高一数学必修一函数的解析式

求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法（直接变换法）

如：f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式。

2) 待定系数法

如：若f{f[f(x)]}=27x+26,求f （x ）的解析式。

3) 换元法

如：f （1 x ）=x+2x ，求f （x ）。

4) 消参法

如：如果f （x ）满足af （x ）+f （x

1）=ax ，x ∈R ，且x ≠0，a ≠+1，求f （x ）。

5) 特殊值法

如：设f （x ）是R 上的函数，f （0）=1，并且对任意实数x 、y 有f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y+1），求f （x ）。

6、函数最大（小）值

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）

值

○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

练习：

1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.

2．已知221)1(x

x x x f +=-, 求)(x f 的解析式.

3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .

4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式

x x

f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.

5．设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f .

6．已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

7．已知f(x+1 )= 2x+1 ，求f(x)解析式。

8．求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7

9．设函数F(x)=f(x)+g(x) 其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是2x的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F（x) 的解析式。

10． 若,1)1(x

x x f -=求)(x f ．

11．已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0

12．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

13．设f(x)=22x -3x+1,g(x-1)=f(x) ,求g(x)及f [g(2)]

14．已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ．

15．若,)(2)1(x x f x

f =+求)(x f ．

16．若x x x f -=-2)23(，求)2(f ．

17．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．

一、集合

集合中元素的三个特性：

(1)确定性、（2）、互异性（3）、无序性。

1）集合的表示方法：列举法、描述法与Venn图。

◆注意：常用数集及其记法：

非负整数集：N ；正整数集：N*或 N+；整数集：Z；有理数集：Q ；实数集R

◆任何一个集合是它本身的子集。A A

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

◆运算类型：交集、并集、补集

二．函数

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

◆相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无

关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 : 先考虑其定义域

3．区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

4．对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是

唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一

个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

5.函数的单调性(局部性质)

（1）函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：（最普通最常用的方法）

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

（2）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对

称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .