高等数学(同济第七版)上册-知识点总结材料
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 导数与微分(圣才出品
区间 Ix＝{x|x＝f（y），y∈Iy}内也可导，且
f 1 x
f
1
y
或
dy dx
1 dx
dy
3．复合函数的求导法则
如果 u＝g（x）在点 x 可导，而 y＝f（u）在点 u＝g（x）可导，则复合函数 y＝f[g（x）]
在点 x 可导，且其导数为
dy f ug x或 dy dy du
dx
dx du dx
u nv
nu n1v
nn
1
u
n2 v
...
n
n
1... n
k
1
u
nk
v
k
... uv
n
2!
k!
或
uv n n Cnkunkvk k 0
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1．隐函数的导数
（1）隐函数 F（x，y）＝0 导数的求法
把函数方程两边分别对 x 求导，然后化简得到 dy/dx 的结果。
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第 2 章 导数与微分
2.1 复习笔记
一、导数概念
1．导数
（1）导数与导函数
①导数的定义
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
（2）单侧导数
①左导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
②右导数
（1）参数方程的一阶导数公式
dy dx
dy dt dt dx
高等数学同济第七版上册附录
高等数学同济第七版上册附录第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质总习题一第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节方程的近似解总习题三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的使用总习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分*第五节反常积分的审敛法Γ函数总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用总习题六第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程*第九节欧拉方程总习题七附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介附录Ⅱ基本初等函数的图形附录Ⅲ几种常用的曲线附录Ⅳ积分表习题答案与提示。
高等数学上册目录同济第七版
高等数学上册目录同济第七版目录第一章导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的计算1.3 高阶导数与Leibniz公式1.4 微分学的应用第二章极值与最值2.1 极值的概念与求解2.2 最值的概念与求解第三章中值定理3.1 Rolle定理3.2 Lagrange中值定理3.3 Cauchy中值定理第四章函数的单调性与曲线的凹凸性4.1 函数的单调性4.2 曲线的凹凸性第五章泰勒公式5.1 泰勒公式的定义与基本形式5.2 带Peano余项的Lagrange形式5.3 带Lagrange余项的形式第六章不定积分6.1 不定积分的定义与基本性质6.2 基本初等函数的不定积分6.3 分部积分法与换元积分法第七章定积分7.1 定积分的概念与性质7.2 定积分的计算方法7.3 定积分的应用第八章曲线长度、曲率与曲率半径8.1 曲线长度的计算8.2 曲率的概念与计算8.3 曲率半径第九章多元函数的极限、连续与偏导数9.1 多元函数的极限9.2 多元函数的连续9.3 偏导数及其应用第十章多元函数的微分、全微分与隐函数定理10.1 多元函数的微分10.2 多元函数的全微分10.3 隐函数定理第十一章重积分11.1 二重积分的概念与性质11.2 二重积分的计算方法11.3 三重积分的概念与性质11.4 三重积分的计算方法第十二章曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分的概念与计算方法12.2 曲面积分的概念与计算方法第十三章常微分方程13.1 常微分方程的概念与解法13.2 一阶常微分方程的解法13.3 高阶常微分方程的解法以上就是《高等数学上册目录同济第七版》的主要内容目录，希望对你的学习有所帮助。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
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（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
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...
第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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...
公式。 常用公式( 前8个)
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...
五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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...
1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
高等数学(同济大学数学系-第七版)上册汇编
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高等数学（同济大学数学系 第七版）上册 第三章：微分中值定理与导数的应用课后习题答案
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-复习笔记-第五章 定积分【圣才出品】
上任取一点 的乘积
，作函数值 ，并作出和
，记
，如果当 λ→0 时，这和
的极限总存在，且与闭区间[a，b]的分法及点 的取法无关，则称这个极限为函数 f(x)在
区间[a，b]上的定积分，记作
，即
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b
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曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分
表示上述曲边梯形面积的负值；
（3）在[a，b]上 f(x)既取得正值又取得负值时，函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上
方，而其他部分在 x 轴下方（见图 5-1-1），此时定积分 面积减去 x 轴下方图形面积所得之差．
表示 x 轴上方图形
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台
称为积分上限，[a，b]称为积分区间．
（2）“ε－δ”表达式
设有常数 I，对于任意正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，
不论 在
中怎样选取，只要
δ，总有
成立，则称 I 是 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
[a，b]上的一个原函数．
2．牛顿-莱布尼茨公式
就是
在
其中 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．
三、定积分的换元法和分部积分法 1．定积分的换元法 （1）定理
设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，函数
① =a, =b ；
② 域
，则有
满足条件： 上具有连续导数，且其值
该公式称为换元公式．
和
合起来，用过
三
(完整版)同济大学---高数上册知识点
高等数学上册复习要点一、 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f xx )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当 左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+二、 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法. 5、 高阶导数1） 定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二） 微分1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 拉格朗日中值定理＊：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二） 洛必达法则 （三） T aylor 公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性. （七） 渐近线1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；四、 不定积分 （一） 概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13个公式）；4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、 第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （反对幂指三，前U 后 V ’）（四） 有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分 （一） 概念与性质：1、 定义：∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、 分部积分法：[]⎰⎰-=babab a vdu uv udv （四） 反常积分 1、 无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=bt t bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、 瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b xa x x qb a q b a q。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学同济第七版上册
高等数学同济第七版上册简介《高等数学同济第七版上册》是中国著名的高等教育教材之一，广泛应用于大学高等数学课程中。
本书由来自同济大学的杨传辉等人编写，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念和方法。
目录1.函数与极限2.导数及其应用3.微分中值定理与导数的应用4.不定积分5.定积分及其应用6.微分方程与其应用7.空间解析几何8.多元函数微分学9.重积分10.曲线积分与曲面积分11.空间向量与空间直线12.平面及其方程13.空间曲面及其方程内容概要1. 函数与极限本章介绍了函数的概念以及一些常见的函数类型，如多项式函数、指数函数和对数函数。
同时，重点介绍了极限的定义和相关性质，帮助学生理解极限的概念和运算法则。
2. 导数及其应用本章主要讲述了导数的概念和性质，以及如何利用导数解决实际问题。
具体内容包括导数的定义、导数的计算方法、高阶导数、隐函数求导、相关变化率与极值问题等。
3. 微分中值定理与导数的应用本章介绍了微分中值定理及其应用。
主要内容包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等内容。
同时，通过实际问题的例子，帮助学生理解微分中值定理的意义和应用。
4. 不定积分本章主要介绍了不定积分的概念、性质和计算方法。
包括基本不定积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等。
同时，引入了定积分的概念，并简要介绍了与不定积分的关系。
5. 定积分及其应用本章深入讲解了定积分的概念和性质。
主要内容包括定积分的定义、计算方法、定积分的几何意义、平均值定理、牛顿-莱布尼茨公式等。
同时，介绍了定积分在物理学、经济学等领域的应用。
6. 微分方程与其应用本章介绍了常微分方程的基本概念和求解方法。
主要内容包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、常系数线性齐次微分方程等。
同时，通过一些实际问题的例子，帮助学生理解微分方程的意义和应用。
7. 空间解析几何本章介绍了空间直角坐标系和空间直线的相关知识。
具体内容包括空间直线方程的标准式和一般式、空间直线的位置关系、平面方程等。
同济第七版上册高数考试要点(大一上)
1）已知 f (x) 表达式，求解 xf (x)d之x 类型--分部积分
2）已知 f ((x))表达式，求解f (x)--整体代换先求 f (t)
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第五章 定积分
• 1、掌握定积分的概念、几何意义；定积分的性质 及定积分中值定理
• 2、掌握牛顿—莱布尼茨公式； • 3、变上限定积分定义的函数，及其求导数定理
• 5、能够求出函数在某个区间的极值和最值；实际应 用问题中求最值；
• 6、会求函数的弧微分和曲率。
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第四章 不定积分
• 1、熟悉不定积分的性质及24个基本公式； • 2、换元积分法（第一、第二）与分部积分法（反
对幂三指）； • 3、求有理函数（真分式化为部分分式之和）、 • 三角函数有理式（万能公式）和简单无理函数
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第二章 导数与微分
• 1、研究函数（分段函数）在一个点是否可导， 可导的依据：左导数和右导数同时存在且相等； • 2、复合函数(在某点)的导数； • 3、隐函数求导和参数方程确定的函数的导 数，
求导要求能够求到二阶导数； • 4.求函数的微分； • 几何题型：求过某点的切线和法线方程； • 特殊类型：幂指函数，积分上限函数。
（各种变形），变上限积分的求极限； • 4、定积分的换元积分法分部积分法；（注意绝对
值函数和分段函数的积分；注意积分区间为对称 区间时可利用奇偶性；） • 5、能够判断反常积分的敛散性。
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2021/11/14Fra bibliotek2极限其它题型：研究函数（分段函数）在一个 点的极限是否存在
存在的依据：左极限和右极限同时存在并且相等。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f x x f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。
左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。
左右极限不存在为跳跃间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )，有以下几个基本性质。
这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则f (x )必在[a ,b ]上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3．（介值定理）如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在[a ,b ]上至少存在一个ξ ，使得f (ξ ) = c推论：如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a )与f (b )异号，则在(a ,b )至少存在一个点ξ ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分一．基本概念1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
二．求导公式三．常见求导1.复合函数运算法则2.由参数方程确定函数的运算法则设x =φ(t )，y =)(t ϕ确定函数y = y (x )，其中)('),('t t ϕφ存在，且)('t φ≠ 0，则)(')('t t dx dy φϕ= 3.反函数求导法则设y = f (x )的反函数x = g (y )，两者皆可导，且f ′(x ) ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g 4.隐函数运算法则设y = y (x )是由方程F (x , y ) = 0所确定，求y ′的方法如下：把F (x , y ) = 0两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y ′ 的表达式（允许出现y 变量）5.对数求导法则 （指数类型 如x x y sin =）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y ′。
对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。
关于幂指函数y = [f (x )]g (x ) 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
6. 求n 阶导数（n ≥ 2，正整数）先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性，然后写出y (n )，最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1） x n x e y e y ==)(,（2） n x n x a a y a y )(ln ,)(==（3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n += (5)x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章 微分中值定理与导数应用一 .罗尔定理设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )可导；（3） f (a ) = f (b ) 则存在ξ ∈(a ,b )，使得f ′(ξ ) = 0二． 拉格朗日中值定理设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )可导；则存在ξ ∈(a ,b )，使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f (x )在(a ,b )可导，且f ′(x ) ≡ 0，则f (x )在(a ,b )为常数。
推论2．若f (x ) ,g (x ) 在(a ,b ) 皆可导，且f ′(x ) ≡ g ′(x )，则在(a ,b )f (x ) = g (x )+ c ，其中c 为一个常数。
三 .柯西中值定理设函数f (x )和g (x )满足：（1）在闭区间[a ,b ]上皆连续；（2）在开区间(a ,b )皆可导；且g ′(x ) ≠ 0则存在ξ ∈(a ,b )使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g (x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
）四.泰勒公式（① 估值 ② 求极限（麦克劳林））定理 1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设f (x )在0 x 处有n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设f (x )在包含0 x 的区间(a ,b )有n +1阶导数，在[a ,b ]上有n 阶连续导数，则对x ∈[a ,b ]，有公式 ，,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。
当0x =0 时，也称为n 阶麦克劳林公式。
常用公式(前8个)五．导数的应用一．基本知识设函数f (x )在0x 处可导，且0x 为f (x )的一个极值点，则0)('0=x f 。
我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法1. 第一充分条件)(x f 在0x 的邻域可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时,0)(>'x f ，当0x x>时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.2.第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3.泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行百度）二.凹凸性与拐点1．凹凸的定义设f (x )在区间I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x , x ，恒有则称f (x)在I 上是凸（凹）的。