结构力学课件 《结构位移计算》
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结构力学结构位移计算的一般公式PPT课件
仅有荷载作用时：
K
F N F Q 0 M ds
按照材料力学有：
FNP ,
EA
0
k
FQP GA
,
MP
EI
截面系数：
k
A I2
A
S2 b2
dA
所以： K
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
M M P ds EI
⑴ 梁和刚架： K
M M P ds EI
yC
5ql 4 384EI
1
2.4
h l
2
第4页/共9页
例5-1 求C点的竖向位移和转角。 ⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。
其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
M
1 2
x,
FQP
1 2
ql
qx
FQ
1 2
yC 2
l 2
MMP
dx
0 EI
l 2
k
F Q FQP
dx
0 GA
2
1 EI
l 2
0
x 2
1 2
qlx
1 2
qx2
dx
k GA
l 2
0
1 2
1 2
ql
qx
dx
5ql4 kql2 384EI 8GA
A bh, I bh3 , k 1.2, G 0.4E 12
⑶ B端的竖向位移。
yB
M M P ds EI
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
结构力学课件—结构位移计算
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06:07
§6-1 概述
四、 计算方法
结构力学
1.几何法 研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
2. 功能法
〈
虚功原理 应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
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06:07
§6-2 变形体系的虚功原理 一、基本概念
W内 FN du M d Fs rds
由虚功方程： ΔK＝ FN du M d Fs rds－ RC 此式即为平面结构位移计算一般公式。
若结果为正，说明 FK 1 在 K 上做正功，这表明的实际 方向与方向相同。若结果为负，说明 FK 1 在 K 上做负功 ，这表明的实际方向与方向相反。
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06:07
§6-2 变形体系的虚功原理 二、虚功原理
1. 变形体的虚功原理
结构力学
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由 于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力 系在位移上做的虚功的总和δWe，等于变形体的内力在变形 上做的虚功的总和δ Wi，即，
δWe δWi
A
B
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
C' D'
C
D
C
D
Δ CD C D
A B
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06:07
§6-1 概述
3.位移产生的原因
A
结构力学
引起结构位移的原因
建筑结构力学--8位移计算129页PPT文档
t1 t2
c2
K
c1
实际变形状态
1
R1
M.N.Q.Rk R 2
虚力状态
( M N Q ) d s R k c k
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M.N.Q.Rk表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d (M N Q )d s
01.10.2019
课件
12
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
(M N Q )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q ) d s R k c k
01.10.2019
课件
13
( M N Q ) d s R k c k
适用范围与特点：
1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
A
C
B
设位移状态
a
b
虚功方程
F P b/a (b)0
a/(ab)
C
B
F b P
A
ab
a
b
单位位移其虚功正好等于拟求反力。
01.10.2019
课件
9
§2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
{ 由变形体虚功原理来推导；
推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
结构力学(位移计算课件)
解:近似采用直杆的位移计算公式,只考虑弯 矩影响.实际状态中的截面弯矩为
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b,截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式,可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 = (→) ΔBx = ∑ ∫ EI 2 EI 20
2
A′
§6—1 概 1. 变形和位移
述
在荷载或其它因素作用下,结构将产生 变形和位移. 变形:是指结构形状的改变. 位移:是指结构各处位置的移动.
P A
△A
y
△A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移: AA ' (△A) △Ay △Ax 角位移: A 绝对位移 相对位移:
指两点或两截面之间的位置改变量
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
(4)讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy = (1 + + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中:第一项为弯矩的影响,第二,三项分别为轴力,剪力的影响. 设:杆件截面为矩形,宽度为b,高度为h,A=bh,I=bh3/12,k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
12 1 2
2. 变形体的虚功原理:
对于杆件结构(非刚体),在发生变形的过程中,不但各杆件发生位 移,内部材料同时也产生应变,虚功原理可以表述如下:
设结构(包括变形体)在某力系处于平衡,对于结构上产 生的任何微小的虚位移,外力所作的虚功总和等于该结构 各微段上内力所作的变形虚功总和.简单地说,外力虚功 等于变形虚功(或称内力虚功),即
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b,截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式,可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 = (→) ΔBx = ∑ ∫ EI 2 EI 20
2
A′
§6—1 概 1. 变形和位移
述
在荷载或其它因素作用下,结构将产生 变形和位移. 变形:是指结构形状的改变. 位移:是指结构各处位置的移动.
P A
△A
y
△A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移: AA ' (△A) △Ay △Ax 角位移: A 绝对位移 相对位移:
指两点或两截面之间的位置改变量
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
(4)讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy = (1 + + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中:第一项为弯矩的影响,第二,三项分别为轴力,剪力的影响. 设:杆件截面为矩形,宽度为b,高度为h,A=bh,I=bh3/12,k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
12 1 2
2. 变形体的虚功原理:
对于杆件结构(非刚体),在发生变形的过程中,不但各杆件发生位 移,内部材料同时也产生应变,虚功原理可以表述如下:
设结构(包括变形体)在某力系处于平衡,对于结构上产 生的任何微小的虚位移,外力所作的虚功总和等于该结构 各微段上内力所作的变形虚功总和.简单地说,外力虚功 等于变形虚功(或称内力虚功),即
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
结构力学课件第六章结构位移计算
d
ya
yb
yb=2/3×d－1/3×c
返回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
↶
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
返回
当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
=
(-x)(-qx2) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
()
返回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
7
求B点水平位移,EI=常数。
Pl
1
MP
MP
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
8
求C、D两点相对水平位移 。
l
MP
l
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
9
已知： E、I、A为常数，求 。
D
P A
C
a
B
0
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
C
a
B
D
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
结构力学—位移计算 ppt课件
P=1 A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
结构力学—位移计算
4-3 图乘法及其应用
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MMPds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移积分的图乘法.
结构力学—位移计算
一、图乘法
MMP EI
ds
P1
P1
结构力学—位移计算
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB ?
结构力学—位移计算
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
结构力学—位移计算
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
ip
MPMi ds EI
2.桁架
ip
NPNi ds EA
NP Nil
EA
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
ip
M P M i d s N P N il
EI
EI
结构力学—位移计算
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
1
kx
QP Mi
P1
qk2l ql4 ()
Ab h,I b h3/1 2,k6/5,
对形对位相于移比细的可2G长贡略A杆献去,与不8剪E弯计切I 曲.变结变形构力学—位位移何移计h算确方/l定向MQ1的是/1?1如0,01E0 /G2Q.5il(钢 x 砼 )
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
结构力学—位移计算
4-3 图乘法及其应用
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MMPds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移积分的图乘法.
结构力学—位移计算
一、图乘法
MMP EI
ds
P1
P1
结构力学—位移计算
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB ?
结构力学—位移计算
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
结构力学—位移计算
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
ip
MPMi ds EI
2.桁架
ip
NPNi ds EA
NP Nil
EA
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
ip
M P M i d s N P N il
EI
EI
结构力学—位移计算
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
1
kx
QP Mi
P1
qk2l ql4 ()
Ab h,I b h3/1 2,k6/5,
对形对位相于移比细的可2G长贡略A杆献去,与不8剪E弯计切I 曲.变结变形构力学—位位移何移计h算确方/l定向MQ1的是/1?1如0,01E0 /G2Q.5il(钢 x 砼 )
结构力学--虚功原理和结构的位移计算 ppt课件
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
ds
dv
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
1
P
11
P1
P1
1
11
o
静力荷载所做的实功为变力实功。
W1 12P1Δ11
11
3、常力所做的虚功
所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、 支座移动等）引起的位移上所做的功。
FP1 (先)
M2(后)
1
11
1’ 12 1’’
21
2
22
FP1在Δ12上做的功:
W12FP1Δ12
FP1 1
11
1
12
2
M2 2
W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为 虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功
时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即:
式中:
c t1
c
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
1.一个截面的位移（绝对位移）
（1）截面A 位置的移动（用截面形
心的移动来表示）ΔA，称为线位移，
可分解为：
结构力学课件第六章 结构位移计算1
（实际状态） 实际状态） （虚拟状态） 虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程： 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程：
1）写出虚拟状态弯矩表达式 ） AB段： M = − x1 段 BC段： M = −l 段 2）荷载作用下的弯矩表达式 ） qx12 AB段： M P = − 段
(2) 超静定、动力和稳定计算 超静定、 (3）施工要求 ）
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下， 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
∆
1 W = P∆ 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 虚功：
+ t oC
P
∆ ∆t
W = P∆ t
在作功的过程中， 在作功的过程中，力 的大小保持不变， 的大小保持不变，这 样的功称为虚功。 样的功称为虚功。
∆ 21 ∆ 22
P2
P1
∆11
P1
∆12
力状态 （虚力状态）
P2
∆12
位移状态 （虚位移状态）
1.梁与刚架 只考虑弯曲变形 梁与刚架:只考虑弯曲变形 梁与刚架 MMP ∆ KP = ∑ ∫ ds EI 2.桁架 只有轴向变形 桁架:只有轴向变形 桁架
∆ KP F N FNP F N FNP = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds EA EA
∆ KP
3.组合结构 组合结构
F N FNP l =∑ EA
几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移； 2．该式既用于静定结构也用于超静定结构； 3．第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变 形、剪切变形产生的位移； 4．E：弹性模量；G：剪切模量； 5．k：截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5；圆 形截面k=10/9。 6．结构的类型不同，三种变形对位移的影响有 很大的差别，位移计算公式可进行相应简化。
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例如： a
c
L
则
1
EI MMPdx
b
MP图
E1I(a2Lya b2Lyb)
ya
yb d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d
a
MP图 此时
b
ya=2/3×c－1/3×d
d
c
ya
yb M图
yb=2/3×d－1/3×c
返19回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—5）
可以简化：
1. 梁和刚架
△KP= MM Pds
EI
2.桁架
（6－6）
△KP=
N NPd sN NP d sN NPL（6－7） EA EA EA
3. 组合结构
△KP=
MMPds NN PL
EI
EA
（6—8） 返13回
例 6—1 求图示刚架A点
内力虚这功便是W平i=面 杆N 系d结 u 构位M d 移 计 算Q 的d一S 般公式，若计算结
果这可为种得 正方 ，法K 所 又 求 称 位 为R C 移单 △位 K荷N 与d 载假 法设u 。的M d P K = 1同Q 向 d ，(反7s －之5)反向10返。回
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设
(
2 3
qL2
8 L)h =
qhL2 12EI
（→←）
返22回
例 6—3 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
PL
C
B
2
PL
2
L
EI
P
A
PL
PL
2
P
4
1
L 2EI EI
PL
DL
MP图
M图
解： 1. 作MP图、M图 ；
2. 图乘计算。
△ = Ay
∑
yC
EI
=
1 EI
(
L‧L 2
)
PL 2
-
21EI(L‧
q
q
1
l
A ql 2 / 4
l/2
l
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc1(1lq2l2l1 2 lq2l2l2 2 lq2l1l) EIE2 I 4 32 2 4 32 3 8 22
22q4l( )
29
4E 8IEI
例 6—11 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
△=
1y1 2y2 3y3 E1I EI2 E返21回I3
例 6—2 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。 设EI=常数。
C
D
1
1
q
h
qL 2
A
B
L
8
形心 h
yC=h h
MP图
M图
解：1. 作实际状态的MP图。 2. 设置虚拟状态并作 M图 。
3. 按式（6—9）计算
∆CD=∑
yC
EI
=
1 EI
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
ql 2 / 2
q ql2 / 8
MP A l/2C l/2 B
l/2
1
c
yc 1 1l ql2 3 l
EI EI3 2 4 2
1 ql3 () 16 EI
Mi
C
C
yc
1 1 3q2l l (
3l
l
q2l l )
EI EI3 8 2 4 2 2 8 4
5q3l () 12E8I
30
w= dW = P Cos dS
s
s
（a）
返5回
常力功
变力功 力偶功
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
1 2
P△ Cos
（c）
P
d
A
M=Pd
常力 W= M·
B
（d）Biblioteka 变力W=1 2M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
1
W= 2 P1 1
32L) P4L=
1P6LE2I返（23回↓）
例 6—4 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。
EI=常数。
q
解：1. 作MP图
A
2. 作 M 图
3. 图乘计算
y1=
3
L 8
y2=
L 3
MP图
y3=
L 4
△Cy=
yC qL4 () EI 12E8 I
M图
L
qL 2 8
B
L
2
qL 2
8
1
2
+
qL 2 3
式中：M、N、Q为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
M
P
EI
ds
duP=
N P ds EA
将以上诸式代入式（a）得
Pds=
kQ P GA
ds
△KP= M M Pd sN N Pd skQ Q Pds（6—5）
EI EA GA
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。12回
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段： M x, BC段：ML
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
qx 2 ， BC段：
2
MP=
qL 2 2
3. 代入公式（6—6）得
EI
EI
tg xMPdx = EI
xd
返15回
y
d=MPdx
形心
A MP
C
面积
MP图 B
MMPds EI
yC EI
则积分运算化简为
dx
一个弯矩图的面积乘
O
M
xA
xC
yC
M图
Bx
yC=xCtg
以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。
∫
MMPds EI
tg EI
xd
如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数； （3）M 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。
M
xA
M图
Bx
上述 积分可以得到简化。
设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，M 为一段直线，MP图为任意
形状， 则上式中的ds可用dx代替。故有 M =xtg,且tg=常数，则
∫ ∫ MMPds tg
ql 2 / 4
ql / 2
c
yc
EI
1 ( 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2
l ql 2 1 l )
2 8 22
17 ql 4 () 384 EI
ql2 / 8
ql2 / 8
32
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
K′ k
du、d、dS
K ds
k
Ｒ３
N、M、Q
如图示。 求任一指定截面K
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１
Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、 M 、 Q 、 Ri、 PK1
外力 虚K 功 WN =d P K K u R M 1C d 1 R 2C 2 Q R d 3C 3 =sR Kc (R6C－4)
置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
返11回
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—4）为
△KP= M d P N dPu Q P ds （a）
△Ay=
MM Pds EI
l
=0(-x)(-
qx2) 2
dx EI
l
+ 0(-L)(-
qL2 dx 2 ) EI
5 qL 4 8 EI
()
1返4 回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
MM Pds EI
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
△1
A
P2
2
B
虚功：力在其它
△2
因素引起的位移上所作
的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如： W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即