2018学年高中数学必修5课件：2.5 第一课时 等比数列的前n项和 精品

4．等比数列{an}的前 5 项和 S5＝10，前 10 项和 S10＝50，则它 的前 15 项和 S15＝________. 解析：由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5，S15－S10 成等比数列， 故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)， 解得 S15＝210. 答案：210
[导入新知] 等比数列的前 n 项和公式
已知量 公式
首项a1与公比q
首项a1，末项an与公比q
na1q＝1， Sn＝a111－－qqnq≠1
na1q＝1， Sn＝a11－－aqnqq≠1
[化解疑难] 1．在运用等比数列的前 n 项和公式时，一定要注意对公 比 q 的讨论(q＝1 或 q≠1)． 2．当 q≠1 时，若已知 a1 及 q，则用公式 Sn＝a111－－qqn较 好；若已知 an，则用公式 Sn＝a11－－aqnq较好．
[活学活用]
1．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝3，S4＝15，则 S6
等于
()
A．31
B．32
C．63
D．64
解析：法一：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q.
若 q＝1，则有 Sn＝na1，显然不符合题意，故 q≠1.
S2＝a111－－qq2＝3， 由已知可得S4＝a111－－qq4＝15，
[解] 当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； 当 q≠1 时，a111－－qq3＝3a1q2， 因为 a1≠0， 所以 1＋q＋q2＝3q2， 2q2－q－1＝0， 解得 q＝－12. 综上所述，公比 q 的值是 1 或－12.
[易错防范] 1．易忽视 q＝1 这一情况，从而得出错解． 2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比 q，若其中含 有字母，就应按 q＝0，q＝1，q≠0 且 q≠1 讨论．
2．等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶 数项的和大 80，则公比 q＝________. 解析：由题意知SS奇奇－＋SS偶偶＝＝－80，240， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比 q＝SS偶奇＝－－18600＝2. 答案：2
等比数列的综合应用 [例 3] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等 差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. [解] (1)∵S1，S3，S2 成等差数列， ∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比 q≠1， 于是2a11－1－qq3＝a1＋a111－－qq2， 即 2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得 2q2＋q＝0， ∴q＝－12(q＝0 舍去)．
[成功破障] 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和 q. 解：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝1(舍去)或 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
[随堂即时演练] 1．数列{2n－1}的前 99 项和为
()
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
解析：数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其
前 99 项和为 S99＝11－－2299＝299－1.
答案：CBaidu Nhomakorabea
2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比 q 等于( )
[活学活用] 在等比数列{an}中： (1)若 q＝2，S4＝1，求 S8； (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 和 S5. 解：(1)设首项为 a1， ∵q＝2，S4＝1， ∴a111－－224＝1，即 a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
(2)∵q＝－12，又 a1－a3＝3， ∴a1－a1·－122＝3，解得 a1＝4. 于是 Sn＝411－－－－1212n ＝831－－12n.
[类题通法] 解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意， 而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和 公式是解决问题的关键．
[活学活用] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中 bn＞0， 求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2] ＝－2n＋3， 当 n＝1 时，a1＝S1＝2×1－12＝1 也适合上式， ∴{an}的通项公式 an＝－2n＋3(n∈N*)． 又 an＝log5bn，∴log5bn＝－2n＋3， 于是 bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1，
2.5
等比数列的前 n 项和
第一课时 等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和公式
[提出问题] 已知等比数列{an}，公比为 q，Sn 是其前 n 项的和，则 Sn＝a1 ＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题 1：若 q＝1，则 Sn 与 a1 有何关系？ 提示：Sn＝na1.
A．2
B.12
C．4
1 D.4
解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得 a4－a3＝3a3，即 a4＝4a3，∴q＝4. 答案：C
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则 a1＝________. 解析：∵q＝2，n＝5，Sn＝62， ∴a111－－qqn＝62，即a111－－225＝62， ∴a1＝2. 答案：2
等比数列前 n 项和的性质
[例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S4＝2，S8＝6， 求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
[解] 由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8－S4，S12 －S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为 S4＝2，公比为S8－S4S4＝2， 故 S4n－S4n－4＝2n(n≥2)， 所以 a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
[类题通法] 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， S4n－S3n，…成等比数列(其中 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为 0)，这一性质可直接应用． (2)等比数列的项数是偶数时，SS偶 奇＝q； 等比数列的项数是奇数时，S奇S－偶 a1＝q.
等比数列的前 n 项和公式的基本运算
[例 1] 在等比数列{an}中： (1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7； (2)若 a3＝32，S3＝92，求 a1 和公比 q. [解] (1)∵{an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4.∴16＝q4. ∴q＝2(负舍)． ∴S7＝a111－－qq7＝11－－227＝127.
∴bbn＋n 1＝55－－22nn＋＋13＝5－2＝215. 因此{bn}是公比为215的等比数列，且 b1＝5－2＋3＝5， 于是{bn}的前 n 项和 Tn＝511－－221155n＝122451－215n.
5.等比数列求和中的误区
[典例] 设数列{an}是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S3 ＝3a3，求此数列的公比 q.
两式相除得 1＋q2＝5，解得 q2＝4， 故 q＝2 或 q＝－2. 若 q＝2，代入解得 a1＝1，此时 S6＝a111－－qq6＝1×1－1－2 26＝63. 若 q＝－2，代入解得 a1＝－3，此时 S6＝a111－－qq6＝－31×－[1－－2－ 26]＝63.故选 C.
法二：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4 也成等比数列， 故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得 S6＝63. 法三：设等比数列的公比为 q. 则 S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋ q2)×3＝15， 解得 q2＝4. 故 S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋ 42)×3＝63.故选 C. 答案：C
(2)①当 q≠1 时，S3＝a111－－qq3＝92，
又 a3＝a1·q2＝32，∴a1(1＋q＋q2)＝92，
3 即q22(1＋q＋q2)＝92，
解得 q＝－12(q＝1 舍去)，∴a1＝6.
②当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝32.
a1＝6， 综上得q＝－12，
或a1＝32， q＝1.
[类题通法] 在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，a1 与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以 用 a1 与 q 表示 an 与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经 常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体 思想在数列中的具体应用．
a1＋a1q2＝10， (2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得a1q3＋a1q5＝54，
a11＋q2＝10，
①
即a1q31＋q2＝54.
②
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得 q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321.
5．在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，a1＝3，an＝96，求 q 和 n.
解：(1)由题意知aa1111＋＋qq＋＝q320＝，155，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－56，
从而 Sn＝14×5n＋1－54，
或
1 Sn＝
080×111－－56n.
问题 2：若 q≠1，你能用 a1，q 直接表示 Sn 吗？如何表示？
提示：能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以 q，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn.
(2)∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， ∴3－ 1－96qq＝189.∴q＝2. ∴an＝a1qn－1.∴96＝3×2n－1.∴n＝5＋1＝6.
课时跟踪检测见课时达标检测(十二)