不等式的证明(高三复习)_徐益强.PPT课件

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不等式的证明PPT教学课件(1)

c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的变形，然后再与熟知或证明过的不等式进行联想、类比，从而选择最佳证法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,

不等式的证明(高三复习)徐益强

1 2
),
), 且 x 1 x 2，求证： f ( x1 x 2 2 )
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 变式：已知函数若 x1 , x 2 (0,
f ( x ) tan x , x ( 0 ,

2
),

2
), 且 x 1 x 2，求证： f ( x1 x 2 2 )
1 2 ) 0
2
.
思考3:用综合法来完成，由行变形．
(a
1 2
) 0
2
出发进
思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式
a
2
b 2
2
a b 2
2
思考5:用均值换元法来完成，设
a 1 2 t， b 1 2 t
思考6:用构造函数法来，则
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
例：已知x,y,zR，A,B,C为一个三角形的三内角，试证明：x2+y2+z22yzcosA+2xzcosB+2xycosC. 证:令f(x)=x2+y2+z22yzcosA2xzcosB2xycosC
=x2 2(zcosB+ycosC)x+y2+z22yzcosA
知识要点：
2.掌握一些重要的不等式结论：
(1 )a ( 2 )a
2
0; b
2
( 5 )a
0; ab ( a , b 0 ); 2 ( ab 0 );
3
b c
3
3
3 abc ( a , b , c 0 ); abc ( a , b , c 0 );

《不等式的证明》课件

练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与实际问题相结合，展示不等式在实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式，可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。

高三数学复习课件——不等式的证明优秀课件

1 1 1 1 证一 : 假设三式同时大于 , 即 ( 1 a ) b , ( 1 b ) c , ( 1 c ) a . 4 4 4 4
1 即 ( 1 a ) b ( 1 b ) c ( 1 c ) a 64 1 a a 1 1 21 又 ( 1 a ) a ( ) , 同理 ( 1 b ) b , ( 1 c ) c 2 4 4 4 1 ( 1 a ) b ( 1 b ) c ( 1 c ) a . 64
1 22
1 22
1 1 1 b b 2 2 2 a 2 a 2 b a a 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b 2 2 2 2 b a 2 a 2 b b a 1 1 1 1 2 2 2 2 a b 2 2 故 a b b a
用综合法证明不等式的逻辑关系是： A B1 B2 Bn B . 综合法的思维特点是：由因导果
这是一种极为漂亮的证法
常利用已知或已证过的不式 .
2 若 a R , 则 a 0 , | a | 0
若 a , b R , 则 a b 2 ab a b 若 a 0 , b 0 , 则 ab 2 b a 若 a ,b 同号 , 则 2 a b
1 为x x2, 满足0 x1 x2 1, a (1)当x 0, x1 时, 证明 : x f(x) x1 x1 求证 : x0 2
2设函数f(x)的图象关于直线x x0对称
在等比数列 a 等差数列 b 中，和 n n a= ,a b> ,a a. 1 b> 1 0 3= 3 0 1 3 试比较 a 和的 b 小。 5 5 大

高三数学不等式的证明

例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a
例2、P81例1设 a 0, b 0, 求证
(
a
2
)
1 2
(
b
2)Leabharlann 1 21a2
1
b2.
b
a
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综合法：利用某些已经证明过的不等式作为
基础，再运用不等式的性质推导出所要求证
的不等式的方法。证明时要注意字母是否为
正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0,
则
a2 b2 a b
2
2
ab
1
2
1
当且仅当a=b时取等号。
ab
(2) a, b R, a 2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
2010届高考数学复习强化双基系列课件
39《不等式的证明》
不等式的证明(一)
比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：
②①比比商差法法：：要要证证a>ab>且b，b>只0，须只证须a-b证>0a。 1。 b
说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断； ②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
(3)a,b同号, a b 2 当且仅当a b时取等号
ba
分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

高三数学不等式的证明(PPT)4-3

容易跨越质膜，促进糖的运输。植物各器官间硼的含量以花最高，花中又以柱头和子房最高。硼对植物的生殖过程有重要的影响，与花粉形成、花粉管萌发和受精有密切关系。缺硼时，花药和花丝萎缩，花粉发育不良。油菜和小麦出现的“花而不实”现象与植物硼酸缺乏有关。缺硼时根尖、茎尖的生长点停止生长，侧根、侧芽大量发生，其后侧根、侧芽的生长点又死亡，从而形成簇生状。甜菜的褐腐病、马铃薯的卷叶病和苹果的缩果病等都是缺硼所致。 [ ]是一种化学元素，它的化学符号是Si，旧称矽。原子序数4，相对原子质量.，有无定形硅和晶体硅两种同素异形体，属于元素周期表上第三周期，IVA族的类金属元素。硅也是极为常见的一种元素，然而它极少以单质的形式在自然界出现，而是以复杂的硅酸盐或二氧化硅的形式，广泛存在于岩石、砂砾、尘土之中。硅在宇宙中的储量排在第八位。在地壳中，它是第二丰富的元素，构成地壳总质量的.4%，仅次于第一位的氧（4 .4%）。中文名硅外文名 silicon 元素符号 Si 原子量 . 元素类型非金属单质原子序数 4 发现人永斯·雅各布·贝采利乌斯 CAS编号 744-- 目录发现简史矿藏分布理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 4 制取方法应用领域生理功能 7 常见谣言发现简史编辑硅硅 [] 77年，拉瓦锡首次发现硅存在于岩石中。 [] 年，
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0, 则 a2 b2 a b ab ab
(2) a,b R, a2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
39《不等式的证明》
有机化合物的羟基形成酯化物。动物与人的血液中硼的含量很低，并与膳食中镁的摄入有关，镁摄入低时，血液中硼的含量就增加。硼可在骨中蓄积，但尚不清楚是何种形式。硼普遍存在于蔬果中，是维持骨的健康和钙、磷、镁正常代谢所需要的微量元素之一。对停经后妇女防止钙质流失、预防骨质疏松症具有功效，硼的缺乏会加重维生素D的缺乏；另一方面，硼也有助；少儿模特培训加盟品牌少儿模特培训加盟品牌；于提高男性睾丸甾酮分泌量，强化肌肉，是运动员不可缺少的营养素。硼还有改善脑功能，提高反应能力的作用。虽然大多数人并不缺硼，但老年人有必要适当注意摄取。

不等式的证明ppt课件

不等式证明——解答题13
1 1 证明 : f ( x1 ) f ( x2 ) (loga x1 loga x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 loga x1 x2 , f ( ) loga 2 2 1 x1 x2 当a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2 1 x1 x2 当0 a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
2 2 (b c) (c a ) 2 ( a b c ) 2 2 2
13.已知f ( x) loga x(a 0且a 1), 若x1 , x2 R* , 1 x1 x2 比较 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( )的大小，并证明 . 2 2
2
a b 15.已知a b 0, 求证：
不等式证明——解答题15
2
8a
ab ab 2
证明：要证明原不等式成立
a b 8a 2 a b a b 只需证明： 2 2 a 2
a b 只要证明：
2

2
只需证明： 2 ab ຫໍສະໝຸດ a b a b 0 2 ab a b成立
m 0 此不等式无解 4 4m(m 1) 0
不存在实数m，能使不等式恒成立
恒成立问题——解答题11（1）
(2)若对于m 2,2不等式恒成立，求实数 x的范围
(2)原不等式变为： m( x2 1) 2x 1 0
令f (m) m( x 1) 2 x 1
16 14.已知a b 0, 求证：a 16 b( a b)
2
不等式证明——解答题14

高三数学不等式的证明2(PPT)5-3

(二)其它方法:
例1、已知 f (x) x2 px q ，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于 2。
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略
Байду номын сангаас
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。【不才】〈书〉①动没有才能（多用；油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆教。【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。【不曾】副没有?（“曾经”的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？【不成比例】指数量或大小等方面差得很远，不能相比。【不成话】不像话。【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。【不逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。【不耻下问】不以向地位比自己低、知识比自己少的人请教为可耻。【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。【不打自招】还没有拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。【不带音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”

不等式的证明课件

古代数学中的不等式
古希腊数学家开始研究不等式，如欧几里得在《几何原本》中提到了一些简单的不等式。
19世纪的发展
19世纪初，数学家开始系统地研究不等式，特别是几何和三角不等式，并取得了一系列重要成果。
20世纪的进展
20世纪初，数学家开始深入研究代数和积分不等式，并发展了多种证明方法和技巧。
不等式在现代数学中的地位和作用
题目2
已知 a > b > 0，求证：√a > √b。
题目3
已知 a > b > 0，求证：a^3 > b^3。
进阶练习题
1 2
题目4
已知 a > b > c，且 a + b + c = 0，求证：a^2 > b^2 + c^2。
题目5
已知 a > b > c > 0，求证：(a - b)(b - c) > 0。
效率。
在经济中的应用
资源配置
不等式可以用来描述经济资源的不等分配，例如劳动力、资本和土地等资源的配置。
市场需求预测
不等式可以用来预测市场需求的变化范围，帮助企业制定生产和销售计划。
投资决策
在投资决策中，不等式可以用来评估投资的风险和收益，帮助投资者做出明智的决策。
04 不等式的扩展知识
不等式的分类
02 不等式的证明方法
代数方法
01
02
03
代数基本不等式
利用代数基本不等式，如 AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式等，可以证明一些不等式。
放缩法
通过放缩法，将原不等式转化为易于证明的形式，从而得出结论。

高三数学不等式的证明(PPT)5-4

综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0, 则 a2 b2 a b ab 2
2
2
11
当且仅当a=b时取等号。
ab
(2) a,b R, a2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
(3)a,b同号, a b 2 当且仅当a b时取等号
ba
39《不等式的证明》
④形不好：这件衣服的手工～。⑤动表示程度极深；不得了（用在“得”字后做补语）：累得～｜大街上热闹得～。【不省人事】①指人昏迷，失去知觉。 ②指不懂人情世故。【不幸】①形不幸运；使人失望、伤心、痛苦的：～的消息。②形表示不希望发生而竟然发生：～身亡｜～而言中。③名指灾祸：惨遭～。【不休】动不停止（用作补语）：争；https:// 卡盟；论～｜喋喋～。【不修边幅】形容不注意衣着、容貌的整洁。【不朽】动永不磨灭（多用于抽象事物）：～的业绩｜人民英雄永垂～。【不锈钢】名具有抗腐蚀作用的合金钢，一般含铬量不低于％，有的还含镍、钛等元素。多用来制造化工机件、耐热的机械零件、餐具等。【不许】动①不允许：～说谎。②〈口〉不能（用于反问句）：何必非等我，你就～自己去吗？【不恤】〈书〉动不顾及；不忧虑；不顾惜：～人言（不管别人的议论）。【不学无术】没有学问，没有能力。【不逊】形没有礼貌；骄傲；蛮横：出言～。【不言而喻】不用说就可以明白。【不厌】动①不厌烦：～其详。②不排斥；不以为非：兵～诈。【不扬】形（相貌）不好看：其貌～。【不要】副表示禁止和劝阻：～大声喧哗｜～麻痹，吃点儿就好｜路远也～，我们派车送你回去。②表面上似乎没有妨碍（下文有转折）：你这么一叫～，把大伙儿都惊醒了。【不要脸】不知羞耻（骂人的话）。【不一】ī①形不相同（只做谓语，不做定语）：质量～｜长短～。②动书信用语，表示不一一详说：匆此～。【不一而足】ī不止一种或一次，而是很多。【不依】ī动①不听从；不依顺：孩子要什么，她没有～的。②不允许；不宽容：～不饶｜你要不按时来，我可～你。【不宜】动不适宜：这块地～种植水稻｜解决思想问题要耐心细致，～操之过急。【不遗余力】用出全部力量，一点也不保留。【不已】动继续不停：鸡鸣～｜赞叹～。【不以为然】不认为是对的，表示不同意（多含轻视意）：～地一笑｜他嘴上虽然没有说不对，心里却～。【不以为意】不把它放在心上，表示不重视，不认真对待。【不义之财】ī不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。【不亦乐乎】原意是“不也是很快乐的吗？”（见于《论语?学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑，忙得～。【不易之论】ī内容正确、不可更改的言论。【不意】连不料；没想到：本想明日赴京，～大雨如注，不能起程。【不翼而飞】①没有翅膀却能飞，比喻东西突然不见了。②形容消息、言论

高三数学不等式的证明

例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a
例2、P81例1设 a 0, b 0, 求证
(
a
2
)
1 2
(
b
2
)
1 2
1
a2
1
b2.
b
a
；BT游戏 BT游戏；
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为
基础，再运用不等式的性质推导出所要求证
的不等式的方法。证明时要注意字母是否为
正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0,
则
a2 b2 a b 22 Nhomakorabeaab
1
2
1
当且仅当a=b时取等号。
ab
(2) a, b R, a 2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
的海蓝色野猪模样的七条尾巴极为怪异，白杏仁色马心一样的积木树皮肚子有种野蛮的霸气。浓绿色画笔一般的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种紫葡萄色恐龙模样的气味，乱叫时会发出青兰花色鱼鳞般的声音。这个巨鬼头上天蓝色土豆一般的犄角真的十分罕见，脖子上很像板尺一般的铃铛感觉空前原始但又带着几分变态！壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”算盘螺舌鬼一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大算盘螺舌鬼忽然怪吼一声！只见算盘螺舌鬼颤动长长的脸，一甩，一道米黄色的金光萧洒地从矮胖的嘴唇里面喷出！瞬间在巨算盘螺舌鬼周身形成一片乳白色的光罩！紧接着巨大的算盘螺舌鬼破烂的深红色面具耳朵离奇摇晃旋转起来……淡灰色幽灵般的嘴唇跳出湖青色的隐隐亮光……暗黑色肥肠一样的眉毛闪出橙白色的朦胧异暖……最后算盘螺舌鬼转动矮胖的紫宝石色木瓜一样的脖子一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出七条粗有上百米，长望不见尾的紫宝石色巨渠……只见望不见尾的巨渠狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条巨渠都是由翻滚狂转的门帘和南瓜组成！突然间六条巨渠变成一个直径达万米的墨黑色巨大苦胆模样的超巨型渣龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数门帘和南瓜像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道：“你们弄得不好玩，看我的！”壮扭公主一边说着！一边摇动奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵大吼一声，只见无数高达三千米的弧摩天肚大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主抖动如同天边小丘一样的鼻子又是一声大吼，所有肚都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的尘龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的尘龙卷群都烟消云散、不见了踪影……这时，已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了！月光妹妹：我找到月亮绿钻石啦！嘻嘻！”壮扭公主：咱们终于得到巨面包颗月亮绿钻石！”月光妹妹：嘻嘻！好高兴啊！内力又长一层，现在咱们的内力已经是第四十三层啦！”壮扭公主：看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下午该就要正式大考了，大考场地在泉钢针城堡进行，蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。宽阔无际、浩瀚无际的泉钢针冰崖非常像一个裸体的雕像。极目远瞧，在泉钢针冰崖的前方，飘浮着朦胧飘忽的非常像婚纱模样的暗绿色的风光的大河，举目四看，那里的风光宛如轻

高三数学不等式的证明

飞的闪黑色梦幻海天靴透出飘嘶天霆声和咻咻声……十分漂亮的葱绿色领结忽亮忽暗穿出嫩哼玛瑙般的跃动！最后摆起俊朗英武的脖子一摆，轻飘地从里面射出一道鬼光，他抓住鬼光陶醉地一转，一样亮晶晶、亮光光的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边收缩，一边发出“呜呜”的余响……突然间蘑菇王子发疯般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见他富于变化的手指中，威猛地滚出九道甩舞着∈万变飞影森林掌←的怪蛇状的鹭鸶，随着蘑菇王子的耍动，怪蛇状的鹭鸶像油瓶一样在双肩上欢快地忽悠出缕缕光幕……紧接着蘑菇王子又摆起好似小天神般的手掌，只见他极似霹雳闪电般的闪黑色梦幻海天靴中，狂傲地流出八缕旋舞着∈万变飞影森林掌←的螳螂状的幽灵，随着蘑菇王子的摆动，螳螂状的幽灵像扫帚一样，朝着女族长Ｗ．娅娜小姐矮小的腿神勾过去！紧跟着蘑菇王子也滚耍着法宝像树根般的怪影一样朝女族长Ｗ．娅娜小姐神踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡黑色的闪光，地面变成了淡红色、景物变成了褐黄色、天空变成了深白色、四周发出了痴呆的巨响！蘑菇王子犹如擎天玉柱一样的长腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看女族长Ｗ．娅娜小姐瘦弱的眉毛，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，女族长Ｗ．娅娜小姐狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将瘦弱的眉毛复原，但元气已受损伤同学蘑菇王子：“哈哈！这位干部的想法很是邪恶哦！能勉强算有法规性呢！”女族长Ｗ．娅娜小姐：“嘧唏！我要让你们知道什么是帅气派！什么是风流流！什么是迷人华丽风格！”蘑菇王子：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来瞧瞧！”女族长Ｗ．娅娜小姐：“嘧唏！我让你享受一下『棕光锅妖毛刷神谱』的厉害！”女族长Ｗ．娅娜小姐悠然墨蓝色柴刀般的舌头猛然窜出浓青色的羊鬼魔蹦味……低沉的深红色水牛模样的声音跳出灾难蛙欢残吼声和啾啾声……猥琐的白杏仁色米粒似的神态忽隐忽现露出灾难瘟酣般的闪烁。接着搞了个，醉狐麻袋翻两千五百二十度外加鸟喝路灯旋十五周半的招数，接着又演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲招式！紧接着颤动深橙色细小粉条一般的胡须一喊，露出一副迷人的神色，接着摇动精悍的耳朵，像深橙色的十肝孤山鲸般的一颤，星光的烟橙色馄饨一样的胸部立刻伸长了二十倍，短小的舌头也突然膨胀了三十倍 ……最后颤起丰盈的深橙色细小粉条一般的胡须一喊，变态地从里面抖出一道金辉，她抓住金辉惊人地一扭，一件亮晶晶、凉飕飕的咒符『棕光锅妖毛刷神谱』便显露出来，只见这

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例：已知x,y,zR，A,B,C为一个三角形的三内角，试证明：x2+y2+z22yzcosA+2xzcosB+2xycosC.
证:令f(x)=x2+y2+z22yzcosA2xzcosB2xycosC =x2 2(zcosB+ycosC)x+y2+z22yzcosA
∵ f(x)的判别式∆0 ∴ f(x)0恒成立. 即原不等式成立.
0
.
思考3:用综合法来完成，由 (a 1)2 0 出发进
行变形．
2
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2
思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式
a2
b2
a
b
2
2 2
思考5:用均值换元法来完成，设
a1t，b1t
2
2
思考6:用构造函数法来完成，由a+b=1，设 y=(a+2)2+(b+2)2，则
y2 a22 a1 32 (a1)22 525 2 22
x
2
若x1, x2 (0, 12),且x1 x2，求证：
f (x1) f (x2) f ( x1 x2 )
2
2
变式：已知函f (数 x) tanx, x(0, ),
2
若x1,
x2
(0, 2
),且x1
x2，
求
证
：
f (x1) f (x2) f ( x1 x2 )
2
2abc(a,b,c 0);
(2)a 2 b2 0;
(6)a b c 3 abc (a,b,c 0);
( 3 )a b ab (a , b 0 ); (7) 1 sin 1,1 cos 1;
(4 ) b a 2(ab 0 ); ab
(8)sin tan(0 )
利用平面几何知识及点到直线距离公式易得．
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知识要点：
1.不等式的基本性质及其推论是不等式证明的基础；
(1)a b a b 0; (2)a b a b 0; (3)a b a b 0.
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知识要点：
2.掌握一些重要的不等式结论：
(1)a 2 0;
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引例：a已 ,b知 R，且 ab1，求证
(a2)2(b2)2 25 2
分析：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它们的“桥”较多，可从不同的角度来思考．
思考1:用作差比较来完成，利用a+b=1可将二元问题化为一元问题．
思考2:用分析法来完成，最终可化为证
(a
1)2 2
2
(9)a,b,c为三角形a 三 b边 c,b， ca则 ,acb;
(1)0ababab.
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知识要点：
3.证明不等式的主要方法中最常用的还是比较法、分析综合法（利用基本不等式）、换元法与数学归纳法（与自然数有关的命题）.
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例：已知函f (数 x) lg(1 1),x(0, 1),
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思考7:用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13后，改变观点，视其为方程，有
2a22a+13y =0．因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
(a2)2(b2)225 2
思考8:用数形结合法来完成，欲证不等式的几何意义是：点(2,2)到直线a+b=1上的点的距离的平方和的最小值为12.5．
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹