第七章 随机振动的响应分析
随机振动分析
程序支持多个PSD基础激励，但是不考虑其关联性，也就 是程序不支持计算不同PSD激励的关联性。
3.随机振动分析步骤
（4）计算结果 程序支持三个方向的位移，速度和加速度； 因为每个方向的计算结果是统计结果，因此不 能使用一般的方法进行合并。
如果需要输出应力和应变，可用的应力结果只有名义应变和应力， 剪切应变和应力，等效应力。
4.工程实例:电路板的随机振动计算
1.随机振动分析简介
什么是随机振动分析
– 基于概率的谱分析. – 典型应用如火箭发射时结构承受的载荷谱，每次发射的谱不同，但统 计规律相同.
1.随机振动分析简介
• 和确定性谱分析不同，随机振动不能用瞬态动力学分析代 替. • 应用基于概率的功率谱密度分析，分析载荷作用过程中的 统计规律
什么是PSD?
3.随机振动分析步骤
（2）分析设置
Analysis Settings > Output Controls （1）默认情况下，位移，速度和加速度响应是输出的； （2）为了不输出速度或加速度响应，可以将输出选项设置 为No。
3.随机振动分析步骤
（3）载荷和支撑条件
1）支撑条件必须在模态分析中进行设置； 2）PSD分析中只支持PSD基础激励，包括 -PSD加速度 -PSD G加速度 -PSD速度 -PSD位移
• PSD是激励和响应的方差随频率的变化。 – PSD曲线围成的面积是响应的方差. – PSD的单位是 方差/Hz (如加速度功率谱的单位是 G2/Hz). – PSD可以是位移、速度、加速度、力或压力.
2.随机振动分析理论
（1）随机振动激励分布规律 因为随机振动激励被假设为服从高斯正态分布，因此没有计算发生 概率为100%的结构响应。 在实际工程中，分布式激励更加普遍； 此外，高sigma激励发生的概率很低；
随机振动响应分析技术研究
随机振动响应分析技术研究一、引言随机振动响应分析是结构工程领域中一个非常重要的课题。
结构物的振动响应具有随机性、复杂性和非线性等特点，因此，能够对结构物在随机激励下的振动响应进行研究和分析，对于提高结构物的可靠性、耐久性和安全性非常关键。
二、随机振动响应分析的方法随机振动响应分析技术主要包括两种方法：频域分析和时域分析。
1. 频域分析频域分析是指将随机振动信号分解成一系列特定频率的正弦波分量，然后对这些正弦波分量进行分析、计算和处理。
这种方法一般使用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行处理，可以方便地进行频率分析和频率响应。
2. 时域分析时域分析是指基于时间序列的方法，通过对随机振动信号的时间序列进行分析，得到结构物的响应特性。
这种方法可以使用自相关函数、互相关函数、功率谱密度和相干函数等分析工具。
三、随机振动响应分析的应用随机振动响应分析技术在各个领域都有广泛的应用。
1. 土木工程在土木工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估建筑物、桥梁、隧道等结构物在地震或风荷载下的响应情况，以及评估疲劳损伤的程度。
2. 航空航天工程在航空航天工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估航天器在发射过程中的响应情况，以及评估机体结构在飞行过程中的疲劳损伤程度。
3. 机械工程在机械工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估机械系统在振动环境下的可靠性和安全性，以及寻找和消除机械系统的振动问题。
四、随机振动响应分析技术的发展趋势随着科学技术和计算机技术的快速发展，随机振动响应分析技术也得到了极大发展和应用。
未来，随机振动响应分析技术的发展主要将呈现以下几个趋势：1. 多物理场耦合建模针对涉及多种物理场同时作用的振动问题，将机械、声学、热学、流体力学等多种物理场有机结合起来，建立更加全面且真实的多物理场耦合模型，以便更好地分析和解决复杂振动问题。
2. 精细化建模分析建立尽可能精细的结构物和振动环境的建模，以更加准确地反映实际情况，预测结构物的振动响应和疲劳损伤情况，从而提高结构物的可靠性和安全性。
随机震动对振动系统的响应分析
随机震动对振动系统的响应分析振动系统是指任何物体受到外力作用，产生一定的运动时，都会发生振动。
振动系统广泛应用于工程领域，例如桥梁、高楼大厦、机车、飞机等，都是振动系统。
在振动系统中，随机震动是一种很常见的现象，它对振动系统的影响非常大。
因此，对随机震动对振动系统的响应进行分析研究非常重要。
本文旨在探讨随机震动对振动系统的响应分析。
振动系统的特点振动系统是由质量、弹性和阻力等构成的一种物理系统。
在运动学和动力学上，振动系统具有以下几个特点：1. 周期性：振动系统的运动状态是周期性的，它重复的运动状态叫做一个周期。
周期是时间的固定间隔，每个周期的时间是相等的。
2. 稳定性：振动系统通常是稳定的，即使系统中受到干扰力，经过一段时间后，系统的振动状态还会恢复到原来的状态。
3. 非线性：振动系统通常具有非线性特点，即系统的响应与外界干扰力的大小不成比例。
4. 周期性和幅值：振动系统的周期和幅值决定了系统的动态响应特性，周期比较短的振动系统通常响应也比较迅速。
随机震动介绍随机震动是指由多个随机振动的幅值，频率和相位组成的振动信号。
这种振动通常是由自然界中的地震、风、海浪等引起的。
与其他振动信号不同，随机振动具有以下特点：1. 运动方向和幅值都发生变化：随机震动的运动方向和振幅通常都会随时间而变化，这是和周期振动信号不一样的地方。
2. 频率范围较宽：随机震动的频率范围很宽，它是由多种频率的振动信号组成的，而这些振动信号的频率范围可能相互重叠。
3. 并非确定性信号：随机震动信号并非确定性信号，它是由多种随机振动信号组成的。
因此，它的各种特性这方面难以准确预测。
随机震动对振动系统的响应通常会产生一系列的异常情况，例如提高系统的振动幅值、降低系统稳定性、引起共振等。
因此，分析随机震动对振动系统的影响非常重要。
为了分析随机震动对振动系统的影响，通常采用频谱分析方法。
频谱分析是指通过将随机振动信号的时域波形转换成频域或相干域表示，来分析振动信号的特性。
桥梁结构中的随机振动分析与响应
桥梁结构中的随机振动分析与响应随着城市化进程的加快和交通运输的发展，桥梁作为城市中重要的交通结构之一，扮演着至关重要的角色。
然而，桥梁在长期使用过程中面临着各种各样的挑战，其中之一就是随机振动引起的结构疲劳和损伤。
因此，对桥梁结构中的随机振动进行分析与响应研究具有重要意义。
随机振动是指未知源和未知相位的力或位移激励作用下，结构系统所产生的综合响应。
在桥梁工程中，随机振动主要源于交通荷载、风荷载、地震荷载等各种外界因素。
这些外界因素的不确定性和复杂性使得桥梁结构的振动分析更具挑战性。
为了对桥梁结构中的随机振动进行分析，需要使用特定的数学模型和工程方法。
其中，最常用的方法之一是模态分析。
模态分析基于结构的固有振动特性，通过求解结构的固有频率、振型和阻尼比等参数，来揭示结构在不同频率下的响应特性。
对于桥梁结构来说，模态分析能够帮助工程师确定结构的振动模态，并评估结构的动力特性。
通过模态分析，可以得到结构的主要振动模态和固有频率范围，从而为后续的随机振动分析提供基础数据。
随机振动分析不仅要考虑结构的固有振动特性，还要考虑外界荷载的特性。
其中，交通荷载是桥梁结构中最主要的外部激励源。
交通荷载的特点是频率范围广、载荷大小变化较大，并且具有一定的随机性。
因此，对桥梁结构的随机振动响应分析，需要将交通荷载特性考虑在内。
常用的方法是使用车辆荷载模型和荷载谱进行分析。
通过建立合适的车辆荷载模型，结合实际交通流量和车辆类型等参数，可以准确模拟桥梁结构在交通荷载作用下的随机振动响应。
除了交通荷载外，风荷载也是桥梁结构中不可忽视的外界激励源。
在某些地区，强风甚至风暴的影响可能对桥梁结构产生较大的振动作用。
风荷载的随机性和非定常性使得对桥梁结构的风振分析具有较高的难度。
为了应对这个挑战，工程师通常使用风洞试验、数值模拟和现场监测等方法，对桥梁结构在风荷载作用下的振动响应进行评估。
地震荷载是另一个重要的桥梁结构随机振动源。
地震的不可预测性和破坏性使得对桥梁结构的地震响应进行分析至关重要。
分片响应面法在随机振动响应分析中的应用
分片响应面法在随机振动响应分析中的应用随机振动是一种复杂的振动形式，涉及多种因素，包括结构特性、激励特性和材料特性等。
分析随机振动响应需要使用一些高级的工具和技术，例如分片响应面法。
分片响应面法是一种统计分析方法，旨在建立实验数据和设计变量之间的关系，并通过优化设计变量来最小化响应变量。
分片响应面法可以被应用于许多不同的领域，包括结构工程、航空航天、汽车工程和地震工程等。
本文将关注其在随机振动响应分析中的应用。
随机振动的主要特点是其激励是不确定的，因为很难对复杂的环境条件进行精确建模。
此外，结构材料和连接方式也可能存在不确定性。
对于这种不确定性，需要开展灵敏度分析以探索设计变量的影响，以及确定那些变量最为重要。
分片响应面法是一种非常有用的灵敏度分析方法，可以帮助设计工程师更好地理解结构参数和随机振动响应变量之间的关系。
实际应用中，随机振动响应往往需要进行大量的计算，这样才能得到有意义的结果。
因此，需要使用高效的计算工具来解决这一问题，并确保计算结果的准确性。
一种流行的计算工具是有限元方法。
有限元方法可以有效地模拟结构响应，并提供必要的振动数据，以进行灵敏度分析和优化。
分片响应面法则可用于进一步分析这些数据，以确定优化解决方案。
分片响应面法最适用于多变量问题，其中响应变量和设计变量的数量很大。
这些变量可能与随机振动响应有关，例如模态频率、模态质量、模态阻尼和自然频率等。
在应用分片响应面法进行随机振动响应分析时，可以考虑如下步骤：1. 定义随机振动问题，包括结构和激励特性，以及数值方法和数值实验。
2. 选择响应变量和设计变量，并为每个变量确定范围和步长。
3. 进行实验设计，并考虑分段响应面，以确保实验设计的有效性和可靠性。
4. 用实验数据拟合分段响应面模型，并确定模型的准确性和可靠性。
5. 进行优化分析，并使用最佳解决方案改进随机振动响应。
总的来说，分片响应面法是一种有用的工具，可以帮助设计工程师更好地理解随机振动响应和设计变量之间的关系。
分析含有静载荷作用下的结构的随机振动响应
分析含有静载荷作用下的结构的随机振动响应在常规的随机振动分析中，其计算过程是对频率响应结果作进一步的处理得到随机振动的分析结果，因此，频率响应的结果内容基本就决定了随机振动分析的结果内容。
对于考虑有恒定静载荷(预应力)作用下的随机振动分析，主要是要在随机振动分析中考虑以下2方面的内容：• 静载荷引起的微分刚度。
• 静载荷作用对随机振动响应的贡献量。
本文将说明具体分析方法。
1. 计算方法考虑静载荷引起的微分刚度的影响，可做预应力频率响应，在工况控制段添加STATSUB 卡片即可。
考虑静载荷作用对随机振动响应的贡献量，其实现方法可在频率响应结果中增加静态载荷结果。
默认情况下，Nastran的频率响应结果不包含静态载荷结果，要使其包含静态结果须做如下设置：• 增加静态载荷，定义其只在0Hz处起作用，其它频率处为零。
• 在求解控制段增加控制参数：include 'SSSALTERDIR:fsuma.alt’• 对模态法频率响应SOL 111，需设置: PARAM,DDRMM,-1随机振动分析的过程实际上是通过频率响应函数对输入功率谱密度进行放大或缩小．根据前面的方法，为了避免在计算中对静态载荷结果分量进行缩放，需要对频率响应的激励进行修正(普通情况下都是单位激励)．改变的方法是把单位激励扩大到对应频率处的相应输入功率谱自谱密度的平方根。
同时，在后续的随机振动分析中输入功率谱自谱密度都设为单位值1．对于互功率谱密度，也需要做相应修改．通常互功率谱密度是以复数的形式给出的，修改的方法是把互功率谱密度的实部和虚部都除以相应两自谱平方根的积。
2. 计算过程示例矩形薄板，左端固定，右端拉力是静载，板面上作用随机变化的压力，右下角顶点作用随机力。
模型如下：激励载荷自功率谱:激励载荷互功率谱密度：频率响应激励修正：频响激励取相应载荷自谱密度平方根随机振动输入功率谱：经过上述修正，随机振动分析时压力谱和力谱的输入功率谱都是单位值1。
结构随机振动响应特性分析与控制方法研究
结构随机振动响应特性分析与控制方法研究随着城市化进程的加速和人们对建筑物安全性的要求不断提高，结构随机振动的研究和控制变得越来越重要。
本文将探讨结构随机振动的响应特性分析以及控制方法的研究。
第一部分：结构随机振动的响应特性分析结构随机振动是指由于外部激励或内部不均匀性引起的结构的随机振动。
为了深入了解结构随机振动的特性，需要进行响应分析。
响应分析是通过数学建模和计算方法，研究结构在随机激励下的振动响应。
在结构随机振动的响应特性分析中，常用的方法有频域分析和时域分析。
频域分析是通过将结构的振动响应信号转换为频谱，分析不同频率下的振动特性。
时域分析则是直接观察结构在时间上的振动响应，了解结构的动态行为。
此外，还有一种重要的方法是模态分析。
模态分析是通过计算结构的模态参数，如固有频率、阻尼比和模态形态等，来研究结构的振动特性。
模态分析可以帮助我们了解结构的主要振动模式和频率范围，为后续的振动控制提供依据。
第二部分：结构随机振动的控制方法研究结构随机振动的控制方法研究是为了减小结构的振动响应，提高结构的稳定性和安全性。
常用的结构振动控制方法包括被动控制、主动控制和半主动控制。
被动控制是指通过在结构上安装吸振器、阻尼器等被动装置，来吸收和分散结构的振动能量。
被动控制方法简单、成本较低，但需要根据结构的特性进行设计和安装。
主动控制是指通过在结构上安装传感器和执行器，实时监测和调整结构的振动响应。
主动控制方法可以根据实时的振动信号进行反馈控制，实现有效的振动抑制。
然而，主动控制方法的实施较为复杂，需要高度的技术支持和成本投入。
半主动控制是被动控制和主动控制的结合，通过在结构上安装可调节的装置，实现对结构振动的控制。
半主动控制方法综合了被动控制和主动控制的优点，具有较高的控制效果和较低的成本。
结构随机振动的控制方法研究还涉及到多学科的交叉，如结构动力学、控制理论、材料科学等。
通过不断的研究和探索，我们可以提高结构的抗震性能，保障人们的生命财产安全。
第七章 随机振动的响应分析课件
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则响应的自相关函数可表示为:
R Y () E [ Y ( t ) Y ( t ) ] = h ( 1 ) h ( 2 ) R X ( 2 1 ) ] d 1 d 2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机
H(0) y(t) x(t)
直流分量
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E [Y(t)]Y= Xg H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
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二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
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当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
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x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
E[Y(t)]x
h()d
振动系统的频率响应分析
振动系统的频率响应分析振动系统是指由质点、弹簧、阻尼器等构成的一种物理系统，它可以发生振动。
频率响应分析是对振动系统在不同频率下的响应情况进行研究和分析的方法。
通过频率响应数据，我们可以了解到振动系统在不同频率下的振幅、相位等信息，从而对振动系统的性能进行评估和改进。
1. 引言振动系统广泛应用于机械工程、土木工程、航空航天等领域，对于系统的性能评估和优化具有重要意义。
频率响应分析是研究振动系统的一种常用方法，可以帮助我们了解系统的固有频率、共振情况以及系统对外界激励的响应等。
2. 振动系统的动力学方程对于一个简谐振动系统，可以根据牛顿第二定律建立其动力学方程。
考虑弹簧的力和阻尼器的阻力，动力学方程可以表示为：\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F \]其中，m是质量，x是位移，t是时间，c是阻尼系数，k是刚度，F是外力。
该方程描述了振动系统在外力作用下的运动规律。
3. 频率响应函数频率响应函数是描述振动系统对外界激励响应的函数。
它是系统的输入和输出之间的传递函数。
在频域中，频率响应函数可以表示为：\[ H(\omega) = \frac{X(\omega)}{F(\omega)} \]其中，H表示频率响应函数，X表示输出的频谱，F表示输入的频谱，ω表示角频率。
频率响应函数可以通过实验或数学模型求得，它可以描述系统在不同频率下的振幅、相位等响应情况。
4. 振动系统的传递函数通过对动力学方程进行拉普拉斯变换，可以得到振动系统的传递函数。
传递函数是振动系统输入和输出之间的关系函数，可以用于分析系统在时域和频域中的响应情况。
传递函数可以表示为：\[ H(s) = \frac{X(s)}{F(s)} \]其中，H表示传递函数，X表示输出，F表示输入，s表示复频率。
通过求解传递函数的零点和极点，可以得到系统的固有频率和阻尼比等参数。
5. 频率响应分析方法频率响应分析常用的方法有频率扫描法和信号迭加法。
随机振动场中的结构响应特性分析研究
随机振动场中的结构响应特性分析研究随机振动场作为一种复杂的振动环境，对结构的响应特性造成了很大的影响。
因此，对随机振动场中的结构响应特性进行研究是非常必要的。
本文将从随机振动场的特性、结构响应的描述、特性分析方法等方面进行探讨。
一、随机振动场的特性随机振动场指的是在时间和空间上都是随机变化的振动场。
在这样的振动场下，结构的响应不仅受到激励的大小和频率的影响，更受到了随机性的影响。
因此，研究随机振动场的特性是非常重要的。
首先，随机振动场的频谱密度函数是一个关键指标。
它描述了振动场在不同频率下的能量密度分布情况，反映了振动场的统计特性。
其次，随机振动场的幅值信号是随机过程。
因此，振动场表现出的缩放特性是难以预测的。
最后，随机振动场在时间和空间上都存在尺度效应。
结构响应对于尺度的变化十分敏感，这将产生非线性效应和不可预测的行为。
二、结构响应的描述在随机振动场中，结构响应往往会表现出时域和频域两个方面的特点。
时域描述的是振动信号在时间轴上的变化情况，可以通过计算信号的均值、方差、互相关函数等指标进行分析。
而频域描述的是信号在频率上的分布特性，可以通过功率谱密度函数等指标进行分析。
对于结构响应，常用的指标包括加速度、位移、速度等。
在随机振动场中，这些指标的时域函数与激励信号存在一定的相关性，因此需要通过谱分析、共谱分析等方法来获得更加准确的分析结果。
此外，振动场中存在的幅值随机性使得结构响应也表现出一定的随机性。
因此，从概率论的角度出发，我们可以通过计算结构响应的概率密度函数、随机能量分布等指标来分析结构响应的特性。
三、特性分析方法为了更好地分析结构响应的特性，需要使用一些特性分析方法。
现在，最常用的方法包括功率谱分析、随机模态分析、随机振动理论等。
功率谱分析是用于分析随机信号在频率上的分布情况的方法，其核心是将信号的自相关函数转化为功率谱密度函数。
通过对功率谱密度函数的分析，可以判断振动场中的主要频率分布情况。
随机振动响应教程核心步骤
第一步：
1，建立一个模态分析步（简）
2，建立一个随机振动分析步；设置好相关参数，扫频的范围为1到2000HZ；分析采用模态阻尼，从1到20阶模态都是0.02。
第二步：
1，在LOAD模块中进行操作，建立一个PSD曲线。
本操作是在在基座上加载一个恒为10G2/HZ的功率谱曲线。
2，建立一个BASE MOTION，选择加载的方向，本案例加载两个方向，X方向和Y方向，所以整个操作过程需要重复一次（BC-2为U1方向，BC-3为U2方向）把这个PSD 曲线和加载关联起来。
然后就可以提交计算检查结果了。
注意的是，随机振动的载荷输入单位是G2/HZ，所以输出的加速度单位也是一样的，同理，位移，速度也是类似的，仅仅是一个统计意义的数值，单位是统计意义的单位。
因为随机载荷是统计意义的，所以ABAQUS默认并不输出MISES应力，但是可以自己在OUTPUT中输出MISES应力和应力的均方根数值，这个功能是早期的版本没有的。
随机振动分析
[二]PSD谱值支持多种设计谱；
[三]ANSYS没有提供产生PSD谱值的工具,但是有必要让软件的操 作者熟悉其转换过程.
二、功率谱密度[PSD]
把随机振动过程中包括 的总频率分解为若干个 频率范围[频率箱子]
-this can be done using bandbass filters ；
-real analyzers typically have hundreds of bins
三、随机振动理论简介
Training Manual
[一]随机振动激励分布规律
因为随机振动激励被假设为服从高斯正态分布,因此没有计算发生概 率为一00%的结构响应.
在实际工程中,the distribution of excitations is more likely truncated； 此外,高sigma激励发生的概率很低；
Advanced Contact & Fasteners
一、随机振动分析简介
Training Manual
如果随机振动过程,其振动幅值是常量变化的,那我们如何对随 机振动激励进行评估和描述呢?
关键点：随机振动过程中,在给定的频率范围内,虽然其激励的幅值 还是发生变化,但是对于这个过程,幅值的平均值趋向于一个相对稳 定的常量.
[二]随机振动
在实际工程中,可以分别描述响应的幅值和频率,也可以采用复数形式 进行描述,这个描述方法称为频率响应函数H[ω] [FRF].
有频率响应函数的定义可知 一]频率响应函数的幅值等于系统输出幅值与输入幅值的比值； 二]频率响应函数的虚部与实部的比值等于相位角的正切值.
Advanced Contact & Fasteners
我们可以很方便的在加速度[重力加速度],速度和位移功率谱密度 值之间使用频率的平方进行转换.ω rad/s = 二πf Hz
§7车辆随机振动基础
§9车辆随机振动车辆的随机振动实际上是车辆运行时的振动响应，这种响应主要是由于轨道不平顺的随机激励而引起的。
本章主要介绍随机振动以及相关的概念，以及单轴车模型在随机激励下响应的基本特征，初步了解车辆随机振动的分析计算方法和改善车辆运行平稳性的途径。
所讨论的是车辆系统，其结构和参数是对称的，因此垂向和横向的强迫振动响应是解耦的，可以分别独立研究。
对于机车而言，它产生振动的因素，除线路的构造和状态，轮对的构造和状态外，柴油机组和输助机组的构造和状态也会起到激扰作用（对柴油机）；电动机的构造和状态对电力机车也会起到激扰作用。
对车辆和机车的振动过程研究中，可在增加一组外力来反映这些作用。
第一节 随机过程的统计特性一、随机过程的统计特性1．随机过程的基本概念一切物理现象可分为两类：在给定的时间内能确定其物理变量的现象就称为确定性现象； 如 在一静止的车辆上置一激振器，以激起车体在弹簧装置上的振动，激励力是已知的简谐力t F F ωsin 0=，车体受激励而产生的振动规律由)sin()(0φω-=t x t x 来描述。
车体在任意时间t 的振幅和加速度都可由计算确定，这种振动称为确定性的振动，它由确定性的激励所引起。
反之在给定时间t 物理变量不能预先确定的现象称为随机现象。
如在任意时间t 的振动变量不能预先确定，而只能用概率统计的方法对其进行整体描述，这种振动称为随机振动。
在随机振动中的一些量如振幅和加速度称为随机变量。
随机变量是在随机试验的结果中能取到不同数值的量。
随机过程：不能用确定性函数来描述但具有一定统计特性的过程称为随机过程。
随机过程是一簇n 个随机变量的总集合。
其中任一个元素称为随机过程的样本。
振动的时间历程：以时间t 横坐标，以振动量（位移、速度和加速度）为纵坐标的线图，常称为振动波形图。
x x 1） 2） 时间t i 跨越总集合的统计特性与单个子样x i (t)的统计特性相等，则称这个随机过程为各态历经的。
第七章 随机振动的响应分析
由于H(ω)是复数，它可表示为:
H () A() jB()
则互谱密度可以表示为:
S XY () [ A() jB()]S X ()
由于SX(ω)是实偶函数，则互谱密度函数可表示为：
S XY ( ) H ( ) S X ( ) B( ) XY ( ) arctg A( )
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
当系统的激励 ( 输入 ) 是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。 对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。 对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决
y(t ) x(t )h( )d
y(t ) x(t )h( )d
设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出 其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集 合平均为:
E[Y (t )] E X (t )h( )d
则响应的自相关函数可表示为:
RY ( ) E[Y (t )Y (t )]=
h(1 )h(2 ) RX ( 2 1 )]d1d2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。 该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机 过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定 是平稳的随机过程。
只要计算出如下的广义积分 I值，便可求得响应的均 方值：
I
H ( ) d
2
五、激励与响应的互相关函数
y(t ) x(t )h( )d
随机振动系统的随机响应分析及其优化设计
随机振动系统的随机响应分析及其优化设计随机振动系统是指系统的外部激励是以随机波形出现的振动系统。
例如，一座大桥被风力或行车引起的震动，飞机在空气中运动时引起的振动等。
在实际工程结构中，许多振动系统都存在着随机激励，因此需要对系统进行随机响应分析。
随机振动系统的响应值是一个随机变量，因此它不能用一个确定的数值来描述。
为了对这种情况进行分析，我们需要用到概率论和统计学的知识。
随机激励的分布很复杂，常常假设为高斯分布。
高斯分布的随机变量的概率密度函数可以用以下公式表示：$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
在振动系统中，均值常常取为0，因为我们主要关心振动的强度而不是振动的方向。
标准差则是描述振幅大小的指标，常用于刻画振动系统的强度。
在进行随机响应分析之前，需要对系统进行建模。
一般需要用到有限元法等数学方法对系统进行数学描述。
建模的目的是为了将系统的振动行为转化为数学方程，方便我们进行分析。
在建立数学模型之后，可以根据随机激励的特点，通过数学方法求得随机响应的概率密度函数、方差、均值等数学参数。
这些参数反映了系统响应的大小、变化范围、稳定性等重要的特性。
通过分析这些参数，我们可以得到系统响应的概率分布情况，找到系统的主要响应模式，为系统的设计和优化提供依据。
针对特定的工程结构和设计要求，我们可以通过优化设计来降低系统的随机响应。
优化设计是指在满足特定要求的前提下，选择合适的参数和方案，使系统效能达到最佳。
根据不同的优化目标和约束条件，我们需要采用不同的优化方法和算法。
常用的优化方法包括单目标优化、多目标优化、遗传算法等。
单目标优化是指在满足一定的约束条件下，同时优化一个目标函数，例如最小化系统的响应值。
多目标优化则是优化多个目标函数，例如既要最小化系统的响应值，又要使系统的重量尽量轻。
桥梁结构的随机振动响应分析与可靠性评估
桥梁结构的随机振动响应分析与可靠性评估随着城市化和交通发展的迅猛推进，桥梁作为重要的交通基础设施，承载着我们的出行和经济活动。
然而，桥梁结构在长期使用过程中面临着各种不确定性和风险，其中之一就是随机振动引起的结构响应问题。
为了保障桥梁的正常运行和安全性，进行随机振动响应分析和可靠性评估是至关重要的。
一、随机振动响应分析在进行随机振动响应分析之前，我们首先需要了解桥梁结构的振动特性和引起振动的外部力。
这些外部力包括交通载荷、风荷载、地震等，它们的作用会导致桥梁结构发生自由振动或强迫振动。
在振动响应分析中，我们可以采用数值模拟方法，如有限元法、边界元法等，来模拟结构的响应。
通过建立适当的数学模型和边界条件，我们可以预测桥梁结构在不同振动力下的受力情况和响应。
同时，我们还可以利用振动监测技术，如加速度计、光纤传感器等，在实际桥梁上进行振动数据的采集和分析。
通过这些实测数据，我们可以更准确地了解桥梁的振动性能，并进行有效的结构分析和评估。
二、可靠性评估桥梁结构的可靠性评估是为了评估结构在服务寿命内能够正常运行的概率，从而提供可靠性分析和结构优化的依据。
在可靠性评估中，我们需要考虑结构的强度、稳定性以及振动响应等因素。
首先，我们需要确定结构的安全指标，如极限状态函数或可靠度指标。
然后，根据这些指标，我们可以建立相应的可靠性模型，并进行可靠度分析。
在分析中，我们需要考虑结构参数的不确定性，如材料性能、荷载情况等，并结合随机振动响应分析的结果进行综合评估。
在可靠性评估中，还可以采用统计学方法，如蒙特卡洛模拟、可靠性指数等，来对结构的可靠性进行估计。
通过大量的仿真计算，我们可以得到结构在不同概率水平下的可靠度，并评估结构的安全性。
三、结论综上所述，桥梁结构的随机振动响应分析和可靠性评估对于确保桥梁的正常运行和安全性具有重要意义。
通过合理的振动响应分析，我们可以了解结构的振动特性和受力情况；通过可靠性评估，我们可以对结构的安全性进行全面评估。
机械工程中的随机振动分析
机械工程中的随机振动分析机械振动是指机械运动中产生的可感知的物理现象，它是工程中不可避免的问题。
随着机械设备日益复杂，随机振动分析相关的研究也变得越来越重要。
随机激励下的振动分析是针对一些需要处理随机扰动的振动问题研究的一个领域。
一、随机振动的概念随机振动指的是随机震荡、随机振荡和随机波动，而振动的随机性是指随机变化的幅值、频率、相位等。
随机振动是一种特殊的振动形式，它的产生通常取决于一些无序的随机激励。
机械振动是机械设备运行中最常见的现象之一，振动的性质通常是随机的，这意味着在不同的工作状态下，机器的振动特性也会有所不同。
因此，了解随机振动的本质对于有效控制机械振动、延长机械的使用寿命、提高机械的性能有着重要的作用。
二、随机振动的特点1. 随机性随机振动是由于受到的外部随机扰动造成的，其振动的幅度、频率和相位等特性都会随时间而变化，呈现出随机性的特点。
2. 非线性随机振动的产生往往是由于机械结构的非线性特性引起的，包括材料的非线性、接触面的非线性等方面。
3. 耦合性由于机械结构中各个部分都相互依存，所以随着振动的传播，不同部分之间的振动会相互影响，形成一定的耦合性。
三、随机振动的分析方法1. 动力学分析动力学分析是对机械结构在受到随机激励时的响应特性进行描述的一种通用方法，它主要考虑到机械振动的动力学特性，通过解决运动方程来研究机械的振动响应情况。
2. 脉冲响应分析脉冲响应分析是一种可以对机械结构进行动态分析的方法。
通过理论计算和实验研究，可以得到不同激励下，机械结构的动态响应特征，包括最大振幅、振动频率、振荡形式等。
3. 频域分析频域分析把振动问题转化为一组频率下的信息，可以有效的区分不同频率下振动信号的特性，通过频域分析，可以设计出体积小，重量轻，高性能的机械结构，同时可以更好地理解机械结构的振动特性。
4. 时域分析时域分析是通过描述机器结构中所有加速度、速度、位移的变化情况来分析机械的振动响应特性，也就是对机械在一定时间范围内的振动响应和振幅进行分析。
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E[ X (t )] E[ X (t)] x
E[Y (t)] x
h( )d
H () h( )e j d
0
H (0) h( )d
E[Y (t)] x
h( )d
H (0) h( )d
输入与输出均值的关系式为：
E[Y (t)] Y =X H (0)
H(0)是一个常数，它表示输入X(t)与输出Y(t)中，频 率ω=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。
对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应 的自功率谱密度SY(ω)为
SY ()
RY
(
)e
j
d
e j
h(1)h(2 )RX
(
2
1 )]d1d 2
d
变换积分次序，并重新排列
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2
d2
RX
(
2
1
)e j( 2 1
)d(
2
1
上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出 了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。
SY () H ()H ()SX () H () 2 SX ()
上式表明，若已知系统的增益因子|H(ω)|和输入的自 谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。
事实上，若已知SX(ω) 、|H(ω)|和SY(ω) 三者中的任意 两个，就可以确定第三个。 此外，响应的自谱密度是与系统的h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2 d2
RX (
2
1
)e j( 2 1 )d(
2
1
)
令ξ=τ-θ1+θ2，由维纳—辛钦关系式知，最后一个积 分就是激励X(t)的自谱密度：
SX ()
RX
(
)e
j
d
第二个积分就是脉冲响应函数h(θ2)的傅立叶变换， 即频率响应函数H(ω)。
对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般 用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的， 初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。
在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统 计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况 下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均 值）、相关函数、功率谱密度、均方值等。
H ()
h(
2
)e
j2
d
2
SY ( )
h(
1
)e
j1
d1
h( 2
)e j2
d2
RX
(
2
1
)e j( 2 1 )d(
2
1
)
前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。
H () H ()
h(1
)e
j
1
d1
经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式:
SY () H ()H ()SX () H () 2 SX ()
H (0) y(t) x(t)
直流分量
E[Y (t)] Y =X gH (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为: E[Y (t)Y (t )]
四、响应的均方值
已知响应的自谱密度SY(ω)，则可计算出响应的均方 值E[Y2]:
E[Y
2
]
RY
(0)
1 2π
SY ()d
将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式
E[Y
2]
2 Y
1 2π
2
H ()
SX ()d
注意：当均值为零时，均方值就等于方差。
2 Y
2 Y
E[Y
2]
2 Y
1 2π
2
H ()
7-1 单输入单输出的线性系统
假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其 相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数 则系统输出y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数 设系统的脉冲响应函数h(t)， 则频率响应函数是H(ω)。
SX ()d
在输入为理想白噪声的情况下，由于输入的自谱密 度对于所有的频率都是常数，则响应的均方值公式 可得到简化:
2 Y
S0 2π
2
H () d
只要计算出如下的广义积分I值，便可求得响应的均 方值：
则响应的自相关函数可表示为:
RY ( ) E[Y (t)Y (t )]= h(1)h(2 )RX ( 2 1)]d1d2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。 该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机 过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定 是平稳的随机过程。
三、响应的自功率谱密度函数
第七章 随机振动的响应分析
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下， 激励—系统—响应三者之间的关系。
系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性 模型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统 问题。
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
一、响应的均值
对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得 输出的一个样本函数
y(t) x(t )h( )d
y(t) x(t )h( )d
设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出
其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集
合平均为:
E[Y (t)]
E
X (t
)h(
)d
E[Y (t)] E[X (t )]h( )d
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的 响应
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。
对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决