从高斯定理看电场线的性质
电场的高斯定理
= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
电场中的高斯定理与电场线
电场中的高斯定理与电场线电场是一个物理学中的重要概念，用来描述电荷之间相互作用的力场。
高斯定理是电场理论中的一个基本原理，用来描述电场的分布情况以及电场线的性质。
本文将通过介绍高斯定理和电场线的概念、原理以及相关应用，来探讨电场中的高斯定理与电场线。
一、高斯定理的概念与原理高斯定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。
它指出，闭合曲面上的电通量与该曲面内的电荷量成正比，且与曲面的形状无关。
具体而言，对于一个闭合曲面S，其内部包含一定量的电荷，电场从曲面S的每个点出发的该点处的电通量之和等于该闭合曲面内部的电荷量的1/ε₀倍，其中ε₀为真空介质中的介电常数。
根据高斯定理，我们可以通过计算电场的电通量来确定曲面内部的电荷分布情况。
若曲面内部的电荷量为正，则电场线从内部流向曲面上；若曲面内部的电荷量为负，则电场线从曲面上流向内部。
高斯定理的应用让我们能够更好地理解电场的行为和性质。
二、电场线的概念与性质电场线是用来描述电场分布情况的一种图形表示方法。
在任意给定点处，电场线的方向为该点处的电场强度的方向。
电场线从正电荷流向负电荷，它们总是与等势面垂直相交。
电场线的密度表示了电场的强弱，如果电场线之间的间距越密集，则电场强度越大。
电场线还具有以下性质：首先，电场线不会相交，如果两条电场线交叉，则会形成一个无法确定电场强度的点；其次，电场线从正电荷流向负电荷，这是因为电荷会引起电场的形成，电场力会使电荷发生运动，直到达到相对稳定的态势。
三、高斯定理与电场线的应用高斯定理和电场线在电场理论的研究和实际应用中具有重要意义。
以下是一些它们的应用示例：1. 高斯定理可以用来计算闭合曲面内部的电荷分布情况，从而推导出电场强度的表达式。
通过计算电通量和曲面积分，可以得到与电荷分布相关的电场强度公式。
2. 根据高斯定理，我们可以计算出闭合曲面上的电通量，进而推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
对高斯定理的理解
对高斯定理的理解1．高斯面S是静电场中的任意闭合曲面．但S面上不能有有限的电荷分布。
2．从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通最的源。
若闭合面内存在正(负)电荷．则通过闭合面的E通量为正(负)．表明有电力线从面内(面外)穿出(穿入)，即正(负)源电荷发射(吸收)电场线；若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断.在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同．就不会改变通过整个闭合面的E通量：在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献。
3．利用库仑定律和叠加原理导出高斯定理，库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布；高斯定理在电场强度分布已知时．能求出任意区域的电荷；当电荷分布具有某种对称分布时．可用高斯定理求出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学上比用库仑定律简便得多；对于静止电荷的电场，可以说库仑定律与高斯定理是等价的；在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的电场时，库仑定律不再成立，而高斯定理却仍然有效。
所以说：高斯定理是关于电场的普遍的摹本规律。
高斯定理求电场步骤高斯定理的一个重要应用。
是用来计算带电体周围电场的电场强度。
实际上。
对称性不是应用高斯定理求场强的条件，对于具有对称性．且能应用高斯定理求场强的问题，由于具有对称性．总可选择合适的高斯面而使计算较为简便：但在某些非对称情况下，只要高斯定理中的f-E·ds能够进行积分，则无论电荷或电场分布是否具有对称性，均能应用高斯定理求电场强度。
因此对称性不是应用高斯定理求场强的条件，应用高斯定理求场强的关键是看(1)左边的积分能否进行，过分强调对称性，往往导致忽视应用高斯定理求场强的数学条件，造成对高斯定理的误解，应用高斯定理求场强问题的步骤：1．分析场强或电荷分布的特点．进行对称性分析和判断，即由电荷分布的对称性。
高斯定理
3.点电荷在封闭曲面之外 e E dS 左 E dS 右 E dS 0
dS1
E2
E1
e S E dS 0
q+ dS 2
4.点电荷系电场中的电通量
使 q1 , q2 , qn 在曲面内；
使 qn1 qnk 在曲面外。 闭合面上各点场强
e S de S E cos dS
e S E dS
S
2）通过闭合曲面的电通量 规定: n 的方向指向曲面的外侧。
dS1 E 1 1 E2
de E dS EdS cos ( E n ) 90 通量为正； ( E n) 90 通量为负。
2.通过高斯面的电通量仅由高斯面内电荷的代数和决 定，而与面外电荷无关。 1 3.若电荷连续分布 e S E dS S dq
0
利用库仑定律和场强叠加原理，验证高斯定理。
1.点电荷位于球面中心
1 q E 4π 0 r 2 1 q e S E dS S dS 2 4π 0 r 1 q dS 2 S 4π 0 r
E0
例：求均匀带电球体的内外场强分布。设球体半径 为 R ，所带总带电为 Q。 解：选取同心的球面 为高斯面。
R
1 n S E dS qi
r
r
o
Q
E
P
0
i 1
1. r R
Qr E 3 4π 0 R
2. r R
Q 4 3 q 3 πr 4πR 3 3
高斯定理概要
一、电场线 性质：静电场的电场线不相交、不中断。 二、电通量 e S E dS 1 n 三、高斯定理 S E dS qi
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
从场线角度解释高斯定理和斯托克斯定理
从场线角度解释高斯定理和斯托克斯定理高斯定理和斯托克斯定理是电磁学中最基础的定理之一，它们分别描述了电场和磁场在封闭曲面和闭合曲线上的性质。
从场线角度来解释高斯定理，我们可以将电场看作是由正电荷和负电荷所形成的场线，其密度描述了电场的强度。
高斯定理指出，对于一个封闭曲面，它所包含的电场通量与该曲面所包围的电荷量成正比。
换句话说，电场流出封闭曲面的总量等于该曲面所包围的电荷量。
这个定理的物理意义可以通过一个简单的例子来理解。
假设一个球形曲面内部有一个正电荷，这个电荷所产生的电场线从球心向外扩散，并穿过球面。
由于电场的强度在球面上是连续的，因此球面上每个微小面元所穿过的电场线密度相等。
那么球面所包围的电荷量就等于电场流出球面的总量。
这样，我们就可以通过测量电场在一个封闭曲面上的总通量来计算出该曲面内部所包围的电荷量。
斯托克斯定理则描述了磁场环路积分与该曲线所包围的电流的关系。
从场线角度来讲，磁场线可以看作是由电流所形成的。
这些场线通常是环绕着电流输送磁场能量的。
斯托克斯定理指出，一个闭合曲线内的磁场环路积分与该曲线所包围的电流成正比。
也就是说，磁场沿着一个闭合曲线所形成的环路积分等于该曲线所包围的电流的磁通量。
这个定理的物理意义可以通过一个简单的例子来理解。
假设一个圆形曲线内部有一个电流，这个电流所产生的磁场线环绕着曲线形成一个环路。
由于磁场强度在环路上是连续的，因此在环路上任意一点的磁场积分都相等。
那么该曲线所包围的电流量就等于磁场沿曲线的环路积分。
这样，我们就可以通过测量沿着一个闭合曲线的磁场环路积分来计算出该曲线所包围的电流量。
通过从场线的角度分析，我们可以更加清晰地理解高斯定理和斯托克斯定理的物理意义。
这些定理不仅应用于电磁学，也可以应用于其他领域的物理学和工程学。
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
高斯定理与电场的性质
高斯定理与电场的性质一、引言高斯定理（也称为高斯积分定理）是电磁学中一个重要的定理，与电场的性质密切相关。
本文将探讨高斯定理的原理和应用，并通过具体的例子说明电场的性质。
二、高斯定理的原理高斯定理描述了电场通过闭合曲面的总通量与该曲面内电荷量的关系。
具体而言，高斯定理可以表述为：∮E·dA = Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E与曲面元素dA的点积的累加，Q表示闭合曲面内的净电荷量，ε₀为真空中的电介质常数。
三、电场的性质1. 电场与电荷根据高斯定理，闭合曲面内的净电荷量是决定电场通量的关键因素。
当闭合曲面内没有净电荷时，根据高斯定理，电场通过曲面的总通量为零。
这意味着在没有净电荷的情况下，电场呈闭合环路。
2. 对称性与电场高斯定理的应用需要利用曲面的对称性简化计算。
例如，对于球对称的电荷分布，可以选择以电荷中心为球心的球面作为高斯曲面，从而简化计算。
对称性是高斯定理应用的重要原则。
3. 电场与电荷分布通过高斯定理，可以推导得到电场与不同电荷分布之间的关系。
例如，在球对称的电荷分布情况下，可以得到球外的电场强度与电荷量之间的关系。
这使得高斯定理成为研究电场与电荷分布之间关系的重要工具。
4. 电场的环路独立性高斯定理还揭示了电场的环路独立性。
换言之，电场的路径不影响闭合曲面内的电场通量。
这使得我们可以任意选择电场路径来求解电场的性质，大大简化了电场分析的复杂性。
四、应用举例以均匀带电直线为例，探讨高斯定理在求解电场的应用。
考虑一根长度为L，线密度为λ的均匀带电直线。
为了计算电场强度E，在距离直线d处选取一个半径为r的高斯曲面。
根据对称性，由于电荷分布的轴对称性，垂直于直线的电场分量在高斯曲面上处处相等。
根据高斯定理，电场通过高斯曲面的总通量等于曲面内的净电荷量。
由于高斯曲面不包含任何电荷，故总通量为零。
因此，只考虑与高斯曲面垂直的电场分量，通过高斯曲面的总通量可以表示为E·2πdL = 0。
电磁学中的电场与高斯定律
电磁学中的电场与高斯定律导言：电磁学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场和电磁波等现象。
其中，电场是电磁学中的关键概念之一，而高斯定律则是电场分析的重要工具。
本文将深入探讨电磁学中的电场和高斯定律的原理和应用。
一、电场的概念与性质：电场是指电荷周围的一种物理场，它描述了电荷所产生的作用力对其他电荷的影响。
根据库仑定律，电场的强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
电场具有矢量性质，通过电场线可以直观地描述电场的分布情况。
在电磁学中，电场通常用E表示，其单位是牛顿/库仑。
二、高斯定律的原理：高斯定律是电场分析中的重要定律，它由德国物理学家高斯于18世纪提出。
该定律表明，闭合曲面上的电场通量与该曲面内的电荷量成正比。
具体而言，高斯定律的数学表达式为：∮ E·dA = 1/ε0 ∫ ρ dV其中，∮ E·dA表示曲面上的电场通量，ε0是真空介电常数，ρ表示电荷密度，∫ ρ dV表示曲面内的电荷量。
三、高斯定律的应用：高斯定律在电场分析中有着广泛的应用。
以下主要介绍两个重要的应用场景。
1. 高斯球面定律：在球对称的电场分布情况下，可以利用高斯球面定律简化电场分析。
该定律表明，位于球心的电荷产生的电场通量只与球半径有关，与球面上的电荷分布无关。
根据高斯球面定律，可以计算出球面内外的电场强度，并且可以得到各个球面上的电场强度大小。
2. 均匀带电平面的电场：在均匀带电平面的情况下，可以利用高斯定律计算平面两侧的电场分布。
高斯定律表明，平面两侧的电场通量相等。
利用这个性质，可以得到平面两侧的电场强度与电荷面密度成正比的关系，进而计算出电场的分布情况。
四、电场与高斯定律的实际应用：电磁学中的电场与高斯定律不仅仅是理论研究工具，还有着广泛的实际应用。
1. 静电场的计算与分析：利用高斯定律，可以计算出各种复杂电荷分布所产生的电场强度。
这对于电场的分析和应用具有重要意义，例如在电场屏蔽、电势分布、电容器设计等方面。
6-3电场线 高斯定理
二 电场强度通量
定义：通过某面积S的电通量等于通过S的电场线 的条数。
(1)均匀电场， S是平面， 且与电场线垂直
S
E
电通量 Φe ES
(2)均匀电场， S是平面， 与电场线不垂直
电通量 Φe ES cos Φe E S
n
S
E
无限大 平板 平面
2rhE
hr 2 0R2
例7 求无限大均匀带电平面外的电场分布，设电
荷面密度为。
解：由对称性，任意场点p的场强 的方向垂直于带 电平面。
平面两侧距平面等远点
处的场强大小一样。
E
作一个圆柱形闭合面。
S
Φe
E dS
s
左E dS 右E dS 侧E dS
S E
S
Es Es 2ES S 0
于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以
.
0
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
四 高斯定理的验证
验证方法： 从特殊到一般
高
1 点电荷q 被以q为中心的任意球面包围
斯
设q >0，场具有球对称性
Φe
dS
E
q+
2 点电荷q被任意曲面包围
推广到任意形状的闭合曲面s。
电场线不会中断， 通过S面的电通量与通过球面 电通量是相同的。
x
o
大小相等。方向与平板
垂直。
高斯面取作圆柱面，其轴与 d
平板垂直。
设圆柱底面面积s， 到中心平面的距离
均为 x
通过高斯面的电通量
Φe E 2s
电场中的高斯定律知识点总结
电场中的高斯定律知识点总结在物理学中，电场是一个重要的概念，用于描述电荷之间的相互作用。
为了深入理解电场，科学家们提出了高斯定律，这是一个非常重要且有用的定律，用于计算电场的强度。
本文将对电场中的高斯定律进行知识点总结。
1. 高斯定律的基本原理高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出的。
该定律描述了电场的性质与电荷分布之间的关系。
简而言之，高斯定律指出，通过任何闭合曲面的电通量正比于该曲面内的电荷总量。
这可以用数学公式表示为：∮E.dA = Q/ε0其中，∮E.dA表示电场强度矢量在曲面上的面积分，A表示曲面的面积，Q表示曲面内的电荷总量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定律的应用场景高斯定律适用于具有对称性的电荷分布情况，例如球对称、柱对称和平面对称等。
对于这些情况，可以通过选取合适的高斯面来简化电场的计算。
高斯定律可用于计算电场强度、电势以及电荷分布等问题。
3. 高斯面的选择高斯定律的关键在于正确选择高斯面。
高斯面应该与电荷分布情况具有相同的对称性。
对于球对称的情况，应选择球面作为高斯面；对于柱对称的情况，应选择柱面作为高斯面；对于平面对称的情况，应选择平面作为高斯面。
通过选择合适的高斯面，可以简化电场计算的过程。
4. 高斯定律的推导高斯定律可以通过对电场进行积分和运用坐标变换等数学方法来推导。
例如，对于球对称的电荷分布，可以通过对电场进行积分，并利用球面的面积元素等来推导出高斯定律。
通过推导，可以更深入地理解高斯定律的原理和适用范围。
5. 高斯定律的应用举例高斯定律在许多电场问题中都有广泛的应用。
例如，可以利用高斯定律计算无限长直导线的电场强度，以及均匀带电球壳内外的电场分布等。
通过应用高斯定律，可以简化电场计算的过程，并提高求解问题的效率。
6. 高斯定律与库仑定律的关系高斯定律与库仑定律是电磁学中两个基本而重要的定律。
它们之间存在密切的联系。
库仑定律描述了电荷之间的相互作用力，高斯定律描述了电场强度和电荷分布之间的关系。
有关高斯定理的学习心得
有关高斯定理的总结和学习心得定义了电场强度，计算了部分带电体的电场的分布，那么电场具有什么样的性质是我们应该深入研究的。
高斯定理从一个侧面描述了电场的性质，它是以库仑定律和静电力的叠加原理为基础导出的一个通量定理。
一、高斯定理高斯定理：静电场中通过任何一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面包围的自由电荷的代数和。
数学表达式为：附：1.高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
2.虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。
3.电场强度E 是描述电场性质的主要物理量，也是一个客观存在的物理量，而电位移矢量D 是一个辅助物理量，不是一个客观存在的物理量。
二者关系为：二、高斯定理的推导 A 、电场强度通量通过电场中某一个面的电场线的条数，称为通过该平面的电场强度通量。
1、若电场是均匀的而且面和场是垂直的，则有2、一般情况：将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量则电场穿过该面元的电通量为电场穿过某曲面的电通量为说明：电通量是标量，但有正负之分。
不闭合曲面：面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可正也可负；闭合曲面： 规定面元的法向单位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为正，反之则为负。
真空中，在一带电量为q 的点电荷的电场中，以该电荷所在点为球心作一半径为r 的球面，则通过此闭合曲面的电场强度通量为：结论：真空静电场中通过任何一闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面包围的自由电荷除以 ，数学表达式为：在均匀各向同性介电体中，引入一个新的物理量——电位移矢量，用D 来表示，其定义如下：结论：静电场中通过任何一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面包围的自由电荷。
s D dS q ⋅=∑⎰⎰0r D E εε=e ES Φ=n S S d d =d d e Φ=⋅E Sde e ΦΦ=⎰01d d 4e 3S S q E S r S r Φπε=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰22200S q d 4r 44r q S r ππεπε==⋅⎰⎰0εq =0ε0d e S q εΦ=⋅=⎰⎰E S 0r D E Eεεε==A 、利用高斯定理，可以计算一些带电体在空间的电场强度分布。
10--高斯定理-文档资料
q
Sn
0
B）点电荷在S面外：
q
+
q
+
S1 S
e
E dS
S
0
S
2）多个点电荷的情况
面内有: 面外有:
q1,q2, qn qn1,qn2,
q+4 qnk
q1 + +q2 - q3q5- S
e
E dS
S
SE1
dS
S
E2
dS
Sn
En
dS
S En1 dS q1 q2
0 0
如果电子柱的电荷线密度
为 5104 C/m ，空气击穿 场强为3106 N/C，试问该
电子柱的半径有多大？
E 2π 0R
R 2π 0 E
5 104
2π0 3106
3m
由于电荷分布的不均匀的，实 际闪电的发光部分比这个值小
2、求无限大均匀带电平面外的电场。设电荷
面密度为
解：对称性分析；
+
+
2）通过垂直于电场方向 的单位面积的电场线数目 等于该点的电场强度值。
静电场的电场线性质：
ds de
1）电场线不闭合，在没有电
荷的地方不中断，起自正电荷
（或“”远），终止于负电 荷（或“”远）。
E de
2）任何两条电场线不能相交。
ds
说明场强的方向； 电场线作用有：说明电场的强弱；
说明电场的整体分布。
ES
单位：牛米2/库
e ES ES cos
注意：
E是S上的E
B）非均匀场
E
dS
因各点场强不一样。
分割成许多小面元，任
高斯定理
s(柱面）
s(上底）
s(下底）
E dS s(柱面）
z en
+
E
+
r h
x
+
+o
+
eenn
y
E dS EdS
S
s ( 柱面）
2π rhE h 0
E 2π 0r
h
0 z
+
+
r h
+
+o
x+
E
en y
例4. 均匀带电圆柱面的电场. R. 沿轴线方向单位长度带电量为
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面
电通量 高斯定理
一.电场的图示法:电力线 想象空间一系列有向曲线，其上任一点： 切线方向 即为该点的电场强度的方向。 电场线相对疏密程度即为该点的电场强度的大小。
AB
二、 电力线的性质：
Eb
b
Ea
a
Ec
c
E
★ 1、不闭合，不中断; 起于正电荷、止于负电荷；
★ 2、任何两条电力线不相交。
三、电力线密度与电场强度的数量关系：
E2rl l 0
r
E 2 0 R2 r R
2 0r r R
n
E
n
n
S1
R
nO
S2
S1
E dS
S1
E S2
ER2
五、高斯定理
在真空中，通过任一闭
合曲面S的电通量e ,等于
该闭合曲面所包围的所有
电荷的代数和除以0 .
数学表达式：
e
s
1 E dS
0
qi
S内
1、高斯定理的引 出(A) 对于孤立点电荷 q
6.2高斯定理电场线的特点
6.2.3.高斯定理
1. 点电荷
• q 在球心处， 球面电通量为
Φe SE dS SEdS ESdS
q
4 π0r 2
4πr 2
q
0
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
• q 在任意闭合面内， 电通量为
Φe SE dS
q
0
E
dS
qr
穿过闭合面的电力线 条数仍为 q/ 0
条数称为电通量。 Φe
1.均匀场中dS 面元的电通量
de dN EdS
E cos dS
矢量面元
dS
dS
n
de E dS
2.非均匀场中曲面的电通量
e de S E dS
n
E
dS
dS
S
dS E
3. 闭合曲面电通量
e de SE dS
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以1 0
意义 反映静电场的性质 —— 有源场,电荷就是它的源。
6.2.4 高斯定理的应用 (1) 静电场的高斯定理适用于一切静电场；
(2) E与电荷量，电荷的分布有关
E dS与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关
S
(3) 净电荷 就是电荷的代数和
e 与曲面的形状和 q 的位置无关的，只与闭合曲面
包围的电荷电量 q 有关。
• q 在闭合面外 e 0
穿出、穿入的电力线条数相等
2. 点电荷系
+q
E E1 E2 ... E5
任意闭合面电通量为
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根据场的对称性做高斯面 求出通过Gauss面的通量
1
r R E E d S
S
S S
0 S内
q
i
Q
0
Q
2 4 r E E EdS E dS
4 0 r 2
2
rR
E dS 4r E 0 EdS
S
E0
讨论：
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算 注意选取合适的Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计 算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如： 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电球体内外的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的 电场，可以分别求出场强再叠加
E⊥dS
E 是常数
3.6无限大带电平面的电场
例题9 (p28)
求均匀带正电的无限 大平面的电场分布，设 电荷的面密度为σe。 对称性分析
在直角坐标下分析 对yz平面，镜像反射变 换不变,场也不变 ——Ex=0 对zx平面镜像反射变换 不变，场也不变 ——Ey=0 只有Ez不为零，
S
结论：球壳内E=0；球壳外与点电荷场相同
P26例题7
利用例题6的结果，球外一计算r<R时，高斯面内所包 4r 3 围的电量为 体电荷 q' e
1 4 0 E 1 4 0 Q (r R) 2 r Qr (r R) 3 R
设棒上线电荷密度为+e
作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长） 求出通过Gauss面的通量
el E E d S qi 0 0 S内 S
1
上底
E d S E d S E d S 2rlE
下底 侧面
1 e E 2 0 r
3.7 从高斯定理看电场线的性质
电场线疏的地方场强小，密 电场管 的地方场强大 E E1 cos1S1 E2 cos2 S2 0(管内无电荷 ）
E1 cos1 S 2 or：－ ＝ E2 cos 2 S1
电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
无限大平面自身具有平 移不变性， Ez与场点 的坐标无关
e S E E d S qi 0 S内 0 S
1
上底
E d S E d S E d S 2ES
下底 侧面
EΔS
e E ,方 向 如 图 2 0
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大 小与场点到平面的距离无关 图示c板间场强为何？
复习:高斯定理
表述：通过一个任意闭合曲面S的电通量等于 该面所包围的所有电量的代数和除以ε0，与闭 合面外的电荷无关。 面内电量的代 面上的场强，是 公式表示： Gauss 数和，与面外 所有电荷产生的场
电荷无关
E E d S E cosdS
(S ) (s)
1
0
i ( s内）
3
3.5轴对称的电场 例题8 (p27)
求无限长均匀带电棒 外的场强分布
在柱坐标下分析 作平面П1和П2 柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0 柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0 剩下唯一不可能等于0的分量只有Er 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性 ——等r处Er相等——轴对称性
q
i
通过任意 闭合曲面 的电通量
Gauss 面
本节内容： 高斯定理的应用
3.4 球对称的电场
说明：当场强的分布具有一定的对称
性时，才能够直接运用高斯定理
例题6
利用高斯定理求电荷面密度均匀 的带电球壳产生的场强分布。
在球坐标下分析：
E( p) ~ Er，E，E
球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋转不 变 —— 场强分布也不变，但旋转时 E和 E变 — —只有E＝0和E＝0 只有径向分量Er不为零，r相同Er相同——场呈 球对称分布