【答案】 C【分析】【剖析】依据绝对值定义化简不等式，求得解集 .【详解】 因为 3 2x5 ，所以 3 2x 5或 3 2 x5，即或，选 C.x1 x 4【点睛】此题考察含绝对值不等式解法，考察基本求解能力.5．已知 a ＋ b ＋ c ＝ 1，且 a ， b ， c ＞ 0，则2 22 的最小值为 ( )b b ca caA ．1B ． 3C ． 6D ． 9【答案】 D【分析】2222 a+b+c 11 1Q a b c 1,a b b c c aa b b c c aa bb c c a11 1 1 1 12a b b cc 9 ，当且仅当aa bc1D.时等号建立，应选3【易错点晴】此题主要考察利用基本不等式求最值，属于难题 .利用基本不等式求最值时，必定要正确理解和掌握 “一正，二定，三相等 ”的内涵：一正是，第一要判断参数能否为正；二定是，其次要看和或积能否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后必定要考证等号可否建立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号可否同时建立）.6．若对于 x 的不等式 ax 2 | x 1| 3a ≥ 0 的解集为 R ，则实数 a 的取值范围为A ．[ 1,+ )B ．[ 1,+ )63C ．[ 1,+ )D ．[1,+ )212【答案】 C【分析】【剖析】先将不等式 ax2x 1 3a 0 变形为 ax 1，由不等式 ax 2x 1 3a0 的解集x 23是,，可得 ax 1 恒建立，所以只要求出 x1的最大值即可 .x 23x 23【详解】解：不等式 ax 2 x 1 3a 0 的解集是,，即 x R ， ax 2x 13a 0 恒建立，∴ ax 1 x 1 ，x 2 3x 2 3令g xx 1 ，x 23当 x1 时， g x 0 ；g xx 1 1当 x1 x 234时，，x 12x1若 x 10 ，则 x 14 2 2 x 1 ?42 2 ，x1x 1当且仅当4 ，即 x ＝1 “ ”x 1时上式 ＝ 建立；x 1若 x 1＜0 ，则 x 14 2 x 1422x 1 ?426 ，x 1x 1x1当且仅当x 14 ，即 x3 时上式 “＝ ”建立．x 1x 14 ,62,x 2．1gx 0,1．2a1 ．2则实数 a 的取值范围是1 , ．2应选 C ．【点睛】此题主要考察不等式恒建立的问题，由不等式恒建立求参数的范围，往常用分别参数的方法，将不等式转变为参数与一个函数比较大小的形式，只要求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型 .7．若存在 x R , ,使 2x a 2 3 x 1 建立 ,则实数 a的取值范围是（ ）A ．7，5B ．C ． 5，7D ．【答案】 C【分析】【剖析】5，7，5 7，先利用绝对值三角不等式求2x a 2 3 x 的最小值，即得实数a 的取值范围 .【详解】由题得2x a 2 3x = 2x a 6 2x|6 a |，所以|6 a |1, 1 a 61,5a7 .应选C【点睛】此题主要考察绝对值三角不等式和绝对值不等式的能建立问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.8．已知命题 P: log2( x 1) 1；命题 q: x 2 1,则p是q的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】【剖析】先化简命题p 和 q,再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得命题p:1 ＜ x＜ 3，命题 q:1＜ x＜ 3.所以命题p 是命题 q 的充要条件 .应选 C【点睛】此题主要考察对数不等式和绝对值不等式的解法，考察充要条件的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.9．不等式| x 1|| 2 x | a 无实数解，则a的取值范围是( )A． (,3)B．( 3,)C．(, 3]D．(, 3)【答案】 C【分析】【剖析】利用绝对值不等式的性质||a | | b || a b ，所以得出| a || b | 的范围，再依据无实数解得出 a 的范围。
高中数学总复习专题76 不等式选讲(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |，g （x ）＝x +2．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设，且当，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|x ﹣1|﹣x ﹣2＜0， （i ）当x 时，不等式化为﹣（2x ﹣1）﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得0＜x ．（ii ）当x ≤1时，不等式化为2x ﹣1﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得x ≤1，（iii ）当x ＞1时，不等式化为2x ﹣1+x ﹣1﹣x ﹣2＜0，解得1＜x ＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a ≤x ，得﹣2a ≤2x ＜1，﹣2a ﹣1≤2x ﹣1＜0， 又0≤x +aa ，则f （x ）＝﹣（2x ﹣1）+x +a ＝﹣x +a +1， ∴不等式f （x ）≤g （x ）化为﹣x +a +1≤x +2， 得a ≤2x +1对x ∈[﹣a ，）都成立，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）∵1﹣x +x 2＝（x ）2，当且仅当x时取等号，∵f （），f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ），（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ， ∴f （x ）≤x ，设g （x ）＝x ，x ∈[0，1]，∴g ′（x ）＝10，∴g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）≤g （1）， 综上所述明． 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.基础知识训练1．已知()()0f x x a a =−>．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =−−的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】解：（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪−>⎪⎪⎛⎫=−+−=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫−<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =−−+，()()22224x x x x −−+≤−−+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =，1m =时，123m n +最小值为2 2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,ab 满足2a b+=. ≤(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +−−≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b=+++≤+++=≤(Ⅱ)对正实数,a b 有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +−−≥恒成立， 所以|1||3|1x x +−−≥恒成立．当1x ≤−时，不等式化为1(3)1x x −−−−≥，整理得41−≥，所以不等式无解； 当13x −<<时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 3．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +−>，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈−∞−，不等式3(2)4f x y y a≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0−. 【解析】（1）由()()111f f +−>得111a a +−−>， 若1a ≤−，则111a a −−+−>，显然不成立； 若11a −<<，则111a a ++−>，12a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +−+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y ay ≤+++， 当(,]x a ∈−∞−时，()()f x x x a =−+，所以2()24maxa a f x f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭；因为223344a y y a +++≥−，所以23442a a ≤−，解得31a −≤≤，结合0a <，所以a 的取值范围是[)3,0−． 4．已知函数()3f x x =−. （1）解不等式()241f x x −+≤；（2）当()1f m ≤，()22f n ≤时，存在,m n R ∈，使得42131m n a −−>−，求实数a 的取值范围。
高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到 ，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ， ， 都为正整数，且 ．
∴ ，
当且仅当 时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得 ，
当且仅当 时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 在 上单调递增．
∴ ，即 ．
(1)当 时， 等价于 ，
该不等式恒成立，所以 ；
当 时， 等价于 ，
解得 ，此时不等式无解；
当 时， 等价于 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式的解为 ．
(2)由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．综上所述， 的取值范围是 ．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 ．
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
文科数学高考真题分类汇编 不等式选讲答案
3 ，解得 a „ −3 或 a …−1 ．
2010-2018 年
− 2, x ≤− 1,
1．【解析】(1)当 a
=1
时，
f
( x)
=|
x
+1|
−
|
x
−1|
，即
f
(x)
=
2
x,
−1
x
1,
2, x ≥1.
故不等式 f (x) 1 的解集为{x | x 1} ． 2
(2)当 x (0,1) 时 | x +1| − | ax −1| x 成立等价于当x (0,1) 时 | ax −1| 1成立．
当 −1≤ x ≤2时，由 f ( x) ≥1得， 2x −1≥1，解得1≤ x ≤2
当 x＞2 时，由 f ( x) ≥1解得 x＞2．
所以 f ( x) ≥1的解集为 x x≥1 ．
（2）由 f (x )≥ x2 − x + m 得m≤ x +1 − x −2 − x2 + x ，而
x +1 − x −2 − x2 + x≤ x +1+ x −2 − x2 + x
当 x 1 时，①式化为 x2 + x − 4 ≤ 0 ，从而1 x ≤ −1+ 17 ． 2
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集为{x | −1 x ≤ −1+ 17} ． 2
（2）当x [−1,1] 时， g(x) = 2 ．
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集包含[−1,1] ，等价于当 x [−1,1] 时 f (x) ≥ 2 ．
专题十五 不等式选讲
第三十五讲 不等式选讲
高考文科数学5不等式选讲考点讲解
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 8
不等式选讲
②利用|x-a|的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与 距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|x-a|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义 求解更直观. ③数形结合法 2 .速率是瞬时速度的大小 ,但平均速率不是平均速度 通过构造函数 ,利用函数的图象求解 ,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 画出函数图象 (有时需要考查函数的单调性 )是解题的关键. 均速度的大小没有对应关系 .
Your text
STEP 02
Copy Your text and paste it here 构造函数时,应准确分类讨论并写出正确的分段函数 ,画出相应的图象是 Click here to add your text or
解题的关键.
返回目录
高考复习讲义
考点全通关 9
不等式选讲 考点三 证明不等式的基本方法
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 2
不等式选讲
2.基本不等式
2.速率是瞬时速度的大小,但平均速率不是平均速度 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 均速度的大小没有对应关系.
Your text
STEP 02
Click here to add your text or Copy Your text and paste it here
Click here to add your text or Copy Your text and paste it here
高考不等式选讲专题复习(经典)
不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===•nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得lga ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c2≥lg ac . 而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0).(1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明： 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明. 【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54－4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++•＋2b a a c a c b a ++++•＋2c b ac a c c b ++++•＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4(当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1， 即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.③(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x n.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934⇒S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇。
高中数学不等式选讲解析
高中数学不等式选讲解析在高中数学中，不等式是一个重要的概念和解题方法。
掌握不等式的性质和解法，对提高数学思维能力和解题能力具有重要意义。
本文将对高中数学不等式的选讲进行解析，介绍一些基本的不等式性质和解题方法。
一、基本不等式性质1. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（c为任意实数）。
加减性质是不等式的基本性质，可用于不等式的推导和变形，利用这个性质可以方便地进行计算和证明。
2. 倍数性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
倍数性质是不等式中的重要性质，它表示当不等式两边同时乘以一个正数或负数时，不等号的方向不变。
在解不等式问题时，常常运用倍数性质来简化计算和推导。
3. 倒数性质：若a>b且ab>0，则1/a<1/b；若a>b且ab<0，则1/a>1/b。
倒数性质是不等式的重要性质之一，它表示当不等式两边同时取倒数时，不等号的方向改变。
倒数性质在解不等式问题时具有广泛应用，可以帮助我们求解复杂的不等式关系。
二、不等式的解题方法1. 同向相加法同向相加法是一种常见的解不等式方法，适用于形如a + x > b的不等式。
其基本思想是将不等式两边同时减去一个常数，使得待求变量x 与常数b之间的关系显现出来。
例如，对于不等式3x + 5 < 10，我们可以将不等式两边都减去5，得到3x < 5，再除以3，得到x < 5/3。
因此，不等式的解集为x < 5/3。
2. 取倒数法取倒数法是一种常用的解不等式方法，特别适用于求解倒数不等式。
其基本思想是将不等式两边同时取倒数，然后改变不等号的方向，从而得到新的不等式。
例如，对于不等式1/(x-2) > 3，我们可以将不等式两边同时取倒数，得到x-2 < 1/3，再将不等式两边同时加上2，得到x < 7/3。
高考文科数学一轮复习课件-不等式选讲
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义求解 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x表示的数对应的点到a,b表示 的数对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|x-a||x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法 (1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (2)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).
考向突破 考向 含绝对值不等式的解法
例1 (2018河北邯郸一模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f(x)≤2的解集; (2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.
解析
(1)由f(x)≤2,得
x 1, 2-2x
2
或
1 0
x 2
高考文数
专题十五 不等式选讲
考点清单
考点一 含绝对值不等式的解法
考向基础 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤ -c,然后根据a,b的值解出即可. (2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R.
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)零点分区间法 零点分区间法的一般步骤: ①令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根; ②将这些根按从小到大的顺序排列,把实数集分为若干个区间; ③在所分区间内去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解 集;
高三文科复习不等式
高三文科《选修4-5：不等式选讲》复习贵州省册亨县民族中数学组梅瑰考纲要求:一、贵州省高考数学（新课标卷）考试大纲对选做题不等式选讲说明（选考内容与要求）不等式选讲（选修4-5）(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a+b|<=|a|+|b|。
②|a-b|≤|a-c|+| c-b|。
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:| ax+b |≤ c ;| ax+b |≥c;| x-a |+| x-b |≥c。
(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义并会证明.①柯西不等式的向量形式：lαl·| β|≥|a·β|。
② (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)③(此不等式通常称为平面三角不等式.)(3)用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。
(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用故学归纳法证明一些简单问题。
(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式。
(1+x)n>1+nx (x>-1，x≠0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利川平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。
(8)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
课时建议:3－4课复习建议:N时，证明：（二）从高考试题来看：、试卷总体结构：年、2014年在考查一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集。
设一元二次方程的两根为且，，则实根实根x>0∴--+1a a由①②可知：原不等式得证。
70.不等式选讲-文科带解析
不等式选讲【学习目标】1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )． (2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥A ．3．了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． 4．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法．【预习案】一、不等式的性质前面已复习过不再赘述 二、几个重要的不等式1．定理1 a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当___时取等号．2．定理2(基本不等式) a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)，当且仅当________时取等号．3．定理3(平均数定理) a ＋b ＋c 3≥3abc (a ，b ，c ∈R ＋)，当且仅当____________时取等号．1n(a 1＋a 2＋…＋a n )≥n a 1a 2…a n (a i ∈R ＋，i ＝1,2，…，n )，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号． 4．绝对值三角不等式①定理1 |a |＋|b |≥|a ＋b |(a ，b ∈R )，当且仅当________时等号成立． ②定理2 如果a 、b 、c ∈R ，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．③||a |－|b ||≤|a ＋b |. 5．分式不等式若a >b >n >0，m >0，则b －n a －n <b a <b ＋ma ＋m .三、不等式的解法 (1)含绝对值不等式解法①|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c ， |ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，②|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式解法．解法1(分类讨论思想)：令每个绝对值符号里的一次式等于0，解出x 的值，以这些值为分界点，分区间去掉绝对值号，解之最后求并集．解法2(函数与方程思想)：构造函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c ，写出f (x )的分段解析式作出图象，找出使f (x )≤0(或f (x )≥0)的x 的取值范围即可．解法3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x －a |＋|x －b |表示数轴上点P (x )到点A (a )、B (b )距离的和．关键找出到A 、B 两点距离之和为c 的点，“≤”取中间，“≥”取两边．注意这里c ≥|a －b |，若c <|a －b |，则|x －a |＋|x －b |≤c 的解集为∅，|x －a |＋|x －b |≥c 解集为R .四、不等式的证明方法常用的不等式的证明方法有：比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法，有时也构造函数利用函数性质证明等．五、柯西不等式 1．一般形式：设a 1、a 2、…、a n 、b 1、b 2、…、b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0，或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1、2、…、n )时，等号成立．2．二维形式的柯西不等式：①代数形式：设a 、b 、c 、d 均为实数，则 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 上式等号成立⇔________.②向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β|.当且仅当β是零向量或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． ③三角形式：设x 1、x 2、y 1、y 2∈R ，则x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，其几何意义是三角形两边之和大于第三边．【预习自测】1．(2014·山东菏泽一模)“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空得a >1，所以，“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C ．2．(2014·襄阳模拟)已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|<5}，N ＝{x |a <x <6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] B[解析] ∵M ＝{x |0<x <5}，N ＝{x |a <x <6}， M ∩N ＝(2，b )，∴a ＝2，b ＝5，∴a ＋b ＝7，故选B3．(2014·德州模拟)设0<a <b ，且f (x )＝x ＋1＋xx ，则下列结论中正确的是( )A ．f (a )<f (a ＋b2)<f (ab )B ．f (a ＋b2)<f (b )<f (ab ) C ．f (ab )<f (a ＋b2)<f (a ) D ．f (b )<f (a ＋b2)<f (ab )[答案] D[解析] ∵0<a <b ，∴b >a ＋b2>ab >a ，∵f (x )＝x ＋1＋xx ，∴f ′(x )＝－x －22x21＋x<0，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (b )<f (a ＋b2)<f (ab )<f (a )，故选D ．4．(2014·广州综合测试)若不等式|x －a |<1的解集为{x |1<x <3}，则实数a 的值为________．[答案] 25．(上海长宁、嘉定二模)若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－3,0][解析] 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min ，因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.合作探究例1设函数f (x )＝1－|2x －3|. (1)求不等式f (x )≥3x ＋1的解集；(2)若不等式f (x )－mx ≥0的解集非空，求m 的取值范围[解析] (1)由f (x )≥3x ＋1得：|2x －3|＋3x ≤0，化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，2x －3＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，3－2x ＋3x ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，x ≤35，或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，x ≤－3.∴x ≤－3，即不等式的解集为{x |x ≤－3}． (2)f (x )＝1－|2x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≥32，2x －2，x <32.如图，由单调性可知f (x )的最大值点为A (32，1)，又过原点的直线y ＝mx 过点A 时m ＝23，与AC平行时m ＝2.故23<m ≤2时，y ＝f (x )与y ＝mx 的图象无交点，直线y ＝mx 的图象恒在f (x )的图象上方，故不等式f (x )－mx ≥0的解集非空时，m 的取值范围是(－∞，23]∪(2，＋∞)．例 2. (2014·郑州质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋5x .(1)求不等式f (x )>5x ＋1的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．[解析] (1)由f (x )>5x ＋1化简可得|2x －a |>1，即2x －a >1或2x －a <－1，解得：x <a －12或x >a ＋12，所以，不等式f (x )>5x ＋1的解集为{x |x <a －12或x >a ＋12}．(2)不等式|2x －a |＋5x ≤0等价于5x ≤2x－a ≤－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ≤2x －a ，2x －a ≤－5x ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－a3，x ≤a 7，若a <0，则原不等式的解集为{x |x ≤a7}＝{x |x ≤－1}，此时，a ＝－7；若a ≥0，则原不等式的解集为{x |x ≤－a3}＝{x |x ≤－1}，此时，a ＝3，综上所述，a ＝－7或a ＝3.例3.(2014·河北唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围[解析] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，∴a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a －2x＋1|＋a≥|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≥0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．例4(2014·中原名校联考)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6；(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(b a)．[解析](1)不等式化为|x－2|＋|x＋2|≥6，∴不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)要证f(ab)>|a|f(ba)，只需证|ab－1|>|b－a|，只需证(ab－1)2>(b－a)2而(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)>0，从而原不等式成立．。
不等式选讲知识点高三
不等式选讲知识点高三不等式是高中数学中的一个重要概念，在高三阶段特别需要掌握。
掌握不等式的基本性质和解题技巧，对于应对高考数学题目至关重要。
本文将选讲高三阶段不等式的几个知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、不等式的基本性质在研究不等式之前，我们需要了解不等式的基本性质。
不等式的基本性质包括：1. 不等式的加减性质：同一个不等式两边同时加、减一个相同的数，不等式的大小关系不变。
2. 不等式的乘除性质：同一个不等式两边同时乘、除一个相同的正数，不等式的大小关系不变；同一个不等式两边同时乘、除一个相同的负数，不等式的大小关系改变（需要倒置符号）。
3. 不等式的倒置性质：如果一个不等式两边都取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、一元一次不等式一元一次不等式是最常见的不等式类型之一，形如ax + b > c 或 ax + b < c。
解一元一次不等式的关键是确定未知数x的取值范围，可以通过不等式的变形和图像法进行求解。
例如，对于不等式2x - 3 > 5，我们可以将其变形为2x > 8，再除以2得到x > 4，因此不等式的解集为x > 4。
三、一元二次不等式一元二次不等式是高三阶段不等式的难点之一，形如ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0。
解一元二次不等式的方法多种多样，可以通过图像法、配方法、因式分解法等进行求解。
例如，对于不等式x² - 3x - 4 < 0，我们首先找到二次函数y = x² - 3x - 4的图像与x轴的交点，再通过判别式来确定函数在不同区间上的正负性，最终确定不等式的解集为-1 < x < 4。
四、绝对值不等式绝对值不等式是比较常见的一类不等式，形如|ax + b| > c 或 |ax + b| < c。
解绝对值不等式的核心是分开讨论绝对值的取正和取负两种情况。
高考文科数学二轮专题复习：12 不等式选讲
专题12 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ；(2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b2ab 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．a ＋b ＋c33abc 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥a 1＋a 2＋…＋ann，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．na 1a 2…an 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(a )(b )≥(a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数∑n i ＝12i ∑n i ＝12i ∑n i ＝1k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ② ;b a b a +≤+;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+c b ax ≥+ab xc x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
高考数学《不等式选讲》专项复习
高考数学《不等式选讲》专项复习一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,>>⇒>；a b b c a c（2）,c>>⇒+>+；a b d a c b d（3）0,c0>>>>⇒>.a b d ac bd（合成后为必要条件）2.同解变形>⇔+>+；（1）a b a c b c（2）0,0,>⇔>>⇔<<；a b c ac bc c ac bc（3）11000a b b a>>⇔>>⇔>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或 （2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,2a ba b +>>≥a b =）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法. （2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结 核心考点:放缩法解不等式预证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得112,,,K B B B B B A ≤≤≤或112,,,K A A A A A B ≥≥≥，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.1.已知正数,,a b c 满足1a b c ++=6<. 分析 采用“添项”放缩法解析31a <==+ ①31b <=+ ②31c <=+ ③①+②+3()36a b c +++=.评注 放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：23(616161)2736a b c ≤+++++=<，6<. 2.证明：1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .解析 因为2121111111nnnn n n n n C C C n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ()()()()()()()2112122121111111...2!3!1!!n n n n n n n n n n n n n n---------++⋅+++⋅+⋅- 111121122112111(1)(1)(1)...(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)2!3!(n 1)!n!n n n n n n n n n n n--++-+--++---+---- 111112!3!!n <++++⋯+ 2111111112111331222212n n n ---++++⋯+=+=-<- . 即()13nn n n +<.由2n ≥时,13n +≥,得()()311nn n n n n n <≤++, 故()11n n n n ->+()2,n n N *≥∈.评注 这里用111n -<, 1(1)(12)1n n --<,…11(1)(1)...(1)12n n n n----< ① 以及112!2≤,2113!2<,3114!2<, (111)!2n n -< ②3.求证：12(,,,)b c d aa b c d a b c b c d c d a d a b+<+++<∈++++++++R .解析 由题意，,,,a b c d +∈R ， 则b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++1a b c da b c d+++>=+++，b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++2b c d aa b c d c d a b<+++=++++.所以原不等式成立.4.设,,,a b c m +∈R ，且满足m m m a b c =+，问m 取何值时，以,,a b c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析 由幂函数性质可知a b >，a c >，要构成三角形，只需b c a +>，故()m m b c a +>， 即证明()m m m b c b c +>+， 只需证明1()()m mb c b c b c>+++， 即()()m m b c b cb c b c b c b c+<+++++. ① 由0m >，且,(0,1)b cb c b c∈++， 由指数函数(01)x y a a =<<单调递减可知，要使得式①成立，只需1m >. 因此可知，要b c a +>成立.只需1m >成立. 当2m =时，222a b c =+，三角形为直角三角形；当12m <<时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c -->⋅+⋅22b c =+即222a b c >+，此时三角形为钝角三角形；当2m >时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c --<⋅+⋅22b c =+即222a b c <+，此时三角形为锐角三角形.5.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T r rr n r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n7.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |111118.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立.9.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T⎪⎭⎫⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n nn T T T T 10.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n xn,求证: *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+。
高考文科数学不等式选讲考点精细选
不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1．含有绝对值的不等式的解法(1）｜f(x）｜>a(a〉0)⇔f(x)>a或f（x)<－a；（2）|f（x）|<a(a>0）⇔－a〈f(x)〈a。
(3)对形如|x－a|＋｜x－b｜≤c，｜x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质｜a|－|b|≤｜a±b|≤｜a｜＋|b|。
3．柯西不等式（1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2）（c2＋d2）≥(ac＋bd)2,当且仅当ad＝bc 时等号成立．(2）若a i，b i（i∈N*)为实数，则（错误!a错误!）(错误!b错误!)≥（错误!a i b i)2,当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!（当某b j＝0时，认为a j＝0,j＝1，2，…，n)时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α|·|β｜≥｜α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．练习精细选1．若关于实数x的不等式｜x－5|＋｜x＋3|〈a无解，则实数a的取值范围是____．答案（－∞，8]解析∵｜x－5|＋|x＋3｜＝｜5－x｜＋|x＋3|≥｜5－x＋x＋3|＝8，∴（｜x－5|＋|x＋3｜)min＝8，要使｜x－5｜＋|x＋3｜<a无解，只需a≤8.2．（2013·江西)在实数范围内,不等式|｜x－2|－1|≤1的解集为________．答案[0，4]解析由|｜x－2|－1｜≤1得－1≤|x－2｜－1≤1，解错误!得0≤x≤4。
∴不等式的解集为［0,4]．3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)（bm＋an）的最小值为________．答案 2解析由柯西不等式（a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)（bm＋an)≥(am·错误!＋错误!错误!）2＝mn（a＋b）2＝2.4．若不等式|kx－4｜≤2的解集为｛x|1≤x≤3｝,则实数k＝________.答案 2解析∵｜kx－4｜≤2,∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为｛x|1≤x≤3}，∴k＝2.5．设x，y∈R，且xy≠0,则错误!·错误!的最小值为________．答案9解析错误!错误!＝5＋错误!＋4x2y2≥5＋2 错误!＝9，当且仅当x2y2＝错误!时“＝"成立．三、典型题型分析题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x）＝|2x－1｜＋|2x＋a|,g（x）＝x＋3.（1）当a＝－2时,求不等式f（x）<g（x)的解集；(2)设a〉－1，且当x∈错误!时，f(x)≤g（x）,求a的取值范围．审题破题（1）可以通过分段讨论去绝对值；(2）在x∈错误!时去绝对值，利用函数最值求a的范围．解（1）当a＝－2时，不等式f（x)〈g（x）化为|2x－1|＋｜2x－2|－x－3〈0。
高三冲刺高考(文科数学)不等式选讲
对点训练
已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．
考点三 与绝对值不等式有关的恒成立问题
——弄清绝对值的几何意义
[例3] 已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
对点训练
已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3.
(1)证明： 1 + 1 + 1 ≥3；
ab bc ac
(2)证明： 2 + 2 + 2 ≥3.
a+ bc b+ ac c+ ab
考点二 含绝对值不等式的解法 ——掀起“绝对值”的盖头
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集 为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
归纳总结 解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式恒 不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A. 成立问题 不等式f(x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max<B.
在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上 不等式能 f(x)max>A. 成立问题 在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，等价于在区间D上
归纳总结 绝对值不等式的常用解法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故 y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由 f(x)的解析式及图象知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝3或 x＝5. 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1 所以|f(x)|>1
1 的解集为x|x<3，或x>5.
2x，x>1， 2，－1≤x≤1， －2x，x<－1. 17－1 ①当 x>1 时，f(x)≥g(x)⇔－x ＋x＋4≥2x，解之得 1<x≤ 2 .
2
②当－1≤x≤1 时，f(x)≥g(x)⇔(x－2)(x＋1)≤0，则－1≤x≤1. ③当 x<－1 时，f(x)≥g(x)⇔x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 又 x<－1，∴不等式此时的解集为空集.
1 2 △ABC 的面积 S＝2|AB|· (a＋1)＝3(a＋1)2. 2 由题设得3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞).
热点二 不等式的证明 1 【例 2】 (2017· 长沙调研)已知 f(x)＝|2x－1|＋x＋2的最小值为 m. (1)求 m 的值； (2)已知 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝m，求证：2(a3＋b3＋ c3)≥ab＋bc＋ca－3abc.
1 的解集为x|x<3，或1<x<3，或x>5.
探究提高
1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等
式，体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的
一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；
求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观 求解.
2 的解集为x3<x<2.
x－1－2a，x<－1， (2)由题设可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a， －x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x) 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a－1 A ， 0 ，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)， 3
故 a 的取值范围是[－1，1].
2.(2017· 全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2. 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) 3(a＋b)2 3(a＋b)3 ≤2＋ (a＋b)＝2＋ ， 4 4 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
4.基本不等式
定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号成立. a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立. a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝ 3 c 时，等号成立. 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，„，an 为 n a1＋a2＋„＋an n 个正数， 则 ≥ a1a2„an， 当且仅当 a1＝a2＝„＝an 时， n 等号成立.
热点一 绝对值不等式的解法 【例1】 (2016· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解
x－4，x≤－1， 3x－2，－1<x≤ 3， 2 (1)f(x)＝ 3 －x＋4，x> ， 2
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为x －1≤x≤ 17－1 . 2
(2)依题意得：－x2＋ax＋4≥2 在[－1，1]上恒成立. 则 x2－ax－2≤0 在[－1，1]上恒成立.
2 1－2≤0， 1 －a· 则只需 解之得－1≤a≤1. 2 （－1） －a（－1）－2≤0，
考 点 整 合 1.绝对值不等式的性质 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0
时，等号成立.
定理2：如果 a，b ，c是实数，那么|a －c|≤|a －b| ＋|b－ c| ，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数，利用函数的图象求解.
不等式选讲
高考定位
本部分主要考查绝对值不等式的解法 . 求含绝对
值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值
范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性 质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命 题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结 合思想、分类讨论思想.
真题感悟 1.(2017· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1| ＋|x－ 1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.
解
(1) 当 a ＝ 1 时 ， f(x) ＝ － x2 ＋ x ＋ 4 ， g(x) ＝ |x ＋ 1| ＋ |x － 1| ＝
【训练1】 (2015· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 2 当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得3<x<1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1