线性代数习题参考答案

第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的

n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构

成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含

324314516625a a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1) 11

222332

33

000

a a a a a

解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,21,11,12

,100000

0n n n n n n n n n n n n nn

a a a a a a a a a a ------L L M

M M M L L

解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排

列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2

多，则此行列式为0，为什么

5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少

（提示：利用3题的结果）

6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式

（1）2

011

411

8

3

---

（2）2

2

2

1

11a

b c a b c

§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

(1) 2141 3121 1232 5062

-

(2)

100 110 011 001

a

b

c

d -

-

-

(3)

ab ac ae bd cd de bf cf ef -

-

-

2． 证明下列恒等式

(1) ()33ax by ay bz

az bx x y z D ay bz

az bx ax by a b y

z x az bx ax by ay bz

z

x

y

+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）

(2)

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

1231230123123a a a a b b b b c

c c c

d d d d ++++++=++++++

(3) 11112

2

1

100001

00

0001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+L L M M

M M M L L L

(提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)

3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余

子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。

4． 已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：11365

22743

34056

4669555356

能被13整除。

（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）

5． 已知512345

22211

27312451112243150

D ==，

求：(1) 1222324252322A A A A A ++++；

(2) 414243A A A ++和4445A A +。

（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）

6． 设()x a b c

a x

b

c f x a b

x c a b c

x

=

，求()0f x =的根。

解1：首先，行列式展开式中含4

x 项，所以()0f x =有四个根。而通过观察，将

,,x a x b x c ===代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，

即,,x a x b x c ===为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：

解2：（注意各行元素之和相等，可计算()f x 的值后，求根。）