线性代数习题参考答案

第一章 行列式
§1 行列式的概念
1． 填空
(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的
n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构
成一个n 元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含
324314516625a a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值
(1) 11
222332
33
000
a a a a a
解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,21,11,12
,100000
0n n n n n n n n n n n n nn
a a a a a a a a a a ------L L M
M M M L L
解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。

3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排
列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2
多，则此行列式为0，为什么
5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少
（提示：利用3题的结果）
6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式
（1）2
011
411
8
3
---
（2）2
2
2
1
11a
b c a b c
§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

(1) 2141 3121 1232 5062
-
(2)
100 110 011 001
a
b
c
d -
-
-
(3)
ab ac ae bd cd de bf cf ef -
-
-
2． 证明下列恒等式
(1) ()33ax by ay bz
az bx x y z D ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y
+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）
(2)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
1231230123123a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++
(3) 11112
2
1
100001
00
0001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+L L M M
M M M L L L
(提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)
3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余
子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。

4． 已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：11365
22743
34056
4669555356
能被13整除。

（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）
5． 已知512345
22211
27312451112243150
D ==，
求：(1) 1222324252322A A A A A ++++；
(2) 414243A A A ++和4445A A +。

（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）
6． 设()x a b c
a x
b
c f x a b
x c a b c
x
=
，求()0f x =的根。

解1：首先，行列式展开式中含4
x 项，所以()0f x =有四个根。

而通过观察，将
,,x a x b x c ===代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，
即,,x a x b x c ===为根。

然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：
解2：（注意各行元素之和相等，可计算()f x 的值后，求根。

）
§3 行列式的计算1．利用三角行列式的结果计算下列n阶行列式
(1)
3111
1311
1131
1113 D
（提示：注意各行（列）元素之和相等）
(2)
000
000
000
000
x y
x y
x y
y x
L
L
M M M M M
L
L
（提示：可考虑按第一行（列）展开）
(3) 12111111, (0,1,2,,)1
1
1n i n
a a D a i n a ++=
≠=+L L L M M M L
（提示：可考虑第一行的1-倍加到各行，再化为三角行列式）
2． 用迭代法计算下列行列式
(1) 2100000121000000001210000012
n D =L
L
M M M M
M M M L L
解：按第一行（列）展开，得递推公式：n D = 1n D -+ 2n D -。

于是
n D - 1n D -= 1n D -- 2n D -2D ==-L 1D = 。

由此得：n D = 1n D -+
= 2n D -+ = Λ
Λ
= 2D + = 。

(2) 00001
00001000
00010
1
n a b ab a b ab
a b D a b
ab a b
+++=
++L L
L M M M M M M L L。

解：按第一行展开，有递推公式n D = 1n D -+ 2n D -，得递推公式：
1n n D aD --= 12()n n D aD ---= Λ
Λ
= 21()D aD -= ①
同理可得：1n n D bD --= ② 联立①与②，解方程组得：n D =
3． 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
(1) 11
1
1(1)()(1)()111
1
n n
n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--L
L M M
M L L ，(0,1,2,,)a n ≠L （提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）
(2) 122
1
111
11111122
1
2
22
22
22
2
11
22
11
1111
111
n
n n n n
n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ------+---++++++++=
L L
M
M
M
M M
L ，)0(≠i
a
解：在i 行中提出n
i a 因子，
4．构造辅助行列式法计算下列行列式
(1) 22224
4
4
4
1
111a b c d D a b c d a b c d =
(缺行的范德蒙行列式)
解：构造辅助范德蒙行列式222223
3333
4
44
4
4
1
1111
a
b c d x
D
a b c d x a b c d x a b c d x =%，D 为D %中元素3x 的余子式，而222223
33334
4
4
4
4
1
1111a b c d x D
a b c d x a b c d x a b c d x ==%
(2) 1212111222, 0n n n
a a D a a a n
n
n a ++=
≠+L L L M M M L
解：构造辅助行列式12
111
10111
02
220n
a D a n
n
n a +=++L L %L M M M M L
， 则n D D
=%，而D =%
5． 用数学归纳法证明：
cos 100012cos 100cos 012cos 0
12cos n D n θθθθθ
=
=L L L M M M M M L
证明：（1）1n =时，等式显然成立；
（2）假定等式对于小于n 阶的行列式成立；
（3）（下证n 阶行列式成立）
由于，n D = 1n D -+ 2n D -（注：按最后一行（列）展开） = = 所以，
6． n x a a a
a x a a
D a a x a a a a x
=L
L
L
M M M M L
，(1)0,n a x -+≠求12n n nn A A A +++L (提示：将所有行加到最后一行)
§3 克来姆（Cramer）法则1．用克来姆法则解下列方程组
(1)
123
123
123
24 34211 32411
x x x
x x x
x x x
--=
⎧
⎪
+-=⎨
⎪-+=⎩
(2)
123
12
12
30 250
x x x
x x
x x
++=⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
2．当k取何值时，方程组
123
123
123
20
kx x x
x kx x
x x x
++=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪-+=
⎩
有非零解
第二章 矩 阵
§1矩阵的概念及运算
1． 判断正误
（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s p ⨯矩阵，若AB BA =，则 AB 与BA 必为同阶方阵。

（ ）
（2）A 与B 为n 阶方阵，λ为实数，有()()A B B A A B λλλ==⋅⋅。

（ ） （3）A 与B 为n 阶方阵，()k
k
k
AB A B =
)(N k ∈ 。

（ ）
（4）A 与B 为n 阶方阵，()2
2
2
2A B A AB B ±=±+。

（ ） （5）A 为n 阶方阵，()2
2
2A E A A E ±=±+。

（ ）
（6）A 与B 为n 阶方阵，22
()()A B A B A B +-=-。

（ ） （7）A 为n 阶方阵，2
()()A E A E A E +-=-。

（ ） （8）A 与B 为n 阶方阵，T T A B A B +=+ 。

（ ） （9）A 与B 为n 阶方阵，T T A B AB =。

（ ） 2． 选择题
(1) 设,,A B C 均为n 阶方阵，, AB BA AC CA ==，则ABC =（ ） (A) ACB （B ）CBA (C) BCA (D) CAB (2) 若A 为实对称矩阵，则T A A 的值（ ）
(A) 0≤ （B ）0≥ (C) 0= (D) 不能确定
（3）设A 为方阵，2
()2f x x x =--，则()f A 为（ ）
(A) 2
2A A -- （B ）2
2A A E -- (C) (2)()A E A E +- (D) 不能确定
3． 设121023A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，201111B -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，计算：
(1)1
32
A B -；(2) T AB ；(3) T A B 。

4． 计算101n
n A λ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

(提示：先计算出23,A A ，以此归纳出n A ，然后用数学归纳法证明结论)
5． 设A 为n 阶方阵，若对任意的n 维列向量z ，均有0Az =，证明：0A =。

(提示：由于n 维列向量z 的任意性，考察n 维列向量12,,,n e e e L ，证A 中各元素为0)
6． 设A 为实对称矩阵，若2
0A =，证明0A =。

(提示：证A 中各元素为0)
7． 若A 为n 阶方阵，且满足T AA E =。

若0A <，求E A +。

(提示：先证明E A E A +=-+)
8． 试证：若A 为奇数阶方阵，且满足T
AA E =，1A =，则0E A -=。

(提示：先证明E A E A -=--)
9． 若A 为奇数阶反对称方阵，证明：0A =。

(提示：由反对称阵的定义证明)
10． 设,A B 都是对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =。

11． 设n 阶方阵()ij A a =，()ij B b =，且A 与B 的各行元素之和为1，α是1n ⨯矩阵，
且每个元素都为1，求证： (1) A αα=；
(2) AB 的各行元素之和都等于1；
(3) 若,A B 各行元素之和分别为,k t ，则AB 的各行元素之和都等于什么
§2 逆矩阵
1． 判断正误(,,A B C 均为n 阶方阵)
(1) 000
AB A B =⇒==或。

( ) (2) AB AC B C
=⇒=。

( ) (3)
A 为n
阶方阵。

则
2A A A E
=⇒=或
A =。

( ) (4) 11A A
-=。

( ) (5) ()1
11AB B A ---=，()T
T T AB B A =。

( )
(6) ****()A A A E
=。

( )
2． 填空
(1) 设213012101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A = ，*
A = ，
1A -= 。

(2) 设A 为3阶方阵，且4A =，则1A -= ，1(4)A -= ，
*
1143
A A --= ，*()T A = 。

(3) 已知*
100212, 020001A BA AB E A ⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则B = 。

(4) 设14311201X ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，则X = 。

3． 设0k A =，证明：1
21()
k E A E A A A ---=++++L 。

(提示：证明2
1
()()k E A E A A A E --++++=L )
4． 设方阵A 满足2
20A A E --=，证明：A 及2A E +都可逆，并求其逆矩阵。

（提示：利用可逆的定义证明）
5． 设A 是n 阶方阵，证明：(1) 若0A =，则*
0A =；(2) 1
*n A A
-=；(3)
2
**(),(0)n A A
A A -=≠。

（提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式*
AA A E =）
6． 设n 阶非零方阵A 的伴随矩阵为*A ，且*A =T A ，求证：0A ≠。

(提示：可考虑用反证法证明)
7． 设A 是n 阶方阵，如有非零矩阵B 使0AB =，则||0A =。

8． 设1
1
,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆方阵，求1
11
()A B ---+。

§3 分块矩阵
1．设
12000
41010
05001
30000
03000
A
-⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，
0002
0003
2130
1210
0140
B
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=-
⎪
-
⎪
⎪
⎝⎭
，利用分块矩阵计算AB。

2．设
200
010
001
A
-⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
200
012
001
P
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，(1) 利用分块矩阵求11
,
A P
--；(2) 计算
()5
1
P AP
-。

3．设,A B均为n阶方阵，令
O A Q
B O
⎛⎫= ⎪
⎝⎭
(1)证明Q可逆的充要条件是,A B均可逆；
(2)设
U V
P
W X
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，使
E O
PQ
O E
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，求出,,,
U V W X；
(3)当Q可逆时，求出1
Q-。

4．设
1
2
1
1
0000
0000
,0
0000
0000
n
n
n
a
a
A a a
a
a
-
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=≠
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
L
L
M M M M M L
L
L
，利用矩阵分块求1
A-。

5． 设A 为n 阶可逆方阵，1A 为1n ⨯矩阵，b 为常数，
*
1T E O P A A A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11T A A Q A b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(1) 计算PQ ；(2) 证明：Q 可逆的充要条件是1
11T A A A b -≠。

6． 设A 为4阶矩阵，且2A =，把A 按列分块为()1234,,,A A A A A =，其中
(1,2,3,4)j A j =是A 的第j 列，求312412,3,,A A A A A ---。

(提示：根据行列式的性质计算)
§4 矩阵的初等变换
1．把矩阵
3201
0221
1232
0121
A
--
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
---
⎪
⎝⎭
化为阶梯形和简单阶梯形。

2．利用初等变换求逆矩阵，
1200
2012
1101
1000
A
⎛⎫
⎪
⎪=
⎪
-
⎪
⎝⎭。

3．利用初等变换求解下列矩阵方程
（1）
41213 22122 31131
X
--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
（2）021123213231334X ⎛⎫⎛⎫
⎪-= ⎪ ⎪-⎝
⎭ ⎪--⎝⎭
4． 已知2
2220
1110
0110001A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
L L L M M M M L
，用初等变换求1A -，并计算A 的所有代数余子式之和
,1
n
ij
i j A
=∑。

(提示：利用*
AA A E =，可求,1
n
ij
i j A
=∑)
§5 矩阵的秩
1． 判断正误
(1) 若A 为m n ⨯矩阵，()R A r =，则min{,}r m n ≤。

( )
(2) 若()R A r =，则A 的所有的r 阶子式都不为0，而所有的1r +阶子式都为0。

( )
(3) 若矩阵A 存在一个r 阶子式都不为0，则()R A r ≥。

( ) (4) 任何一个可逆矩阵都可分解为初等方阵的乘积，且分解唯一。

( ) （5）设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，且m n >，则0AB =。

( )
2． 设01112022200111111011A -⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭
，求()R A 。

3． 设矩阵31144101171732243A λ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，(1) λ为何值时，()R A 最大(2) λ为何值时，()R A 最小
(提示：利用初等变换求秩)
4． 讨论n 阶方阵1111
111
11a a A a ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
L L M M M M L
的秩。

5． (1,2,,)i a i m =L 不全为零，(1,2,,)j b j n =L 不全为零，求矩阵
1112121
22212n n m m m n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
L L M M M L 的秩。

(提示：利用秩的定义，考虑行列式的一阶及二阶子式)
6． 设,A B 均为n 阶方阵，证明： (1) 若()R A n =，则()()R AB R B =； (2) 若()R B n =，则()()R AB R A =。

(提示：利用可逆矩阵可分解为初等方阵的乘积，以及初等变换不改变矩阵的秩证明)
第三章 向量组的线性相关性
§1 n 维向量
1． 设123214511
, , 152323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，且1233()2()5()αααααα-++=+，求向量
α。

§2 向量组的线性相关与线性无关
1． 用定义判断下列向量组的线性相关性
（1）1231212, 0, 2112ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：设1122330x x x ααα++=即有齐次线性方程组12312312
320
202020
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩。

线性方程组的系数行列式为121
2
0201
12
-=，故由克拉姆法则方程组有非零解，即存在不全为零的数使得1122330x x x ααα++=成立，故1
2
3,,ααα线性相关。

（2）1231111, 2, 1310ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：设1122330x x x ααα++=即有齐次线性方程组12312312
3020300
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩。

线性方程组的系数行列式为11
1
1
21103
1
--=-≠，故由克拉姆法则方程组只有零解，即只存在全为零的数使得1122330x x x ααα++=成立，故1
2
3,,ααα线性无关。

2． 设130β⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
，1231020, 1, 2101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把β表示成123, , ααα的线性组合，问线性表示是否唯一
解：设112233x x x αααβ++=即有非齐次线性方程组1231231
23021
023010
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩。

线性方程组的系数行列式为102
1210101
=-≠，故由克拉姆法则方程组有唯一解，
即β能表示成123, , ααα的线性组合，且表示唯一。

3． 设1231111, 2, 313t ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，问：
（1） 当t 为何值时，123, , ααα线性无关当t 为何值时，123, , ααα线性相关 （2） 当123, , ααα相关时，将3α表示为12, αα的线性组合。

解：(1) 123, , ααα线性相关⇔111
12
35013t t
=-=⇔5t =，从而
123, , ααα线性无关⇔5t ≠
(2) 当5t =时3212ααα=-
4． 证明：若向量组12, , , s αααL 中含有零向量，则此向量组一定线性相关。

（提示：用定义证明） 证明:不妨设10α=
法一：显然12100 0s ααα+++=L ，即存在不全为零的数使得12, , , s αααL 线性组合为零，故向量组一定线性相关。

法二：由10α=可知向量组1α线性相关，又{}{}112, , , s αααα⊆L ，故向量组一定线性相关。

注意：因为向量组12, , , s αααL 中含有零向量，故行列式12, , , 0s ααα=L ，故向量组一定线性相关。

（这样证明是错误的，因为()12, , , s αααL 不一定是方阵。

）
5．已知向量组1234, , ,αααα线性无关，112223,βααβαα=+=+，
334441,βααβαα=+=-，用定义证明：向量组1234, , ,ββββ线性无关。

解：设
112233440k k k k ββββ+++=，由题条件可得
()()()()1411222333440k k k k k k k k αααα-++++++=
又1234, , ,αααα线性无关，故有1412
23
340
00
k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩方程组系数行列式为
10011100100110001
1-=≠
由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有1234, , ,k k k k 全为零112233440k k k k ββββ+++= 才成立，故向量组1234, , ,ββββ线性无关。

6．若向量β可由12s , , , αααL 线性表出，则表示法唯一的充要条件为
12s , , , αααL 线性无关。

（提示：可考虑用反证法证明）
证明：充分性（12s , , , αααL 线性无关⇒表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不同的表示为
1122(1)s s k k k αααβ+++=L 1122(2)s s l l l αααβ
+++=L
由（1）（2）得()()()1112220
s s s k l k l k l ααα-+-++-=L ，
由两个表示不一样有1122,,s s k l k l k l ---L 不全为零，这与12s , , , αααL 线性无关矛盾。

故当12s , , , αααL 线性无关时表示法唯一
必要性：（表示法唯一⇒12s , , , αααL 线性无关）若12s , , , αααL 线性相关，则存在不全为零的数设为12,,s m m m L 有
()11220
3s s m m m ααα+++=L
又β可由12s , , , αααL 线性表出记为
1122(4)s s n n n αααβ
+++=L
由（3）（4）可得
()()()111222(5)s s s n m n m n m αααβ
++++++=L
由12,,s m m m L 不全为零知道（4）（5）是β两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。

故表示法唯一⇒12s , , , αααL 线性无关
7． 若向量组123, , ααα线性无关，问常数m l ,需满足什么条件时，向量组
122331, , l m αααααα+++线性无关
（提示：用定义判定）
解：设()()()1122233310x l x x m αααααα+++++= 即有
()()()1311222330lx x x x x mx ααα+++++=
由向量组123, , ααα线性无关得
13122
3000
lx x x x x mx +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 方程组的系数行列式为01
1
1
0101l
lm m
=+，由克拉姆法则得10lm +≠时方程组只有零解。

当1lm ≠-时122331, , l m αααααα+++线性无关。

8．判断题
（1）若向量组12, , , m αααL 线性相关，则任一向量(1)i i m α≤≤可由其余向量线
性
表
出。

（
）
正确为：若向量组12, , , m αααL 线性相关，则至少有一个向量(1)i i m α≤≤可
由其余向线性表出。

反例：1000,1,0000⎧⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
（2）对任意一组不全为零的数12, , , m λλλL ，有11220m m λαλαλα+++=L ，则
向量组
12, , , m
αααL 线性相关。

（
）
思考一下这在什么情况下发生
（3）若12, , , m αααL 线性相关，12, , , m βββL 亦线性相关，则有不全为零的
数12, , , m λλλL ，使 11220m m λαλαλα+++=L ，
11220m m λβλβλβ+++=L 同时成立。

（
）
（4）若有不全为0的数12, , , m λλλL ，使
++++m m αλαλαλΛ221102211=+++m m βλβλβλΛ
成立，则12, , , m αααL 线性相关，12, , , m βββL 亦线性相关。

（
）
（5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则
这三
向
量
共
面。

（
）
9．选择题
（1）n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤L 线性无关的充分必要条件是（ D ）
（A ）存在不全为零的数s 21 , , ,λλλΛ，使11220s s λαλαλα+++≠L ；
反例1000,1,0000⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭
线性相关但100000100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
正确应为： n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤L 线性无关的充分必要条件是 对任意的不全为零的数s 21 , , ,λλλΛ，使11220s s λαλαλα+++≠L
（B ）12,,,s αααL 中任意两个向量线性无关；
（C ）12,,,s αααL 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出； （D ）12,,,s αααL 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。

（2）设12,,,m αααL 均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ B ） （A ）若11220m m λαλαλα+++=L ，则12, , ,m αααL 线性相关；
注意：无论12,,,m αααL 是否无关，当12 0m λλλ====L 时均有
11220m m λαλαλα+++=L
（B ）对任意一组不全为零的数12, , ,m λλλL ，有11220m m λαλαλα+++≠L ，
则向量组12, , ,m αααL 线性无关；
注意：（B ）意味着 11220m m λαλαλα+++=L 只有12 0m λλλ====L 。

（C ）若12, , , m αααL 线性相关，则对任意一组不全为零的数12, , , m λλλL ，
有11220m m λαλαλα+++=L ；
注意：12, , , m αααL 线性相关只是至少存在不全为零的数12, , , m λλλL ，有
11220m m λαλαλα+++=L 未必是对任意一组不全为零的数有11220m m λαλαλα+++=L
（D ）因为120000m ααα+++=L ，所以12, , , m αααL 线性无关。

(3) 设有任意两个n 维向量组12, , , m αααL 和12, , , m βββL ，若存在两组不
全
为
零
的
数
12, , , m
λλλL 和
12, , , m
k k k L ,使
111222()()()m m m k k k λαλαλα+++++++
L 111222()()()0m m m k k k λβλβλβ-+-++-=L ，则 （ D ）。

（A ） 12, , , m αααL 和12, , , m βββL 都线性相关；
（B ） 12, , , m αααL 和12, , , m βββL 都线性无关； （C ） 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性无关； （D ） 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性相关。

注意：
111222111222()()()()()()0
m m m m m m k k k k k k λαλαλαλβλβλβ+++++++-+-++-=L L ⇒
()()()()()()1112221112220
m m m m m m k k k k λαβλαβλαβαβαβαβ+++++++-+++-=L L
（4）向量组123, , ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ B ）。

（A ）122331,,αααααα+++ ； （B ）112123,,αααααα+++；
（C ）122331,,αααααα--- ； （D ）122313,2,3αααααα+++。

注意：向量组123, , ααα与向量组112123,,αααααα+++等价。

123, , ααα线性无关故秩为3，故112123,,αααααα+++秩也为3。

（5）设向量组（I ）：1112131a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1222232a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1332333a a a α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
；
向量组（II ）：112113141a a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122223242a a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132333343a a a a β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，142443444a a a a β⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ） （A ） （I ）相关⇒（II ）相关； （B ） （I ）无关⇒（II ）无关； （C ） （II ）无关⇒（I ）无关； （D ） （I ）无关⇔（II ）无关。

（6）若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（C ）
（A ）α必可由,,βγδ线性表示； （B ）β必不可由δγα,,线性表示； （C ）δ必可由γβα,,线性表示； （B ）δ必不可由γβα,,线性表示。

注意：向量组,,αβγ线性无关，⇒,αβ线性无关，又,,αβδ线性相关
⇒δ必可由,αβ线性表示；⇒δ必可由γβα,,线性表示；
§3向量组的秩
1． 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。

（1）123411141132
, , , 21353156αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（提示：首先将向量作为列向量构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为最简阶
梯形）
解：作矩阵
12341123111113
354256T T T T A αααα⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭213141
,,r r r r r r
---uuuuuuuuuuuuuuuuuuu r 1123021202120636⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
3242,3r r r r +-uuuuuuuuuuuuuu r 1123021200000000⎛⎫
⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
故{}1234, , , 2R αααα=，12, αα是其一个极大无关组。

（2）123411011120
, , , 01211222ββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

解：作矩阵
12
341101111202221012T T T T A ββββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
⎪-⎝
⎭⎝⎭2141,r r r r ++uuuuuuuuuuuu
r 1101001102220111--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭
24r r ↔uuuuuuu r 1101011102220011--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭
322r r +uuuuuuu r
11
1011100000
011--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭
34r r
↔uuuuuuu r 11
1011100110
000--⎛⎫ ⎪
- ⎪
⎪- ⎪
⎝⎭
故{}1234, , , 3R ββββ=，124, ,βββ是其一个极大无关组。

2． 设向量组2123, , 2, 31311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩为2，求b a ,。

解：法一，作矩阵
3123121231a b A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭13r r
↔uuuuuuu r 1212331231b a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
2131412,,2r r r ar r r ---uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu r 1
210410321011b a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭24r r ↔uuuuuuu r 1210110321041a a b ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭
()
324232,(4)r a r r b r +-+-uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu u r 12
1011002005a b ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
故2050a b -=⎧⎨-=⎩即2
5a b =⎧⎨=⎩
时秩为2。

法二：由向量组秩为2可得123, 2, 3111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关，故123230111a =2a ⇒=
由向量组秩为2可得212, 2, 3311b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关，故212230311b =5b ⇒=
3． 设向量组12, , , s αααL 能由向量组12, , , t βββL 线性表出，证明：
R （12, , , s αααL ）≤R （12, , , t βββL ）
（注：该结论是线性代数重要结论之一。

凡是与秩有关的命题，大多需用该结论证
明，如第4题等）
证明：令R （12, , , s αααL ）= p ，不妨设A =12{, , , }p αααL 为12, , , s
αααL 的极大无关组；令 R （12, , , t βββL ）= q ，=B 12{, , , }q βββL 为
12, , , t βββL 的极大无关组。

考虑向量组M =12{, , , ,p αααL 12, , , }q βββL ，
12, , , q βββL 为12, , , t βββL 的极大无关组，则12, , , q βββL 线性无关且
12, , , t βββL 能被12, , , q βββL 线性表出。

又12, , , s αααL 能由向量组12, , , t βββL 线性表出，故12, , , t βββL 也能表示12, , , p αααL ，
从而12, , , q βββL 线性无关且表示M =12{, , , ,p αααL 12, , , }q βββL ，即12, , , q βββL 是M =12{, , , ,p αααL 12, , , }q βββL 的极大无关组，故()R M q =。

由12, , , p αααL 线性无关及秩的定义有()R M p ≤。

故R （12, , , s αααL ）≤R （12, , , t βββL ）
4． 设12, , , n αααL 是n 个n 维向量，若标准基向量12,,,n e e e L 能由它们线性表
出，证明：12, , , n αααL 线性无关。

（提示：用秩法判定向量组的线性相关性）
证明：已知12{,,,}n R e e e n =L ，由12,,,n e e e L 能由12, , , n αααL 线性表出有
1212{, , , }{,,,}n n R R e e e n ααα≥=L L ，又12{, , , }n R n ααα≤L 可得
⇒12{, , , }n R n ααα=L ⇒12, , , n αααL 线性无关
5． 证明：任意1+n 个n 维向量121, , , n ααα+L 必定线性相关。

（提示：考虑它们与单位向量组12, , , n e e e L 的表示关系，再利用第3题给出
121, , , n ααα+L 的秩的范围，最后用秩法判定）
证明：作矩阵()121, , , n A ααα+=L 则由(){}121, , , n R A R ααα+=L 又()R A n ≤⇒{}121, , , n R n ααα+≤L ⇒121, , , n ααα+L 必定线性相关。

6． 设向量组12, , , s αααL 与向量组12, , , t βββL 的秩相等，且向量组
12, , , s αααL 能由向量组12, , , t βββL 线性表出，证明：12, , , s αααL 与
12, , , t βββL 等价。

证明：设它们的秩为r ，12, , , r αααL 为12, , , s αααL 的极大无关组；
12, , , r βββL 为12, , , t βββL 的极大无关组。

考虑向量组M =12{, , , ,r αααL 12, , , }r βββL 。

容易证明12, , , r βββL 也是向量组M =12{, , , ,r αααL 12, , , }r βββL 的极大无关组，故()R M r =。

若12, , , r αααL 不能线性表示12, , , ,r βββL 则12, , , r βββL 必存在一个向量不妨设
1β满足121, , , ,r αααβL 线性无关，若121, , , ,r αααβL 不能线性表示12, , , ,
r βββL 则12, , , r βββL 必存在一个向量不妨设2β满足1212, , , ,,r αααββL 线性无关，如此继续下去必能找到向量组1212, , , ,,,r k
αααβββL L ()
k r ≤线性无关且能表示
12, , , ,r βββL
故1212, , , ,,,r k αααβββL L ()k r ≤是向量组M =12{, , , ,r αααL 12, , , }r βββL 的极大无关组，故()R M r k r =+>，矛盾。

故12, , , r αααL 能线性表示12, , , ,r βββL 从而12, , , s αααL 能线性表示12, , , t βββL 。

故12, , , s αααL 与12, , , t βββL 等价。

7． 设123213121
n n
n n βαααβαααβααα-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪
⎪=+++⎩L L L L L ，证明：12, , , n αααL 与12, , , n βββL 等价。

（提示：可利用克来姆法则反解出12, , , n αααL ） 证明：由条件可得12, , , n αααL 能线性表示12, , , n βββL ，且
()()1212, , , , , , n n A βββααα=L L ，其中0
1111
0111
1011110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
L L L M M M O M L
计算10111
111110111011
,2,1101110
111110
1111
0k n n n n A r r k n ----=+=L
L
L
L L L
L
M M M O M M M M O M 11111011(1)11011111
n =-L
L
L
M M M O M 1
1
11
0111
(1)00110000
1
n -=---L
L
L M M M O M 1(1)(1)0n n -=--≠ 所以A 可逆，故()()1
1212, , , , , , n n A αααβββ-=L L ，即12, , , n βββL 能线性表示
12, , , n αααL ，故12, , , n αααL 与12, , , n βββL 等价。

8． 设有向量组2(,,,)(1,2,,;)n
i i i i t t t i m m n α==≤L L ，试证：向量组12, , , m αααL 线
性无关，其中12,,,m t t t L 为m 个互不相等且不为0的常数。

（提示：用定义证明，其间涉及范德蒙行列式的计算）
证明：作矩阵12m A ααα⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
M ，故{}12(), , , m R A R ααα=L 。

计算矩阵A 的秩，显然()R A m ≤。

且矩阵A 有一个m 阶子式
211122222m
m m m
m m
t t t t t t t t t L L
M M L
M
L
11112
21
1111m m m
i
i m m m
t t t t t t t --=-=∏L L
M M L M
L
()1
10m
i
j
i i i j m
t t
t =≤<≤=-≠∏∏，故()R A m ≥。

故()R A m =⇒{}12, , , m R m ααα=L ⇒向量组12, , , m αααL 线性无关
9． 设向量组12{, , , }s αααL 的秩为1r ，向量组} , , ,{t 21βββΛ的秩为2r
向量组1212{, , , ,,,,}
s t αααβββL L 的秩为
3
r ，证明：
12312max{,}r r r r r ≤≤+。

证明：设112{, , , }r αααL 是12{, , , }s αααL 的极大无关组，
212{, , , }r βββL 是} , , ,{t 21βββΛ的极大无关组。

显然
121212{, , , ,, , , }r r αααβββL L 能线性表示1212{, , , ,,,,}s t αααβββL L
故121212{, , , ,, , , }r r R αααβββ≥L L 1212{, , , ,,,,}s t R αααβββL L 又12121212{, , , ,, , , }r r R r r αααβββ≤+L L ，所以312r r r ≤+。

显然1212{, , , ,,,,}s t αααβββL L 能线性表示12{, , , }s αααL 和} , , ,{t 21βββΛ。

故
31r r ≥，且32r r ≥⇒123max{,}r r r ≤。

10． 设,A B 同为n m ⨯矩阵，
证明（1）()()()R A B R A R B +≤+，
（2）()()()R A B R A R B -≤+。

证明：记()12, , , n A ααα=L ，()12, , , n B βββ=L ，则
()1122, , , n n A B αβαβαβ+=+++L ，()1122, , , n n A B αβαβαβ-=---L
记向量组{}12, , , n M ααα=L ，{}12, , , n N βββ=L
{}1122, , , n n K αβαβαβ=+++L ，{}1122, , , n n L αβαβαβ=---L
则()()R A R M =，()()R B R N =，()()R A B R K +=，()()R A B R L -= 作向量组{}1212, , , ,, , , n n H αααβββ=L L
由向量组秩的关系得()()()()()R H R M R N R A R B ≤+=+
显然向量组H 能表示向量组,K L ，故()()R H R H ≤()()R L R H ≤，
即有()()()R A B R A R B +≤+，()()()R A B R A R B -≤+
11． 设A 为s m ⨯矩阵，B 为p s ⨯矩阵，证明)}(),(min{)(B R A R AB R ≤。

（提示：令AB C =，证)()(A R AB R ≤，证明方法也是考虑它们的列向量组之间的
关系；再由T
T
T
C B A =，证)()(B R AB R ≤）
12． 向量12, , , n αααL 线性无关的充分必要条件是
1112121222120T T T n T T T n
T T T n n n n
D αααααααααααααααααα=
≠L L
M
M
M
L
（提示：令12(, , , )n A ααα=L ，则T D A A =） 证明： 0T
D A A =≠⇔0T
A
A ≠⇔0A A ≠⇔0A ≠
⇔12, , , n αααL 线性无关
13． 选择题
（1）设A 是n 阶矩阵，且0=A ，则A 中（ C ）
（A ） 必有一列元素全为零； （B ） 必有两列元素对应成比例；
（C ） 必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ） 任一列向量都是其余向量的线性组合。

（2）已知线性方程组的系数矩阵A 是54⨯矩阵，且A 的行向量组线性无关，则
下列结论正确的是（C ）。

（A ）A 的列向量组线性无关；
注：A 的行向量组线性无关⇒()4R A =⇒A 的列向量组线性相关 （B ）A 的增广矩阵的任意四个列向量线性无关； （C ）A 的增广矩阵的行向量组线性无关；
注：A 的行向量组线性无关⇒()4R A =⇒()4R A ≥，又46()4R A ⨯≥⇒()4R A = （D ）A 的增广矩阵的列向量组线性无关。

（3）设向量12(1)s s αααα=+++>L ，而
1122,,,βααβαα=-=-L s s βαα=-
则下列结论中正确的是（ A ）。

（A ）R 12{,,,}s αααL =R 12{,,,}s βββL ；
（B ）R 12{,,,}s αααL >R 12{,,,}s βββL ；
（C ）R 12{,,,}s αααL <R 12{,,,}s βββL ；
（D ）不能确定。

注：容易证明12,,,s αααL 与12,,,s βββL 等价
（4）若存在矩阵,P Q ，使,A PB B QA ==，则（ ）
（A ）()()R A R B =；（B ）()R A >()R B ；（C ）()R A <()R B ；（D ）不能确定。

注：A PB =⇒()()R A R B ≤，B QA =⇒()()R A R B ≥ （5）矩阵A 在下列（ D ）变换时改变秩。

（A ） 转置； （B ）初等变换； （C ）乘以非奇异阵（D ）乘以奇异阵。

§4 n 维向量空间
1． 证明：{(,,)230}V x y z x y z =++=是3R 的子空间。

证明：,V αβ∀∈，不妨记111(,,)x y z α=，222(,,)x y z β=， 则111230x y z ++=，222230x y z ++=。

121212(,,)x x y y z z αβ+=+++
()()()12121223x x y y z z +++++=()11123x y z +++()22223x y z ++0=
故V αβ+∈。

k R ∀∈，111(,,)k kx ky kz α=
()11111123230kx ky kz k x y z ++=++=
故k V α∈。

故{(,,)230}V x y z x y z =++=是3R 的子空间。

2． 设
11212{(, ,,), 0}n i n V x x x x R x x x =∈+++=L L 21212{(, ,,), 0}n i n V x x x x R x x x =∈+++≠L L
问12,V V 是不是向量空间为什么
解;1V 是向量空间（仿照上题证明对1V 线性运算封闭）
2V 不是向量空间，因为(0, 0,,0)L ，0000+++=L ，则2(0, 0,,0)V ∉L 。

3．
证明：由1231112, 2, 0300ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭构成3R 的一个基，并求592β⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭
在这个基下的坐标。

证明：123A ααα=
111
22060300
==≠，故{}123,,3R ααα=，故123,,ααα线性无
关且{}3
123,,R R ααα=⇒123,,ααα构成3R 的一个基。

4． 设121211201011
, , , 01310131ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
112{,},V span αα=212{, }V span ββ=，证明：12V V =。

（提示：只需证明12,αα与12, ββ等价）
证明：由题的条件可知：121212 3, βααβαα=-=-；()()11221211
3,22
αββαββ=
+=+ 即{}12 ,αα与12{, }ββ等价⇒12V V = 设12(,)T
x x x =，说明12x x 平面上12()x f x f x ⎛⎫=
⎪⎝⎭=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛21x x A 的几何意义。

（1）1001A -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）0001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）0110A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

§5 内积与正交向量组
1． 试用施密特法把下列向量组正交化
（1）⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=941 ,321 ,111321ααα；
11111βα⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
2122111
111,6210,3311αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3132
33121122
,,,,αβαββαββββββ=-
-=13111148241032391113⎛⎫
⎪
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
2． 设βα，是n 维向量，且βα⊥，证：2
22
βαβ
α＋=+。

（提示：根据模与内积的关系以及内积的性质证明）
证明：
2
,αββαβ+=++,,,,αααββαββ=+++
又βα⊥⇒,,0ββα==
所以
2
2
2
,,αβαββαβ+==+=+
3． 证明：βα⊥⇔λβαλβαλ－=
+∈∀ ,R 。

证明：
λβαλβαλ－=+∈∀ ,R
⇔,R λ∀∈=⇔, ,,R λλβαλβλβαλβ∀∈++=--
⇔
, ,,,,,,,,R λαααλβλβαλβλβαααλβλβαλβλβ∀∈++=+-+-+--⇔22, ,2,,,2,,R λααλβλββαλαβλββ∀∈++=-+ ⇔, 4,0R λλβ∀∈=⇔β
α⊥
第四章
线性方程组
§1 线性方程组的一般理论
1． 判断题
（1）b Ax =有解的充要条件有三种：①)()(A R A R =；②b 能由)
,,(21n a a a A ，Λ=的列向量组线性表出；③向量组12,,,n a a a L 与向量组12,,,,n a a a b L 等价。

（
）
（2）0=Ax 有非零解的充要条件是A 的列向量组的秩小于n （n 是未知数的个数）。

（
）
（3）若)0(≠=b b Ax 有无穷多解，则0=Ax 有非零解。

（ ） （4）若0=Ax 有非零解，则)0(≠=b b Ax 必有无穷多解。

（ ） 2． 选择题
（1）A 为m n ⨯阶矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有无数个解，则必有 D 。

（A ）n m <； （B ）()R A m <； （C ）A 中有两列对应元素成比例； (D) A 的列向量组线性相关。

注：
0m n A x ⨯=有无数个解⇔0m n A x ⨯=有非零解⇔()m n R A n ⨯<⇔A 的列向量组线性相关
（2）A 为m n ⨯阶矩阵，非齐次线性方程组b Ax =的解不唯一，则下列结论正确的是
D 。

（A ）n m <； （B ）m R(A)<； （C ）A 为零矩阵； (D) 0=Ax 的解不唯一。

注： b Ax =的解不唯一⇒0=Ax 的解不唯一，反之不成立，因为0=Ax 的解不唯一时b Ax =无解。

但0=Ax 的解不唯一是b Ax =的解不唯一必要条件。

（3）已知12,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，12,αα是非齐次线性方
程组Ax b =导出方程组的基础解系，12,k k R ∈，则方程组Ax b =的通解必是B 。

（A ）12
11212()2
k k ββααα-+++； （B ）12
11212()2
k k ββααα++-+；
（C ）12
11212()2
k k ββαββ-+++
； （D ）12
11212()2
k k ββαββ++-+。