函数表达式的求法
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解：设t=4x+3，则3-4x=-t，5x= ；将它们代入原式得af(t)+bf(-t)= ；用-t代替t，与上式联立方程组得，{
（1）×a-（2）×b得，（ ）f（t）=a（ ）-b（ ）
f(t)= = ；f(x)= 。
㈡，已知3f（x-1）+2f（1-x）=2x，求f（x）。
解：设t=x-1，-t=1-x，则，3f（t）+2f（-t）=2（t+1）
（6）利用所含字母的“+”“-”号的变化以改变定义域，再利用函数的奇偶性改变函数的“+”“-”号，进行等条件转化。
如，已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x/x-2/,求当x＜0时，函数f(x)的表达式。
解：设x＜0，则-x＞0；又因f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，
因x＞0时，f(x)=x/x-2/,f(-x)=-f(x)=-x/x+2/，
（３）函数方程法（消元法）
例４．已知：求：
小结：①例４的解法相当于消元法．
②消元法的特点是在所给Biblioteka Baidu析式中与中的自变量互为相反的数，或与中的自变量互为倒数；得到相当于两个未知数的两个方程，求解。
（４）特殊值法：（选讲）
例５．对于一切实数有都成立，且
求
小结：此类型题的特点是：条件是：对于一切实数都成立．
3f（t）+2f（-t）=2（t+1）…⑴
3f（-t）+2f（t）=2（1-t）…⑵ 解得f（t）=2t+
f（x）=2x+ 。
（5）根据题意找出与题设所求的相关量的等价关系，进行字母代换。
（一）若f（x）=x+1，求f（x+1）关于直线x=2对称的直线方程。
解：f（x）=x+1，则f（x+1）=x+2，
f(-x)=(-x)/(-x)-2/=-x/x+2/f(x)=x/x+2/。
若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)= ，求函数f(x),g(x)的表达式。
解：由已知可得，f(-x)+g(-x)= ，①+②得：f(x)= (奇函数)；
则有f(x)-g(x)= …① ， ①-②得：g(x)= （偶函数）。
设点A（x，y）在所求直线的图像上，点 在f（x+1）的图像上，两点关于直线x=2对称，则有 =4-x， =y。将 ， 代入得：y=6-x。
（二）在x R上，函数f（x）关于直线x=2对称，并且[0,2]上的解析式为f(x)=2x-1，求f(x)在[2,4]的解析式。
解：设点A（x，y）在所求函数的图像上，点 为A关于x=2的对称点，则有 =4-x， =y。因 =2 -1将 ， 代入得：y=7-2x。
已知ｆ｛ｆ[f（x）]｝=27x+26，求f（x）。
解：设f（x）=ax+b，ｆ｛ｆ[f（x）]｝= ，
a=3，b=2，f（x）=3x+2。
另：ｆ｛ｆ[f（x）]｝= = ，
a=3，b=2，f（x）=3x+2。
（4）设制方程，消元求解
（a）利用互为倒数关系，一般模式如：
㈠已知af（x）+bf( )=cx,(a，b，c≠0， ),求f（x）。
②解法是：根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组，解出系数的值，代回所设解析式．
（２）换元法：（配凑）
例２．⑴ ，求
⑵ ，求
练习： ，求
例３． ，求
练习：１．
２．已知：求
解法二：
小结：①应用换元法求解析式的题型特征是：题中没有给出函数最简的解析式
②解法是：通过换元，找出原函数的解析式．（还可以用配凑）
例2已知 ，求 的解析式
解： ，
三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知 ，求
解：令 ，则 ，
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式
解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点
则 ，解得： ，
点 在 上
把 代入得：
整理得
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5设 求
解 ①
显然 将 换成 ，得：
②
解①②联立的方程组，得：
例6设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式
解 为偶函数， 为奇函数，
又 ①，
（1） ；（2） ；
（3） （4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；
二，函数表达式的求法
（1）拼凑成等号两端相同的形式
已知f（ +1）= 。求f(x)。
解：f（ +1）= +1-1= -1；ｆ（ｘ）＝ －１。
（２）引入新的字母进行转化
已知ｆ（ ）＝９ｘ＋８，求ｆ（ｘ）。
解：设ｔ＝ ，
ｆ（ｘ）＝
（３）用多项式相等的法则确定系数
又有已知f(x)+g(x)= …②，
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1设 是一次函数，且 ，求
解：设 ，则
二、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域。
解：用 代替x后与原等式联立方程组得，{
解得，f(x)= 。
㈡，已知2f（ ）+f(x)=x,(x≠0),求f（x）。
解：2f（ ）+f(x)=x…⑴
2 f(x)+ f（ ）= …⑵ 解得f（x）=
（b）利用互为相反数（或倒置）关系，一般模式如：
㈠，已知af（4x-3）+bf（3-4x）=5x， 求f（x）。
用 替换 得：
即 ②
解①②联立的方程组，得
课后作业：
求下列函数的解析式：
1． 已知 是一次函数，且 ，求 ．
（ ）
2． 若求 ． （ ）
3．若 ，求 ． （ ）
4．若求 ．(
5．若 ，求 ． （ ＝ ）
6．已知 求 ．（ ）
7．已知3f(x5) +f(–x5) = 4x，求f(x)的解析式.（f(x)= 2 .）
函数表达式的求法
一，函数的迭代特征
第四讲函数解析式的求法
重 点：求解析式的方法．
难 点：求复合函数的解析式．
教学目标：掌握求解析式的几种常用方法
教学过程：
一、导入新课
复习函数定义（重点是构成函数的三要素）．
二、新课
１．求解析式的常用方法：
（１）待定系数法：
例１．若是二次函数，其图象过原点，且求：
练习：1．若一次函数满足求：
小结：①待定系数法适用于：已知所求函数解析式的一般形式；
（1）×a-（2）×b得，（ ）f（t）=a（ ）-b（ ）
f(t)= = ；f(x)= 。
㈡，已知3f（x-1）+2f（1-x）=2x，求f（x）。
解：设t=x-1，-t=1-x，则，3f（t）+2f（-t）=2（t+1）
（6）利用所含字母的“+”“-”号的变化以改变定义域，再利用函数的奇偶性改变函数的“+”“-”号，进行等条件转化。
如，已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x/x-2/,求当x＜0时，函数f(x)的表达式。
解：设x＜0，则-x＞0；又因f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，
因x＞0时，f(x)=x/x-2/,f(-x)=-f(x)=-x/x+2/，
（３）函数方程法（消元法）
例４．已知：求：
小结：①例４的解法相当于消元法．
②消元法的特点是在所给Biblioteka Baidu析式中与中的自变量互为相反的数，或与中的自变量互为倒数；得到相当于两个未知数的两个方程，求解。
（４）特殊值法：（选讲）
例５．对于一切实数有都成立，且
求
小结：此类型题的特点是：条件是：对于一切实数都成立．
3f（t）+2f（-t）=2（t+1）…⑴
3f（-t）+2f（t）=2（1-t）…⑵ 解得f（t）=2t+
f（x）=2x+ 。
（5）根据题意找出与题设所求的相关量的等价关系，进行字母代换。
（一）若f（x）=x+1，求f（x+1）关于直线x=2对称的直线方程。
解：f（x）=x+1，则f（x+1）=x+2，
f(-x)=(-x)/(-x)-2/=-x/x+2/f(x)=x/x+2/。
若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)= ，求函数f(x),g(x)的表达式。
解：由已知可得，f(-x)+g(-x)= ，①+②得：f(x)= (奇函数)；
则有f(x)-g(x)= …① ， ①-②得：g(x)= （偶函数）。
设点A（x，y）在所求直线的图像上，点 在f（x+1）的图像上，两点关于直线x=2对称，则有 =4-x， =y。将 ， 代入得：y=6-x。
（二）在x R上，函数f（x）关于直线x=2对称，并且[0,2]上的解析式为f(x)=2x-1，求f(x)在[2,4]的解析式。
解：设点A（x，y）在所求函数的图像上，点 为A关于x=2的对称点，则有 =4-x， =y。因 =2 -1将 ， 代入得：y=7-2x。
已知ｆ｛ｆ[f（x）]｝=27x+26，求f（x）。
解：设f（x）=ax+b，ｆ｛ｆ[f（x）]｝= ，
a=3，b=2，f（x）=3x+2。
另：ｆ｛ｆ[f（x）]｝= = ，
a=3，b=2，f（x）=3x+2。
（4）设制方程，消元求解
（a）利用互为倒数关系，一般模式如：
㈠已知af（x）+bf( )=cx,(a，b，c≠0， ),求f（x）。
②解法是：根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组，解出系数的值，代回所设解析式．
（２）换元法：（配凑）
例２．⑴ ，求
⑵ ，求
练习： ，求
例３． ，求
练习：１．
２．已知：求
解法二：
小结：①应用换元法求解析式的题型特征是：题中没有给出函数最简的解析式
②解法是：通过换元，找出原函数的解析式．（还可以用配凑）
例2已知 ，求 的解析式
解： ，
三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知 ，求
解：令 ，则 ，
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式
解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点
则 ，解得： ，
点 在 上
把 代入得：
整理得
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5设 求
解 ①
显然 将 换成 ，得：
②
解①②联立的方程组，得：
例6设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式
解 为偶函数， 为奇函数，
又 ①，
（1） ；（2） ；
（3） （4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；
二，函数表达式的求法
（1）拼凑成等号两端相同的形式
已知f（ +1）= 。求f(x)。
解：f（ +1）= +1-1= -1；ｆ（ｘ）＝ －１。
（２）引入新的字母进行转化
已知ｆ（ ）＝９ｘ＋８，求ｆ（ｘ）。
解：设ｔ＝ ，
ｆ（ｘ）＝
（３）用多项式相等的法则确定系数
又有已知f(x)+g(x)= …②，
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1设 是一次函数，且 ，求
解：设 ，则
二、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域。
解：用 代替x后与原等式联立方程组得，{
解得，f(x)= 。
㈡，已知2f（ ）+f(x)=x,(x≠0),求f（x）。
解：2f（ ）+f(x)=x…⑴
2 f(x)+ f（ ）= …⑵ 解得f（x）=
（b）利用互为相反数（或倒置）关系，一般模式如：
㈠，已知af（4x-3）+bf（3-4x）=5x， 求f（x）。
用 替换 得：
即 ②
解①②联立的方程组，得
课后作业：
求下列函数的解析式：
1． 已知 是一次函数，且 ，求 ．
（ ）
2． 若求 ． （ ）
3．若 ，求 ． （ ）
4．若求 ．(
5．若 ，求 ． （ ＝ ）
6．已知 求 ．（ ）
7．已知3f(x5) +f(–x5) = 4x，求f(x)的解析式.（f(x)= 2 .）
函数表达式的求法
一，函数的迭代特征
第四讲函数解析式的求法
重 点：求解析式的方法．
难 点：求复合函数的解析式．
教学目标：掌握求解析式的几种常用方法
教学过程：
一、导入新课
复习函数定义（重点是构成函数的三要素）．
二、新课
１．求解析式的常用方法：
（１）待定系数法：
例１．若是二次函数，其图象过原点，且求：
练习：1．若一次函数满足求：
小结：①待定系数法适用于：已知所求函数解析式的一般形式；