基本不等式基础练习讲解学习

基本不等式基础练习

1．下列不等式正确的是

A ．212x x +≥-（

B 4(0)x

≥>C ）12x x +≥（D ）1sin 2()sin x x k x π+≥≠

2．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则

11a b

+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．

14

3．已知0,0x y >>，且131x y +=，则2x y +的最小值为（ ）

A ．7+

B ．

C ．7+

D ．14

4．已知M 是△ABC 内的一点，且32=⋅AC AB ，︒=∠30BAC ，若△MBC, △

MCA 和△MAB 的面积分别y x ,,21，则

y x 41+的最小值是( )A.9 B.18 C.16 D.20

5．已知函数

2()(f x x b x a b =+-++是偶函数，则此函数的图象与

ｙ轴交点的纵坐标的最大值为 B.2 C.4 D.－2

6．若正实数,x y ，满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 __

7．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。

8．函数()120)2

f x x x x =-<<（1）（的最大值是

9． 在等比数列{}n a 中，0n a >，且1816a a ⋅=，则45a a +的最小值为

______．

10．不等式4210x x a x +⋅+≥∈R 对一切恒成立，则a 的取值范围

是 。

11．已知AD 是ΔABC 的中线，若∠A=120°，2-=⋅，则||的最小值是

12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋

c)·BC uuu r ·BA u u u r ＋c CA u u u r ·CB u u u r ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝AB u u u r ·CB u u u r 的最小值．

13．已知向量m ＝1sin ,2A ⎛⎫ ⎪⎝

⎭与n ＝(3，sinA cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．

14．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a=

12

c+bcosC. (1)求角B 的大小;

(2)若S △ABC 求b 的最小值.

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：由题意2333a b a b +=⋅=，所以1a b +=，则

()11

1

1

()2224b

a

a b a b a b a b +=++=++≥+=，故选B.

考点：1.等比数列的性质; 2．均值不等式的应用.

2．A

【解析】

试题分析：∵2212(1)0x x x ++=+≥，∴A 正确；∵

≥=，∴B 错误；

考点：基本不等式．

3．A

【解析】

试题分析：因为0,0x y >>，且1

3

1x y +=，

所以13232(2)()777y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+ A.

考点：基本不等式

4．B.

【解析】

试题分析：

0cos 30AB AC AB AC A BAC •==∠=u u u r u u u r u u u r u u u r Q g g

4AB AC ∴•=u u u r u u u r

1sin 12ABC S AB AC A ∆∴==u u u r u u u r g g g M Q 是ABC ∆内一点，MBC ∆,MCA ∆和MAB ∆的面积分别为1,,2

x y ， 112

x y ∴++= 12

x y ∴+= 又0,0x y >>Q

114144()()()552292y x x y x y x y x y

+=++=++≥+⨯= 1418x y

∴+≥，选B. 考点：1、向量的数量积；2、正弦定理求三角形的面积；3、利用均值不等式求最值.

5．B

【解析】

试题分析：由已知22()(2)f x x b a x a b =+--++是偶函数，则x 的奇次幂前的系数220b a --=即222a b +=，且0b >，此时函数图象与y 轴交点的纵坐标为222()2a b a b +≤+=，当且仅当1a b ==时，等号成立，即最大值为2. 考点：1、二次函数是偶函数即一次项的系数为零；2、利用重要不等式222a b ab +≥求最值.

6．当

，时，的最小值为18.

【解析】

试题分析：首先可确定2x >，即20x ->，816822x x y x x x x +=+

=++--16(2)102

x x =-++-，下面根据基本不等式就可得到结论．

考点：基本不等式求最小值．

7．4

【解析】lg 2x ＋lg 8y ＝x lg2＋3y lg 2＝lg 2，∴x ＋3y ＝1， ∴113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号．

8．83

+ 【解析】

试题分析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线(0,0)z ax by a b =+>>，过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大6，即466a b +=，即

233a b +=，而12a b +＝122384()()333a b b a a b a b

++=++g 83≥83+=． 考点：简单线性规划的应用；基本不等式的应用．

9．256

【解析】