斐波那契数列的通项公式推导解析
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斐波那契数列的通项公式推导
山西省原平市原平一中任所怀
做了这些年的数学题,我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时,会觉得这个题的解题技巧很妙,甚至有点非夷所思,但如果把同类型问题多做几个,你就会发现原来所谓的技巧,其实是一种再正常不过的想法,是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法,进一步就会形成解题的思想,所以我对于数学爱好者建议,做题时要把同类型题多种总结和分析,这样你的数学才会有长足的进步。
下面我们就由递推推导通项的问题,进行对比分析。
例1在数列中,,求数列的通项。(普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题)
分析:此题可分两步来进行,首先由构造一个等比数列,其中,并写出的通项;然后利用,两边同除以得
,由累加法,就可求出数列的通项。
解:(
设,则()所以数列为等比数列,且首项为
,公比为3。所以。
于是有,两边都除以得
设,则有
由累加法可得
因为所以()
于是有。
总结:上面的求解过程实质,求是一个把已知条件逐步化简的过程,由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系,进一步求出通项公式。
下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。
已知数列,其中,,求数列的通项。
解:首先我们要构造一个等比数列,于是设
则有。(1)
则由已知得(2)
对照(1)(2)两式得解得或。
我们取前一解,就会有。
设,则有
所以数列为等比数列,首项为,公比为
所以。即(3)
再次构造等比数列,设
则有
对照(3)式,可得所以 x=.
于是有
设,则有数列为等比数列,首项为,公比为,于是=
所以有。