完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。
三角形五心定律
三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。
三角形各心的向量表示及证明
【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
三角形的五心在向量的结论
三角形的五心在向量的结论三角形的五心是指三角形的外心、内心、垂心、重心和旁心。
这五个特殊的点在三角形中有着重要的几何性质和向量关系。
本文将通过向量的角度来探讨这五个特殊点之间的关系。
我们先来介绍一下五个特殊点。
外心是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等。
内心是通过三角形三个边的角平分线的交点，它到三角形三个边的距离都相等。
垂心是通过三角形三个顶点与对边垂直的高的交点，它到三角形三个顶点的距离满足垂心定理。
重心是通过三角形三个顶点的中线的交点，它到三角形三个顶点的距离满足重心定理。
旁心是通过三角形的一条边的垂直平分线的延长线与对边的交点，它到三角形的一条边的距离相等。
现在，我们来探讨这五个特殊点之间的向量关系。
我们可以将三角形的顶点表示为向量A、B、C，那么外心O可以表示为向量O=（A+B+C）/3，内心I可以表示为向量I=（aA+bB+cC）/（a+b+c），垂心H可以表示为向量H=A+B+C，重心G可以表示为向量G=(A+B+C)/3，旁心J可以表示为向量J=(2A+B+C)/4。
根据向量的定义，我们可以得到以下结论：1. 外心O到三个顶点的向量和为零，即AO+BO+CO=0。
这是因为外心是通过三个顶点的垂直平分线的交点，所以它到三个顶点的距离相等，即向量AO=向量BO=向量CO，因此它们的和为零。
2. 内心I到三个边的向量和为零，即aIA+bIB+cIC=0。
这是因为内心是通过三个边的角平分线的交点，所以它到三个边的距离相等，即向量IA=向量IB=向量IC，因此它们的和为零。
3. 垂心H到三个顶点的向量和为零，即AH+BH+CH=0。
这是因为垂心是通过三个顶点与对边垂直的高的交点，所以它到三个顶点的距离满足垂心定理，即向量AH=向量BH=向量CH，因此它们的和为零。
4. 重心G到三个顶点的向量和为零，即AG+BG+CG=0。
这是因为重心是通过三个顶点的中线的交点，所以它到三个顶点的距离满足重心定理，即向量AG=向量BG=向量CG，因此它们的和为零。
(完整版)三角形五心的证明
三角形五心内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点.外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。
旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点.重心：三条中线的交点。
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理(角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF,OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心:三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。
∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。
∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等)又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）.∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等)且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。
重心:三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。
∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得:S△BOC=S△AOB ······②由①②得,S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理 （三角形的重心， 外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、 三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心 。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片， 其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2∶1。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+Y2+Y3)/3 。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是△ ABC 的外心，则∠ BOC=2 ∠A （∠ A 为锐角或直角）或∠ BOC=360° -2∠A （∠ A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时， 外心在三角形内部； 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部； 当三角形为直角三角形时， 外心在斜边上， 与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 ，d2 ，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3 ，c2=d1d3 ，c3=d1d2 ；c=c1+c2+c3 。
重心坐标： ( (c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c ) 。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
三角形五心分别为
三角形五心及定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，内心定理，垂心定理，旁心定理的总称一、重心定理1.定义：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
2.重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG。
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF；∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵AF=CF，∴HF=1/2CF，∴HF:CF=1/2；∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2，∴EG=1/2CG（2）重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。
根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
（5.）以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、外心定理1.定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
（三角形有且只有一个外接圆。
）2.外心的性质：（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
(完整版)用向量表示三角形的五心
用向量表示三角形的五心如图，ABC ∆中，E 是AC 上一点，F 是AB 上一点，且ln EC AE l m FB AF ==,（通分总可以把异分母分数化为同分母分数）.连接BE 、CF 交于点D ，确定点D 的位置. 解:设.,b AC a AB == DF CD DE BD μλ==,由定比分点的向量表达式,得b a m l m a m l m b AB ml m AC AF AC AD b n l n a AC nl n AB AE AB AD μμμμμμμμμμμλλλλλλλλ++++=++++=+⋅+++=++=++++=+⋅+++=++=11))(1())(1(11)(1111))(1(11)(1111 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+∴n m l m n l n l n m l m μλμλλμμλ解得11))(1())(1(11 代入得:b nm l n a n m l m AD +++++= 设O 是平面上任意一点,则有.,,OA OC b OA OB a OA OD AD -=-=-= 上式可化为:OC nm l n OB n m l m OA n m l l OD ++++++++= (*) 由(*)式出发,可得三角形五心的向量表达式.(1).若BE 、CF 是∆ABC 两边的中线,交点D 是三角形的重心.则1,1====FBAF l m EC AE l n )(31OC OB OA OD ++=(2)若BE 、CF 是∆ABC 两内角的平分线，交点D 是三角形的内心.则ab BC AC FB AF l m ac BC AB EC AE l n ======, 代入(*)式得:.OC cb ac OB c b a b OA c b a a OD ++++++++=(3)若BE 、CF 是∆ABC 两边上的高，交点D 是三角形的垂心. A B C D E F则Aa B bFBAF l m A a C c C a A c EC AE l n cos cos ,cos cos cos cos ===⋅⋅==同理. OC Cc B b A a C cOB C c B b A a B b OA C c B b A a A a OD cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ++++++++=∴ (4)若BE 、CF 的交点D 是∆ABC 的外心,即三边中垂线的交点,则有:DA=DB=DC. 根据正弦定理有:A C A A C C BDC A ADBC CBE C BE EBA A BE EC AE l n 2sin 2sin cos sin cos sin )(21sin sin )(21sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠-⋅∠-⋅=∠⋅∠⋅==ππ 同理AB FB AF l m 2sin 2sin == OC CB AC OB C B A B OA C B A A OD 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ++++++++=∴(1) 重心O:0=++OC OB OA(2) 内心O:0=++OC c OB b OA a(3) 垂心O:0cos cos cos =++OC Cc OB B b OA A a (4) 外心O:02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A(5) A 对的旁心O:0=++-OC c OB b OA a ; B 对的旁心O:0=+-OC c OB b OA aC 对的旁心O:0=-+OC c OB b OA a . E。
三角形五心及证明
O ，A ，B ，C 对应的复数分别为O Z ，A Z ，B Z ，C Z 1，若O 是ABC ∆的重心，则：3A B CO Z Z Z Z ++= （式1）2，若O 是ABC ∆的内心，则： O A B C a bcZ Z Z Z a b c a b ca b c=++++++++ （式2）其中 ()()B C B C a Z Z Z Z =-- ()()A C A C b Z Z Z Z =-- ()()A B A B c Z Z Z Z =--3，若O 是ABC ∆的垂心，则：c o t c o t c ot c o t c o tc o t O A B C Z B C Z A C Z A B Z =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ （式3）其中 a r ga r g ()a r g ()C AC A B A B AZ Z A Z Z Z Z Z Z -==----argarg()arg()C BC B A B A BZ Z B Z Z Z Z Z Z -==----argarg()arg()A CA CBC B CZ Z C Z Z Z Z Z Z -==----4，若O 是ABC ∆的外心，则： c o s c o sc o s2s i n s i n 2s i ns i n2s i n s i nO A B C AB C Z Z Z Z B C C A A B =++⋅⋅⋅ （式4）其中 A ，B ，C 同3，5，旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 记A O 为ABC ∆中A 的内角平分线和,B C 两顶点处的外角平分线的交点， B O 为ABC ∆中B 的内角平分线和,A C 两顶点处的外角平分线的交点，FDECABO图1C O 为ABC ∆中C 的内角平分线和,A B 两顶点处的外角平分线的交点，A ABC a b cO Z Z Z a b c a b c a b c =-++-++-++-++ （式5）B A B Ca b cO Z Z Z a b c a b c a b c=-+-+-+-+ C A B Ca b cO Z Z Z a b c a b c a b c=-+-+-+-+- 证明如下：ABC ∆，O 为非顶点的任一点，连接,A O 交BC 于点D ，连接,B O 交AC 于点E ，连接,C O 交AB 于点F记：1AF FB λ= ，2BD DC λ= ，3CE EA λ= ， 4A O A D λ= ，5BO BE λ= ，6CO CF λ= ，22222221()1111AD AB BDAB BCAB AC AB AB AC λλλλλλλ=+=++=+-+=+++同理：333111BE BC BA λλλ=+++111111CF CA CB λλλ=+++由于B ，O ，E 共线，5BO BE λ=FDECABO图155553()1(1)1AO AB BOAB BE AB AE AB AB ACλλλλλ=+=+=+-=-+⋅+由于C ，O ，F 共线，6CO CF λ=661661()(1)1AO AC COAC CF AC AF AC AC ABλλλλλλ=+=+=+-=-+⋅+所以156165311111λλλλλλλ⎧-=⋅⎪+⎪⎨⎪-=⋅⎪+⎩⇒ 3531331631311(1)1λλλλλλλλλλλ+⎧=⎪++⎪⎨+⎪=⎪++⎩ 从而有553333133133133133131(1)1111(1)111111AO AB ACAB AC AB AC λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=-+⋅+++=-+⋅+++++=+++++又因为：O A AO Z Z =- ，B A AB Z Z =- ，C A AC Z Z =-所以： 3133133133131111O A B C Z Z Z Z λλλλλλλλλλλλ+=+++++++ （式6）1，O 为重心时，则1231λλλ===，带入（式6）有 1()3O A B C Z Z Z Z =++2，O 为内心时，由角平分线定理知：1b a λ=，2c b λ=，3a cλ= 带入（式6）有 O A B Ca bcZ Z Z Z a b c a b c a b c=++++++++ 3，O 为垂心时，若ABC ∆不是直角三角形时，1c o s c o s b A a B λ=，2cos cos a B b C λ=，3cos cos a Cc Aλ=2s i n a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =带入（式6）有c o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o sc o s c o sc o s c o s c o s c o s c o s c o ss i n c o s c o ss i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n c o s c o ss O AB C A a C B Z Z a C B b C A c A B b C A Z a C B b C A c A B c A B Z a C B b C A c A B A C B Z A C B B C A C A B ⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+in cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot BC A B C AZ A C B B C A C A BC A BZ A C B B C A C A BC BZ C B A C A BA CC B A C A B⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot B C A B CZ A BZ C B A C A BC B Z A C Z A B Z ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 其中：cot cot cot cot cot cot 1A B A C B C ⋅+⋅+⋅=这是因为：tan tan(())tan()tan tan 1tan tan C A B A B A B A Bπ=-+=-++=--⋅⇒tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++两边同时除以tan tan tan A B C ⋅⋅即可 若ABC ∆是直角三角形时，以A 为直角，则点A 为ABC ∆的垂心，cot 0A =，cot cot O A A Z Z B C Z ==⋅⋅ 满足（式3）；同理以B 为直角和以C 为直角也满足（式3）。
三角形五心定理
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明三角形是几何学中重要的一个概念，它由三条边组成，并具有许多有趣的性质。
而在三角形中，五心向量是一个常见的概念，指的是根据三角形的五个特殊点所得到的向量。
在本文中，我们将证明三角形的五心向量的一些重要结论。
首先，让我们回顾一下五心向量的定义。
三角形有五个特殊的点，分别是垂心、重心、外心、内心和旁心。
而五心向量则是由这五个特殊点所决定的向量。
具体来说，垂心向量是垂直三角形三边的向量和，重心向量是三角形三个顶点的向量和的三分之一，外心向量是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的向量和，内心向量是以三角形三个内切圆的圆心为向量的和，旁心向量是以三角形三个外切圆的圆心为向量的和。
接下来，我们将证明三角形的五心向量有以下结论：1. 五心向量的和为零向量。
这一结论可以通过向量的性质来证明。
既然五心向量是由特殊点所决定的向量的和，那么根据向量的加法交换律和结合律，我们可以将五心向量的和重新排列。
由于重心和旁心向量的和为零向量，同时外心和垂心向量的和也为零向量，那么根据这两个结论，重心、旁心、外心、垂心的向量和为零向量。
另外，由于内心向量的和与其他四个向量的和相反，所以五心向量的总和为零向量。
2. 重心向量和垂心向量的和为外心向量的两倍。
在证明这个结论之前，我们需要明确重心、垂心和外心的几何性质。
重心是三角形三个顶点的向量和的三分之一，垂心是垂直于三角形三边的向量和，而外心是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的向量和。
根据这些性质，我们可以得出结论：重心和垂心向量的和恰好是外心向量的两倍。
这是因为重心向量将三个顶点的向量和等分为三份，而垂心向量则是将垂直三边的向量和居中分割。
因此，外心向量恰好是重心向量和垂心向量的和的两倍。
3. 旁心向量和内心向量的和为零向量。
为了证明这个结论，我们需要利用旁心和内心的性质。
旁心是以三角形三个外切圆的圆心为向量的和，而内心是以三角形三个内切圆的圆心为向量的和。
根据这些性质，我们可以得出结论：旁心向量和内心向量的和为零向量。
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三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
同理可证'■ "- I ■■ 1•。
容易得到 ” viT 、 ：_；"•（由以上结论知 0 ABC 的垂心。
的垂心*若H 是厶ABC(非直角三角形)的垂心， 则 S A BHC : S A AHC : S A AHB =tanA : tanB : tanCuuuuuiruur r故 tanA • HA +tanB -HB +tanC -HC = o22BAOBAC2BCOC*点0是RP 2P 3的垂心RP 2F 3的垂心uuu uur ujir uur OR OP ? Op> OF 3 uur uur OF 3 OR证明:0是 ujir ORuuurRP 2'uur uuuuur uur uur uur uur ujir uur OP 3 PP 2 0 OP 3 (OF 2 OR) 0 OR OP ? OP 3ORuuu uuu uujir uur uur uur同理OR P 2及OPj OR OR OF ?uur uur uur uuruur uuu故当且仅当 OP OP , OP , OROP 3 op .O 是厶ABC 所在平面内一点P 为VABC 的垂心0,AB，则向量（AB ACABcosB）必垂直于边BC 该向量必通过△ ABCAC cosCAPAB cosB ACuuu0,cosCuur ACcosB | AC | cosCUHT AB BC (-uuu- | AB|L __uiw 'uuu|BC| | AB | cos( B)uurr- | AB | cosBuuu AB(uuu| AB | cos Buuu BCuuu BC iuu uJu AB I uurIBCJ^AcicosC | AC | cosCUULT AC.uuu uuuBC AC uuu ------ | cosB | AC | cosCmu uuu | BC| |BC| 0uu uAB tiutf)| AC | cos C2OA 2UUU UUU UUU(OA +OB ). AB =( OB + OC ) • BC =(OC + OA ) • CA =0(0 为三边垂直平分线的交点 )同理得! ' ■ 11■■11'!由题意得|亦卩-|QB|a -|OB P-IOCpHOCp-lOAl 3，所以 |丽冷西，得 * 「泊 「。
故点OABC 的外心。
D 、E 两点分别是VABC 的边BC 、CA 上的中点，且若O 是厶ABC 的外心，贝U S ^ BOC S A AO C &AO =sin / BOC sin / AOC sin / AOB=sin UUU UUU UULT T/ 2A: sin / 2B: sin / 2C 故 sin / 2A • OA +sin / 2B - OB +sin / 2C - OC =0证明：设o 点在 ABC 内部， 由向量基本定理，有mOA nOB T OC—«■0 m,n,r R，则 S BOC： SCOA： SAOBm ： n ：:T 设:mOA OD,nOB OE,T OCOF ，则点ODEF 的重心， 又S BOCIsEOF 5s 1AOCs s 1 sS DOF， SAOBS DOE，…nrmrmnS BOC :S COA : S A OB m : n : T若O 是厶ABC 的外心，则 S A BOC S A AOC ： S A AO =S in / BOC sin / AOC sin / AO=sin/ 2A ： sin / 2B ： sin / 2CUUUUUUUUU T故 si n /2A -OA +si n / 2B ・OB +si n / 2C OC 三 03•点O 是pp 2p 的外心 证明：0是厶ABC 的外心uuu OP uuu r 0P UU LT OP ULLU UUU UUUUUlUc UUU n UUU … |OA |=| OB |=|OC 1(或 0A =OB =OC 2)(点 o 到三边距离相等)*若点OABC 所在的平面内一点，满足□A +OB)BA =(OB + OCyCB =(□C + OA) -AC，则点。
为厶ABC 的外心。
证明：因为二 ■ '11，所以 UUU UULT UUU LULT UUU UUU UUT UUU DPgPB UUUUUU UJU UUUDPgPCUUUULU EPgPAP 为VABC 的外心 (OA+OB) - BA =|OA 「-|OB 「.uuun u uju umr raOp bOP2 c OP3 0。
(其中a,b,c是只卩2丘三边)Piuur uur uur uur uuu UJIH uur uurra ORb OP2c OF3 a OR b (OR PP2) c (OR RR3)uur uuur uuu r(a b c) OR b RF2 c PP3 0uuui uuiu UULU uu uuuir所以RObc (RP2PP3、丿而P1P2 PP3 UJIH uuu分别是RP2，RR方向上的单位向量,a b c c b c buuur uuui所以向量pp2理平分c bO是RP2F3的内心。
aOA bOB cOC 04.o是RP2F3的内心证明：充分性:uuuja ORujuubOF2 cuurOP3RP2P的内心uuuF2PP3，即PO平分uurP2PR，同理PO平分P1P2P3，得到点ABC的内心uur uuuaOA bOBuur rcOC 0. 内心（角平分线交点）AB A C———-AB、AC分别为ABAC方向上的单位向量, cbAB AC平分BAC,AB ACAO ( ），c buur uururu BC BA同BO u()a cuuuuur uurr uuu ABAB AO OB (c— 4 」）U1c a c 得u au ba buurBCuuBA)c1(auuu1)u]ABcu(auuir严AObc AB化简得-(Xc a 1解得bea be'ACAC)cb c)OA bAB cAC证明:代入uurAC((a*若 O 是厶 ABC 的内心，贝卩 S A BOC ： Sm oc : $△ AOB 二a ： b : cuuu u uu uuu r0A +sinB OB +sinC OC =0■*设OABC 所在平面内任意一点，I ABC 的内心,aOA bOB cOCa b c内心的充要条件的证明）uir OI uuu OA uur AI uuu OB uur BI uuu OCuir CIuir uur uuuuu uruuur uura b c OI a OA AI b OB BIc OC CIuuu uuu uuir UULT uiruiruuu uuu uur aOA bOB cOCaA bBI cCI aOA bOB cOCOIaOA bOBcOCaX+ bX B + cX I (a+b+cay A + by B + cy 、 ， a+b+c ) .a b c5■ ■uuuu uuu uur r是 PP 2P 的内心 aOPbOF 2 c OF 3 0。
（其中a,b,c 是 PP 2P 3三边）0,则向量 GAB lAC ）必平分/ BAC 该向量必通过△ ABC 的内心;ABAC0, 则向量 AB AC()必平分/ BAC 的邻补角ABACuuuAPurn BP uuu (AB (-uuu ABuuu +/ BAt(-utu-uur AC ), AC uuu BC 、+ ut«F ), t BCP 为VABC 的内心0是厶ABC 的内心充要条件是mu'uuiriur uuu uurAB AC LU uBA BC OA?(-tttF uuu^)OB?(-ttu uutiH)| AB| |AC ||BA| | BC|?■uucuuc则B-B 山C1C<a_^A J+b_-0B +c_-0C = 0或 sinA 内心IaX\+ bX B + cX ca+b+cay A + by B + cy Ca+b+c证明：由I 是ABC 的内心 uur b IB uir cIC 0。
（其中a,b,c 是ABC 三边）（见5•若o为三角形的旁心，则a OA =b OB +c OC （abc是三边）证眄顾Y方七况悬理厶旁业的克募务件.充分也.-QB = 3j&^53,S5=SSi-Sc. ftAci® = bcB-^oc,得五=占；QD+ns）-H 15c+nc（F■.■故可i艮巫二Q,.和陽中&可k^5-c ■?丽与线忑均瓦，況不畫曼.rc同理瓦忆⑲舱是441旳外刨弓出, ■. 0是心粧矽厶啲旁心必要怪uur uuu umr r * 已知O 为厶 ABC的外心，求证：OAsi n BOC OB si nAOC OC si n AOB 0 .分析构造坐标系证明.如图3,以A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上1方.S A AOB -X2y o ,直线BC的方程是2yx（X2 X3）y x?y3 0 ,由于点A与点O必在直线BC的同侧，且X?y3 0 ,因此有X°y3 X3y o x2y o 狛30，得S^BOC^匕彳丫。