第三章 刚体力学基础

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mi
Ri
2
2

2
2
i
mi Ri2
则刚体的转动动能
Ek

1 2
J z 2
z
Ri
mi Pi
二.力矩的 功 dA F dr
Ft
dr
F sin rd
Md
z
O
d

r
dr
F
P
A 2 Md
讨论: 1
恒力矩的功: A M M 2 1
2πrdr =
2mr R2
dr
J = m r2dm = R 2m r3dr = 1 mR2
0
0 R2
2
Rm
dr
r
O
四.刚体定轴转动的转动定律的应用
M J F ma
应用转动定律解题 步骤与牛顿第二定 律时完全相同。
[例1]物体A、B的质量分别为m1和m2,用一 轻绳相连,绳子跨过质量为M,半径为R的 匀质定滑轮C。如A下降,B与水平桌面间的 滑动摩擦系数为μ,绳与滑轮之间无相对滑 动,求系统的加速度及绳中的张力T1和T2 .
其中
J

1 12
m2
(2l
)
2

1 3
m2l
2
解得 v (m2 3m1)u m2 3m1
6m1u
(m2 3m1)l
L
r
v1
F
思考并解释 : 动能、机械能、
角动量 是否守恒?
m
ω
m
r2 r1
花样滑冰 跳水 体操等
[例1]质量为m,长为L的均匀细棒,竖直悬 挂于一水平光滑轴,现用力F 打击棒的中部 如图,打击时间为t .
求:打击后棒的角速度。
解:由角动量定理
M t J

即F L t 1 mL2 0
F
23
3Ft
2mL
例2:圆盘(R,M),人(m)开始静止,人沿 转盘走一周,求盘相对地转动的角度
zN
以质心C为坐标原点

设对Cz轴的转动
d
m
惯量为Jc
对MN 轴的转动惯量为
C
y

J MN

JC
md2
x
----平行轴定理
M
*MN为任意空间直线
例3:圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J =
L R2dm = R2
0
dl
dm = mR2 R
m
O
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dm= σds
=
m πR2
只有保守力做功时----刚体的机械能守恒
Ek 2 Ep2 Ek1 Ep1
[例1]长为l,质量为m的均匀细杆 O
OA,绕通过其一端点O的水平轴在
铅垂面内自由转动。已知另一端
A过最低点时的速率为v0。求杆摆 动时A点升高的最大高度(不计空
气阻力和轴的摩擦力)。
h
解:杆摆动时只有重力做功,
A
3.2 力矩、刚体定轴转动定律
一.力矩
z
翻倾
F//
任意
F
d
r

A
力的有效性分析
F
有效
F F F//
定轴
定义: F 对转轴的力矩
大小: M z Fd
若 F垂直转轴,力矩
大小:M z Fd Fr sin 方向:沿z轴,由 r 转向 F
的右手螺进的方向

Mz rF
接如图所示,求 Joo ?, Jcc ? o
解:由转动惯量定义
Joo mi Ri2 ml2 ml2 0 0
l lc
i
2ml2
o c
Jcc
i
mi Ri 2

4 m
l
2

2

ml2
[例2]长l、质量m 的均匀细棒其中心在o点。求它 对过o且垂直于杆的oc轴、AB 轴的转动惯量.
d
J z dt
---定轴转动定律
反映了力矩的瞬时作用规律
*转动惯量的物理意义:Jz表示刚体转动惯性的大小
三、转动惯量的计算
o
1.对分离的质点系:J z mi Ri2
i
l lc
2.对质量连续分布的刚体:
dJ z r2dm
J z r2dm
o c
r dm
例1:如图,质量为m 的四个小球由钢性轻杆连
----刚体转动的角动量定理
三.角动量守恒定律
当 M z 0 则 Lz J z =常量
----刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律对J 可变化的非刚体系统 或非刚体个体同样适用。
当 M z 0 J11 J22 =常量
J 时, ;反之, J 时,
演示: 茹可夫斯基凳
ri mvi
rimri ( miri2 ) J
i
i
i
二.刚体定轴转动的角动量定理
由刚体定轴转动的转动定律
M J d d (J)
冲量矩
dt
dt
t
Mdt
t0
J ( J
)0
d
(J
)
Hale Waihona Puke Baidu

J

( J )0
即:刚体受到的合外力矩的冲量矩等于刚体 角动量的改变量
解: M、m组成的系统对转轴 M外 = 0
∴角动量守恒 J1人地 J2盘地 0
又 人地 人盘 盘地
盘地


J1
J1 J2
人盘
积分得:
盘地


J1
J1 J2
人盘
J1 mR 2
J2

1 2
MR
2
2m 2
2m M
[例3]如图,A和B两飞轮,转动惯量分别为 J=10
解:细棒质量密度为 m l
在棒上取长为d x 的质量元 o
dm dx
A
dx
dm的转动惯量 dJoc x2dm B
cx x
Joc
x2dm
m
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 ml2 12
J AB
l 2 l
2
(
l 2

x)2
m dx l

1 ml2 3
3.平行轴定理
负号表示与 A方向相反.
B轮受的冲量矩
M方B d向t与 JBA(相同0). 4.19102N ms
§3-4 刚体的能量
一.转动动能 1.在刚体上取一质元Pi :

动能:
Eki

1 2
mivi
2
1 2
mi
Ri
2
2
2.对刚体上所有质点的动能求和:
Ek
1 2
v r 转动平面
匀变速转动
当 c
0 t


0
0
t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
与质点的匀 加速直线运 动公式相似
例:一飞轮作匀减速转动,在4s内角速度由
20 rad s1减到 10 rad s,1 则飞轮在4s内转
联立(1)~(5)解得


J
m1R1 m2R2 m1R12 m2R22
g
T2
T1
m2 m1
T1

J m2R22 m2R1R2 J m1R12 m2R22
m1g
T2

J m1R12 m1R1R2 J m1R12 m2R22
m2 g
讨论:
a.当 m1R1 m2R2 时,物体运动方向与所设相
同,反之则相反
b.当 m1R1 m2R2 时, 0 即滑轮保持静止或
匀速转动
c.当R1 R2 时,则为定滑轮时的情况
§3-3 角动量及角动量守恒定律
一.冲量矩——力矩的时间积累 Mdt
单位: N m s
定义:刚体的角动量
L

J z
角动量又称动量矩,因为:

定轴转动:转轴固定不动的转动


v
刚体的一般运动 = 平动 + 定轴转动
三、刚体的定轴转动
1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2.描述的物理量 , d , d
dt
任一质点圆周运动的 线量和角量的关系
r
dt z
简化
r
an r 2 at r
m1 m2
g
m1 m2 M 2
T1

( 1)m2 M
m1 m2 M
2 2
m1g
T1

( 1)m1
m1 m2

M
M2
2
m2
g
[例2]在半径分别为R1和R2的
阶梯形滑轮上反向绕有两根 轻绳,各挂质量为m1、m2的
R2
R1
物体。如滑轮与轴间的摩擦
不计,滑轮的转动惯量为J。
求滑轮的角加速度β及各绳中 m2
的张力T1、T2. 解:设m1向下运动
T2
T1
m2 m1
m1
m1g T1 m1a1 1 T2 m2g m2a2 2
m2 g
m1g
T2
T1
T1R1 T2R2 J (3)
a1 R1 4 R2
R1
a2 R2 5
C
B
A



o
T1
N
T2 ' C
B
y
A
m1g
T2
B fk
m2 g
x
y
T1 '
o
A
解:建立如图坐标系
m1g T1 m1a1
T2 fk m2a2

N
fk
m2 g
N

0
T1R T2R J
J 1 MR2 2
a1 a2 a r
解得
a
若有n个外力作用,则
---合外力矩对刚体作的功等于各 外力矩对刚体作功之和
三.刚体定轴转动的动能定理
由质点系的动能定理:A外 A内 Ekb Eka
刚体: A内 0
A外

1 2
J2 2

1 2
J12
---刚体定轴转动 的动能定理
合外力对刚体所做的功等于刚体动能的增量
四.机械能守恒

o

mv 0

L 2
1 ML2 mL2
v0 φ
3
4
(2)子弹射入后的摆动过程
M 、m和地球组成的
o
系统机械能守恒
以竖直位置杆质心所
φ
在平面为零势能面

1 2

1 3
ML2

m
L2 4



2


m

M

g

L 2

L 2
cos

其中φ为杆摆动的最大角度
[例3]质量为m1的小球与质量为m2长为2l 的 棒作完全弹性碰撞,棒可绕通过中心的轴转
3.1 刚体的运动及其描述
一.刚体模型 刚体:在外力的作用下,大小和形状都不变
的物体 ----物体内任意两点的距离不变
二.刚体的运动
平动:刚体运动时,其内部任何一条直线, 在运动中方向始终不变
平动的特点:各点位移、速度、加速度均相同 刚体的平动----可视为质点,归结为质点运动
转动:刚体的各个质点都绕同一直线(转动 轴)作圆周运动
了几圈,飞轮再经过多长时间才能停止转动
解:(1)飞轮作匀减速转动 t 0 t t 0 2.5 rad s2
t


0t

1 2

t
2
60
rad
转动圈数: N 30圈
2
(2)
t t
0

0 10 2.5
4s
A
解:(1) 选A、B为系统,啮合过程只有内力矩作用
系统角动量守恒 J AA JBB (J A JB )
J AA
(JA JB)
转速:
n

ω 2π

200rev
/
min
(2) A轮受的冲量矩
M A dt JA( A) 4.19102N ms
z
d r

F
A
*多个力作用于刚体时:

M Mi M1 M2 M3 F3 i

F2 F1
动力矩取正
阻力矩取负
二.定轴转动定律
合外力对转轴z的力矩 M z ( miri2 )
i
定义:
Jz
i
mi ri 2
——刚体对转轴z的 转动惯量
则: Mz Jz
所以机械能守恒
以杆在最低点时重力势能为零点
最低点处
O
势能: 0
动能:
1 2
J02

1 2
(1 3
ml2 ) (v0 l
)2

1 6
mv02
最高点处
动能: 0
势能: 1 mgh
2
1 6
mv0 2

1 2
mgh
h A
h v02 3g
[例2]一长L,质量M的匀质杆,可绕过一端 的水平光滑轴转动,最初杆静止于竖直位置
kg·m2 和 J=20 kg·m2.开始时,A轮转速为600
rev/min,B轮静止.C为摩擦啮合器,其转动惯量
可忽略不计.A、B分别与C的左、右两个组件相
连,当C的左右组件啮合时,B轮得到加速而A轮
减速,直到两轮的转速相等为止.设轴光滑,
求: (1) 两轮啮合后的转速n; A
B
(2) 两轮各自所受的冲量矩. C
,现有一质量m的子弹以水平速度 v0 射入
杆中部并嵌在杆中,求(1)子弹射入瞬间杆 转动的角速度(2)杆能摆动的最大角度φ.
解: (1)以m、M为系统
子弹射入的瞬间过程系 v0
o
统对o 轴的合外力矩为
φ
零.
由角动量守恒定律
mv 0

L 2

1 3
ML2

m
L 2
2


动解(:如相小图比球)可的。忽重求略力球与的冲反击弹力速度和棒m的2角速度u.
m1 、 m2组成的系统: M 外 0 角动量守恒
2l
设小球反弹速度为v, 棒的角速度为
m1ul J m1vl (以顺时针为正)
小球与棒完全弹性碰撞:
1 2
m1u 2

1 2
m1v2

1 2
J2
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