空间几何中的向量方法(夹角)
两条空间直线夹角计算公式
两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。
当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。
本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。
二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。
而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。
三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。
此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。
2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。
在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。
3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。
首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。
然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。
具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。
空间向量夹角知识点总结
空间向量夹角知识点总结一、基本概念空间向量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
空间向量是三维空间中的矢量，可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别代表向量在三个坐标轴上的投影长度。
夹角是指两条直线或两个平面的夹角，它的大小和方向受到空间向量的影响。
夹角可以通过数学方法来计算，是空间向量的重要属性。
二、计算夹角的方法1. 向量的点乘在三维空间中，如果有两个向量a和b，它们的夹角可以通过它们的点乘来计算。
点乘的公式如下：a·b = |a|*|b|*cos(θ)其中a·b表示向量a和b的点乘，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示向量a和b 的夹角。
通过点乘公式，可以求得向量a和b的夹角cos(θ)，然后通过反余弦函数计算出θ的值。
2. 向量的叉乘在三维空间中，如果有两个向量a和b，它们的夹角可以通过它们的叉乘来计算。
叉乘的公式如下：|a x b| = |a|*|b|*sin(θ)其中|a x b|表示向量a和b的叉乘的模，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示向量a和b的夹角。
通过叉乘公式，可以求得向量a和b的夹角sin(θ)，然后通过反正弦函数计算出θ的值。
3. 向量的坐标表示另一种计算向量夹角的方法是将向量表示成坐标形式，然后利用向量的坐标形式来计算夹角。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，那么它们的夹角可以通过以下公式计算：cos(θ) = (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / (|a|*|b|)通过坐标形式的计算方法，可以很容易地求得向量a和b的夹角。
三、夹角的性质1. 夹角的范围夹角的范围是[0,π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。
夹角为0度时，表示两个向量共线且方向一致；夹角为180度时，表示两个向量共线但方向相反；夹角为90度时，表示两个向量垂直。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
如图示，已知平面α的法向量为n ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点. 过点P
作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则 n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离d
就是AP在直线l上的投影向量 PQ 的长度. 因此
l
d PQ |AP||cos AP, n| |AP| |AP n| |AP n| . |AP||n| |n|
的距离PQ.
A
Ql
设 AP a ，则向量AP在直线l上的投影向量AQ | a | cosa, uu (a u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ | AP |2 | AQ |2 a 2 (a u)2 .
若直线l的法向量为 n，则点P到直线l的距离为d PQ |AP||cos AP, n| |AP n| .
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
立体几何中的向量方法求夹角
[策略点睛]
[规范作答] 如图所示，取BC中点 O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
成的角. (2)范围:
(0,
2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为
,则有
cos
|
cos
|
|
|ab| a||b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
例2 Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
31 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量A B C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n 1 n 2 的法向量,则向量 与
的两个面 的夹角(或其补
n 1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A 1B1C1中，D是AC的 中点，当AB1 BC 1时，求二面角DBC 1C 的余弦值。
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-x yz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)
31
2
D(
4
, ,0) 4
C1 (0,0,
) 2
∴
C1D(
3,1, 44
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
ab
若两直线l , m
所成的角为(0≤ ≤ ), 则
2
cos
ab
l
空间向量的夹角
空间向量的夹角空间向量的夹角是指在空间内，两条线段之间的夹角。
它通常用来描述各种物理、几何或数学问题中的方向关系，并且在各种学科领域中都有着重要的应用，如机械、物理学、天文学和导航等。
空间向量的夹角可用向量之间的点积和模长关系来求解。
具体地说，设有两个向量A和B，则它们之间的夹角θ，可以用如下公式来求解：cosθ = A·B / |A||B|其中，A·B表示向量A和B的点积，|A|和|B|分别表示A和B的模长。
从上式中可以看出，cosθ的值通常在-1到1之间，并且当两向量互相垂直时，其值为0，当两向量重合时，其值为1。
当两向量夹角为锐角时，cosθ的值为正数，即cosθ>0，反之，当两向量夹角为钝角时，cosθ的值为负数，即cosθ<0。
在实际运用中，我们一般需要求解角度而不是cosθ的值。
因此，我们可以通过反余弦函数来获取角度，具体公式如下：需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此当两向量夹角大于或等于π时，此公式不成立。
此时，为了得到正确的解，我们需要进行转换，即将一向量与另一向量取反后再计算夹角。
需要特别注意的是，如果两向量模长任意一个为0，或其中一个向量使另一个向量倍数，则因为无法计算点积而无法计算夹角。
此时，需要考虑两向量的特殊情况，如当两向量中有一个向量为零向量时，它与任意向量的夹角均为零，而当所有向量的模长均为零时，则它们之间的夹角是无定义的。
除了使用向量点积和模长来求解向量夹角外，还可以使用叉积的方法来得到向量的夹角。
叉积在几何中也称为向量积，其结果是一个向量，与另外两个向量垂直。
然而，在求解向量夹角时，这种方法较少被使用。
综上所述，空间向量的夹角是计算两向量之间方向关系的重要指标，通常使用点积和模长的方法来计算。
当需要知道角度时，我们可以通过反余弦函数来求解。
使用向量夹角，我们可以更好地描述空间中各个物体之间的方向关系，从而更加准确地进行计算和分析。
空间几何中的方向余弦与向量夹角——几何知识要点
空间几何中的方向余弦与向量夹角——几何知识要点在空间几何中，方向余弦和向量夹角是重要的几何知识要点。
方向余弦是描述两条线段在空间中的夹角的一种方法，而向量夹角则是描述两个向量之间的夹角。
本文将详细介绍方向余弦和向量夹角的定义、计算方法以及它们在几何中的应用。
一、方向余弦的定义和计算方法方向余弦是用来描述两条线段在空间中的夹角的一种方法。
对于任意一条线段AB和坐标轴之间的夹角α、β、γ，我们可以定义它们的方向余弦分别为cosα，cosβ，cosγ。
计算方向余弦的方法如下：1. 首先，我们需要确定坐标轴的方向。
通常情况下，我们可以选择x轴、y轴和z轴作为坐标轴。
2. 然后，我们需要确定线段的方向。
假设线段AB与x轴的夹角为α，与y轴的夹角为β，与z轴的夹角为γ。
3. 根据三角函数的定义，我们可以得到线段AB与坐标轴的方向余弦分别为cosα、cosβ、cosγ。
方向余弦的计算方法可以用以下公式表示：cosα = ABx / ABcosβ = ABy / ABcosγ = ABz / AB其中，ABx、ABy和ABz分别表示线段AB在x轴、y轴和z轴上的投影长度，AB表示线段AB的长度。
二、向量夹角的定义和计算方法向量夹角是用来描述两个向量之间的夹角的一种方法。
对于任意两个向量A和B，它们的夹角可以用向量的内积和模长来计算。
计算向量夹角的方法如下：1. 首先，我们需要计算向量A和向量B的内积。
向量A和向量B的内积可以用以下公式表示：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
2. 然后，我们可以通过求解上述公式，得到向量A和向量B之间的夹角θ。
三、方向余弦和向量夹角的应用方向余弦和向量夹角在几何中有着广泛的应用。
以下是它们的一些常见应用场景：1. 三维旋转：方向余弦可以用来描述物体在三维空间中的旋转角度和旋转轴。
空间向量夹角公式大全
空间向量夹角公式大全空间向量是三维空间中的向量，它们具有长度和方向。
在空间中，向量之间的夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍空间向量夹角的相关概念和公式，帮助读者更好地理解和运用空间向量的知识。
1. 向量的夹角概念。
在二维平面中，我们可以通过向量的数量积来计算它们之间的夹角。
而在三维空间中，向量的夹角的计算则需要借助向量的数量积和向量的模长来进行。
具体而言，设有两个向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)。
其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
这个公式可以帮助我们计算任意两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们之间的关系。
2. 向量夹角的计算方法。
在实际问题中，我们可能需要计算两个向量之间的夹角，以便解决一些几何或物理问题。
为了方便计算，我们可以通过向量的坐标表示来求解夹角。
具体而言，设向量a和b的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))。
这个公式可以帮助我们在实际问题中快速准确地计算出向量之间的夹角，从而更好地应用空间向量的知识。
3. 向量夹角的性质。
除了计算向量夹角的公式外，向量夹角还具有一些重要的性质。
首先，向量夹角的范围是[0, π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。
其次，当两个向量夹角为0时，它们是共线的；当夹角为π/2时，它们是垂直的；当夹角为π时，它们是相反的。
这些性质可以帮助我们更好地理解和判断向量之间的关系。
4. 应用举例。
最后，我们通过一个具体的应用举例来展示空间向量夹角的计算和应用。
假设有两个向量a(1, 2, 3)和b(4, 5, 6)，我们需要计算它们之间的夹角。
3.2立体几何中的向量方法-夹角
0
题型一：利用空间向量求线线角、线面角
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
※注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或 直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求 出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面 角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余 弦的正负来判断，故这是求二面角的
题型一：利用空间向量求线线角、线面角 空间中的角 题目如下：
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
0
2012•山东18题
由已知线线平行关系 面EFG//面ABCD.由EA 面ABCD EA 面EFG. Z E Z F Z G, 设G （x，， 0 z），AC=m，AD=n D(0，n，， 0) C （m，0,0） n 1 1 m M (0， ，， 0) B(m， -n，。又 0) EG // AC EG // AC （x，0,0）（ = ，0,0）。 2 2 2 2 m m m n x=（ ，0,z） G （ ，0,z） GM （- ， ，）。可表示出 -z AE =（0，， 0 z）， 2 2 2 2 AB =(m， -n，。由共面向量定理：只要 0) GM =p AE +q AB （）（p，q为未知数）即可。 m n 把（）代入整理 （- ， ，）（ -z = 0，0,pz） +(qm， -qn， 0)=(qm， -qn，pz) 2 2 m n 1 - =qm， =-qn， -z=pz q=- ，p=-1。故成立！ 2 2 2
向量夹角公式知识点总结
向量夹角公式知识点总结向量是描述物理量大小和方向的几何量，夹角是两个向量之间的角度。
在物理、工程和数学等领域中，向量夹角公式是非常重要的，可以帮助我们计算和分析各种物理现象和问题。
本文将介绍向量夹角公式的基本概念、相关知识点和应用场景。
1. 向量夹角的定义在二维和三维空间中，两个向量之间的夹角可以通过向量的数量乘积来定义。
假设有两个向量A和B，它们的夹角记作θ，向量A的数量记作|A|，向量B的数量记作|B|，则它们的夹角可以表示为：cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)其中A·B表示向量A和向量B的数量乘积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的数量。
这个夹角公式可以用于二维和三维空间中的向量夹角计算。
2. 向量夹角的性质向量夹角公式具有以下性质：- 当夹角为0度时，cosθ = 1，即向量A和向量B的数量乘积等于两个向量的数量之积，即A·B = |A| * |B|，此时两个向量共线。
- 当夹角为90度时，cosθ = 0，即向量A和向量B的数量乘积等于0，此时两个向量垂直。
- 当夹角为180度时，cosθ = -1，即向量A和向量B的数量乘积等于两个向量数量之积的相反数，此时两个向量反向相对。
3. 向量夹角的计算要计算两个向量之间的夹角，可以通过向量的坐标表示、数量表示或投影表示来进行计算。
下面分别介绍这三种方法。
3.1 向量的坐标表示向量的坐标表示是指将向量表示为坐标形式，然后通过坐标形式的夹角公式来计算。
假设有两个二维向量A和B，它们的坐标表示分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们之间的夹角可以表示为：cosθ = (Ax * Bx + Ay * By) / (sqrt(Ax^2 + Ay^2) * sqrt(Bx^2 + By^2))这个公式可以直接计算出夹角θ的值。
对于三维空间中的向量，也可以类似地通过坐标表示来计算夹角。
3.2 向量的数量表示向量的数量表示是指将向量表示为数量形式，然后通过数量形式的夹角公式来计算。
空间向量夹角
空间向量夹角空间向量夹角是数学中一个重要的概念，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍空间向量夹角的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
空间向量是含有大小和方向的量，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
两个空间向量的夹角可以通过计算它们的内积和模长得到。
具体来说，设有两个非零向量u和v，它们的夹角θ定义如下：cos(θ) = (u·v) / (|u|·|v|)其中，u·v表示向量u和v的内积，|u|和|v|表示u和v的模长。
空间向量夹角有一些重要的性质。
首先，夹角的范围是[0, π]。
当夹角为0时，两个向量重合，在数学上称为共线；当夹角为π/2时，两个向量互相垂直，在数学上称为正交。
其次，两个向量的夹角与它们的大小和方向都有关系。
例如，在同一条直线上的两个向量，夹角为0；而在相反方向上的两个向量，夹角为π。
最后，可以通过反余弦函数来计算夹角，即θ = arccos((u·v) / (|u|·|v|))。
空间向量夹角在实际问题中有着广泛的应用。
在力学中，夹角可以用来计算两个力的夹角，从而确定它们的叠加效果。
在几何学中，夹角可以用来判断两条直线的相交情况以及计算多边形的面积。
在物理学中，夹角可以用来计算光线的折射和反射。
夹角还可以用来衡量两个量的相似度，例如在文本处理中用于计算文档之间的相似性。
在计算机图形学中，夹角用于计算物体之间的碰撞检测。
通过计算物体的位置向量和速度向量，可以判断它们是否相交。
夹角还可以用于计算空间中的旋转变换。
通过计算旋转轴和旋转角度之间的夹角，可以确定旋转变换的方式。
在生物学中，夹角可以用于计算生物的运动轨迹。
例如，通过计算两个步态周期之间的夹角，可以判断两个周期之间的相似性。
在医学影像中，夹角可以用于计算血管的分支角度，从而辅助诊断。
总的来说，空间向量夹角是数学中一个重要的概念，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
二面角向量夹角公式
二面角向量夹角公式1.引入在立体几何中，我们经常需要计算空间中两个向量的夹角，这个夹角的大小可以用二面角来表示。
本文将介绍二面角的概念和向量夹角的计算公式。
2.二面角概念二面角是指两个平面的夹角，这两个平面分别与一个公共的边相交。
可以用一个开合角来描述二面角的大小，当两个平面互相垂直时，二面角为90度，如果二面角小于90度，则称为锐角，大于90度则为钝角。
3.向量夹角公式对于空间中的两个向量，记它们的夹角为θ，则有以下计算公式：cosθ=(a·b)/(│a││b│)其中，a和b分别代表两个向量，│a│和│b│代表它们的长度，a·b代表它们的点积。
夹角可以用反三角函数cos^-1来计算，即θ=cos^-1([(a·b)/(│a││b│)])如果直接计算夹角的话，需要不断开方和乘除，比较复杂，我们可以将cos θ展开后用向量模长的乘积来计算：cosθ=(a·b)/(│a││b│)=(a1b1+a2b2+a3b3)/(│a││b│)=(a1/│a│)(b1/│b│)+(a2/│a│)(b2/│b│)+(a3/│a│)(b3/│b│)=cosαcosβ+cosγcosδ+cosεcosζ其中，α、β、γ、δ、ε、ζ分别是向量a和向量b各个分量的夹角。
这个公式看上去很长，但实际上，它的计算比较简便，只需要计算六个三角函数的值，不用进行开方和乘除运算，因此，在计算机图形学和计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。
4.总结本文介绍了二面角的概念和向量夹角的计算公式。
对于计算机科学中的相关问题，特别是在计算机图形学和计算机视觉领域中，掌握向量夹角公式是非常重要的。
不仅帮助我们了解计算机图形学中的矩阵变换和仿射变换，还可以用于图像处理、目标检测等领域的算法设计和性能评价。
向量的夹角概念
向量的夹角概念1. 概念定义向量的夹角指的是两个向量之间的夹角，表示为θ。
它是指通过调整其中一个向量的方向，使其与另一个向量重合所需要的角度。
向量的夹角可以用三角函数来计算。
只有在同一直线上的两个向量的夹角为零度，而且只有当两个向量的方向相反时，其夹角为180度。
向量的夹角的取值范围通常在0到180度之间。
向量的夹角可以是有向的，也可以是无向的。
有向的夹角是指通过调整其中一个向量的方向，使其与另一个向量重合所需要的有向角度。
无向的夹角是指通过调整其中一个向量的方向，使其与另一个向量重合所需要的无向角度。
2. 求解夹角的方法在向量空间中，有几种方法可以求解两个向量之间的夹角，其中比较常用的方法有点积法和向量叉乘法。
2.1 点积法点积法是通过两个向量的点积来求解它们之间的夹角。
对于两个非零向量a和b，它们的夹角θ的余弦等于它们的点积除以它们的模的乘积的绝对值，即：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，a·b表示a和b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
通过余弦的反函数cos-1来计算夹角的值。
2.2 向量叉乘法向量叉乘法是通过两个向量的叉乘来求解它们之间的夹角。
对于两个非零向量a和b，它们的叉乘结果的模等于它们的模的乘积乘以夹角θ的正弦的绝对值，即：|a x b| = |a| |b| sinθ其中，a x b表示a和b的叉乘，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
通过正弦的反函数sin-1来计算夹角的值。
3. 夹角的重要性夹角在向量及其应用中具有重要意义，具体体现在以下几个方面：3.1 向量的正交性夹角可以用来判断两个向量之间的关系，特别是向量的正交性。
两个向量正交的充分必要条件是它们的点积为零，即：a·b = 0通过求解向量的夹角可以判断两个向量是否正交。
3.2 向量的投影夹角还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。
向量的投影可以理解为一个向量在另一个向量上的阴影或影子，它是一个数量，表示了一个向量在另一个向量上的投影长度。
高中数学向量的夹角计算方法及几何意义讲解
高中数学向量的夹角计算方法及几何意义讲解在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在代数中有着重要的应用，还在几何中具有重要的几何意义。
而向量的夹角是研究向量之间关系的重要工具。
本文将详细介绍高中数学中向量的夹角计算方法及其几何意义，并通过具体的题目来说明。
一、向量的夹角计算方法向量的夹角是指两个向量之间的角度关系。
在计算向量的夹角时，可以利用向量的数量积来进行求解。
设有两个非零向量a和b，它们的夹角记为θ，则有以下计算公式：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。
通过这个公式，我们可以计算出两个向量的夹角。
需要注意的是，夹角的范围是[0,π]，即0度到180度之间。
如果两个向量的夹角为锐角，则cosθ为正数；如果夹角为钝角，则cosθ为负数；如果夹角为直角，则cosθ为0。
为了更好地理解向量的夹角，我们来看一个具体的例子：例题1：已知向量a = (3,4)，向量b = (4,3)，求向量a和向量b的夹角。
解：首先计算向量a和向量b的数量积：a·b = 3×4 + 4×3 = 24然后计算向量a和向量b的模：|a| = √(3² + 4²) = 5|b| = √(4² + 3²) = 5代入公式cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)，得到：cosθ = 24 / (5×5) = 24 / 25根据cosθ的值，我们可以得出夹角的性质。
在本例中，cosθ为正数，说明夹角为锐角。
接下来，我们可以通过反余弦函数来求出夹角的具体值：θ = arccos(24 / 25)利用计算器进行计算，得到θ约等于 0.7227 弧度。
二、向量夹角的几何意义向量的夹角不仅仅是一个数值，它还具有重要的几何意义。
用空间向量研究夹角问题
用空间向量研究夹角问题课程标准 学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点一 空间角空间图形范围 向量法几何法 异面直线所成的角0°< θ≤90°cosθ=|cos <u ,v>|= 平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角sin θ=|cos <u ,n>|=过直线上一点作平面的垂线,解三角形 平面与平面的夹角cos θ=|cos <n 1,n 2>|=作两平面的垂面解三角形【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )(2)若平面α的法向量为u ,直线l 的方向向量为v ,直线l 与平面α所成的角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |.( )(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ( ) 知识点二 解决立体几何中空间角问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的角度问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一 异面直线所成角的求法例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系,图1-4-27则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )A .√1010 B .√105 C .-√1010D .-√105(2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值.图1-4-28[素养小结]用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos <a ,b>=a ·b|a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究点二求直线和平面所成的角例2 [2020·安徽芜湖高二期中] 如图1-4-29,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点.(1)证明:AC1⊥平面D1B1C;(2)求直线CE与平面D1B1C所成角的余弦值.图1-4-29变式[2020·山东肥城高二期中] 在如图1-4-30所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,CD=2.(1)若F为BP的中点,证明:EF∥平面PDC;BP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.(2)若BF=13图1-4-30[素养小结]向量法求线面角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s ,n>的关系,求出角θ.拓展 [2021·北京丰台区高二期中] 如图1-4-31,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=3.M 是AB 的中点,N 是B 1C 1的中点,点P 在线段A 1N 上,且A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 1与B 1C 的交点.(1)求证:PQ ∥平面A 1CM.(2)在线段AA 1上是否存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214?请说明理由.图1-4-31探究点三 求平面与平面的夹角例3 [2020·江苏如皋高二期中] 如图1-4-32所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC ,AA 1,AC ,A 1C 1的中点分别为D ,E ,F. (1)求证:AC ⊥平面BEF ;(2)若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°,且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55,求平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值.图1-4-32变式 [2020·江苏盐城亭湖区月考] 如图1-4-33所示,在三棱锥P-ABC 中,△PAC 为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC 为正三角形,AC=2. (1)证明:PB ⊥AC ;(2)若平面PAC ⊥平面ABC ,求平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值.图1-4-33[素养小结]设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2; (3)计算:cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|.拓展 如图1-4-34,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥AD ,AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(2)设PA=a ,若平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,求a 的取值范围.图1-4-341.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( )A .120°B .60°C .30°D .以上均错2.已知两个平面的法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面所成的二面角的余弦值为 ( ) A .-√36或√36B .-√33或√33C .-√36D .√363.[2020·江苏南通高一期末] 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为 ( ) A .√63B .√102C .√155D .√1054.[2021·天津部分区高二期中] 如图1-4-35,在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,则平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为 ( )图1-4-35A .√33 B .√22C .1D .13用空间向量研究夹角问题参考答案【课前预习】知识点一|u ·v ||u ||v |0°≤θ≤90° |u ·n ||u ||n |0°≤θ≤90° |n 1·n 2||n 1||n 2|诊断分析(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误. (2)sin θ=|u ·v ||u ||v |,故错误.(3)二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] ∵A (2,2,0),B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2),∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-2+4=2,∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√5=√1010,∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为√1010. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,√3),A (√3,0,0),A 1(√3,1,√3),B (0,2,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),所以|cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3,√3)·(√3,√3√7×√7=17,所以异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.探究点二例2 解:(1)证明:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),E (2,1,0),C (0,2,0),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2), ∴CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×0+2×(-2)+2×2=0, AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×2+2×0+2×2=0,∴AC 1⊥D 1C ,AC 1⊥B 1C ,又D 1C ∩B 1C=C , ∴AC 1⊥平面D 1B 1C.(2)由(1)知,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2)是平面D 1B 1C 的一个法向量,设直线CE 与平面D 1B 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×2√3=√155,∴直线CE 与平面D 1B 1C 所成角的余弦值为(√155)=√105. 变式 解:(1)证明:以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,过点D 且与平面ABCD 垂直的直线为y 轴,DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,2√3,0),A (0,0,3). 因为E 为AD 的中点,F 为BP 的中点,所以E 0,0,32,F 0,√3,32,所以直线EF 的方向向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 易知平面PDC 的一个法向量为n=(0,0,1). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又EF ⊄平面PDC , 所以EF ∥平面PDC.(2)由(1)知,CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2√3,0), 设F (x ,y ,z ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y ,z-3)=13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43,23√3,-1, 所以F23,23√3,2,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23√3,-1.设平面PBC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则{n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3z =0,4x -2√3y =0,取y=1,得n 1=√32,1,0,所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1>=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=23×√32+23√3√49+43+1×√34+1=√353×√72=6√2135, 所以直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为635√21.拓展 解:(1)证明:以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),N (1,1,3),Q 1,1,32,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,1,-32,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,-32.设平面A 1CM 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +3z =0,-2x +y =0,取z=2,得n=(3,6,2),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=3×13+6×13-2×32=0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 又PQ ⊄平面A 1CM ,∴PQ ∥平面A 1CM.(2)假设在线段AA 1上存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214. 不妨设AS=h (0≤h ≤3), 则S (0,0,h ),∴CS⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ), ∴|cos <CS ⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|CS⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CS⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√4+ℎ2×7, ∴7√4+ℎ2=√214,解得h=2或h=347(舍),∴当点S 为线段AA 1上靠近A 1的三等分点时,直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214.探究点三例3 解:(1)证明:由题可知,AA 1⊥平面ABC ,∵AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,∴AE=A 1F ,∴四边形AEFA 1是平行四边形, ∴EF ∥AA 1,∴EF ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC ,∴EF ⊥AC.∵AB=BC ,E 是AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又BE ∩EF=E , ∴AC ⊥平面BEF.(2)∵AA 1∥EF ,∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角,即∠BFE=45°,∴EF=BE.∵AC ⊥平面BEF ,∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角, ∴sin ∠CBE=√55,∴tan ∠CBE=12,∴BE=2CE.以E 为原点,EB ,EC ,EF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设CE=1,则B (2,0,0),C (0,1,0),D (0,-1,1),B 1(2,0,2), ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2).设平面BCD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 1-z 1=0,-2x 1+y 1=0,取x 1=1,得m=(1,2,4).设平面CDB 1的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 2-z 2=0,2x 2-y 2+2z 2=0, 取y 2=1,得n=-32,1,2,∴cos <m ,n>=m ·n|m ||n |=172√21×√292=17√609609.设平面BCD 与平面CDB 1的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=17√609609, ∴平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值为17√609609. 变式 解:(1)证明:取AC 的中点D ,连接PD ,BD ,∵△PAC 为等腰直角三角形,D 为中点,∴PD ⊥AC ,又△ABC 为正三角形,D 为中点,∴BD ⊥AC ,又PD ∩BD=D ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD.∵PB ⊂平面PBD ,∴PB ⊥AC.(2)∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,PD ⊂平面PAC ,PD ⊥AC ,∴PD ⊥平面ABC.由(1)知BD ⊥AC ,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n=(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,则{CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +z =0,x +√3y =0, 取x=1,得n=1,-√33,-1,又DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面PAC 的一个法向量, ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√77, 设平面APC 与平面PCB 的夹角为θ,则cos θ=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=√77, ∴平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值为√77.拓展 解:(1)证明:∵AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,F 为CD 的中点,∴四边形ABFD 为矩形,∴AB ⊥BF.∵DE=EC ,F 为CD 的中点,∴DC ⊥EF ,又AB ∥CD ,∴AB ⊥EF.∵BF ∩EF=F ,∴AB ⊥平面BEF.又AB ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF.(2)由(1)知DC ⊥EF ,又PD ∥EF ,AB ∥CD ,∴AB ⊥PD.又AB ⊥AD ,PD ∩AD=D ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PA.以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),C (2,2,0),E 1,1,a 2, 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,1,a 2. 易得平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1).设平面EBD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),由{n 2⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,y +az 2=0, 取y=1,得x=2,z=-2a , 则平面EBD 的一个法向量为n 2=2,1,-2a , ∴cos θ=2a√4+1+4a 2=√5a 2+4.又∵平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,∴cos θ∈12,√22, 即2√5a 2+4∈12,√22,∴2√55≤a ≤2√155, 故a 的取值范围是2√55,2√155.【课堂评价】 1.C [解析] ∵l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°,则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2.A [解析] 设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n>|=√6×√2=√36,故cos θ=±√36. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (2,2,0),C 1(0,2,1),D (0,0,0),D 1(0,0,1),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面BB 1DD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,取x=1,得n=(1,-1,0).设直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角为θ,则sin θ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√5×√2=√105.故选D .4.A [解析] 在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OC 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=OB=OC=1,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),O (0,0,0),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),由题知平面AOC 的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BAC 与平面ACO 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=|m ·n ||m ||n |=√3=√33,故平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为√33.故选A .。
空间向量的夹角与投影
空间向量的夹角与投影空间中的向量是指具有大小和方向的箭头，可以在三维坐标系中表示。
在研究空间向量时，夹角和投影是两个非常重要的概念。
本文将探讨空间向量的夹角和投影，并分析它们在实际问题中的应用。
一、空间向量的夹角在平面几何中，夹角可以通过两个向量的夹角余弦来定义。
同样，在空间几何中，两个向量的夹角也可以通过夹角余弦来定义。
空间中两个向量A和B的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模（长度）。
夹角θ的取值范围是[0, π]，即0到180度之间。
当两个向量夹角为0度时，它们是共线的；当夹角为90度时，它们是垂直的；当夹角大于90度时，它们是钝角；当夹角小于90度时，它们是锐角。
空间向量的夹角可以用来解决很多实际问题，比如测量两个物体之间的夹角、计算平面的倾斜角度等。
在物理学、工程学和计算机图形学等领域中经常会用到空间向量的夹角概念。
二、空间向量的投影投影是指一个向量在某个方向上的投射或映射。
在空间几何中，一个向量A在另一个向量B方向上的投影可以用以下公式计算：projB A = (A·B) / |B|其中，projB A表示向量A在向量B方向上的投影，A·B表示向量A和向量B的点积，|B|表示向量B的模（长度）。
投影可以帮助我们理解一个向量在另一个向量上的影响和作用。
在实际问题中，投影可以用于计算力的分解、计算物体在斜面上的滑动与静止力等。
三、应用示例为了更好地理解空间向量的夹角和投影的应用，我们来看一个实际问题。
假设有一个力F1 = (3, 4, 5) N和一个力F2 = (1, 2, 3) N，我们需要计算两个力的夹角和F1在F2方向上的投影。
首先，计算两个力的夹角θ：F1·F2 = (3)(1) + (4)(2) + (5)(3) = 23|F1| = √(32 + 42 + 52) = √50|F2| = √(12 + 22 + 32) = √14cosθ = (F1·F2) / (|F1||F2|) = 23 / (√50 * √14) ≈ 0.756根据余弦定理可得，夹角θ约为41.4度。
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练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为AB的中 点，求DB1与CM所成角的余弦值
D1
A1 P D A M B
C1
B1
C
设直线l的方向向量为a , 平面的法向量为u ,
l , 的夹角为 (0
线面夹), 则 sin cos a, u
练习 正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1. 求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解 建立直角坐标系.
z
D1 A1
B1
则 B1C1 (0， 1， 0)
C1 平面AB1C的一个法向量为D1 B (1,1,1)
E
D
0 1 0 3 cos D1B, B1C1 3 3
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
线线夹角问题：
设直线l , m的方向向量分别为a , b
l , m的夹角为 (0
l
2
), 则 cos cos a, b
l
m
m
例1.直角三角形 ABC中， BCA 900，现将 ABC沿着平面 ABC 的法向量平移到 A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1 的中点 D1、F1，求 AF1与D1 B所成角的余弦值 .
P
E
D A
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系. 依题意得 D(0,0,0), P(0,0,1), A(1,0,0) 1 1 E (0, , ), B(1,1,0) 2 2 直线 AD的方向向量 DA (1， 0,0) 1 1 DE (0, , ), DB (1,1,0) 2 2 设平 面 的 法 向 量 为 n ( x, y , z )
x
F
A y
C
B
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
小结：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
例1.直角三角形 ABC中， BCA 900，现将 ABC沿着平面 ABC 的法向量平移到 A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1 的中点 D1、F1，求 AF1与D1 B所成角的余弦值 .
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：
会宁二中
李斌
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
（回到图形问题）
作业：
习题3.2 2，3，4
l
π cos( - θ) = cos < a, u > 2
π cos( + θ) = cos < a, u > 2
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求直线AD与平面EDB所成角的正弦值.
则 n DE, n DB
平面的一个法向量 n (1,1,1)
z
P
E
C
则直线 AD与平面 EBD所 1 0 0 3 成角的正弦值为 3 3
D
y
x
A
B
• [ 题后感悟 ] 如何用坐标法求直线和平面 所成的角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到直线的方向向量与平面法向量的坐 标形式； • (3) 利用向量的夹角公式计算直线的方向向 量与平面法向量的夹角； • (4) 结合直线与平面所成角的范围得到直线 与平面所成的角．
1 1 1 A(1,0,0), B(1,0,0), F1 ( ,0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2
1 1 1 AF1 ( ,0,1) BD1 ( , ,1) 2 2 2
30 = . 10
所以
与
30 所成角的余弦值为 10
• [ 题后感悟 ] 如何用坐标法求异面直线所 成的角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到两条异面直线的方向向量的坐标形 式； • (3) 利用向量的夹角公式计算两直线的方向 向量的夹角； • (4) 结合异面直线所成角的范围得到异面直 线所成的角．