指数函数与对数函数关系的典型例题

经典例题透析

类型一、求函数的反函数

例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数.

思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).

解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5，

∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2

.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0)

x x x x +≥⎧⎨-<⎩，求f -1(x). 思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.

解：当x ≥0时，y=x+1≥1，∴y ∈[1，+∞)，∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1)；

当x<0时，y=1-x 2<1，∴ y ∈(-∞，1)，反解 x 2=1-y ，

(y<1)，∴ f -1

(x<1)； ∴ 综上f -1

(x)=1(1)(1)

x x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩. 类型二、利用反函数概念解题

例3.已知f(x)=1

12-+x x (x ≥3)， 求f -1(5). 思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.

解：设f -1

(5)=x 0， 则 f(x 0)=5，即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5， x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍)，∴ f -1

(5)=3.

举一反三：

【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =，则g(10)=( ) A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-1

(法一)依题意，函数13x

y -=+的反函数y=-log 3(x-1)，因此g(10)=-2.

(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x =10，解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.

例4.设点(4，1)既在f(x)=ax 2+b (a<0，x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.

思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程.

解： ⎝

⎛+⋅=+⋅=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)=

ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253

x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253

x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253

x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.

类型三、互为反函数图象间关系

例6.将y=2x

的图象先______，再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x ＋1)的图象( )

A ．先向上平行移动一个单位

B ．先向右平行移动一个单位

C ．先向左平行移动一个单位

D ．先向下平行移动一个单位

解析：本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何直观推断．

答案：D

总结升华：本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识，以及基本计算技能和几何直观思维能力．

举一反三：

【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f -1(x+1)的图象( )

A.关于直线y=x 对称

B.关于直线y=x+1对称

C.关于直线y=x-1对称

D.关于直线y=-x 对称

解：y=f(x+1)与y=f -1(x+1)图象是分别将y=f(x)， y=f -1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)

与y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称，y=x 向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.

【变式2】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x)，则函数y= f —1(1-x)的图象是( )

【答案】由y=log 2x 得f —1(x)＝2x ，所以y=f —1(1-x)＝21-x

， 选择C. 【变式3】（2011 四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()12x

f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，则()f x 的反函数的图象大致是（ ）

解：当0x >时，函数()f x 单调递减，值域为()1,2，此时，其反函数单调递减且图象在1x =与2x =之间，故选A ．

类型四、指数函数和对数函数的综合问题

例7.已知函数)2(log )(2

21x x x f －＝．

(1)求函数的单调增区间；

(2)求其单调增区间内的反函数．

解：复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减．

(1)函数的定义域{x|x<0或x>2}，又t=x 2-2x=(x-1)2

-1．

∴x ∈(-∞，0)，t 是x 的减函数．而)0(log 21＞＝t t y 是减函数，∴函数f(x)在(-∞，0)为增函数．

(2)函数f(x)的增区间为(-∞，0)， 令)2(log 22

1x x y －＝，则y x x )21(22＝－．

∴0)21(22＝－－y x x ，1x ±＝

∵x<0，∴y x －＋－＝211．∴R)(211)(1∈x x f x －－＋－＝

． 总结升华：研究函数单调性首先要确定定义域；在函数的每个单调区间内存在反函数，因此要注意反函数存在的条件．