定积分求平面图形的面积

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
定积分的应用-----求平面图形面积
4
1
2
引入
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.复习定积分的定义及其几何意义
2.如何用定积分求平面图形的面积？
4
1
2
一、微元法
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
2
若曲线 y f ( x) 与 y g ( x) 及x=a,x=b 所 围成的图形为如图： 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y
y f ( x)
y g ( x)
o
a
x x dx
b
x
面积A， A a [ f ( x) g ( x)]dx
b
4
1
2
y f1 ( x) 与y f 2 ( x) 与直线 设曲线 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x a , x b ( a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
y y f1 ( x) y f 2 ( x)
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
2
的面积 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 解: 由 得交点
.
(2 , 2) , (8 , 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
4
2 d A ( y 4 1 2 y ) dy
y yd y y
y2 2x
o
2 A ( y 4 1 y ) dy 2 2
x
4
1
2
y y f ( x)
设曲线 y f ( x ) ( 0) 与直线
x a , x b ( a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
oa x
d A f ( x ) dx
A f ( x ) dx
a
其中
b
dA f ( x) dx 为面积元素，
4
1
x dx
b x
a
b
o
axxdx
4
1
2
b x
例1
计算两条抛物线
所围图形的面积 .
在第一象限
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
解: 由
得交点 (0 , 0) , (1, 1)
dA
A
1
y
y x
2


x x 2 dx
x x dx
2

0


1 3
o
x 1 x d x
18
4
(2 , 2)
1
y x4
2
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu(8 , 4)
训练
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.求曲线y 1 x 与x
2
轴所围成的图形面积。 2 y x 2．求曲线 与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积. 2 3.求曲线y x 与 y 2 - x 2 所围成的图形面积。 1 y 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
4
(1,1)
1
y x2
2
x
分析，归纳解题步骤：
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.画草图，求出曲线的交点坐标．
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量
4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面 积。
4
1
2
例2
计算抛物线
y 2 x 与直线 y x 4 所围图形