机器人学第三章习题

注意：θ = 180° 时，∈4→ 0 。证明 θ → 180°是∈4的极限存在，位于
[-1,1]
3-33 编写一种算法，根据旋转矩阵求解相应的单位四元数。
3-34 刚体平面运动时有 3 个自由度，3 维空间运动时有 6 个自由度。
试证明
n
维空间的刚体有1
2
(������2
+
������)个自由度。
Q’=R（K, θ）Q
应用式（3-68）导出 Rodriques 公式
Q’=Q cosθ+sinθ（KxQ）+（1-cosθ）（K·Q）K
3-23 证明旋转矩阵 R 的特征值为 1，������������������和������−������������其中i = √−1，说明与
特征值 1 对应的特征向量的物理意义。
������������
������������ −������������]
0
3-25 证明 Proper 正交矩阵的 Cayley 公式。 3-26 设想刚体上固结有两个单位矢量������1和������2，因为不论刚体怎样旋 转，此两矢量间的夹角不变，即刚体旋转是保角运算，由此证明，旋 转矩阵的逆等于它的转置，旋转矩阵是正交的。 3-27 编写构造坐标系������������������的算法，坐标系{A}由三点 ������������1、 ������������2和 ������������3决 定，其中 （1） ������������1是{A}的坐标原点； （2） ������������2位于{A}的 X 正半轴上; （3） ������������3 位于{A}的 XY 坐标面上，并靠近 Y 的正半轴。 3-28 写出位置矢量 ������������的圆柱坐标θ、γ和 z 的表达式。 3-29 写出位置矢量 ������������的球（级）坐标α、β 和 γ的表达式，α是经度， β是纬度。 3-30 对于微分转动， sin ������ = ������，cos ������ = 1,������2=0，利式（3-68）推导 微分转动（绕 K 轴旋转θ）的公式。 3-31 利用 3-29 题所得结果证明两个微分转动（无限小转角）是可交 换的（与转动顺序无关）。 3-32 用欧拉参数（四元数）也可表示刚体的方位，它与等效转轴一转 角的关系为，
Rot（Y, φ）Rot（X, ∅） 可见，变换的顺序决定于转动是相对于固定框还是相对运动框描述的。 由此可以得到，相对固定框转动变换与相对运动框描述之间的关系 Rot（X, ∅）Rot（Y, φ）������������������−1（X, ∅）.
这是“相似变换”。推导这一相似变换的矩阵，它相当于欧拉角表示
0.866 ������������������ = [0.5000
0
−0.500 0 11
10
0
0.866 0
0 1
−81]
������������������ = [00
0.866 0.500
−0.500 0.866
0 01
00
0
0.866 −0.500 0 −3
������������������ = [00..423530
3-11.如图 3-16a 所示的锲块要求变换到图 所示的位置，求运动算子。 列算子序列，每次运动仅沿某轴平移或绕某轴旋转。
3-12 图 3-20a 中所示的两个相同的锲块，要求将其重新变换为图 320b 所示位置。 1) 列出变换序列，每次变换表示沿某轴平移或绕某轴旋转，变换过
程中两锲块不许碰撞； 2) 作图说明从右到左的各个变换； 3) 作图说明从左到右的各个变换。
3-13 用一个描述旋转（或平移）的变换左乘与右乘同一表示坐标系的 变换，所得结果是否相同？为什么？试举例作图说明。 3-14 一个物体绕它的 X 轴转∅角，再绕他的新 Y 轴转φ角，按照欧拉 角方法，我们知道其方位可表示为 Rot（X, ∅）Rot（Y,φ ） 假若两次转动是绕固定参考系的坐标轴，结果是
1
求ＢＡＴ的第（2,4）元素．
3-5 已知矩阵
？ 0 −1 0 ？0 01 ？ −1 0 2 [？ 0 0 1] 代表齐次坐标变换，求其中的未知元素值（第一列元素）。
3-6 设工件相对于参考系{U}的描述为������������Ｔ，机器人基座相对于参考系 的描述为Ｂ������Ｔ，已知
0 1 0 −1
2) 绕X������轴旋转-90°；
3) 绕Z������轴转 90°。
3-3.求下面齐次变换的逆变换������−1
0 1 0 −1
T = [−01
0 0
−1 0
2 0
]
000 1
3-4.已知
0.25 ＢＡＴ = [00..8473
0
0.43 −0.50 0.75
0
0.86 0
−0.50 0
5.0 −34.0.0]
3-1.写出齐次变换矩阵ＢＡＴ，它表示相对固定坐标系{A}作以下变换。
1) 绕Z������轴旋转 90°； 2) 再绕X������轴转-90°； 3) 最后做移动【3 7 9 】������；
3-2.写出齐次变换矩阵ＢＡＴ，它表示相对坐标系{B}做以下变换。
1) 移动【3 7 9 】������；
Procedure AATORM（VAR K；vec3; VAR theta real ;VAR R；mat33）；
输入具体数据对所编程序进行考核（包括一些较难的情况），验证所
编程序的正确性。
3-21 仿照上题，编写旋转矩阵与 RPY 角、欧拉角法相互转变的子程
序。
3-22 设想使矢量 K 旋转θ角，得新矢量 Q’,即
������ ������
������������������������
(������，������，������)，见式（3-55）。并利用所得结果导出旋转变换通式
（3-68）。
3-16.已知位置矢量 BP和坐标系{B}
3 BP=[2]1Fra bibliotek0 −1 0 10
������������������ = [10
3-24 坐标系{B}最初与{A}重合，然后绕过原点的单位矢量 K 旋转 角，
即
������������������ =R（K，θ）
试证������������������ = ������������������，式中
0
K = [ ������������ −������������
−������������ 0
������������������ = [−01
0 0
−1 0
2 0
]
000 1
1001
������������������ = [00
1 0
0 1
59]
0001
要求机器人手爪坐标系{H}与工件坐标系{P}重合，试求变换������������������
3-7. 已知坐标变换矩阵 ������������������,������������������, ������������������.
0.750 0.433
−0.5 0.866
−33]
0
0
01
画出空间尺寸链图，并求������������������.
0 −1200]
1
3-8.如图 3-17 所示的多面体顶点坐标系，试求 4x4 的齐次变换矩
阵������−1������������和0������������（i=1,2,3,4,5）.
������ ∈1= ������������ sin 2
������ ∈2= ������������ sin 2
������ ∈3= ������������ sin 2
������ ∈4= cos 2 这四个数满足 ，因此称单位四元数，欧拉参数与旋转矩阵的关系为
1 − 2 ∈22− 2 ∈32 2(∈1∈2−∈3∈4) ������∈ = [2(∈1∈2+∈3∈4) 1 − 2 ∈12− 2 ∈32
3-9. 如图 3-18 所示的多面体各顶点坐标系，试求 4x4 的齐次变换 矩阵������−1������������和0������������（i=1,2,3,4）.
3-10. 如图 3-19 所正方体的顶点和中心坐标系，试求 4x4 的齐次变换 矩阵������−1������������和0������������（i=1,2,3）。注：正方形边长为 l。������1是空间对角线的中 点，������2为棱边的中点。
3-17 已知旋转矩阵
010 R（K，θ） = [ 0 0 −1]
−1 0 0
试求其等效转轴 K 和等效转角θ。
3-18 已知齐次变换矩阵
0 1 0 10
H = [−01
0 0
−1 0
210]
000 1
把它看成绕某一轴线（不过原点）的旋转变换，求轴线 K 的方向余弦，
等效转角θ和轴线上的任一点。
3-19 编写求旋转矩阵的等效转轴和等效转角的算法，并能处理θ = 0°
3-35 已知速度矢量 ������������和������������������
10 ������������ = [20]
30
0.866 −0.500 0 11
������������������ = [0.5000
0.866 0
0 1
−93]
0
0 01
计算 ������������
和θ = 180°两种特殊情况（提示：可从（3-75）开始）。
3-20 编写一个子程序，把旋转矩阵方位表示变为等效转轴一转角表
示。当用 PASCAL 语言时，子程序说明开始如下：