华理概率论习题3答案

概率论与数理统计作业簿（第三册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第七次作业一．填空题：1. ξ的分布列为:则=E ξ 2.7 。

2.ξ的分布列为:则=E ξ13， (1)-+=E ξ3， 2=E ξ24。

二．选择题：1. 若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ C ） 。

A ．0 B ．X C ．EX D ．2)(EX2. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ）（A ）6.5 （B ）12 （C ）7.8 （D ）9三．计算题1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θθθ--⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，，其他其中θ >1，求 EX 。

解 21111110011111011----====--⎰⎰EX x x dx x dx x θθθθθθθθθ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数,0(=0,0x e x p x x -⎧>⎨≤⎩） 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。

解 01,x E xe dx ξ+∞-==⎰(2)22,E E ξξ== 22204()()13x x E e E E e e e dx ξξξξ+∞----+=+=+⋅=⎰。

3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。

假设各部件的状态相互独立，用ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望。

解 设A i =｛第i 个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A 1)=0.1，P(A 2)= 0.2，P(A 3)=0.3 。

所以123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===⨯⨯=， 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++=123(3)()0.006.P P A A A ξ===从而00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b ]内，求球的体积的平均值。

解 设球的直径长为ξ,且[,]U a b ξ~,球的体积为η,与直径ξ的关系为3432πξη⎛⎫= ⎪⎝⎭,那么,332234()()326624b a x a b a b E E E dx b a πξπππηξ++⎛⎫=⋅=⋅==⎪-⎝⎭⎰.第八次作业一．计算题1．对第七次作业第一大题第2小题的 ξ，求D ξ。

解 22235197()()24372D E E ξξξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，97(13)98D D ξξ-==。

2．上次作业第三大题第3小题中的ξ，求D ξ。

解 222()()00.50410.38940.09390.0060.60.46.D E E ξξξ=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=3. 设随机变量ξ具有概率密度01()2120xx p x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它, 计算 D ξ。

解 12331220101()()(2)()133x x E xp x dx x xdx x x dx x ξ+∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰，1243412222210127()()(2)()4346x x x E x p x dx x xdx x x dx ξ+∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰，221()()[()]6D E E ξξξ=-=。

4. 设随机变量ξ仅在[a , b ]取值，试证2,2b a a E b D ξξ-⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭。

证 因为a b ξ≤≤, 所以a E b ξ≤≤. 又因为22222a b a b a b a b b aa b ξ-+++-=-≤-≤-= 22b a a b ξ-+⇒-≤，2.22a b b a D E ξξ+-⎛⎫⎛⎫⇒≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 已知某种股票的价格是随机变量ξ，其平均值是1元，标准差是0.1元。

求常数a ，使得股价超过1+a 元或低于1-a 元的概率小于10%. 解 已知1,0.1E ξ==，由契比雪夫不等式 20.01{|1|}P a a ξ-≥≤， 令20.010.1a≤， 得 0.32a ≥。

6. 设随机变量ξ的概率分布为1()(1),1,0,12ξxxa P x a x -⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭其中 0<a <1。

试求：D ξ，||D ξ。

解 (1)0(1)10,22a a E a ξ=-⋅+⋅-+⋅= 2222(1)0(1)1,22a aE a a ξ=-⋅+⋅-+⋅=所以 22()D E E a ξξξ=-=。

又 22,E a E E a ξξξ===， 故 22()(1)D E E a a ξξξ=-=-。

第九次作业一．填空题1. 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为23，则至少击中一次的概率为（D ）。

A. 274B. 2712C. 2719D. 27262. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。

用Excel 的BINOMDIST 函数计算。

BINOMDIST （10 , 1000, 0.005, TRUE ）= 0.986531_。

3. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。

POISSON （10 , 4 ，TRUE ）=0.9972, 所求概率p =_0.0028_。

4. ~(4)P ξ，由切比雪夫不等式有(|4|6)P ξ-<≥__8/9___。

二．计算题1. 设随机变量ξ的密度函数是1cos ,0()220,x x p x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它对ξ独立的随机观察4次，η表示观察值大于3π的次数，求η的概率分布。

解 ()4,B p η~。

设A=“观察值大于3π”，则 311()()cos 3222x p P A P dx πππξ==≥==⎰, 所以η的概率分布为：4411()(1),(0,1,2,3,4)22k k P k k k η-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭。

或2. 随机变量ξ服从参数为p 的几何分布，即1()(1),1,2,k P k p p k ξ-==-=（1） 求 ()P s ξ>，其中s 是一个非负整数；（2） 试证(|)()P s t s P t ξξξ>+>=>，其中s ，t 是非负整数。

（几何分布具有无记忆性）。

解 （1）111()()(1)k k s k s P s P k p p ξξ∞∞-=+=+>===-∑∑1(1)(1)(1)(1)sk ss k p p p p p p p∞==--=-=-∑ 或者：11()1()1(1)sk k P s P s p p ξξ-=>=-≤=--∑1(1)1(1)1(1)ss p p p p --=-⋅=---（2） ({}{})()(|)()()P s t s P s t P s t s P s P s ξξξξξξξ>+>>+>+>==>>(1)(1)()(1)s t tsp p P t p ξ+-==-=>-。

3. 设随机变量~(,)B n p ξ，已知 2.4, 1.44E D ξξ==，求参数n 和p 。

解 因为(,)B n p ξ~,所以2.4,6,1.44,0.4.E np n D npq p ξξ===⎧⎧⇒⎨⎨===⎩⎩ 4. 设在时间t (单位：min)内，通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松分布。

已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2辆车通过的概率。

（提示：设t ξ=“t 时间内汽车数”,则()t P t ξλ~） 解: 设t ξ=“t 时间内汽车数”,则()t P t ξλ~,那么()() (0,1,2,)!k tt t e P k k k λλξ-=== , 由已知,得01()(0)0.2ln 50!e P λλξλ-===⇒=, 所以 0212222(2)(2)(2)1(0)(1)10!1!e e P P P λλλλξξξ--≥=-=-==--22242ln 51(2).25e e λλλ---=--=5. 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。

在下列两种情况下分别求p 的值：（1） 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A 至少发生一次的概率相等；（2）已知事件A 至多发生一次的条件下事件A 至少发生一次的概率为12。

解 设ξ为两次试验中事件A 发生的次数，则~(2,)B p ξ。

（1）由题意知，(1)(1)P P ξξ≥=≤，即(1)(2)(0)(1)P P P P ξξξξ=+===+=得 (2)(0)P P ξξ===，亦即 220222(1)C p C p =-，解得 12p =。

（2）由条件概率公式({1}{1})(1)(1|1)(1)(1)P P P P P ξξξξξξξ≥≤=≥≤==≤≤ 22(1)211p p p p p-==-+， 根据题意，2112p p =+，解出，13p =。