华理概率论习题3答案
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概率论与数理统计
作业簿（第三册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第七次作业
一．填空题：
1. ξ的分布列为:
则=E ξ 2.7 。 2.
ξ的分布列为:
则=E ξ13， (1)-+=E ξ3， 2
=E ξ24
。
二．选择题：
1. 若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ C ） 。 A ．0 B ．X C ．EX D ．2)(EX
2. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ）
（A ）6.5 （B ）12 （C ）7.8 （D ）9
三．计算题
1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θ
θ
θ--⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩
，，其他
其中θ >1，求 EX 。
解 21
1
111
10011111011----====--⎰⎰EX x x dx x dx x θθθθθθθθ
θ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数
,0
(=0,0
x e x p x x -⎧>⎨
≤⎩） 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。 解 0
1,x E xe dx ξ+∞-==⎰
(2
)22,
E E ξξ== 22204
()()13
x x E e E E e e e dx ξξξξ+∞
----+=+=+⋅=
⎰。
3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。假设各部件的状态相互独立，用ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望。
解 设A i =｛第i 个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A 1)=0.1，P(A 2)= 0.2，P(A 3)=0.3 。所以
123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===⨯⨯=， 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++=
123(3)()0.006.P P A A A ξ===
从而
00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b ]内，求球的体积的平均值。
解 设球的直径长为ξ,且[,]U a b ξ~,球的体积为η,与直径ξ的关系为3
432πξη⎛⎫
= ⎪⎝⎭,那
么,3
3223
4()()326
624b a x a b a b E E E dx b a πξπππηξ++⎛⎫=⋅=⋅==
⎪-⎝⎭⎰.
第八次作业
一．计算题
1．对第七次作业第一大题第2小题的 ξ，求D ξ。
解 2
2
2
35197
()()24372
D E E ξξξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，97(13)98D D ξξ-==
。 2．上次作业第三大题第3小题中的ξ，求D ξ。
解 222()()00.50410.38940.09390.0060.60.46.D E E ξξξ=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=
3. 设随机变量ξ具有概率密度01()2120x
x p x x x ≤≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪⎩
其它, 计算 D ξ。
解 12
3312
201
01
()()(2)()133x x E xp x dx x xdx x x dx x ξ+∞
-∞
==⋅+⋅-=+-=⎰
⎰⎰
，
1
2
4341
2
2222
1
0127()()(2)()4346
x x x E x p x dx x xdx x x dx ξ+∞
-∞
==⋅+⋅-=+-=⎰
⎰⎰
，
221
()()[()]6
D E E ξξξ=-=
。 4. 设随机变量ξ仅在[a , b ]取值，试证
2
,2b a a E b D ξξ-⎛⎫
≤≤≤ ⎪⎝⎭
。
证 因为a b ξ≤≤, 所以a E b ξ≤≤. 又因为
22222
a b a b a b a b b a
a b ξ-+++-=-≤-≤-= 22b a a b ξ-+⇒-≤，2
.22a b b a D E ξξ+-⎛
⎫⎛⎫⇒≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5. 已知某种股票的价格是随机变量ξ，其平均值是1元，标准差是0.1元。求常数a ，使得股价超过1+a 元或低于1-a 元的概率小于10%. 解 已知
1,
0.1E ξ==，
由契比雪夫不等式 2
0.01
{|1|}P a a ξ-≥≤
， 令
20.01
0.1a
≤， 得 0.32a ≥。 6. 设随机变量ξ的概率分布为
1()(1),1,0,12ξx
x
a P x a x -⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭