弹性力学的求解方法和一般性原理

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

一.内容介绍

通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。

弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。根据这一要求，本章的主要任务有三个：

一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；

二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。

三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

二. 重点

1.弹性力学基本方程与边界条件分类；

2.位移解法与位移表示的平衡微分方程；

3. 应力解法与应力表示的变形协调方程；

4. 混合解法；

5. 逆解法和半逆解法；

6. 解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理

知识点

弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法

体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法

解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件

变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理

§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题

学习思路:

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。

根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。

上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。

学习要点：

1. 弹性力学基本方程；

2. 本构方程；

3. 边界条件；

4. 弹性力学边值问题；

首先将弹性力学基本方程综合如下：

1. 平衡微分方程

用张量形式描述

2. 几何方程

用张量形式描述

变形协调方程

3.本构方程-广义胡克定律

用应力表示的本构方程

用应变表示的本构方程

4．边界条件：

如果物体表面的面力F s x，F s y，F s z为已知，则边界条件应为：

称为面力边界条件，用张量符号表示为

如果物体表面的位移已知，则边界条件应为

称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。

综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。

这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，所以位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。

要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。

弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。

当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。

假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。

基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。

若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法；

若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法；

若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为混合解

法。

在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。

按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。

第一类边值问题：已知弹性体内的体力F b x，F b y，F b z和其表面的面力F s x，F s y，F s z，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。

第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量F b x，F b y，F b z以及表面的位移分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为位移边界条件。

第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量F b x，F b y，F b z，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。

以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。

§5.2 位移解法－位移表示的平衡微分方程