从高斯定理看电场线的性质

E⊥dS
E 是常数
3.6无限大带电平面的电场
例题9 (p28)
求均匀带正电的无限 大平面的电场分布，设 电荷的面密度为σe。 对称性分析





在直角坐标下分析 对yz平面，镜像反射变 换不变,场也不变 ——Ex=0 对zx平面镜像反射变换 不变，场也不变 ——Ey=0 只有Ez不为零，
复习:高斯定理
表述：通过一个任意闭合曲面S的电通量等于 该面所包围的所有电量的代数和除以ε0，与闭 合面外的电荷无关。 面内电量的代 面上的场强，是 公式表示： Gauss 数和，与面外 所有电荷产生的场
电荷无关
E E d S E cosdS
(S ) (s)
1
0
i ( s内）
讨论：


以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强


通量要好算 注意选取合适的Gauss面

Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计 算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如： 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电球体内外的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的 电场，可以分别求出场强再叠加
3
3.5轴对称的电场 例题8 (p27)
求无限长均匀带电棒 外的场强分布
在柱坐标下分析 作平面П1和П2 柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0 柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0 剩下唯一不可能等于0的分量只有Er 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性 ——等r处Er相等——轴对称性
无限大平面自身具有平 移不变性， Ez与场点 的坐标无关
e S E E d S qi 0 S内 0 S
1
上底
E d S E d S E d S 2ES
下底 侧面
EΔS
e E ,方 向 如 图 2 0


ห้องสมุดไป่ตู้
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大 小与场点到平面的距离无关 图示c板间场强为何？
q
i
通过任意 闭合曲面 的电通量
Gauss 面
本节内容： 高斯定理的应用
3.4 球对称的电场
说明：当场强的分布具有一定的对称
性时，才能够直接运用高斯定理
例题6
利用高斯定理求电荷面密度均匀 的带电球壳产生的场强分布。


在球坐标下分析：
E( p) ~ Er，E，E
球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋转不 变 —— 场强分布也不变，但旋转时 E和 E变 — —只有E＝0和E＝0 只有径向分量Er不为零，r相同Er相同——场呈 球对称分布


根据场的对称性做高斯面 求出通过Gauss面的通量
1
r R E E d S
S
S S
0 S内
q
i

Q
0
Q
2 4 r E E EdS E dS
4 0 r 2
2
rR

E dS 4r E 0 EdS
S
E0
3.7 从高斯定理看电场线的性质

电场线疏的地方场强小，密 电场管 的地方场强大 E E1 cos1S1 E2 cos2 S2 0(管内无电荷 ）
E1 cos1 S 2 or：－ ＝ E2 cos 2 S1

电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
S
结论：球壳内E=0；球壳外与点电荷场相同
P26例题7


利用例题6的结果，球外一样
在球内任意取半径为r的Gauss面
注意计算r<R时，高斯面内所包 4r 3 围的电量为 体电荷 q' e
1 4 0 E 1 4 0 Q (r R) 2 r Qr (r R) 3 R

设棒上线电荷密度为+e


作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长） 求出通过Gauss面的通量
el E E d S qi 0 0 S内 S
1
上底
E d S E d S E d S 2rlE
下底 侧面
1 e E 2 0 r