高中 高考文科数学专项复习 不等式选讲

故 y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由 f(x)的解析式及图象知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝3或 x＝5. 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1 所以|f(x)|>1
1 的解集为x|x<3，或x>5.
【训练1】 (2015· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 2 当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得3<x<1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1
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1 2 △ABC 的面积 S＝2|AB|· (a＋1)＝3(a＋1)2. 2 由题设得3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞).
热点二 不等式的证明 1 【例 2】 (2017· 长沙调研)已知 f(x)＝|2x－1|＋x＋2的最小值为 m. (1)求 m 的值； (2)已知 a，b，c 是正实数，且 a＋b＋c＝m，求证：2(a3＋b3＋ c3)≥ab＋bc＋ca－3abc.
真题感悟 1.(2017· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1| ＋|x－ 1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.
解
(1) 当 a ＝ 1 时 ， f(x) ＝ － x2 ＋ x ＋ 4 ， g(x) ＝ |x ＋ 1| ＋ |x － 1| ＝
综上所述，f(x)≥g(x)的解集为x －1≤x≤ 17－1 . 2
(2)依题意得：－x2＋ax＋4≥2 在[－1，1]上恒成立. 则 x2－ax－2≤0 在[－1，1]上恒成立.
2 1－2≤0， 1 －a· 则只需 解之得－1≤a≤1. 2 （－1） －a（－1）－2≤0，
4.基本不等式
定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号成立. a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立. a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝ 3 c 时，等号成立. 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，„，an 为 n a1＋a2＋„＋an n 个正数， 则 ≥ a1a2„an， 当且仅当 a1＝a2＝„＝an 时， n 等号成立.
2 的解集为x3<x<2.
x－1－2a，x<－1， (2)由题设可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a， －x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x) 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a－1 A ， 0 ，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)， 3
故 a 的取值范围是[－1，1].
2.(2017· 全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2. 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) 3(a＋b)2 3(a＋b)3 ≤2＋ (a＋b)＝2＋ ， 4 4 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
考 点 整 合 1.绝对值不等式的性质 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0
时，等号成立.
定理2：如果 a，b ，c是实数，那么|a －c|≤|a －b| ＋|b－ c| ，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数，利用函数的图象求解.
热点一 绝对值不等式的解法 【例1】 (2016· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解
x－4，x≤－1， 3x－2，－1<x≤ 3， 2 (1)f(x)＝ 3 －x＋4，x> ， 2
1 的解集为x|x<3，或1<x<3，或x>5.
探究提高
1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等
式，体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的
一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；
求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观 求解.
不等式选讲
高考定位
本部分主要考查绝对值不等式的解法 . 求含绝对
值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值
范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性 质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命 题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结 合思想、分类讨论思想.
2x，x>1， 2，－1≤x≤1， －2x，x<－1. 17－1 ①当 x>1 时，f(x)≥g(x)⇔－x ＋x＋4≥2x，解之得 1<x≤ 2 .
2
②当－1≤x≤1 时，f(x)≥g(x)⇔(x－2)(x＋1)≤0，则－1≤x≤1. ③当 x<－1 时，f(x)≥g(x)⇔x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 又 x<－1，∴不等式此时的解集为空集.