高中数学《离散型随机变量的方差》公开课PPT课件
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7.3.2离散型随机变量的方差PPT课件(人教版)
X DX 1.2 1.095
学以致用：
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX 解： 离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
学以致用：
3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款
期数 的散布列为：
1
2
3
4
5
则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1.已知随机变量X的散布列为
请看课本P70：练习1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解：E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
D( X ) (1 2.4)2 0.2 (2 2.4)2 0.3 (3 2.4)2 0.4 (4 2.4)2 0.1 0.84
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3 ，3，4；则这组数据的方差是多少？
反应这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [(x1
x)2
([(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
学以致用：
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX 解： 离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
学以致用：
3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款
期数 的散布列为：
1
2
3
4
5
则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1.已知随机变量X的散布列为
请看课本P70：练习1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解：E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
D( X ) (1 2.4)2 0.2 (2 2.4)2 0.3 (3 2.4)2 0.4 (4 2.4)2 0.1 0.84
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3 ，3，4；则这组数据的方差是多少？
反应这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [(x1
x)2
([(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
离散型随机变量的方差教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
3.已知随机变量 X 的分布列是
X
1
P
a
C 若 E(X ) 0 ，则 D(X ) ( )
1
A.0
B.
3
0 1 3
2 C.
3
1 b
D.1
解析：由已知可得
a b a
b
1 3
1, 0,
解得
a
b
1 3
，因此，
D( X
)
1 3
(1
0)2
(0
0)2
(1
0)2
2 3
.
4.小智参加三分投篮比赛，投中 1 次得 1 分，投不中扣 1 分，已知小智投篮命中
B.0.4
C.0.6
D.0.8
解析：因为随机变量 X 的分布列为
P X 0 0.2, P X 1 a , P X 2 b , E X 1,
所以
a b 1 00.2 a
0.2 0.8 2b 1
,解得
a
0.6
,
b
0.2
,
所以 D X 0.2(0 1)2 0.6(11)2 0.2 (2 1)2 0.4 .
计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据
x1，x2，…，xn，设其均值为 ， 则其方差即为 x1 x 2 ， x2 x 2 ，…， xn x 2 的 平均值，即
பைடு நூலகம்s2
1 n
x1
x2
x2 x 2
xn x 2 ．
一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值“偏差平
例 1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差和标准差．
解：
掷出点数 X 的分布列如下：
离散型随机变量的方差 课件
因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
离散型随机变量的方差ppt课件
搜寻中，除冥王星外，鸟神星是唯一一颗其亮度足以让汤博观测到的矮行星。在汤博观测的那段时间里，鸟神星距黄道只有几度，靠近金牛座和御夫座的交 界处，视星等约为.等。很不幸的是，这一位置也相当靠近银河，汤博几乎不可能从密布恒星的背景中找出鸟神星来。发现冥王星后，汤博在多年里仍在孜孜 不倦地搜寻；炒股入门知识大全 股票技术指标大全 炒股入门基础知识教程 /stock 股票入门基础知识教程 学习股票入门知识；行星，但他终未发 现鸟神星或任何其他的外海王星天体。轨道参数历元：9年月8日（JD.）；远日点：99.Gm（.AU）；近日点：.8Gm（8.9AU）；半长轴：8.Gm（.9AU）；离 心率：.9；轨道周期：8d（9.88a）；平均速度：.9km/s；平近点角：8.°；轨道倾角：8.9°；升交点黄经：9.8°；近日点参数：98.°。本征轨道参数大 小：～9km；平均半径：km；表面积：km；体积：.8×^9km；质量：×^kg；平均密度：.±.g/cm[]；表面重力：.m/s；逃逸速度：.8km/s；自转周期：未 知；转轴倾角：未知；反照率：.[]；温度：～K[c]（假定反照率不变）；视星等：.（冲）；绝对星等：(H)-.8。命名鸟神星在发现和公布时的暂定名称是FY9， 在正式命名之前，发现的外海王星天体外海王星天体团队因为他是复活节之后很短的时间内发现的，所以昵称其为“复活兔”。在8年，为符合IAU对传统柯 伊伯带天体命名为创造之神的规则，FY9被正式命名为鸟神星。这个名字源自复活岛拉帕努伊原住民神话中的创造人类的神，选择这个名字的一部份原因是要 保留发现时间与复活节之间的关联。[]物理特征大小和亮度在月于后发座冲的时候视星等约.等，这种光度使用业余天文学的高阶望远镜是可以观测到的。以 鸟神星接近8%的高反射率估计表面的温度大约是K。鸟神星精确的大小还不是很清楚，但是依据斯必泽空间望远镜的红外线观测，以及它的光谱与冥王星相 似估计，认定它的直径在,+-公里。这个数值比EL稍大，使它成为继阋神星和冥王星之后的第三大外海王星天体。鸟神星因为他的绝对星等是-.8，它的大小也 保证他足够达到流体静力平衡，已经成为太阳系的第四颗矮行星。光谱在写给《天文和天文物理》这本期刊的信中提到：在年，Licandro等人显示使用威 廉·赫歇耳望远镜和伽利略望远镜观测鸟神星的近红外线光谱与冥王星很相似。，在可见光谱中呈现红色，相对的，阋神星的光谱比较中性（参见外海王星天 体的颜色比较）。红外线光谱显示有甲烷(CH?)的存在，在冥王星和阋神星也有。但它的存在比冥王星更明显，因此建议鸟
离散型随机变量的方差 课件
E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX，
即3np＋2＝
np1－p＝12.96，
解得 n＝
所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.
p＝0.4，
2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．
[解] 由例题可知X～B5，13 所以E(X)＝5×13＝53. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为 什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5，3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.
，所以X的均值E(X)＝(－1)×
1 2
＋0×
1 4
＋
1×14＝－14.
故X的方差D(X)＝－1＋142×12＋0＋142×14＋1＋142×14＝1116.
法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝
－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.
品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
高中数学选修2-3.2离散型随机变量的方差人教版ppt课件
0 1 2
1 1 3
x p
[解题过程]
1 1 1 由 ＋ ＋p＝1，得 p＝ ， 2 3 6
1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋ x＝ ，∴x＝2. 2 3 6 3
2 2 2 1 1 1 15 2 2 2 ∴ (1)D(ξ) ＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ ＝ 2 3 6 27
2
3 1 2 1.5) × ＋(4－1.5) × ＝2.75. 20 5
2
(2)由 D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11， E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1， 及 Eξ ＝1.5，Dξ＝2.75，得 2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得 a＝2，b ＝－2 或 a＝－2，b＝4.
1．如何理解离散型随机变量的方差、标准差？ (1)随机变量 X 的方差和标准差都反映了随机变量 X 取值 的稳定与波动， 集中与离散的程度， D(X)(或 DX)越小， 稳 定性越高，波动越小，显然 D(X)≥0( DX≥0)
[题后感悟] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有 时仅知道均值的大小还不够，如果两个变量的均值相等，还要看 随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明 随机变量取值较分散，反之则说明取值较集中、稳定．因此在利 用均值和方差的意义去分析、解决问题时，两者都要分析．
2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分 别记为X1和X2，它们的分布列分别为
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重 点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样 品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下；
ξ P
η
110 0.1
100
120 0.2
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)优秀课件
它们都是反映离散型随机变量取值相对于期望 的平均波动大小〔或说离散程度〕，它们的值 越小，那么随机变量偏离于均值的平均程度越 小，即越集中于均值。
3、对方差的几点说明
〔1〕随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，那么随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
一般地，如果随机变 量X服从两点分布，
那么D(X)=？
小结：D (X ) (1 p )2p (0 p )2qp
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
那么D (X ) (1 p )2p (0 p )2qpq
如果X~B（n，p），那么 D（X）=？
一般地,如果随机变量X服从二项分布， 小结：
即X～B〔n,p〕，那么
( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0
D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
列与等可能事件概率易求分布列;
〔2〕直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A1
3 3
1 6
,
A
3 3
1
,P（X=1）=
C
1 3
3
A
3 3
,1
2
故X的概率分布列为
3、对方差的几点说明
〔1〕随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，那么随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
一般地，如果随机变 量X服从两点分布，
那么D(X)=？
小结：D (X ) (1 p )2p (0 p )2qp
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
那么D (X ) (1 p )2p (0 p )2qpq
如果X~B（n，p），那么 D（X）=？
一般地,如果随机变量X服从二项分布， 小结：
即X～B〔n,p〕，那么
( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0
D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
列与等可能事件概率易求分布列;
〔2〕直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A1
3 3
1 6
,
A
3 3
1
,P（X=1）=
C
1 3
3
A
3 3
,1
2
故X的概率分布列为
高中数学-离散型随机变量的方差36页PPT
法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成
绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
解:∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.
如果对手在 8环左右,派甲.
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则D npq
(其中q 1 p)
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
D=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2
×0.2=1.21
D =(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41
期望值高，平均值大，水平高 方差值小，稳定性高，水平高
结论：甲乙两人次品个数的平均值相等， 但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 ，
则这x 组数据的方差为：
S2
1 n [( x1
x
)2
( x2
x
)2
( xn x )2 ]
方差反映了这组
数据的波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
定义
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi ( xn E )2 pn n
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D i1
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
D 1.2 1.095
2. 若随机变量x 满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求
Ex 和 Dx.
提示：这是两点分布么?
Ex＝c×1＝c
Dx＝(c-c)2×1＝0
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
离散性随机变量的方差
温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值(数学期望)
n
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平. i 1
2、均值的性质
E(aX b) aEX b
3、两种特殊分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则 EX p
(2)若 X ~ B(n, p，) 则 EX np
练习
1.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为(D)
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 1 2 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21 P 0.3 0.7
2.已知x~B(100,0.5),则Ex=5__0_,Dx=_2_5__,sx=__5_. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, s(2x-1)=___1_0_
复习
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数 学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
下面的分析对吗？
显然两名选手
∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 的水平是不同的,
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 这里要进一步去 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 分析他们的成绩
（你赞成吗？为什么？）
的稳定性.
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均 值的平均程度的量，它们的值越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值.
练习
1. 已知随机变量x的分布列 Nhomakorabeax01234
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D和σ.
解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
又∵ D 0.4, D2 0.8, ∴甲射击水平更稳定.
如果对手在9 环左右,派乙.
例题
例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数
分别为 ，其分布列为
0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
0 1 2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
解答
E=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 E=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的 分布列如下：
x1 8 9 10
x2 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都