高中数学数列基本题型及解法

高中数学数列基本题型及解法

例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；

⑵设数列),2,1(,2

==n a c n n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．

解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又

b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·2

1

n -．

当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2

1

n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S n =2

1

n -(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例3．设数列{a n }的前项的和S n =3

1

（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。 解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(3

1

221-=+a a a ,得

4

12=a .

(Ⅱ)当n >1时,),1(3

1

)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a

得

,2

11-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21

-的等比数列.

例4、设a 1=1,a 2=

35,a n +2=35a n +1-3

2

a n (n =1,2,---),令

b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。

解：（I ）因121+++-=n n n a a b 1115222

()3333

n n n n n n a a a a a b +++=--=-= 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,3

2121=-=a a b ),2,1()32

( ==n b n n

（II ）由得n n n n a a b )3

2

(1=-=+

)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++

])3

2

(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-

注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n

n

记数列}3

2{11

--n n n 的前n 项和为T n ，则

12222222

12(),2()()333333n n n n T n T n -=+⋅++⋅=+⋅++⋅

211222222

1()()()3[1()](),3333333

n n n n n T n n -=++++-=--两式相减得

1

1

121

22(3)29[1()]3()93333(3)2

23(12)2(1)18

23n

n n n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-

+=+++=+++-=++-故从而

例6．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；

⑶设n b =

)

12(1

n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任

意*

N n ∈，均有>n T 32

m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，

由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时

21281029,2

n n

a a a n n n +-=++

+=

⨯=- 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521 4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n

故=n S

40

992

2+--n n n n

6

5≥≤n n