点差法求解中点弦问题

8、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心、求证：直线和直线的斜率之积是定值、证明设且，则，（1），（2）得：，，、又，，（定值）、
二、双曲线
1、过点P(4,1)的直线l与双曲线－y2＝1相交于
A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程．[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－y＝1，－y＝1，两式相减得：(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2、∴＝1，即所求直线l的斜率为1，∴l方程为y－1＝x－4，即x－y－3＝0、
6、（xx秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则点M的坐标为
．
【解答】ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：设直线与椭圆的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减，得=0，（y1﹣y2）（y1+y2）=﹣3（x1﹣x2）（x1+x2），=﹣3，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x1+x2=1，∴3=﹣31（y1+y2），∴=﹣．所以中点M坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．
4、例1（09年四川）已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为、(Ⅰ)
求椭圆的标准方程；(Ⅱ)
过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程、解：（Ⅰ）根据题意，得、所求的椭圆方程为、（Ⅱ）椭圆的焦点为、、 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为、由平行四边形法则知：、由得：、①若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在、由得：②②代入①，得整理，得：、解之得：，或、由②可知，不合题意、 ，从而、所求的直线方程为，或、
【定理3】
在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在、
一、椭圆
1、过椭圆＋＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于
A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．
点差法求解中点弦问题
【定理1】
在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、 证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有 ，得又
【定理2】
在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又
【解】
法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，
(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x
1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝、∵P为弦AB的中点，∴2＝＝、解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0、法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2、又∵
【解答】
解：设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a2=3b2②联解①②，可得a2=75，b2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．
1、x2是方程①的两个不同的实根，所以2－k2≠0、由韦达定理得，x1＋x2＝、由N(1,2)是AB的中点得，＝1、即k(2－k)＝2－k2、解得k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1、(2)由得x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1、∴A(3,4)，B(－1,0)．∵CD是线段AB的垂直平分线，所以CD所在直线方程为y＝－x＋3、得x2＋6x－11＝0、设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)．由韦达定理，得x3＋x4＝－6，x3x4＝－
A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝
16、两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴＝＝－，即kAB＝－、∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0、
2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．
【解答】
2、设
A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于
C、D两点，那么
A、
B、
C、D四点是否共圆？为什么？[分析] 要证明
A、
B、
C、D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若
A、
B、
C、D四点共圆，则∵CD垂直平分AB，据圆的性质知，圆心在直线CD上，∴CD中点M为圆心，只要证明|AM|＝|MB|＝|CM|＝|MD|即可．[解析] (1)依题意，可设直线AB方程为y＝k(x－1)＋2，由得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k2)－2＝0①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x
解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P为弦AB的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x＜）∴点P的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x＜）；
3、（xx秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 =1 ．
7、如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。xyDEFO解：（Ⅰ）略： ，（Ⅱ）分析：∵，设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法”设，直线的斜率为（，则① ② 由①－②得： 又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且