数值分析

习 题

1. 指出有效数49×102，0.0490，490.00的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数．

2. 将

3.142作为π的近似值，它有几位有效数字，相对误差限和绝对误差限各为多少？

3. 要使101的近似值x * 的相对误差限不超过4102

1−×，问查开方表时x * 需要保留几位有效数字？ 4. 已知近似数x * 有两位有效数字，试估计其相对误差限． 5. 设x * 为x 的近似数, 证明n x *

的相对误差大约为x * 相对误差的n 1倍． 6. 某矩形的长和宽大约为100cm 和50cm, 应该选用最小刻度为多少cm 的测量工具, 才能保证计算出的面积误差（绝对值）不超过0.15cm 2．

7. 已知三角形面积c ab S sin 2

1=，测量a , b , c 时产生的相对误差为)(*a e r ，)(*b e r ，)(*c e r ，其中2

,0*π<

限不超过0.1%，问自变量的相对误差限和绝对误差限应取多少？

9. 考虑数列L ,81

1,271,91,31,1． （1）若10=p ，用递推公式),2,1(311L ==

−n p p n n ，可以生成上述序列．试问在绝对误差意义下，计算n p 的算法稳定吗？

（2）设3

1,110=

=q q ，用递推公式),3,2(31021L =−=−−n q q q n n n ，也可以生成上述序列．试问在绝对误差意义下，计算n q 的算法稳定吗？ 10. 已知201和200具有6位有效数字的近似值分别为14.1774和14.1421，按

200201−=A 和200

2011+=A 两种算法求出A 的近似值以及近似值的绝对误差限，试问这两种结果至少具有几位有效数字？

11. 为提高数值计算的精度，当正数x 充分大时，应如何计算1

11+−x x 与)1ln(2−−x x ？当x 充分小时，应如何计算x x −sin 与x

x sin cos 1−？

12. 对于方程022=++q px x ，请设计出方程求根的一个有效算法，要求它也能够适用于q p >>2时的情形．用所设计的算法以及二次方程求根公式计算05.240=p ，00.1=q 时方程根的近似值(计算过程保留2位小数)，并给出它们的相对误差限（根的准确值为L 0916683.4801−=x , L 002082935.02−=x ）．