有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)资料

第2章 弹性力学平面问题有限单元法

2.1 三角形单元(triangular Element)

三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:

①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵

设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。

在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)

二、单元位移函数和形状函数

前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构

造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:

(,)123

u u x y x y ααα==++

546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a

式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)

{}⎪⎭⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m e

d d d d m j j i v u v u v u i {}

i

i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i

e

j m m F F F F ⎧⎫

⎪⎪

⎪⎪⎧⎫

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭

确定。将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:

1

23i i i u x y ααα

=++

123

j j j u x y ααα=++ (a)

1

23m m m u x y ααα

=++

和

54

6i i i v x y ααα

=++

546

j j j v x y ααα=++ (b)

54

6m m m v x y ααα

=++

利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、

3α :

11A A

α=

22

A A

α

=

33

A A

α

=

式中行列式:

1

i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =

2111i i j j m m

u y A u y u y =

3111i i j j

m m

x u A x u x u =

2111i i j j m m

A

x y A x y x y ==

A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:

11()2m m i i

j j a u a u a u A α=++ 21()2m m i i

j j bu b u b u A α=++ （C ）

31()2m m

i i j j c u c u c u A α=

++

式中:

m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-

m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）

m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-

为了书写方便，可将上式记为: m m i j i a x y x y =-

m i

j b

y y =- (,,)i j m

m i j

c x x =-

(,,)i j m

表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。 将(c)式代入2-1-2中,整理后可得:

(,)(,)(,)m m i i j j

u N x y u N x y u N x y u =++

同理: (,)(,)(,)m m i i j j

v N x y v N x y v N x y v =++ （2-1-2）b 式中:

1()2i i i i N a b x c y A

=++ (,,)i j m (2-1-3)

将三角形单元的位移函数用矩阵表示：

或：

4)a -1-(2

v u i v u v u m 0 j 0 i 0 0 m 0 j 0 ),(m j i i ⎪⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=m N N N N N N v u f i y x 4)b

-1-(2 }]{[}{e d N f v u =⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=

三、单元的应变和应力

１、应变──几何矩阵[B]

由弹性力学知,弹性力学平面问题的几何方程： x

u x

ε∂=∂； y v y ε∂=∂ ； xy u v y x ε∂∂=+∂∂

用矩阵表示

00x y xy x u v y y x εεε⎡

⎤

⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪

⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥⎩⎭

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

∂∂∂=∂∂∂∂∂

或， {}{}H f ε⎡⎤⎣⎦

= (2-1-5)

[H]称为微分符矩阵,又称为微分算子,“[H]{f}”实际上不是一般的矩阵乘,

可以称为微分符矩阵[H]作用在{f}上,其作用规律符合矩阵乘积规定，实际上是按[H]对{f}求导。

将2-1-4式的{f}=[N]{d}代入: {ε

}=[H][N]{d}=[B]{d} 2-1-6

式中: (2-1-7)

0000

00000000012m i j m i j m i j m i j m m i

i j j x

N N N B H N y N N N y x b b b c c c c b c b c b A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥

⎢

⎥⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦

∂∂∂==∂∂∂∂∂=

称为几何矩阵，对于上述三角形单元，[B]是常量矩阵,因此常把这种三角形单

元称为常应变单元

２、应力矩阵[S]

由弹性力学知,由应力求应变的物理方程是:

()1x x y E

σμσε=-

()1y y x E

σμσε=-

2(1)xy xy xy

E

G

τμγτ+==