高考数学一轮总复习：基本不等式

2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a， b>0 ， a ＋b ＝ 5， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为 ________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
x 16y y·x
＝18，当且仅当
8x＋1y＝1， xy＝1x6y，
即
x＝12， y＝3
时“＝”成
立，故x＋2y的最小值是18.
方法二：(消元法)由
8 x
＋
1 y
＝1，得y＝
x x－8
，由y>0⇒
x x－8
>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋
2x x－8
＝x＋
2（x－8）＋16 x－8
＝x＋
2＋ x－168
【答案】
1 5
★状元笔记★ 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二 定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用 函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例 (2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
设g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12>0.
∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
【答案】
29 45
(2)若将例2中的条件变为x≠54，求y的值域． 【解析】 设4x－5＝t，则t≠0. ∴y＝t＋1t ＋3. 当t>0时，y≥2＋3＝5；当t＜0时，y≤－2＋3＝1. ∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[5，＋∞)
π 2
)，则y＝
1 sin2θ
＋
cos92θ的取值范围为(
)
A．[6，＋∞)
B．[10，＋∞)
C．[12，＋∞)
D．[16，＋∞)
【解析】 (1)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴m1 ＋1n＝－(m＋n)(m1 ＋1n)＝－(2＋mn ＋mn )≤－2－2 mn ·mn ＝－
题型一 利用基本不等式求最值(微专题) 微专题 1：拼凑法求最值
(1)在下列条件下，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值． ①当 x>54时，求最小值； ②当 x<54时，求最大值； ③当 x≥2 时，求最小值．
【解析】 ①∵x>54，∴4x－5>0. y＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3≥2＋3＝5. 当且仅当 4x－5＝4x－1 5，即 x＝32时上式“＝”成立． 即 x＝32时，ymin＝5.
(2)已知 0<x<25，则 f(x)＝x(2－5x)的最大值为________．
【解析】 因为 0<x<25，所以 5x>0，2－5x>0，
则 f(x)＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)≤15[5x＋（22－5x）]2＝15，
当且仅当 5x＝2－5x，
即 x＝15时，等号成立，此时 f(x)取得最大值15.
【答案】 C
(2)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为 ________．
【解析】 9＝x＋3y＋xy＝(x＋3y)＋13·x·3y≤(x＋3y)＋13 (x＋23y)2，∴(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.[(x＋3y)＋18][(x＋3y)－ 6]≥0.
【解析】 ①∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2 x·2y. 当且仅当x＝2y，即xy＝ ＝21， ，时“＝”成立． ∴2 x·2y≤4，∴xy≤2.
②2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4xy)≥14(4＋2 xy·4xy)＝2. 当且仅当xy＝4xy，即4x＋y2＝2yx＝2，4，xy＝ ＝21， ，时取等号． 【答案】 ①2 ②2
思考题 1 (1)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最
小值，则 a＝( )
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3 【解析】
D．4
∵x>2
，
∴
f(x)
＝
x
＋
1 x－2
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
2≥2 （x－2）·x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，
等号成立．故 a＝3.
【审题】 先利用乘常数、或消元法，再利用基本不等式求解 最值．
【解析】 ①∵x>0，y>0，∴8x＋1y≥2
8 xy.
当且仅当8x＝1y，即xy＝ ＝126，，时“＝”成立． ∴2 x8y≤1，∴xy≥32.
②方法一：x＋2y＝(
8 x
＋
1 y
)·(x＋2y)＝10＋
x y
＋
16y x
≥10＋
2
利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)， 那么当_x_＝__y__时，x＋y 有最小值_____． (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，
那么当__x_＝_y__时，xy 有最大值_____．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2. (2)函数 f(x)＝cosx＋co4sx，x∈(0，π2)的最小值等于 4. (3)“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．
a＋1＋
b＋3
≤3 2，当且仅当 a＋1＝b＋3 且 a＋b＝5，即 a＝72，b＝32时等号成
立．所以 a＋1＋ b＋3的最大值为 3 2.
【答案】 3 2
微专题 2：换元法求最值 已知 x>54，求函数 y＝16x2－4x2－8x5＋11的最小值． 【审题】 通过换元转化为形如Ax＋Bx＋C形式的函数． 【解析】 设4x－5＝t，∵x>54，∴t>0. ∴y＝16(t＋4 5)2－t28·t＋4 5＋11＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3≥2＋3＝5. 当且仅当t＝1即x＝32时，上式取“＝”号．∴x＝32时，ymin＝5. 【答案】 5
(4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a. (5)不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件． (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 解析 (1)错误，x<0 时，y≤－2； (2)错误，cosx 不可能为 2； (3)错误，x<0，y<0 不等式也成立； (4)错误，2 a不是定值； (5)错误，对于 a2＋b2≥2ab 只要 a＝b 即可，而对于a＋2 b≥ ab 需要 a＝b>0 才可以； (6)正确，因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三 式相加即可．
3．(2019·沧州七校联考)设 x>0，y>0，且 x＋4y＝40，则 lgx
＋lgy 的最大值是( )
A．40
B．10
C．4
D．2
答案 D
解析 ∵x＋4y＝40，且 x>0，y>0，
∴x＋4y≥2 x·4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝”)，∴4 xy
≤40.∴xy≤100.
∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.
＋2b 的最小值为( )
A．5＋2 2
B．8 2
C．5
D．9
答案 D 解析 方法一：∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝1. 则 a＋2b＝(a＋2b)(2b＋1a)＝5＋2ab＋2ba≥5＋2 2ab·2ba＝9，当 且仅当 b＝3，a＝3 时等号成立，其最小值为 9. 方法二：∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴a＝b－b 2>0，解得 b>2，则 a＋2b＝b－b 2＋2b＝1＋b－2 2＋2(b－2)＋4≥9.
★状元笔记★
本例是通过换元，凑出和为常数的形式，进而求最值．
自己总结形如y＝
Ax2＋Bx＋C x
或y＝
x Ax2＋Bx＋C
的一类函数
的值域或最值的求法．
思考题2 (1)若将例2中的条件变为x≤45,求y的最大值． 【解析】 设4x－5＝t，则x＝t＋4 5.
∵x≤45，∴t≤－95.∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3.
②∵x<54，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立． 故当 x＝1 时，ymax＝1. ③当 x≥2 时，y＝4x－2＋4x－1 5为增函数， ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139. 【答案】 ①5 ②1 ③139
4．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y 的最小值是( )
A．4
B．8
C．2 2