2015级组合数学复习题解答
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一行的木棍分割成7段(加上首和尾).设所选左边第
1根木棍的左侧有x1根未被选中的木棍；在第1 与 第2根所选木棍之间有x2根未被选中的木棍；…； 在第5 与第6根所选木棍之间有x6根未被选中的木 棍；在第6根所选木棍的右侧有x7根未被选中的木 棍，则由于没有两根选出的木棍是相邻的，所以
x1 x1
解 这样的单词有两类：一类包括偶数个a与 偶数个b；另一类包括奇数个a与奇数个b.设所求 的数为an,则{an}的指母函数为
Ge ( x)
(1
x2 2!
x4 4!
L
)2 (1
x
x2 2!
x3 3!
L
)3
( x x3 x5 L )2 (1 x x2 x3 L )3
解 用hn表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m)棋盘，每格涂一种颜 色，使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1
种,其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1种,所以 hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
6
hn m(m 1)n1 hn1 m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)2 hn2 m(m 1)n1 m(m 1)n2 m(m 1)n3 (1)3 hn3 m(m 1)n1 m(m 1)n2 L
且首末两个顶点也异色.
8
由上题可知,完成此步骤的方法有 (m 2)n (1)n (m 2)
种，由乘法原理,得所求涂色方法数为 K (m, n) m(m 2)n (1)n m(m 2)
9
5. 将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨这4种水果 装袋，要求各袋有偶数个苹果，最多2个橘子，3的 倍数个香蕉，最多1个梨. 如果每袋装n个水果，求装 袋的种类数.
x3 3!
L
)9
(e x
1)9
9 k0
9 k
(
1)k
e
(
9k
)
x
9 k0
9 k
(1)k
n0
(9
k
)n
xn n!
n0
9 k0
(1)k
9
k
(9
k
)n
xn n!
所以
an
9
(1)k
k0
9 k
(9
k
)n
14
8. 由字母a,b,c,d,e组成的总字母数为n的单词 中，要求a与b的个数之和为偶数，求这样的单词 的个数.
(1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3 L (1)n3 (m 1) (1)n2 ]
m(m 1) (m 1)n1 (1)n2 (m 1)n (1)n (m 1) (m 1) 1
7
4. 用 m(m 3) 种颜色去涂 n (n 3) 棱锥的
n 0
n
1
L
n n
2n
(2) 类似于(1)的分析可知，所以选取的方法数为
2n 0
1
2n 1
1
L
2n n
1
1 22n1 2
22n
5
3. 用m(m 2) 种颜色去涂 1 n (n m) 棋盘，
每格涂一种颜色，求使得相邻格子异色，首末两格 也异色的涂色方法数.
2. (1) 在2n个物体中有n个是相同的，则从这2n
wk.baidu.com
个物体中选取n个的方法有几种？
(2) 在3n +1个物体中有n个是相同的，则从这
3n +1个物体中选取n个的方法有几种？
解 (1) 若选出的物体有 k (k 0,1, 2,L , n) 个不
相同,则其余n - k个是相同的,所以选取的方法数为
解 所求种类数an的母函数为
G( x) (1 x2 x4 L )(1 x x2 ) (1 x3 x6 L )(1 x)
1 1 x3 1 (1 x) 1
1 x2 1 x 1 x3
(1 x)2
10
n0
n
n
1x
n
(n 1)xn
n0
所以an n 1.
11
6. 把n个相异的球放到4个相异盒子A1 , A2 , A3 , A4 中，求使得 A1 含有奇数个球，A2 含有偶数个球的不 同的放球方法数.
解 设满足条件的放球方法数为 an .
则数列{an }对应的指母函数为
Ge ( x)
(x
x3 3!
x5 5!
L
)(1
x2 2!
x4 4!
L
)
(1 x x2 x3 L )2 2! 3!
组合数学练习题(一)
1. 有20根完全相同的木棍从左至右竖立成一行， 占 据20个位置. 要从中选出6根.
(1) 有多少种选择？ (2) 如果选出的木棍中没有两根是位置相邻的， 又有多少种选择？ (3) 如果选出的每一对木棍之间必须至少有两 根木棍，又有多少种选择？
解
(1)
有
20 6
种.
1
(2) 所选出的6根木棍实际上可将这20根排成
12
ex ex ex ex e2x e4x 1
2
2
4
1 4n xn 4n1 xn
4 n1 n!
n1
n!
所以an 4n1.
13
7. 由数字1至9组成的每种数字至少出现1次的 n(n 9)位数有多少个？
解 设所求的数为an,则{an}的指母函数为
Ge ( x)
(x
x2 2!
n + 1个顶点,每个顶点涂一种颜色，求使得棱锥的
每条棱的两个端点异色的涂色方法数 K(m, n).
解 设V是一个n棱锥,则可依
v0
如下两个步骤去完成V的n + 1
个顶点的涂色工作:
先涂顶点v0,有m种涂色方法; 然后用异于v0颜色的m - 1种颜色
vn
v1
v3 v2
去涂顶点序列v1， v2，…， vn, 使得相邻顶点异色
9
7 9
1
15
9
5005
3
(3) 同(2)中的分析，此时有不定方程
x1 x1
x2 x3 0，x7
x4 x5 0，xi 2, i
x6
2,
x7 =14 3,L , 6
仿照(2)，这个方程的非负整数解的个数即为所求 的选择数
4
7 4
1
10 4
210
4
x2 x3 0，x7
x4 0，xi
x5 1, i
x6
2,
x7 =14 3,L , 6
2
作变量代换 y1 x1，y7 x7，yi xi 1, i 2, 3,L , 6
则原方程变成
y1 yi
y2 y3 y4 0, i 1, 2, 3,L
y5 ,7
y6
y7
9
这个方程的非负整数解的个数即为所求的选择数
1根木棍的左侧有x1根未被选中的木棍；在第1 与 第2根所选木棍之间有x2根未被选中的木棍；…； 在第5 与第6根所选木棍之间有x6根未被选中的木 棍；在第6根所选木棍的右侧有x7根未被选中的木 棍，则由于没有两根选出的木棍是相邻的，所以
x1 x1
解 这样的单词有两类：一类包括偶数个a与 偶数个b；另一类包括奇数个a与奇数个b.设所求 的数为an,则{an}的指母函数为
Ge ( x)
(1
x2 2!
x4 4!
L
)2 (1
x
x2 2!
x3 3!
L
)3
( x x3 x5 L )2 (1 x x2 x3 L )3
解 用hn表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m)棋盘，每格涂一种颜 色，使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1
种,其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1种,所以 hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
6
hn m(m 1)n1 hn1 m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)2 hn2 m(m 1)n1 m(m 1)n2 m(m 1)n3 (1)3 hn3 m(m 1)n1 m(m 1)n2 L
且首末两个顶点也异色.
8
由上题可知,完成此步骤的方法有 (m 2)n (1)n (m 2)
种，由乘法原理,得所求涂色方法数为 K (m, n) m(m 2)n (1)n m(m 2)
9
5. 将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨这4种水果 装袋，要求各袋有偶数个苹果，最多2个橘子，3的 倍数个香蕉，最多1个梨. 如果每袋装n个水果，求装 袋的种类数.
x3 3!
L
)9
(e x
1)9
9 k0
9 k
(
1)k
e
(
9k
)
x
9 k0
9 k
(1)k
n0
(9
k
)n
xn n!
n0
9 k0
(1)k
9
k
(9
k
)n
xn n!
所以
an
9
(1)k
k0
9 k
(9
k
)n
14
8. 由字母a,b,c,d,e组成的总字母数为n的单词 中，要求a与b的个数之和为偶数，求这样的单词 的个数.
(1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3 L (1)n3 (m 1) (1)n2 ]
m(m 1) (m 1)n1 (1)n2 (m 1)n (1)n (m 1) (m 1) 1
7
4. 用 m(m 3) 种颜色去涂 n (n 3) 棱锥的
n 0
n
1
L
n n
2n
(2) 类似于(1)的分析可知，所以选取的方法数为
2n 0
1
2n 1
1
L
2n n
1
1 22n1 2
22n
5
3. 用m(m 2) 种颜色去涂 1 n (n m) 棋盘，
每格涂一种颜色，求使得相邻格子异色，首末两格 也异色的涂色方法数.
2. (1) 在2n个物体中有n个是相同的，则从这2n
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个物体中选取n个的方法有几种？
(2) 在3n +1个物体中有n个是相同的，则从这
3n +1个物体中选取n个的方法有几种？
解 (1) 若选出的物体有 k (k 0,1, 2,L , n) 个不
相同,则其余n - k个是相同的,所以选取的方法数为
解 所求种类数an的母函数为
G( x) (1 x2 x4 L )(1 x x2 ) (1 x3 x6 L )(1 x)
1 1 x3 1 (1 x) 1
1 x2 1 x 1 x3
(1 x)2
10
n0
n
n
1x
n
(n 1)xn
n0
所以an n 1.
11
6. 把n个相异的球放到4个相异盒子A1 , A2 , A3 , A4 中，求使得 A1 含有奇数个球，A2 含有偶数个球的不 同的放球方法数.
解 设满足条件的放球方法数为 an .
则数列{an }对应的指母函数为
Ge ( x)
(x
x3 3!
x5 5!
L
)(1
x2 2!
x4 4!
L
)
(1 x x2 x3 L )2 2! 3!
组合数学练习题(一)
1. 有20根完全相同的木棍从左至右竖立成一行， 占 据20个位置. 要从中选出6根.
(1) 有多少种选择？ (2) 如果选出的木棍中没有两根是位置相邻的， 又有多少种选择？ (3) 如果选出的每一对木棍之间必须至少有两 根木棍，又有多少种选择？
解
(1)
有
20 6
种.
1
(2) 所选出的6根木棍实际上可将这20根排成
12
ex ex ex ex e2x e4x 1
2
2
4
1 4n xn 4n1 xn
4 n1 n!
n1
n!
所以an 4n1.
13
7. 由数字1至9组成的每种数字至少出现1次的 n(n 9)位数有多少个？
解 设所求的数为an,则{an}的指母函数为
Ge ( x)
(x
x2 2!
n + 1个顶点,每个顶点涂一种颜色，求使得棱锥的
每条棱的两个端点异色的涂色方法数 K(m, n).
解 设V是一个n棱锥,则可依
v0
如下两个步骤去完成V的n + 1
个顶点的涂色工作:
先涂顶点v0,有m种涂色方法; 然后用异于v0颜色的m - 1种颜色
vn
v1
v3 v2
去涂顶点序列v1， v2，…， vn, 使得相邻顶点异色
9
7 9
1
15
9
5005
3
(3) 同(2)中的分析，此时有不定方程
x1 x1
x2 x3 0，x7
x4 x5 0，xi 2, i
x6
2,
x7 =14 3,L , 6
仿照(2)，这个方程的非负整数解的个数即为所求 的选择数
4
7 4
1
10 4
210
4
x2 x3 0，x7
x4 0，xi
x5 1, i
x6
2,
x7 =14 3,L , 6
2
作变量代换 y1 x1，y7 x7，yi xi 1, i 2, 3,L , 6
则原方程变成
y1 yi
y2 y3 y4 0, i 1, 2, 3,L
y5 ,7
y6
y7
9
这个方程的非负整数解的个数即为所求的选择数