人教版高中数学必修4第三章单元测试(一)- Word版含答案
高中人教A版数学必修4：第三章 章末检测 Word版含解析
∴sinθ·cosθ＝ ，sin2θ＝ .
3
3
π
( ) 12．设动直线 x＝a 与函数 f(x)＝2sin2 ＋x 和 g(x)＝ 3cos2x 的图象分别交于 M，N 两 4 点，则|MN|的最大值为( )
A. 2 B. 3
C．2 D．3
答案：D
π
( ) 解析：f(x)＝1－cos ＋2x ＝1＋sin2x. 2
2
(2)列表：
π
π 7π 5π
x
0
π
12 3 12
6
π
π
2x＋
3
3
π
3π
7π
π
2π
2
2
3
f(x)
3
2
0 －2 0
3
描点连线得图象，如图所示．
π
( ) 20．(12 分)已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相垂直，其中 θ∈ 0， . 2 (1)求 sinθ 和 cosθ 的值；
答案：－ 3
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴ 3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴ 3cosθ＋sinθ＝0，
∴tanθ＝－ 3.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
sinα＋cosα
17．(10 分)已知
＝3，tan(α－β)＝2，求 tan(β－2α)的值．
5
值．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
∴|a－b|＝ cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2
25 ＝ 2－2cosα－β＝ ，
数学必修四第三章试卷(含答案).
必修四第三章姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．432．计算212sin 22.5-︒的结果等于( )A ．12B ．2C D 3．已知1(0,),sin cos ,cos 22απααα∈+=且则的值为（ ） ）A ．±B C D ．－344．13cos80-的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．若3sin 5α=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．106．若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B ．14C ．13D ．12—A ．2πB ．C ．πD ．4π 8．已知函数22()3cos sin 3f x x x =-+，则函数（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为5B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为6C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为5D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为69．若1 s in 3α=，则2 c os +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．23B ．12C ．13D ．0}10．已知，则( )A ．B ．C ．D ．11．若α，β均是锐角，且αβ<，已知()3cos 5αβ+=，()12sin ,13αβ-=-，则sin 2α=（ ）A ．1665-B ．5665C ．5665或1665D ．5665或1665-12．若sinθcosθ=12，则tanθ+cosθsinθ的值是（ ）1二、填空题 13．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= _ . @14．已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______．15．如果tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4，那么tanαtanβ等于_______.16．已知1tan 2α=，()2tan 5αβ-=-，则()tan 2βα-=____________.三、解答题17．已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+-+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值； （II ）求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间． [18．已知3sin cos 0x x +=，求下列各式的值， （1）3cos 5sin sin cos x xx x+-；（2）22sin 2sin cos 3cos x x x x +-.\19．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．．1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-．0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．]20．已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.~21．已知函数2(cos cos f x x x x +． "（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅰ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．—22．设函数f(x)=2cosx(cosx+√3sinx)(x∈R). （1）求函数y=f(x)的周期和单调递增区间；#]时，求函数f(x)的最大值.（2）当x∈[0,π2参考答案1．B 【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系． 2．B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式可得结果. 【详解】由余弦的二倍角公式得 212sin 22.5cos 452-︒=︒=故选：B 【点睛】本题考查余弦二倍角公式的应用，属于简单题. 3．C 【解析】 【详解】试题分析：1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，3,24ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭32,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 44πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭cos 2sin 22sin cos 224444πππαααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系. 4．B 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值. 【详解】13cos80-13sin10=-cos103sin10-=()2sin 3010sin10cos10-=2sin 2041sin 202==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．A 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【详解】解：3sin 5α=， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5α∴==，)5cos cos sin 4210πααα⎛⎫∴+=--=- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 6．D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化；另外，22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等 7．A 【解析】 【分析】把三角函数式整理变形，变为()()sin f x A x =+ωϕ的形式，再用周期公式求出最小正周期. 【详解】()sin cos f x x x =+sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2T π∴=.故选：A. 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】利用降次公式化简()f x ，由此求出函数的最小正周期和最大值. 【详解】 依题意()1cos 21cos 2332cos 2422x x f x x +-=⨯-+=+，故最小正周期为2ππ2T ==，最大值为246+=，所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数的最小正周期，考查三角函数的最大值的求法，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】直接利用降幂公式和诱导公式化简求值. 【详解】2cos +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭21cos()1sin 1322223παα++-===.故答案为：C. 【点睛】（1）本题主要考查降幂公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幂公式：221cos 1cos sin ,cos 2222αααα-+==，这两个公式要记准，不要记错了. 10．C 【解析】分析：利用余弦的差角公式将cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开，1sin 2x x += ，将cos cos 3x x π⎛⎫+-⎪⎝⎭展开合并化简，即可求出值．详解：∵cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 2x x +=∵3cos cos cos 32x x x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1cos sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭13⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以选C点睛：本题考查了余弦差角公式的应用，主要注意符号的变化，属于简单题． 11．A 【解析】 【分析】根据α，β的范围，得到αβ+和αβ-的范围，结合条件，得到()sin αβ+和()cos αβ-，由()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦，根据两角和的正弦公式，得到答案. 【详解】α，β均是锐角，且αβ<()0,αβπ∴+∈，,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()3cos 5αβ+=， ()4sin 5αβ∴+==，()12sin 13αβ-=-，()5cos 13αβ∴-==， ∴()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-++-45312513513⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎝⎭1665=-故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的正弦公式，属于简单题. 12．B 【解析】依题意有：tanθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=2.点睛：本题主要考查：同角三角函数的基本关系，是个简单题，主要要熟记两个同角三角函数的基本关系，即：tanθ=sinθcosθ和sin 2θ+cos 2θ=1.在运算过程中，主要采用的是切化弦的方法，即遇到正切，一般情况下是化为正弦和余弦来化简，化简过程中要注意通分和合并同类项，有时候还要结合二倍角公式来考虑. 13．23【解析】试题分析：21cos 21cos 21sin 2222cos 42223ππααπαα⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-==== ⎪⎝⎭.考点：1余弦的二倍角公式;2诱导公式. 14．310【解析】 【分析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】tan 3α=，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+ 22tan 2tan tan 1ααα-=+ 9691-=+ 310=. 故答案为：310. 【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15．【解析】 【分析】 由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ可得tanαtanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)，从而可得结果.【详解】 因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ，tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4，所以tanαtanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)=1−24=12，故答案为12.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．112-【解析】()25tan αβ-=-，()25tan βα∴-=()()()()211522tan 21112152tan tan tan tan tan βααβαβααβαα---⎡⎤-=--===-⎣⎦+-⨯+⨯ 17．（I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1；（II ）5[,]612ππ．【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简()sin(2)3f x x π=-，即可求解()f x 的最小正周期和最大值；（II ）由()f x 递增时，求得51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，即可得到()f x 在5[,]612ππ上递增．试题解析：1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+（1sin 22sin(2)23x x x π==- （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； （II ） 当()f x 递增时，222? ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增 即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ 考点：三角函数的图象与性质． 18．（1）-1；（2）165- 【解析】 【分析】（1）由题意可得1tan 3x =-，将原式化为含tan x 的表达式，代入可得答案；（2）将原式化为含tan x 的表达式，代入1tan 3x =-可得答案. 【详解】解：由题意得：3sin cos 0x x +=，可得1tan 3x =-，可得（1）533cos 5sin 35tan 311sin cos tan 113x x x x x x -++===-----； （2）222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos sin cos x x x xx x x x x x+-+-=+222211()2()3tan 2tan 316331tan 15()13x x x -+⨯--+-===-+-+【点睛】本题主要考查三角恒等变化，相对简单，得出1tan 3x =-代入各式子是解题的关键.19．(1) .. 【解析】 【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可.详解：（Ⅰ）2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=，-------2分于是 sin22sin cos 9ααα==-； （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.20．（1）122f π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】先根据诱导公式及降幂公式化简得()f x cos2x =-；（1）代入求值即可；（2）由222,k x k k Z πππ≤≤+∈即可解出答案． 【详解】解：()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos x x =-cos2x =-；（1）cos 1262f ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭； （2）由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得，,2k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间是(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题． 21．（Ⅰ）π（Ⅰ）最大值和最小值分别是32，0． 【解析】试题分析：（1）将()2cos cos f x x x x =+通过降幂公式、辅助角公式化简为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得到周期；（2）通过整体思想，得到ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，求得π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以最大值和最小值分别是32，0． 试题解析：解：（Ⅰ）()2cos cos f x x x x +1cos22xx +=+π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）Ⅰππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， Ⅰππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， Ⅰπ1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， Ⅰ()30,2f x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，Ⅰ()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是32，0．点睛：三角函数的化简需要对三角函数的二倍角公式（降幂公式）、辅助角公式熟悉应用，三角函数的性质考察通常利用整体思想解题，然后通过()sin f x x =的原始性质进行解题，得到对应的解。
最新人教版高中数学必修4第三章模块测试卷1(附答案)
高中数学人教新课标A 版必修IV 模块测试卷1（附答案）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果一扇形的弧长为2π cm ，半径等于2 cm ，则扇形所对圆心角为( )．A ．2πB ．πC ．π2 D ．3π22．已知π1sin()43α-=，则πcos()4α+的值等于( )．A ．16-B ．13C ．13-D ．163．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则x 的值为( )．A ．6B ．－6C ．83-D ．834．已知(1,1)OA = ，(4,1)OB = ，(4,5)OC =，则AB 与AC 夹角的余弦值为( )．A ．45 B ．35C ．0D ．以上结果都不对 5．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )．A ．ππ,24ωϕ== B ．ππ,36ωϕ==C ．ππ,44ωϕ==D ．π5π,44ωϕ==6．函数22ππ()sin ()sin ()44f x x x =+--是( )． A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数7．已知A (1,2)，B (－3,1)，则向量AB按向量(－1,2)平移后得到的向量坐标是( )．A ．(－4，－1)B ．(－5,1)C ．(0,4)D ．(2，－1)8．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且=b b 为( )． A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)9．已知A (1，－3)，1(8,)2B ，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标为( )． A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1)D ．(－9，－1)10．若向量a ，b 的坐标满足a ＋b ＝(－2，－1)，a －b ＝(4，－3)，则a ·b 等于( )． A ．－5 B ．－4 C ．－3 D ．－211．若0＜a ＜1，ππ2x <<1cos cos 1xx a x x a --+-的值是( )．A ．1B ．－1C ．3D ．－312．若0<α<π，则10sin α，lg sin α，sin 10α的大小关系是( )． A ．10sin α<lg sin α<sin 10 α B ．lg sin α<10sin α<sin 10 α C ．10sin α<sin 10 α<lg sin α D ．lg sin α<sin 10 α<10sin α二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．在Rt △ABC 中，C ＝90°，则sin A sin B 的最大值是__________．14.若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝__________. 15.(2011江苏南通第二次调研)设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝__________.16．要得到函数π3cos(2)2y x =-的图象，可以将函数π3sin(2)4y x =-的图象沿x 轴__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知a ＝(ωx ，cos ωx )，b ＝(cos ωx ，cos ωx )，ω>0，设函数f (x )＝a ·b ，且f (x )的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调区间．18．(12分)求函数22()4sin cos f x x x x x =-π7π424x ≤≤的最小值，并求其单调区间． 19．(12分)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点P 在BC 上，若AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．20．(12分)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝sin θ，cos θ)(θ∈(π，2π))，且5+=m n ，求πcos()28θ+的值．21．(12分)已知sin θ＝a sin φ，tan θ＝b tan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=22．(14分)已知四边形ABCD ，(6,1)AB = ，(,)BC x y = ，(2,3)CD =--． (1)若//BC DA，求y ＝f (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，若AC BD ⊥，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．参考答案1. 答案：B 解析：2ππ2θ==. 2. 答案：C 解析：πππππ1cos()sin()sin()sin()424443αααα+=--=-=--=-. 3. 答案：A解析：∵a ∥b ，所以3×4－2x ＝0，从而x ＝6. 4. 答案：B解析：(3,0)AB = ，(3,4)AC =，∴3cos 5θ==.5. 答案：C解析：∵T ＝4×2＝8，∴π4ω=. 又ππ142ϕ⨯+=，∴π4ϕ=. 6. 答案：A解析：原式＝ππ1cos(2)1cos(2)1122sin 2sin 2sin 22222x x x x x -+---=+= .∴2ππ2T ==，且y ＝sin 2x 为奇函数，故选A. 7. 答案：A解析：(3,1)(1,2)(4,1)AB =--=--．无论怎样平移，AB 仍是(－4，－1)．8. 答案：A解析：设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k <0.由=b=k ＝－3，b ＝(－3,6)． 9. 答案：C解析：易知7(7,)2AB = ．设C (x ，y )，则(1,3)A C x y =-+ ．因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC ，即77(3)(1)02y x +--=，即x －2y －7＝0，通过验证知点C (9,1)适合上述方程．10. 答案：A解析：a ＝(1，－2)，b ＝(－3,1)，a ·b ＝－5. 11. 答案：A解析：∵cos x <0,1－a x >0，x －a >0，1cos 1(1)(1)1cos 1x x a xx a --+=--+-=-. 12. 答案：D解析：0<sin α≤1，lg sin α<0,0<sin 10α≤1,10sin α>1. 13. 答案：12解析：sin A sin B ＝sin A cos A ＝12sin 2A ≤12. 14. 答案：－3解析：显然T ＝π，f (π＋3)＝f (3)．F (x )＝f (x )－1＝a sin 2x ＋tan x 为奇函数，则F (－3)＝f (－3)－1＝4，F (3)＝f (3)－1＝－4，f (3)＝－3.15. 答案：{(2,0)}解析：M ＝{a |a ＝(2，m )，m ∈R }，N ＝{b |b ＝(1＋n ，1－n )，n ∈R }，由21,1,n m n =+⎧⎨=-⎩得0,1.m n =⎧⎨=⎩于是a ＝b ＝(2,0)，所以M ∩N ＝{(2,0)}． 16. 答案：向左平移π8个单位.17. 解：(1)∵f (x )＝a ·b ，∴211()cos cos (cos22)22f x x x x x x ωωωωω=+=-+ π1cos(2)22x ω=++.∵2ππ2T ω==， ∴ω＝1，∴π1()cos(2)42f x x =++. (2)令π2π22ππ3k x k ≤+≤+ (k ∈Z )，得ππππ63k x k -≤≤+ (k ∈Z )，故f (x )的单调减区间为πππ,π63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．令π2ππ22π2π3k x k +≤+≤+，得π5πππ36k x k +≤≤+ (k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 18.解：1cos21cos2()2sin 222x x f x x +-=+-2sin 24sin(2)3xx x x =+=-.由π7π424x ≤≤，知πππ2634x ≤-≤，∴π1sin(2),322x ⎡-∈⎢⎣⎦，∴当ππ234x -=，即7π24x =时，f (x )取最小值-∵πsin(2)3y x =-在π7π,424⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴f (x )在π7π,424⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 19. 解：设AB ＝1，BP ＝x ，则PD ＝1＋x .在Rt △PCD 中， 运用勾股定理可得23x =. 再设∠APB ＝α，∠DPC ＝β，则3tan 2α=，3tan 4β=. 于是tan tan tan tan(π)tan()1tan tan APD αβαβαβαβ+∠=--=-+=--33241833124+=-=-⨯. 20. 解：m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，+=m n==由已知5+=m n π7cos()2425θ+=.又∵2ππcos()2cos ()12428θθ+=+-， ∴2π16cos ()2825θ+=，而π<θ<2π， ∴5ππ9π8288θ<+<，∴πcos()028θ+<， π4cos()285θ+=-.21. 证明：由sin θ＝a sin φ，tan θ＝b tan φ，得sin sin tan tan a b θϕθϕ=， 即a cos φ＝b cos θ.而a sin φ＝sin θ，得a 2＝b 2cos 2θ＋sin 2θ，即a 2＝b 2cos 2θ＋1－cos 2θ，得2221cos 1a b θ-=-，而θ为锐角，所以cos θ=22. 解：(1) ()(4,2)DA AB BC CD x y =-++=---． ∵//BC DA ，∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0， 整理得x ＋2y ＝0.∴12y x =-. (2)∵(6,1)AC AB BC x y =+=++， (2,3)BD BC CD x y =+=--， 又∵AC BD ⊥ ，∴0AC BD ⋅=，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式， 整理得y 2－2y －3＝0. 解得y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是(6,3)BC =-，(0,4)AC = ，(8,0)BD =-，4AC = ，8BD = ， ∴S 四边形ABCD ＝11481622AC BD =⨯⨯=.当y ＝－1时，x ＝2，于是(2,1)BC =-，(8,0)AC = ，(0,4)BD =-，8AC = ， 4BD =，∴S 四边形ABCD ＝11841622AC BD =⨯⨯=.。
数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：习题课(一) Word版含解析
习题课(一)一、选择题1．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在( )A ．x 轴的正半轴上B ．y 轴的正半轴上C ．x 轴的负半轴上D ．y 轴的负半轴上答案：A解析：∵角α、β终边相同，∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z .作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴α－β的终边在x 轴的正半轴上．2．在半径为10的圆中，4π3的圆心角所对弧长是( ) A.403π B.203π C.2003π D .4003π 答案：A解析：所求的弧长l ＝43π×10＝403π. 3．已知tan130°＝k ，则sin50°的值为( ) A ．－k 1＋k 2 B.k 1＋k 2C.1＋k 2k D ．－1＋k 2k答案：A解析：k ＝tan130°＝－tan50°，∴tan50°＝－k >0，∴cos50°＝－1k sin50°.又sin 250°＋cos 250°＝1，∴sin 250°＝k 2k 2＋1.∵k <0，sin50°>0，∴sin50°＝－k 1＋k2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)＝( ) A.45 B ．－45 C ．±45 D.35答案：B解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角， ∴cos σ＝45，∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45. 5．如果角θ满足sin θ＋cos θ＝2，那么tan θ＋1tan θ的值是( ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．2答案：D 解析：由sin θ＋cos θ＝2，得sin θcos θ＝12. 故tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝2.6．已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得结果是( ) A ．tan(nα) B ．－tan(nα)C ．tan αD ．－tan α答案：C 解析：若n ＝2k (k ∈Z )，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；若n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α. 二、填空题7．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. 答案：265解析：∵α是第四象限角，且cos α＝15，∴sin α＝－1－cos 2α＝－265，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．答案：912解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 9．设α是第二象限角，且cos α2＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π－α2，则α2是第________象限角． 答案：三解析：∵cos α2＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α2 ＝－1－sin 2α2＝－|cos α2|.∴cos α2≤0.又∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．故α2是第三象限角．三、解答题10．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②∴由①＋②，得(sin α＋cos α)2＝289169，由②－①，得(sin α－cos α)2＝49169， 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ 由③＋④，得sin α＝1213，由③－④，得cos α＝513. 11．化简：(1)cos36°－1－cos 236°1－2sin36°cos36°； (2)tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＋ sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫α－72πsin ⎝⎛⎭⎫32π＋αcos (2π＋α). 解：(1)原式＝cos36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin36°cos36° ＝cos36°－sin36°(cos36°－sin36°)2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°| ＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1； (2)∵tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α，sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－72π＝cos ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α， ∴原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.能力提升12．若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1答案：A解析：∵sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝sin (－4π＋π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1. 又tan(5π＋α)＝m ，∴tan(π＋α)＝m ，tan α＝m .∴原式＝m ＋1m －1. 13．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：原式可化为sin α＝2sin β①cos α＝63cos β② 由①2＋②2可得1＝23＋43sin 2β ∴sin 2β＝14，cos 2β＝34又∵sin α＝2sin β＞0∴sin β＝12，cos β＝±32sin α＝22.。
D_高中人教A版数学必修4：第三章 章末检测 Word版含解析
π
(ax＋4)，又函数的最小正周期为 1，故 a ＝1，∴a＝2π， 解析：由条件得 f(x)＝ 2sin π 1 2πx＋ ) ( 4 .将 x＝－8代入得函数值为 0. 故 f(x)＝ 2sin
7．tan20°＋tan40°＋ 3(tan20°＋tan40°)等于( ) 3 A. 3 B．1 C. 3 D. 6 答案：C tan20°＋tan40° 解析：tan60°＝1－tan20°·tan40°， ∴ 3－ 3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3. 8．关于 x 的方程 sinx＋ 3cosx－a＝0 有实数解，则实数 a 的范围是( ) A．[－2,2] B．(－2,2) C．(－2,0) D．(0,2) 答案：A 解析：sinx＋ 3cosx－a＝0，∴a＝sinx＋ 3cosx 3 1 π π sinx＋ cosx x＋ x＋ 2 3 ，－1≤sin 3 ≤1，∴－2≤a≤2. ＝2 2 ＝2sin 2 5 3
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×9－1＝－9. 3．已知 M＝Error!，N＝Error!，则( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案：B 1 1 解析：由 cos2x＝1－2sin2x＝2，得 sinx＝±2，故选 B. θ 4 θ 3 4．已知 sin2＝－5，cos2＝5，则角 θ 终边所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C θ θ 24 θ θ 7 解析：∵sinθ＝2sin2cos2＝－25<0，cosθ＝cos22－sin22＝－25<0，∴θ 终边在第三象 限． 5．函数 f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是( ) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! 答案：D 解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg π 3π
2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：第三章 单元质量测评 Word版含解析
第三章 单元质量测评对应学生用书P97 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 275°－1的值是( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 答案 C解析 2sin 275°－1＝2cos 215°－1＝cos30°＝32．2．函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值是( )A ．－π3B ．－π6C ．π6D ．π3 答案 A解析 f (x )＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ＝2sin(ωx ＋φ)．由图象，得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，所以ω＝2．因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，且－π2<φ<π2，所以2×5π12＋φ＝π2，所以φ＝－π3，故选A ．3．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 ∵a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b ＝tan(2×13°)＝tan26°，c ＝sin 50°2＝sin25°，∴a <c <b ．4．2cos10°－sin20°cos20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12 答案 A解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°cos20°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3．5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．12 答案 A解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈π4，3π4， 又sin θ＋cos θ＝2sin θ＋π4， 所以22<sin θ＋π4≤1， 所以1<sin θ＋cos θ≤2．6．函数y ＝sin2x ＋π3·cos x －π6＋cos2x ＋π3·sin π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2 答案 C解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π3－x －π6＝sin π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1．故x ＝π是图象的一条对称轴方程．7．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－32 D ．32 答案 B解析 sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin163°sin223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°) ＝sin163°sin223°＋cos163°cos223° ＝cos(223°－163°) ＝cos60°＝12．8．函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到．( )A ．向右移动π12个单位B ．向左移动π12个单位 C ．向右移动π6个单位 D ．向左移动π6个单位 答案 A解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin2x ，f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin2x －π6＝2sin2x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到．9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( ) A ．22 B ．12 C ．0 D ．－1 答案 C解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝0．10．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1．当x ∈0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴f (x )min＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4．∴a ＝－4．故选C ．11．已知1－cos x ＋sin x1＋cos x ＋sin x＝－2，则sin x 的值为( )A ．45B ．－45C ．－35D ．－155 答案 B 解析 原式＝(1－cos x )＋sin x(1＋cos x )＋sin x＝2sin 2x 2＋2sin x 2cos x 22cos 2x 2＋2sin x 2cos x 2＝tan x2＝－2，∴sin x ＝2sin x 2cos x 2sin 2x 2＋cos 2x 2＝2tan x 21＋tan2x 2＝2×(－2)1＋4＝－45，故选B ． 12．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tanα＋β2的值是( ) A ．12 B ．－2 C ．43 D ．12或－2 答案 B解析 由题意知：⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－3a －1＝43，tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，∴tan α＋β2＝12或tan α＋β2＝－2． 由a >1，可得 tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0， ∴tan α<0，tan β<0， 结合α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴tan α＋β2<0，故tan α＋β2＝－2，故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．答案 12解析 因为向量a ∥b ，所以sin2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12．14．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________． 答案 k π－π4，k ∈Z解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1．即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z ．15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2π3－x ＝________．答案2＋33解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33＋1－13＝2＋33．16．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题： ①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立； ②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是单调递增；③函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图象重合．其中正确命题的序号是________(注：把你认为正确命题的序号都填上)．答案 ①③解析 ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π⇒x ＝k π2－5π12，当k ＝1时，x ＝π12，故③正确；④中应该是向右平移，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos α－sin α＝325，且π<α<3π2，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．解 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825．所以2sin αcos α＝725．又α∈π，3π2，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425． 所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．解f(x)＝cos x，－12·(3sin x，cos2x)＝3cos x sin x－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cos π6sin2x－sin π6cos2x＝sin2x－π6．(1)T＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π．(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6．由正弦函数的性质知，当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12．因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是－12．19．(本小题满分12分)在斜△ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B tan C＝1－3，求角A．解在△ABC中，有A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)．所以－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C．上式两边同时除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝－1．又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B tan C＝－11－(1－3)＝－33＝－tan A ． 所以tan A ＝33． 又0<A <π，所以A ＝π6．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ，ω>0． (1)若f (x )图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围； (2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值是12，求f (x )最小值，并说明如何由y ＝sin2x 的图象变换得到y ＝f (x )的图象．解 f (x )＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋k ＋12． (1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1．又ω>0， ∴0<ω≤1．(2)∵T ＝πω＝π，∴ω＝1． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＋12．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6．从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时， f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12，∴k ＝－12，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时f (x )取最小值－1．把y ＝sin2x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin (2x －π6 )的图象． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ． (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合；(3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值． 解 (1)f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6． 令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )． (2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝2k π＋2π3，k ∈Z ． (3)f (x )＝65，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725． 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1．(1)求角C 的大小；(2)若sin 2A －sin 2B ＝12sin 2C ，试求sin2A ＋π3的值．解 (1)由2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1，得1－cos(A ＋B )＋2cos 2C －1＝1．又由A ＋B ＋C ＝π，将上式整理，得2cos 2C ＋cos C －1＝0，即(2cos C －1)(cos C ＋1)＝0．∴cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由0<C <π，得C ＝π3．(2)由sin 2A －sin 2B ＝12sin 2C ，得2sin 2A －2sin 2B ＝sin 2C ，即1－cos2A －1＋cos2B ＝34，cos2B －cos2A ＝34，∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －cos2A ＝34，∴－32cos2A －32sin2A ＝34． 得32cos2A ＋12sin2A ＝－34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－34．。
高一数学必修4：第三章章末检测Word版含解析(2)
解析： sinx＋ 3cosx－ a＝ 0，∴ a＝sinx＋ 3cosx
＝2
1 2sin x＋
3 2 cosx
＝2sin
x＋
π 3
，－
1≤sin
x＋π3 ≤ 1，∴－ 2≤ a≤2.
9．若
α， β为锐角，
2 sinα＝ 5
5， sin(α＋ β)＝ 35，则
cosβ等于 (
)
25 A. 5
25 B. 25
故 f(x)＝
2sin
2πx＋
π 4 .将
x＝－
1代入得函数值为 8
0.
1，故 2π＝ 1，∴ a＝ 2π， a
7． tan20 ＋°tan40 ＋° 3(tan20 ＋°tan40 °)等于 ( )
3 A. 3 B ． 1
C. 3 D. 6 答案： C
解析： tan60 °＝ tan20 ＋°tan40 °， 1－ tan20 ·°tan40 °
C.2 5或 2 5
5
25
D ．－
2 25
5
答案： B
解析： cosβ＝ cos[( α＋β)－α]
＝ cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋ β)sinα，
∵ α为锐角 cosα＝
1－ 2205＝ 55，
∴
sin(α＋
β)＝
35＜
sinα，∴
α＋
β＞
π 2.
∴ cos(α＋ β)＝－
1－ 295＝－ 45，
D．1
解析： 原式＝
sin68 °cos23°－ cos68°sin23 °＝ sin(68
°－ 23°)＝ sin45 °＝
2 2.
2．已知
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第三章 章末检测 含解析
第三章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )A ．－22 B.22C.32D ．1 答案：B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19D.53 答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ sin x ＝12，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪cos2x ＝12，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案：B解析：由cos2x ＝1－2sin 2x ＝12，得sin x ＝±12，故选B.4．已知sin θ2＝－45，cos θ2＝35，则角θ终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C解析：∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝－2425<0，cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝－725<0，∴θ终边在第三象限．5．函数f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z 答案：D解析：∵f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )＝lg (－cos2x )，∴－cos2x >0，∴cos2x <0，∴2k π＋π2<2x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z . 6．若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0 D.⎝⎛⎭⎫18，0 答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0. 7．tan20°＋tan40°＋3(tan20°＋tan40°)等于( )A.33B ．1 C. 3 D. 6 答案：C解析：tan60°＝tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.8．关于x 的方程sin x ＋3cos x －a ＝0有实数解，则实数a 的范围是( )A ．[－2,2]B ．(－2,2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 答案：A解析：sin x ＋3cos x －a ＝0，∴a ＝sin x ＋3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴－2≤a ≤2. 9．若α，β为锐角，sin α＝2 55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D ．－2 525答案：B解析：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，∵α为锐角cos α＝1－2025＝55， ∴sin(α＋β)＝35＜sin α，∴α＋β＞π2.∴cos(α＋β)＝－ 1－925＝－45，∴cos β＝－45×55＋2 55×35＝2 525.10．函数y ＝sin x 2＋3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝113πB ．x ＝53πC ．x ＝－53πD ．x ＝－π3答案：C解析：y ＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， 又f ⎝⎛⎭⎫－53π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－56π＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2， ∴x ＝－53π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.2 23 B ．－2 23C.23 D ．－23 答案：A解析：由sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，知sin 2θcos 2θ＝29，又θ为第三象限角，∴sin θ·cos θ＝23，sin2θ＝2 23. 12．设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案：D解析：f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝1＋sin2x .|MN |＝|f (a )－g (a )|＝|1＋sin2a －3cos2a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎫2a －π3＋1|≤3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．cos π5cos 25π的值是________．答案：14解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5＝14sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sinπ5sin 45π＝14.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝12＋cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋cos α2＋cos 2α＝1，∴2cos 2α＋cos α－34＝0， ∴cos α＝－1±74，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0，∴cos α＝7－14，∴sin α＝12＋cos α＝7＋14，∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋14＋7－14＝－142. 15．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________． 答案：2327解析：∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝2 23，∴sin2α＝4 29，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 23.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋4 29×2 23＝2327. 16．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 答案：－ 3解析：∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴3cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－ 3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.18．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝2 55，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos (α－β)＝2 55，∴cos(α－β)＝35.19．(12分)已知函数f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x 0 π12 π3 7π12 5π6π 2x ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π 7π3f (x ) 3 2 0 －2 0 320．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55，sin θ＝2 55. (2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010得，sin θcos φ－cos θsin φ＝1010⇒sin φ＝2cos φ－22，∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－2 2cos φ＋12＝1⇒5cos 2φ－2 2cos φ－12＝0.解得cos φ＝22或cos φ＝－210，∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.解法二：∵0<θ，φ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.所以cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010. 故cos φ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×3 1010＋2 55×1010＝22. 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α，65，π4<α<3π4，求f ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解：(1)由题意得，f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)＝2sin x －2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，所以函数f (x )的值域为[－2,2]，函数f (x )的周期为2π. (2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫α，65， 所以f (α)＝65⇒2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝65⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，因为π4<α<3π4， 所以0<α－π4<π2⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝45， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin α＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4⇒f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝725.22．(12分)在△ABC 中，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B . (1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B －2cos B＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3. ∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝2. ∵B 是△ABC 的内角，∴2B ＋π3＝π2，则B ＝π12.(2)若f (B )－m >2恒成立，即2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3>2＋m 恒成立． ∵0<B <π，∴π3<2B ＋π3<73π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3∈[－2,2]， ∴2＋m <－2，即m <－4.。
高中数学必修4第三章经典习题含答案
第三章经典习题150两部分。
满分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 分钟。
分。
考试时间120)分第Ⅰ卷(选择题共60分，在每本大题共一、选择题(12个小题，每小题5分，共60)小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的ππ22)cos的值为(sin1．－121211 B.A．－2233D.C．－22C[答案]πππ322. )＝－cos[解析]原式＝－(cos＝－－sin212126) 的最小正周期是()(x＝sin2x－cos2x2．函数fπB．π 3 A. 2 4π．DC．2πB[答案]2ππ＝，故T＝π. )xsin2(解析[]fx)＝x－cos2x＝2sin(2－243π1) cos((0，θ＝θ∈，π)，则＋(＝2θ)cos．3已知23724 B．－A．－99742 C. D.99．C[答案]3π24221. 2sinθcosθ＝2＝××sin2[解析]cos(＋2θ)＝θ＝93234) tan(α－β)等于(，则4．若tanα＝3，tanβ＝31B．－3 ．－A31D.C．3 3D[答案]4－3βαtantan－31. [解析]tan(α－β)＝＝＝43βtanαtan1＋×13＋322) ·cos15°的值是(5．coscos75°＋cos75°15°＋65 A. B.2423 D C. 1．＋32A[答案]5122. ＝＋＝cos15°原式＝sin15°＋cos15°＋sin15°1sin30°][解析4222) 的最小值是cossiny6．＝cosx－x＋2sinxx( A.2 B 2 ．－2 ．C2 ．－DB]答案[π2. [解析＝－，∴)＋2sin(2＝sin2＋cos2y]＝xxxy max4) (＝)α2－βtan(，则3＝)α－βtan(，2＝αtan若．7．1 B．－A．－1 515 D. C. 77D答案][23－－α?－tanαtan?β＝＝－α]＝α)＝tan[(β－α)2[解析] tan(β－61－?βα?tan＋α1＋tan1.7→) PQ|的最大值是()α)，Q(cosβ，sinβ，则|．8已知点P(cosα，sinB．2 2 A.2D.C．4 2B答案][→→＝|，则|PQ)cos析[解]PQ＝(cosβ－α，sinβ－sinα→22的最大值为|PQ＝|故，?β－α?2cos－2sinαcos?β－cos??＋sinβ－α?2.xxcos2＋sin2)(＝函数9．y的最小正周期为xsin2cos2x－Bπ．2πA．ππ C. D. 42C]答案[x1tan2＋ππ.＋，∴tan(2＝＝]解析[yx)T＝24xtan2－1．12)(f(x)是)＝sinx－(x∈R)，则10．若函数f(x2π的奇函数A．最小正周期为 2 的奇函数．最小正周期为πB 的偶函数．最小正周期为2πC 的偶函数．最小正周期为πDD答案][11122的周期x)(cos2x，∴＝－(1－2sinfx)＝－[解析]f(x)＝sin －x222 π的偶函数．为π) sin2x的一个单调递增区间是(．y ＝sin(2x－)－113πππ7π] ，．－，] [B．A[123612π5π135D ．[π，π] ，]．[C612123B答案[]πππ＝－xsincos－cos2x－sin2＝sin(2]解析y＝x－)－sin2xsin2x[ 333ππππ)y)sin(2x＋，其增区间是函数＝sin(2x＋＝－xcos(sin2x＋cos2sin)33337ππππ3πkπ＋≤2π的减区间，即2k＋≤x＋2kπ，∴k＋≤＋k≤π，当x12221237ππ∈x[]，．＝0时，1212αtan112)α，＝βα已知12．sin(＋)sin(－(log，＝β)则(等于)5β2tan3 3 ．B 2 ．A．5D．．C4C [答案]11得β)＝－＋β)[解析]由＝，sin(αsin(α3251??＝cosβ＝sinααsinαcosβ＋cossinβ??122??，，∴11??＝cosααsinαcosβ－cossinβ＝sinβ??123αtan ，＝∴5βtanαtan224.＝)∴log(＝5log55βtan)90分第Ⅱ卷(非选择题共分，把正确分，共20本大题共4个小题，每小题5二、填空题()答案填在题中横线上________. )＝)(1＋tan28°13．(1＋tan17°2][答案＋tan(17°·tan28°，又＋tan17°＋tan28°＋tan17°[解析]原式＝1tan28°tan17°＋－＋tan28°＝1，28°)＝＝tan45°＝1∴tan17°tan28°tan17°·1－2.tan28°，代入原式可得结果为tan17°·π4??＋α，则＝)全国高考江苏卷设α为锐角，若cos14．(2012·??65??π??＋α2sin______．的值为??12??217 ][答案50．ππ2πππ4????＋αα＋＝<，∵cos，∴sin＝[解析]∵α为锐角，∴<α＋????665636????3 ；5πππ24??????＋αα＋＋2α＝2sin∴sin，cos＝??????66325??????πππ722＝＋sin)(cos(α＋)＝α＋)α－cos(225636πππππππ????????＋2α－2α－2α＋2α＋＝＝∴sinsincossin＝sincos－????????34331244????????172.50144α＝＋cos________. αsinαcos2＝，则15．已知35[答案] 912222α＝αα－1＝2sin＝2cos1－，由cos2得cosα＝[解析]cos2α331112222α＝α＋cosα＝1得sinα＝)或据(sin得＝sin，代入计算可得．333π1316．设向量a＝(，sinθ)，b＝(cosθ，)，其中θ∈(0，)，若a223∥b，则θ＝________.π[答案]41∥b，则sinθcosθ＝，即2sinθcosθ][解析若a＝1，∴sin2θ＝1，2ππ又θ∈(0，)，∴θ＝.42解答应写出文字说明，分，70共个小题，6本大题共(解答题三、．)证明过程或演算步骤33，求π<π<已知cosα－sinαα＝2，且17．(本题满分10分)252α2sinα＋sin2 的值．αtan1－1823，所以＝cosαsinαα＝，所以1－2sin][解析因为cosα－2557.＝cosα2sinα253π24 α，＝－＝－1＋2sinα又α∈(π，)，故sincosα＋cosα5222αα?cosα2sinα＋2sinαcossin2α＋2sin?＝＝所以α－sin1－tanαcosα274?×?－?sinαα?cosα＋2sinαcos52528.＝－＝7523αsincosα－5ππ18．(本题满分12分)设x∈[0，]，求函数y＝cos(2x－)＋2sin(x33π－)的最值．6ππ[解析]y＝cos(2x－)＋2sin(x－) 63ππ＝cos2(x －)＋2sin(x－)66πππ1322＋]－. ＝－2[sin(x－))2sin()1＝－2sin(x－＋x－26662ππππ∵x∈[0，]，∴x－∈[－，．]6663．π11 ]，－)∈[－，∴sin(x26213.＝－y∴＝，y minmax22222α1，求证：cos2θ＋θ＝2tansinα＋tan)12分已知19．(本题满分0.＝222θsinθθ－tan1cos－222αα＝＝α＝sinsinθ＋sin＋＋cos2[证明]222θsinθ＋θtan1cos＋222αααtan2tan－－－sin2222αsin＝－＝α＝ααsinsin＋sin＋＋2222αααsin＋α＋1tan＋＋12tan1cos20.α＝sin＋x33xx，－＝(cos)，已知向量本题满分(12分)a＝(cossin，b20．222x.R，其中3－1)x∈，)sin c＝( 2 值的集合；时，求x⊥当(1)ab ||(2)求a－c的最大值．xx3x3xx则0sin－cos，＝·⊥由[解析](1)ab得ab0即cossin＝，cos22222πππkπk x值的集合是x{|．Zk，＋x＝∈}，∴Zk(＋x0＝，得＝∈)4422xx33222 3)＋＋(sin1)－＝|－(2)|ac(cos22x3x3x33x221－＝cos＋2sin＋sin3＋＋23cos2222πxx3x332的最大值为5＝＋3cos2－2sin＋5＝|c－－4sin(a|，则)3222．3.c|的最大值为9.∴|a－π22＋sinx＝cos(2x＋)21．设函数f(x)42 的最小正周期；(x)(Ⅰ)求函数fππ??，0时，∈且当xg(x)，∈R，有g(x＋)＝)(Ⅱ设函数g(x)对任意x??22??1 上的解析式。
高一数学 必修4：第三章 章末检测 Word版含解析 (2)
第三章章末检测本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )A ．－22 B.22C.32D ．1 答案：B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19D.53 答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ sin x ＝12，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪cos2x ＝12，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案：B解析：由cos2x ＝1－2sin 2x ＝12，得sin x ＝±12，故选B.4．已知sin θ2＝－45，cos θ2＝35，则角θ终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C解析：∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝－2425<0，cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝－725<0，∴θ终边在第三象限．5．函数f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z 答案：D解析：∵f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )＝lg (－cos2x )，∴－cos2x >0，∴cos2x <0，∴2k π＋π2<2x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z . 6．若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0 D.⎝⎛⎭⎫18，0 答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0. 7．tan20°＋tan40°＋3(tan20°＋tan40°)等于( )A.33B ．1 C. 3 D. 6 答案：C解析：tan60°＝tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.8．关于x 的方程sin x ＋3cos x －a ＝0有实数解，则实数a 的范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－2,2) C ．(－2,0) D ．(0,2) 答案：A解析：sin x ＋3cos x －a ＝0，∴a ＝sin x ＋3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴－2≤a ≤2. 9．若α，β为锐角，sin α＝2 55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D ．－2 525答案：B解析：cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，∵α为锐角cos α＝ 1－2025＝55，∴sin(α＋β)＝35＜sin α，∴α＋β＞π2.∴cos(α＋β)＝－ 1－925＝－45，∴cos β＝－45×55＋2 55×35＝2 525.10．函数y ＝sin x 2＋3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝113πB ．x ＝53πC ．x ＝－53πD ．x ＝－π3答案：C解析：y ＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又f ⎝⎛⎭⎫－53π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－56π＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2， ∴x ＝－53π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.2 23 B ．－2 23C.23 D ．－23 答案：A解析：由sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，知sin 2θcos 2θ＝29，又θ为第三象限角，∴sin θ·cos θ＝23，sin2θ＝2 23.12．设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案：D解析：f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝1＋sin2x . |MN |＝|f (a )－g (a )|＝|1＋sin2a －3cos2a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎫2a －π3＋1|≤3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．cos π5cos 25π的值是________．答案：14解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5＝14sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sinπ5sin 45π＝14.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝12＋cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋cos α2＋cos 2α＝1，∴2cos 2α＋cos α－34＝0， ∴cos α＝－1±74，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0， ∴cos α＝7－14，∴sin α＝12＋cos α＝7＋14，∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋14＋7－14＝－142.15．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________． 答案：2327解析：∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝2 23，∴sin2α＝4 29，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 23.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋4 29×2 23＝2327. 16．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 答案：－ 3解析：∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴3cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－ 3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.18．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝2 55，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos (α－β)＝2 55，∴cos(α－β)＝35.19．(12分)已知函数f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x 0 π12 π3 7π125π6 π 2x ＋π3 π3 π2 π 3π22π 7π3 f (x ) 32 0 －2 0320．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55，sin θ＝2 55. (2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010得，sin θcos φ－cos θsin φ＝1010⇒sin φ＝2cos φ－22，∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－2 2cos φ＋12＝1⇒5cos 2φ－2 2cos φ－12＝0.解得cos φ＝22或cos φ＝－210，∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.解法二：∵0<θ，φ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.所以cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010.故cos φ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×3 1010＋2 55×1010＝22. 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α，65，π4<α<3π4，求f ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解：(1)由题意得，f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)＝2sin x －2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，所以函数f (x )的值域为[－2,2]，函数f (x )的周期为2π. (2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫α，65， 所以f (α)＝65⇒2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝65⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，因为π4<α<3π4， 所以0<α－π4<π2⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝45， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin α＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4⇒f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝725.22．(12分)在△ABC 中，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B . (1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B －2cos B＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3. ∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝2. ∵B 是△ABC 的内角，∴2B ＋π3＝π2，则B ＝π12.(2)若f (B )－m >2恒成立，即2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3>2＋m 恒成立． ∵0<B <π，∴π3<2B ＋π3<73π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3∈[－2,2]， ∴2＋m <－2，即m <－4.。
人教A版数学必修四第三章测试.docx
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14 C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14. 答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32D. 2 解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 答案 D7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°， b ＝2cos 213°－1＝cos26°， c ＝32＝cos30°，∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( )A ．tan A ·tanB >1 B. tan A ·tan B <1C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22. 答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0， ∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513. ∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0， ∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________. 解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12. 答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43. ∴sin2αsin α－cos α＝712.18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45.(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合；(2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z . (2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3， 则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2. 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。
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2018-2019学年必修四第三章训练卷三角恒等变换（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin15cos45sin75sin45︒︒-︒︒的值为（ ） A ．12B ．12- C ．3D ．3-2．若函数()()21sin 2f x x x -=∈R ，则()f x 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．17B ．7C ．17-D ．7-4．函数()[]()sin 3cos 0f x x x x =∈-π,-的单调递增区间是（ ） A ．56-π,-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．566⎡⎤⎢⎥⎣π-π,⎦-C ．,03⎡π-⎤⎢⎥⎣⎦D ．,06⎡π-⎤⎢⎥⎣⎦5．化简：()sin 60cos120sin cos θθθ︒++︒的结果为（ ）A ．1B ．3 C ．3D ．tan θ6．若()sin 3cos 2f x x =-，则()cos f x 等于（ ） A ．3cos2x -B ．3sin2x -C ．3cos2x +D ．3sin2x +7．若函数()sin sin 36f x x a x ππ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝的一条对称轴方程为2x π=，则a 等于（ ） A ．1B ．3C ．2D ．38．函数21sin 2sin 2y x x =+，x ∈R 的值域是（ ）A ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2121,22⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ C ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2121,22⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ 9．若3sin cos θθ=，则cos2sin2θθ+的值等于（ ） A ．75-B ．75 C ．35-D ．3510．已知()3cos 25cos 0αββ++=，则()tan tan αβα+的值为（ ） A ．4± B ．4C ．4-D ．111．若3cos25θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边所在的直线方程为（ ） A ．7240x y +=B ．7240x y -=C ．2470x y +=D ．2470x y -=12．使奇函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ++=+在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数的θ的值为（ ） A ．3π-B ．6π-C ．65π D ．32π 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．函数()2sin 24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭的最小正周期是______．14．已知sin cos 1αβ=，则()sin αβ-=________．15．若02αβπ<<<<π，且1cos 3β=-，()1sin 3αβ+=，则cos α=________．16．函数()()sin 10cos 40y x x =+︒++︒，()x ∈R 的最大值是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知sin 2απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,α∈π．（1）求()()3sin cos 22sin cos 3ααααππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π-+π+的值； （2）求3cos 24απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．（12分）已知函数()22cos sin f x x x x += （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值； （3）求函数()f x 的单调增区间．19．（12分）已知向量33cos ,sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，cos ,sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，且,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（1）求⋅a b 及+a b ；（2）若()f x =+-⋅a b a b ，求()f x 的最大值和最小值．20．（12分）已知ABC △的内角B 满足2cos28cos 50B B -+=，若BC =u u u v a ，CA =u u u vb且a ，b 满足：9⋅=-a b ，3=a ，5=b ，θ为a ，b 的夹角． （1）求角B ； （2）求()sin B θ+．21．（12分）已知向量()1,cos x x ωω=-m ，()()co ,s f x x ω=n ，其中0ω>，且⊥m n ，又函数()f x 的图象任意两相邻对称轴的间距为32π． （1）求ω的值；（2）设α是第一象限角，且3232226f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin 4cos 42ααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π+的值．22．（12分）已知函数()()21sin 2sin cos cos sin 02212f x x x ϕϕϕϕπ⎛⎫+-+<<π ⎪⎝⎭=，其图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．2018-2019学年必修四第三章训练卷三角恒等变换（一）答 案一、选择题 1．【答案】B【解析】sin15cos45sin75sin45=sin15cos45cos15sin45︒︒-︒︒︒︒-︒︒()()1sin 1545sin 302=︒-︒=-︒=-，故选B ．2．【答案】D【解析】()()22111sin 2sin 1cos2222f x x x x -=-=-=， ∴22T π==π，()f x 为偶函数．故选D ．3．【答案】A【解析】∵,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，3sin 5α=，∴4cos 5α=-，si ta 3s n n co 4ααα=-=．∴311tan 14tan 341tan 714ααα-π+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+．故选A ． 4．【答案】D【解析】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=．令()22232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z ， 得()2266k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =得66x π5π-≤≤． 由此可得,06⎡π-⎤⎢⎥⎣⎦符合题意．故选D ．5．【答案】B【解析】原式1sin 60cos cos60sin sin sin 60cos 2sin 60cos cos θθθθθθ︒+︒-︒===︒=故选B ． 6．【答案】C【解析】()22sin 312sin 22(sin )f x x x ==--+， ∴()222f x x =+，∴()2cos 2cos 21cos 223cos 2f x x x x =++=+=+．故选C ． 7．【答案】B【解析】()sin sin sin cos 3633f x x a x x a x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝=⎭⎭3x ϕπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴51sin sin 6322a f ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭π．解得a =B ． 8．【答案】B【解析】2111cos21cos21sin 2sin sin 2sin 2222222x x y x x x x -=+=+=-+1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∵x ∈R ，∴1sin 214x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴1122y ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦．故选B ． 9．【答案】B【解析】∵3sin cos θθ=，∴1tan 3θ=．222222cos2sin 2cos sin 2sin cos cos 2sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ+=-+=+-+ 22111212tan tan 73911tan 519θθθ+⨯-+-===++．故选B ．10．【答案】C【解析】()3cos 25cos αββ++()()()()3cos cos 3sin sin 5cos cos 5sin sin 0αβααβααβααβα=+-+++++=， ∴()()2sin sin 8cos cos αβααβα+=-+， ∴()tan tan 4αβα+=-．故选C ． 11．【答案】D【解析】3cos 25θ=，4sin 25θ=-，4tan 23θ=-，∴282tan2432tan 1671tan 129θθθ-===--． ∴角θ的终边在直线2470x y -=上．故选D ． 12．【答案】D【解析】∵()f x 为奇函数，∴()0sin 0f θθ+==．∴tan θ=．∴3k θπ=π-，()k ∈Z ． ∴()2sin 22sin 23f x x x θπ⎛⎫++=± ⎪⎝⎭=．∵()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，∴()2sin 2f x x =-，∴3θ2π=．故选D ．二、填空题 13．【答案】2π【解析】∵()1111cos 4sin 42222f x x x ⎡π⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，∴242T ππ==． 14．【答案】1【解析】∵sin cos 1αβ=，∴sin cos 1αβ==，或sin cos 1αβ==-， ∴cos sin 0αβ==．∴()sin sin cos cos sin sin cos 1αβαβαβαβ--===．15．【解析】1cos 3β=-，sin β=，()1sin 3αβ+=，()os 3c αβ-=+， 故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=++++⎡⎤⎣-⎦=1133339⎛⎛⎫=-⨯-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 16．【答案】1【解析】令10x α+︒=，则4030x α+︒=+︒， ∴()sin cos 30y αα++=︒ sin cos cos?30sin sin30ααα=+︒-︒1sin 2αα= ()=sin 60α+︒． ∴max 1y =．三、解答题17．【答案】（1）13-；（2）．【解析】（1）sin 2απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,α∈πcos α⇒=，()0,sin αα∈π⇒ ()()3sin cos cos sin 122sin cos 3sin cos 3ααααααααππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==-π-+π+-．（2）∵cos α=，4sin sin 25αα⇒=-，3cos25α=-．3cos 2224αααπ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．18．【答案】（1）π；（2）见解析；（3）(),1212k k k 5ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．【解析】（1）原式1sin 222sin 222sin 223x x x x x ⎛⎫π⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的最小正周期为π．（2）当2=232x k ππ+π+，即()12x k k π=π+∈Z 时，()f x 有最大值为2．当2=232x k ππ+π-，即()512x k k π=π-∈Z 时，()f x 有最小值为2-．（3）要使()f x 递增，必须使()222232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ， 解得()1212k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ． ∴函数f(x)的递增区间为(),1212k k k 5ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．19．【答案】（1）cos2x ，2cos x ；（2）1-，32-．【解析】（1）33coscos sin sin cos22222x x x xx ⋅=-a b =，2cos x +=a b =，∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴cos 0x >，∴2cos x +a b =．（2）()2213cos 22cos 2cos 2cos 12cos 22f x x x x x x ⎛⎫-=--=-- ⎪⎝=⎭．∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．∴1cos 12x ≤≤，∴当1cos 2x =时，()f x 取得最小值32-；当cos 1x =时，()f x 取得最大值1-． 20．【答案】（1）60︒；（2． 【解析】（1）()2221850cos B cosB --+=，即24cos 8cos 30B B -+=，得1cos 2B =． 又B 为ABC △的内角，∴60B =︒． （2）∵3cos 5θ⋅==-⋅a b a b ，∴4sin 5θ=． ∴()sin sin cos cos sin B B B θθθ+=+=． 21．【答案】（1）13；（2）．【解析】（1）由题意，得0⋅=m n ， ∴()()1cos 21cos cos sin 2262x f x x x x ωωωωω+π⎛⎫⋅+==++ ⎪⎝⎭=． 根据题意知，函数()f x 的最小正周期为3π． 又0ω>，所以13ω=．（2）由（1）知()1sin 262f x x ωπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，所以113232sin cos 222226f αααπ⎛π⎛⎫+= ⎪⎫++=+= ⎝⎝⎭⎪⎭．解得5cos 13α=． 因为α是第一象限角，故12sin 13α=． 所以()22sin sin 4422cos 42cos 2cos sin ααααααααππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====π+- 22．【答案】（1）3π；（2）12，14-． 【解析】（1）因为()()21sin 2sin cos cos sin 02212f x x x ϕϕϕϕπ⎛⎫+-+<<π ⎪⎝⎭=，所以()1cos21sin 2sin cos cos 1222x f x x ϕϕϕ=++-1sin 2sin cos2cos 212x x ϕϕ+= ()sin 2sin cos2co 2s 1x x ϕϕ+=()cos 122x ϕ=-． 又函数图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，所以c 16122os 2ϕπ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=， 即cos 13ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0ϕ<<π，所以3ϕπ=． （2）由（1）知()12cos 23f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变， 得到函数()y g x =的图象，可知()()2cos 4231g x f x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]40,x ∈π，因此4,333x ππ2π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故c 12os 413x π⎛⎫- ⎝-≤⎪⎭≤．所以()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为12和14-．。