第11章动矩定理

第11章 动量矩定理

上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。

11.1 动量矩定理

11.1.1质点和质点系动量矩

1．质点的动量矩

如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为

v r v M m ×=)(m o （11-1）

图11-1

图11-2

质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固

定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即

mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。

单位为kg.m 2/s 。

质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量，即

z o xy o m =m M =m M Z

)]([])[()(v M v v （11-2）

2．质点系的动量矩

质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即

∑==n

i i i o )(m 1v M L o （11-3）

质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即

Z

o n

i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1

（11-4）

刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计

算。

刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得

图11-3

ω

J =ω)r m (=)

r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n

i i i n i i i i n

i i i i n

i i i z ∑∑∑∑====1

21

1

1v z

即

ωJ =L z z （11-5）

其中，∑=n

i i i z r m =J 1

2为刚体对转轴z 的转动惯量1

。

定轴转动刚体对转轴z 的动量矩等于刚体对转轴z 的转动惯量与角速度的乘积。

11.1.2质点和质点系动量矩定理

1．质点的动量矩定理

如图11-1所示，设质点对固定点O 的动量矩为)(m o v M ，力F 对同一点O 力矩)(o F M ，将式（11-1）对时间求导得

)(m dt

d m ×dt d =)m ×(dt d =)(m dt d o v r v r v r v M ×+][ )(=m ×=o F M F r v v ×+

即

)(=)(m dt

d

o o F M v M ][ （11-6） 质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。

将式（11-6）向直角坐标系投影得

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)

(M =)(m M dt d )(M =)(m M dt

d

)(M =)(m M dt d

z

z y y x x F v F v F v ][][][ （11-7） 特殊情形：

当质点受有心力F 的作用时，如图11-4所示，力矩0=)(o F M ，则质点对固定点O 的动量矩)(m o v M =恒矢量，质点的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩0=)(o F M ，行星的动量矩)(m o v M =恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v 与恒星到速度矢量的距离h 成反比。

1刚体对转轴的转动惯量计算见附录Ⅱ

图11-4

例题11-1如图11-5所示单摆，由质量为m 的小球和绳索构成。单摆悬吊于点O ，绳长为l ，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。

图11-5

解：根据题意以小球为研究对象，小球受力为铅垂重力g m 和绳索拉力F 。单摆在铅

垂平面内绕点O 作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为ϕ，ϕ为逆时针时正，如图11-5所示。则质点对点O 的动量矩为

mvl )m (M o =v 作用在小球上的力对点O 的矩为

ϕsin mgl )(M o -=F 由质点的动量矩定理得

ϕsin mgl l v m -=& （1）

由于ϕ&l ωl v ==，则ϕ&&&l v =，又由于单摆作微振幅摆动，则ϕϕ≈sin

从而由式（1）得单摆运动微分方程为

022=+ϕϕl

g

dt d （2） 解式（2）得单摆的运动规律为

)t sin(ωn o θϕϕ+= 其中，l

g

ωn =

称为单摆的角频率，单摆的周期为 g

l πωπ

T n

22==

o ϕ称为单摆的振幅，θ称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。

2．质点系的动量矩定理