高中数学《离散型随机变量的方差》公开课PPT课件

x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi ( xn E )2 pn n
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D i1
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
下面的分析对吗？
显然两名选手
∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 的水平是不同的,
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 这里要进一步去 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 分析他们的成绩
（你赞成吗？为什么？）
的稳定性.
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成
绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
解:∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.
如果对手在 8环左右,派甲.
离散性随机变量的方差
温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值(数学期望)
n
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平. i 1
2、均值的性质
E(aX b) aEX b
3、两种特殊分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则 EX p
(2)若 X ~ B(n, p，) 则 EX np
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 ，
则这x 组数据的方差为：
S2

1 n [( x1

x
)2

( x2

x
)2

( xn x )2 ]
方差反映了这组
数据的波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
定义
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均 值的平均程度的量，它们的值越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值.
练习
1. 已知随机变量x的分布列
x01234
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D和σ.
解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
复习
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数 学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
D=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2
×0.2=1.21
D =(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41
期望值高，平均值大，水平高 方差值小，稳定性高，水平高
结论：甲乙两人次品个数的平均值相等， 但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则D npq
(其中q 1 p)
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的 分布列如下：
x1 8 9wk.baidu.com10
x2 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
D 1.2 1.095
2. 若随机变量x 满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求
Ex 和 Dx.
提示：这是两点分布么?
Ex＝c×1＝c
Dx＝(c-c)2×1＝0
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
练习
1.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为(D)
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 1 2 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21 P 0.3 0.7
2.已知x~B(100,0.5),则Ex=5__0_,Dx=_2_5__,sx=__5_. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, s(2x-1)=___1_0_
又∵ D 0.4, D2 0.8, ∴甲射击水平更稳定.
如果对手在9 环左右,派乙.
例题
例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数
分别为 ，其分布列为
0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
0 1 2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
解答
E=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 E=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3