习题8.2反常积分的收敛判别法
习题反常积分的收敛判别法
页脚内容278习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数.则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散.证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(.于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(.于是页脚内容279≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散.（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散.例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散.设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛.例如xx f 1)(=，)21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 发散，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当121≤<p 时发散，当1>p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数.⑴ 若f x Kxp ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；页脚内容280⑵ 若f x Kx p()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞+adx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰∞+adx x f )(发散.证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x-++-+∞⎰ln ; ⑵⎰∞++131tan arc dx xx; ⑶110++∞⎰x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞⎰（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++--x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x -++-+∞⎰ln 收敛.页脚内容281（2）当+∞→x 时，31arctan x x +～32x π， 所以积分⎰∞++131tan arc dx x x收敛.（3）因为当0≥x 时有xx x +≥+11sin 11，而积分dx x⎰∞++011发散，所以积分110++∞⎰x x dx |sin |发散. （4）当+∞→x 时，pqxx +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx qp11++∞⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞⎰发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛与f x dx ()-∞+∞⎰收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞⎰收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞⎰收敛.由于)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，可知极限页脚内容282+∞→A lim =)(A F +∞→A lim⎰-AAdx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ， 于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立≤⎰'A Adx x f )(ε<-)'()(A F A F与≤⎰--BB dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，这说明积分⎰∞+0)(dx x f 与⎰∞-0)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞⎰收敛.⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰; ⑵sin x x dxp1+∞⎰（+∈R p ）; ⑶⎰∞+1tan arc sin dx xx x p（+∈R p ）⑷sin()x dx 20+∞⎰;⑸⎰∞+an m xdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）解 （1）因为⎰=Axdx A F 2sin )(有界，xx ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim=+∞→x xx ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰收敛； 由于≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x xx-=，而积分页脚内容283⎰∞+2ln ln ln dx xx发散，⎰∞+22cos ln ln ln xdx xx收敛，所以积分⎰∞+2sin ln ln ln dx x xx发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰条件收敛. （2）当1>p 时，ppx x x 1sin ≤，而⎰∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin xx dx p1+∞⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，p x 1在),1[+∞单调，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p1+∞⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|sin |dx x x p发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞⎰条件收敛.（3）当1>p 时，≤px xx arctan sin px 2π，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx x x x p 绝对收敛；当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，p x x arctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim =+∞→p x xx ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1arctan sindx x x x p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1sin arctan dx x xxp 发散，所以当10≤<p 时积分⎰∞+1arctan sindx x xx p条件收敛.（4）令2x t =，=⎰∞+02)sin(dx x ⎰∞+02sin dt tt ，由于⎰∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞⎰条件页脚内容284收敛.（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2xK ≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(绝对收敛.当1+=m n 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p nmx ，由Dirichlet 判别法可知⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛. 当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞→)()(lim，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(发散.⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5.定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得⑴ f x K b x p ()()≤-，且p <1，则f x dx ab()⎰收敛； ⑵ f x K b x p()()≥-，且p ≥1，则f x dx ab()⎰发散. 证 （1）当p <1时，积分⎰-bapdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，页脚内容2850>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b pεηη<-⎰--')(1. 由于≤⎰--')(ηηb b dx x f εηη<-⎰--')(b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰收敛. （2）当1≥p 时，积分⎰-bapdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：K dx x b b b p0')(1εηη≥-⎰--. 由于≥⎰--')(ηηb b dx x f 0')(εηη≥-⎰--b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且lim()()x b p b x f x l →--=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b()⎰收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b()⎰发散.证 （1）由lim()()x b p b x f x l →--= （+∞<≤<l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b l x f )(1)(-+<， 再应用定理8.2.'3的（1）.页脚内容286（2）由lim()()x b p b x f x l →--= （+∞≤<≥l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b lx f )(2)(->， 再应用定理8.2.'3的（2）.定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b()()⎰收敛： ⑴（Abel 判别法）f x dx a b()⎰收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界；⑵（Dirichlet 判别法）⎰-=ηηb adx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上单调且0)(lim =-→x g b x .证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b()⎰收敛，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),(,b b A A δ-∈'∀：Gdx x f A A2)(ε<⎰'.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(⎰⎰'+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εεε=+<22.（2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'∀，有M dx x f A A2)(<⎰'.因为0)(lim =-→x g b x ，0>∀ε，0>∃δ，),(b b x δ-∈∀，有Mx g 4)(ε<.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(页脚内容287|)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εεε=+<22.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有⎰∞+adx x g x f )()(收敛的结论.⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴112301x x dx ()-⎰;⑵ln xx dx 2011-⎰;⑶12202cos sin x xdx π⎰; ⑷102-⎰cos xxdx pπ; ⑸|ln |x dx p 01⎰; ⑹x x dx p q ---⎰11011();⑺⎰---1011|ln |)1(dx x x xq p .解 （1）因为32)1(1x x -～321x )0(+→x ，32)1(1x x -～31)1(1x -)1(-→x ，所以积分112301x x dx()-⎰收敛.（2）因为1ln lim 21--→x x x 21=，且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxx x 11ln 2<-，所以积分ln xx dx 2011-⎰收敛. （3）因为x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2)2(1x -π)2(-→πx ，所以积分12202cos sin x xdx π⎰发散.页脚内容288（4）因为p x x cos 1-～221-p x )0(+→x ，所以当3<p 时积分102-⎰cos x x dx p π收敛，当3≥p 时积分102-⎰cos xxdx pπ发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+→p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxxp1ln <；且 px ln ～p x --)1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 01⎰收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01⎰发散.（6）11)1(---q p x x ～px -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～qx --1)1(1)1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---⎰11011()收敛，在其余情况下积分x x dx p q ---⎰11011()发散.（7）|ln |)1(11x x x q p ---～qx --)1(1)1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 11210=----+→x x x xq p p x ，即当0>x 充分小时，有21111ln )1(p q p xx x x ---<-，所以当1,0->>q p 时积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 发散.⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：页脚内容289⑴x x xdx p q ---⎰111ln (+∈R q p ,);⑵11223x x x dx ()()--+∞⎰; ⑶ln()10++∞⎰x x dx p; ⑷⎰∞+0tan arc dx xxp; ⑸⎰2/0tan πdx x x p;⑹x dx p x --+∞⎰10e ;⑺1x x dx p q++∞⎰;⑻⎰∞+2ln 1dx xx qp . 解（1）x x x dx p q ---⎰1101ln ⎰-=2101ln dx x x p ⎰--2101ln dx x x q ⎰---+12111ln dx xx xq p . 当0>p ，0>q 时积分⎰-211ln dx x x p 与积分⎰-2101ln dx xxq 显然收敛，且当-→1x 时， =---x x x q p ln 11()[]()[]())1(1ln 1)1(11)1(111-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((，即⎰---12111ln dx xx x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---⎰1101ln 收敛.（2）=--⎰∞+032)2()1(1dx x x x ⎰--1032)2()1(1dx x x x ⎰--+2132)2()1(1dx x x x⎰∞+--+232)2()1(1dx x x x .页脚内容290因为32)2()1(1--x x x ～313121x ⋅-)0(+→x ，32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(-→x ，所以积分⎰--1032)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(+→x ，32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(-→x ，所以积分⎰--2132)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(+→x ，32)2()1(1--x x x ～341x )(+∞→x ，所以积分⎰∞+--232)2()1(1dx x x x 收敛.页脚内容291由此可知积分11223x x x dx ()()--+∞⎰收敛.（3）=+⎰∞+0)1ln(dx xx p++⎰10)1ln(dx x x p⎰∞++1)1ln(dx xx p. 由px x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2<p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p收敛，当2≥p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p发散；当1>p 时，0)1ln(lim 213=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2131)1ln(-<+p px xx ，其中1213>-p ，可知当1>p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p 收敛，当1≤p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p发散； 综上所述，当21<<p 时，积分⎰∞++0)1ln(dx x x p 收敛，在其余情况下积分⎰∞++0)1ln(dx x x p发散.（4）⎰∞+0tan arc dx x x p ⎰=10tan arc dx x x p ⎰∞++1tan arc dx xxp. 由p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2<p 时积分⎰10tan arc dx xx p 收敛； 由p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分⎰∞+1tan arc dx xxp 收敛. 所以当21<<p 时积分⎰∞+0tan arc dx xxp收敛，在其余情况下积分页脚内容292⎰∞+0tan arc dx xxp发散. （5）⎰2/0tan πdx xx p⎰=4/0tan πdx xx p⎰+2/4/tan ππdx xx p.由pxxtan ～211-p x)0(+→x ，可知当23<p 时积分⎰4/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分⎰4/0tan πdx xx p发散；由pxx tan ～122()2pp x ππ-)2(-→πx ，可知积分⎰2/4/tan ππdx xx p收敛.所以当23<p 时积分⎰2/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分 ⎰2/0tan πdx xx p发散.（6）x dx p x --+∞⎰10e ⎰--=101e dx x x p ⎰∞+--+11e dx x x p .由于积分⎰∞+--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～px -11)0(+→x ，所以当0>p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 发散.（7）10x x dx p q++∞⎰⎰+=101dx x x q p ⎰∞+++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1x x dx p q++∞⎰发散；页脚内容293当q p ≠时，由于q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～),max(1q p x)(+∞→x ， 所以当1),min(<q p ，且1),max(>q p 时积分10x x dx p q++∞⎰收敛，其余情况下积分10x x dx p q ++∞⎰发散.（8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+<p qp xxx ，因为121>+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 收敛. 设1<p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+>p qp xxx ，因为121<+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 发散.设1=p ，令t x =ln ，则⎰∞+2ln 1dx x x q p ⎰∞+=2ln qtdt，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴x x dx p -+∞+⎰121; ⑵x xx dx q psin 11++∞⎰ (p ≥0);⑶⎰∞+0sin cos e dx xxpx ; ⑷⎰∞+0sin 2sin e dx xxpx ;页脚内容294(⎰1021cos 1dx xx p ； (⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p(0>p ). 解（1）x x dx p -+∞+⎰1201⎰+=-10211dx x x p ⎰∞+-++1211dx x xp . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，211xx p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20<<p 时积分x x dx p -+∞+⎰1201收敛，在其余情况下积分x x dx p -+∞+⎰121发散. （2）当1-<p q 时，由q p p q xx x x -<+11|sin |，可知积分x x x dx qpsin 11++∞⎰绝对收 敛.当p q p <≤-1时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，当x 充分大时pqxx +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞++11sin dx xxx p q收敛； 但因为积分⎰∞++11|sin |dx xx x pq 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞⎰条 件收敛.当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n pn x xdx xπππ++⎰不趋于零，可知积分 x xx dx q psin 11++∞⎰发散.页脚内容295（3）⎰∞+0sin cos e dx x x p x ⎰=10sin cos e dx x x p x ⎰∞++1sin cos edx xx p x. 由px xxe cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1<p 时积分⎰10sin cos edx xxpx收敛，在其余情况下积分⎰10sin cos edx xxpx发散.当1<p 时，易知积分⎰∞+1sin |cos |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin cos edx xx p x发散. 当10<<p 时，因为1cos 1sin -<⎰e xdx e A x，p x 1单调减少，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法；可知积分⎰∞+1sin cos e dx xxpx 收敛. 综上所述，当10<<p 时，积分⎰∞+0sin cos e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin cos edx xx p x发散.（4）⎰∞+0sin 2sin e dx x x p x ⎰=10sin 2sin e dx x x p x ⎰∞++1sin 2sin edx xx p x. 由p x x x e 2sin sin ～12-p x )0(+→x ，可知当2<p 时积分⎰10sin 2sin e dx x x p x收敛，在其余情况下积分⎰10sin 2sin e dx xxpx发散. 当21<<p 时，显然积分⎰∞+1sin |2sin |e dx x x p x 收敛；当1≤p 时，易知积分⎰∞+1sin |2sin |edx xx p x发散；页脚内容296当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin 2sin e dx x xpx 发散. 当10≤<p 时，因为⎰+=ππ)1(sin 02sin k k x xdx e ，可知⎰A x xdx e 0sin 2sin 有界，且p x1单调减少，01lim=+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+1sin 2sin e dx xxpx 收敛. 综上所述，当21<<p 时积分⎰∞+0sin 2sin e dx x x p x 绝对收敛，当10≤<p 时积分⎰∞+0sin 2sin edx xx p x条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin 2sin e dx xxpx 发散. （5）令21x t =，则 ⎰=1021cos 1dx xx p tdt t p cos 121123⎰∞+-. 于是可知当1<p 时积分⎰121cos 1dx x x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分⎰1021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分⎰121cos 1dx xx p 发散. （6）当1>p 时，因为pp xx x x 11sin ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 绝对收敛.页脚内容297当10≤<p 时，因为⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛+261sin ππππn n p dx x x x p n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅>2321πππ，而级数 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n pn ππ发散，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p发散；又因为 =+⎰∞+dx x x x p1)1sin(dx x x x x x p⎰∞++1sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p xx 1cos 都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 收敛，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p 条件收敛. 10．证明反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法，⎰="'4sin sin A A xdx x x ⎰-"'42)(cos 4sinA A x d x x"'244cos sin A A x xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-+"'244cos cos A A dx x x x ⎰"'342sin cos A A dx x x x . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛.11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01⎰ 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+=00.页脚内容298证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10<<x ，有⎰≤≤xx dt t f x f x 2)()(20. 由Cauchy 收敛原理，⎰=+→x xx dt t f 200)(lim，于是得到0)(lim 0=+→x xf x .12．设⎰∞+adx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明:0)()(ln lim =+∞→x f x x x .证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有0)(≥x xf ，且⎰=⋅≤≤xx dt tt tf x f x x 1)()()(ln 210⎰x xdt t f )(.然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim=⎰+∞→xxx dt t f ，于是得到0)()(ln lim =+∞→x f x x x .13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反常积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛.证 首先由分部积分法，⎰∞+=2sin )('xdx x f ⎰∞+02)(sin x xdf ⎰∞+-=02sin )(xdx x f .页脚内容299由于⎰=Axdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，由Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+02sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛.14. 设⎰∞+adx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞=0，证明f x dx a 2()+∞⎰收敛.证 首先由lim ()x f x →+∞=0，可知a A >∃，A x >∀，有1)(<x f ，即当A x >时，成立)()(2x f x f ≤.因为积分⎰∞+adx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法，积分f x dx a 2()+∞⎰收敛.15． 若f x dx a 2()+∞⎰收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数在[,]a b 上平方可积的概念）.⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立.解 （1）⎰∞+adx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+1)(dx x f 收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散；f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+a dx x f )(收敛，例如：x x f 1)(=，则 ⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 发散.页脚内容300（2）f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+adx x f )(绝对收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 不是绝对收敛的；⎰∞+a dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：⎪⎩⎪⎨⎧+∈=∞=其他0]1,[)(23n n n n x n x f ，则⎰∞+1)(dx x f 绝对收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散.（3）由)](1[21)(2x f x f +≤，可知⎰b a dx x f )(2收敛保证⎰ba dx x f )(绝对收敛；但⎰b a dx x f )(绝对收敛不能保证⎰ba dx x f )(2收敛，例如：xx f 1)(=，则⎰1)(dx x f 绝对收敛，但⎰102)(dx x f 发散.16. 证明反常积分sin sin xx xdx p++∞⎰1当p ≤12时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛.证 当p >1时，对充分大的x ，有x x x p sin sin +p x 2≤，由于积分⎰∞+12dx xp 收敛，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1绝对收敛.当10≤<p 时，利用等式)sin (sin sin sin sin 2x x x xx x x x x pp p p+-=+.页脚内容301这时积分⎰∞+1sin dx x x p 收敛；积分⎰∞++12)sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当210≤<p 发散. 当121<≤p 时，由于⎰+++434sin sin ππππn n p dx x x x 1)1(122++⋅≥pp n ππ，因为级数1)1(11++∑∞=pp n n π发散，所以积分⎰∞++1sin sin dx xx xp发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞⎰1条件收敛；当210≤<p 时，积分sin sin x x x dx p++∞⎰1发散.当0≤p 时，因为有⎰+++2242sin sin ππππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx ππππ++>⎰π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1发散.。
反常积分的收敛判别法
反常积分的收敛判别法阿文摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法引 言一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.一 非负函数反常积分的收敛判别法1.比较判别法设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则（1） 当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.2.Cauchy 判别法设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，（1）若p xK x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p xx f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法1.Abel 判别法dx x f a ⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；2.Dirichlet 判别法F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛.三 无界函数反常积分的收敛判别法1.Cauchy 判别法设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(px b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法⎰ba dx x f )(收敛，)(x g 在),[b a 上单调有界，则⎰ba dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法⎰-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰ba dx x g x f )()(收敛.总 结函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。
数学分析 反常积分习题解答
b
b
使 f (x)g(x)dx g(b) f (x)dx;
a
(2)若g(x) 在 [a,b]单调减少, 且 g(b) 0,
则 [a,b],
b
使 f (x)g(x)dx g(a) f (x)dx.
a
a
..
Abel 判别法:
定 理
设积分 f (x)dx收敛 , g(x) 在 [a,b] 上单调有界, a
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
1
e dx
例 讨论积分
的敛散性.
0 x p ln x
例 证明积分
1
0
1 xp
sin
1 x
dx
当
p 2 时收敛.
例 判别积分的收敛性: (ⅰ) 1 ln x dx ; (ⅱ) 2 x dx
0x
1 ln x
例 讨论反常积分 ( ) x 1 dx 的敛散性.
例 讨论积分 sin x dx 的敛散性. 1x
例
讨论积分
sin x
1
arctan x dx x
的敛散性.
四. 无界函数反常积分收敛判敛法: 无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反
常积分. 以只有一个奇点 x b 为例, 列出相应的结果如下:
定理8.2.1’ (Cauchy收敛原则)
8
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
2
Dirichlet 判别法:
5
设F ( A) A f (x)dx在区间 [ a , ) 上有界, a
g(x)
在
[a,b]
上单调有界且
lim
x
g
(
x)
0
ch反常积分的收敛判别法
于是，由比较判别法，当 a ( x)dx 发散时 a
f ( x)dx 也发散。
数学分析
例 8.2.2
解 因为
3
讨论 1
3
dx 的敛散性。 x 3x 5x 2x 1
4 3 2
1
由于 1
3
x 3x 5x 2x 1 1 1 dx 收敛，所以 1 3 4 dx 收敛。 4 3 2 x x 3x 5x 2x 1
f ( x ) dx 。
A
A
f ( x)dx
数学分析
cos 2 x sin x 例 8.2.1 讨论 1 dx 的敛散性（ a 是常数）。 3 2 x a 解 因为当 x 1时有 cos 2 x sin x 1 ， 3 2 x x x a cos 2 x sin x 1 dx 收敛，由比较判别法， 1 已知 1 dx 绝 3 2 x x x a cos 2 x sin x 对收敛，所以 1 dx 收敛。 3 2 x a
推论
证1 对任意给定的 0 ，由于 a
f ( x)dx 收敛而非绝对收敛，则称 a
f ( x)dx
若反常积分 a
f ( x)dx 绝对收敛，则它一定收敛。
f ( x ) dx 收敛，所以存在
A0 a ，使得对任意 A, A A0 ，成立 利用定积分的性质，得到
A
A
1、非负函数反常积分的收敛判别法
)上恒有 定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a , 0 f ( x) K( x)，其中 K 是正常数。则
（1） 当 a ( x)dx 收敛时 a （2） 当 a
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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ห้องสมุดไป่ตู้
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
ch-8-2反常积分的收敛判别法
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
最新习题82反常积分的收敛判别法
习题82反常积分的收敛判别法习题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中«Skip Record If...»或«SkipRecord If...»时，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在«Skip Record If...»上恒有«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是正常数。
则当«Skip Record If...»收敛时«Skip Record If...»也收敛；当«Skip Record If...»发散时«Skip Record If...»也发散。
证当«Skip Record If...»收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：。
«Skip Record If...»于是，«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»也收敛；当«Skip Record If...»发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：。
反常积分收敛判断
反常积分收敛判断
摘要：
1.反常积分的定义及作用
2.反常积分收敛的判断方法
3.反常积分的应用举例
正文：
一、反常积分的定义及作用
反常积分，又称为不定积分，是指在一个定义域上，对一个函数进行积分，积分结果与定义域无关的积分。
反常积分通常用来计算函数在一段区间上的积分值，它可以用来求解微分方程的解以及研究函数的性质等。
二、反常积分收敛的判断方法
判断反常积分是否收敛，主要有以下几种方法：
1.柯西积分准则：如果一个函数在定义域上满足柯西积分准则，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
2.积分区间长度：如果一个函数在定义域上的长度是有限的，并且函数在这个区间上是连续的，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
3.分部积分法：可以将函数分解成部分，然后分别求解每个部分的反常积分，如果这些部分的积分都是收敛的，那么原函数的反常积分也是收敛的。
三、反常积分的应用举例
举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 1/x在区间[1, 2] 上的积分值，我们可以使用反常积分的方法。
首先，将函数分解成部分，即f(x) = 1/x =
H(x) - H(2)，其中H(x) 是函数x 的反函数。
然后，我们可以分别求解H(x) 和H(2) 在区间[1, 2] 上的积分值，再将它们相减，即可得到f(x) 在区间[1, 2] 上的积分值。
综上所述，反常积分是一种重要的数学工具，它可以帮助我们求解许多实际问题。
Ch 8.2 反常积分
g(x) 在 [a,b] 上单调有界
lim g ( x) = 0 , x → +∞
∫
+∞
a
收敛. f ( x) g ( x)dx 收敛 A—D 判别法
Abel 判别法 Dirichlet 判敛法
+∞
例
讨论积分
sin x 的敛散性. dx 的敛散性. ∫ x 1
sin x arctan x dx 的敛散性. 的敛散性. x
ⅲ>
c = +∞ ⇒
∫ ϕ ( x)dx = +∞时， f ( x)dx = +∞ ∫
Cauchy判敛法 判敛法: 判敛法
+∞
在比较判敛法中, 以 在比较判敛法中
∫
1
dx 1 为比较对象, 即取 ϕ ( x ) = p , 为比较对象, p x x
则得到以下的Cauchy判敛法 以下取 a > 0 . 判敛法. 则得到以下的 判敛法
∫
A
a
f ( x)dx 单调不减，因此
+∞
f 在 [a, +∞) 上不可积 ⇔ ∫
a
f ( x)dx = +∞
比较判别法
定理 8.2 设定义在 [ a , +∞ ) 上 0 ≤ f ( x ) ≤ K ϕ ( x ),
K 是正数，则
( ) (ⅰ) 当 (ⅱ) 当
∫
∫
+∞
a
ϕ ( x ) dx 收敛时, ∫ ,
x →b −
则积分
∫ f ( x) g ( x)dx
a
b
收敛. 收敛
1
例
讨论积分
dx ∫ x p ln x 0
反常积分收敛性判断方法
反常积分收敛性判断方法
积分收敛性是科学研究的基本要求，是数学统计学和高等数学的重要概念。
反常积分收敛性是指某个积分的结果没有收敛，在趋于一定值的情况下，结果无限逼近此值，结果却不在围绕此值徘徊，而是继续增加、持续变大，
从而引起反常的现象。
反常积分收敛性的判断方法有多种，其中最常用的一种方法是采用数值法。
在某个积分结果无收敛，而变大的情况下，我们可以比较多次计算得到
的数值，发现它们存在连续性递增或者趋向于一定值，但是这个值再次以不
断增大的趋势变化，由此就可以得出反常积分收敛性的结论。
另外，在判断反常积分收敛性时还可以采用理论分析法，即仔细分析被
计算积分的概念，通过求积分的过程分析，判断是否存在反常积分收敛性现象。
总之，反常积分收敛性的判断，既可以采用实验数据、仿真分析和数值
统计方法，也可以采用理论分析方法，也可以综合运用这两种方法，以便尽
早发现反常积分收敛性的情况，以及其引起的其它问题。
反常积分p级数收敛判别法
反常积分p级数收敛判别法积分和级数是数学分析中非常重要的概念，关于级数收敛判别的问题已经有了很多成熟的方法，其中之一就是反常积分p级数收敛判别法。
本文将对反常积分p级数收敛判别法进行详细的介绍和讨论。
1. 什么是反常积分p级数首先，我们来回顾一下反常积分的定义。
对于函数f(x)，如果在区间[a, +∞)上连续且非负，那么我们可以定义其反常积分为：∫(a→+∞) f(x)dx = lim_(b→+∞) ∫(a→b) f(x)dx接下来，我们来介绍反常积分p级数。
设f(x)是一个在区间[a, +∞)上的非负函数，如果存在一个常数p，使得f(x)满足以下条件：1/p ∫(a→+∞) f(x)dx < +∞那么我们称该反常积分为反常积分p级数。
p级数形式如下：∑_(n=a)^(+∞) f(n)其中，n是正整数。
2. 反常积分p级数的收敛与发散判别法对于反常积分p级数，我们有以下两条重要的判别法则。
2.1 比较判别法给定两个非负函数f(x)和g(x)，如果f(x)≤g(x)对于x>a成立，那么我们有以下结论：1/p ∫(a→+∞) g(x)dx 收敛，则1/p ∫(a→+∞) f(x)dx 收敛1/p ∫(a→+∞) f(x)dx 发散，则1/p ∫(a→+∞) g(x)dx 发散这个判别法的核心思想是，如果一个更大的函数收敛，那么一个更小的函数一定也会收敛。
同样，如果一个更小的函数发散，那么一个更大的函数也一定会发散。
2.2 极限判别法设f(x)是一个非负函数，在区间[a, +∞)上连续，如果存在正数p和常数c，使得当x>a时，有以下不等式成立：f(x) ≤ c·x^(-p)那么我们有以下结论：p>1，1/p ∫(a→+∞) f(x)dx 收敛p≤1，1/p ∫(a→+∞) f(x)dx 发散这个判别法的核心思想是，如果函数f(x)能够以x的幂函数的形式被控制住，那么其反常积分一定具有收敛性的判断。
习题82反常积分的收敛判别法20页word文档
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
反常积分的收敛判别法
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
A0
Байду номын сангаас
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
数学分析
第二节 反常积分的收敛判别法
一、Cauchy收敛原理 二、无穷区间形式
三、无界函数形式
四、小 结
重点：反常积分收敛的判别 难点: 反常积分的收敛的应用
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f
(
x)dx
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0
l
，则
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
反常积分收敛判断
反常积分的收敛判断可以通过以下几种方法进行：
1.比较判别法：将原积分函数与已知函数进行比较，通过比较函数的大小关系来判断反常积分是否收敛。
如果原积分函数在某个区间内小于已知函数，则该积分收敛；如果原积分函数在某个区间内大于已知函数，则该积分发散。
2.极限判别法：将原积分函数拆分为两个积分，然后分别对它们的积分上限取极限，如果这两个极限都存在，且它们的和存在，则该积分收敛；否则，该积分发散。
3.绝对收敛法：如果原积分函数的绝对值在积分区间上可积，则该积分收敛。
这种方法适用于一些比较复杂的积分函数，但需要进行复杂的计算。
4.直接计算法（或称定义法）：通过直接计算反常积分来判断敛散性。
若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。
此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。
这些方法有各自的优点和适用范围，需要根据具体问题选择合适的方法进行判断。
习题8.2反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+a dx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A Aεϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+a dx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛。
例如xx f 1)(=，)21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 发散，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当121≤<p 时发散，当1>p 时收敛。
⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数。
⑴ 若f x Kxp ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；⑵ 若f x Kxp ()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰∞+adx x f )(发散。
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1。
⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x-++-+∞⎰ln ; ⑵⎰∞++131tan arc dx x x;⑶110++∞⎰x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞⎰（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++--x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x -++-+∞⎰ln 收敛。
（2）当+∞→x 时，31arctan x x +～32xπ， 所以积分⎰∞++131tan arc dx x x收敛。
（3）因为当0≥x 时有xx x +≥+11sin 11，而积分dx x⎰∞++011发散，所以积分110++∞⎰x x dx |sin |发散。
（4）当+∞→x 时，pqxx +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx qp11++∞⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞⎰发散。
⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛与f x dx ()-∞+∞⎰收敛是等价的。
证 显然，由f x dx ()-∞+∞⎰收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞⎰收敛。
由于)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，可知极限+∞→A lim =)(A F +∞→A lim⎰-AA dx x f )( 存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ，于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立≤⎰'A Adx x f )(ε<-)'()(A F A F与≤⎰--BB dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，这说明积分⎰∞+0)(dx x f 与⎰∞-0)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞⎰收敛。
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin x x xdx 2+∞⎰; ⑵ sin x x dx p 1+∞⎰（+∈R p ）;⑶ ⎰∞+1tan arc sin dx xx x p（+∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20+∞⎰; ⑸ ⎰∞+an mxdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点。
） 解 （1）因为⎰=Axdx A F 2sin )(有界，x x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→xxx ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰收敛； 由于≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x xx-=，而积分 ⎰∞+2ln ln ln dx x x 发散，⎰∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分⎰∞+2sin ln ln ln dx x xx 发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰条件收敛。
（2）当1>p 时，p px x x 1sin ≤，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分 sin xxdx p 1+∞⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，px 1在),1[+∞单调，且01lim=+∞→px x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|sin |dx x x p发散，所以当10≤<p 时积分sin xx dx p1+∞⎰条件收敛。
（3）当1>p 时，≤px xx arctan sin px 2π，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx xxx p绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，pxxarctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1arctan sin dx x xx p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1sin arctan dx x xxp发散，所以当10≤<p 时积分 ⎰∞+1arctan sindx xxx p条件收敛。
（4）令2x t =，=⎰∞+02)sin(dx x ⎰∞+02sin dt tt ，由于⎰∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞⎰条件收敛。
（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2xK≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(绝对收敛。
当1+=m n 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知⎰∞+a nmxdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛。
当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞→)()(lim，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(发散。
⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5。
定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得⑴ f x K b x p()()≤-，且p <1，则f x dx ab()⎰收敛； ⑵ f x K b x p()()≥-，且p ≥1，则f x dx a b()⎰发散。
证 （1）当p <1时，积分⎰-bapdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b pεηη<-⎰--')(1。
由于≤⎰--')(ηηb b dx x f εηη<-⎰--')(b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰收敛。