热传导方程求解-分离变量法

P u v ,Q u v , R u v
x
y
z
格林公式
P u v ,Q u v , R u v
x
y
z
P x
Q y
R z
dV
P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) dS
(u2v)dV
(gradu
gradv)dV
u
v n
dS
(u2v)dV
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
4、 u f
x2 y2 z2
调和函数
• 具有两阶连续偏导数的且满足拉普拉斯方程 的连续函数
• 狄氏问题就是在Ω内找到一个调和函数u，且
u f
第二边值问题（牛曼问题）
• 在某光滑的闭曲面Г上给定了连续函数f， • u（x，y，z）满足：
1、在Г内部的区域Ω中是调和函数； 2、在闭域Ω＋Г上连续； 3、在Г上任一点处的法向导数存在，且
齐次方程非齐次初始 条件定解问题用分离 变量法直接写出通解
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
1、定解问题的初始条件也是齐次的
不必分为两部分，本身就是一个非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特征函数法、冲量法求解
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
2、方程中的自由项与t无关（x的函数或者常数）
一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值， 特征函数系
方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系
一维振动 一维传导
u(0,t) 0 u(l,t) 0
u(0, t) 0 ux (l, t) 0
ux (0, t) 0 u(l,t) 0
ux (0, t) 0 ux (l,t) 0
X (x) X (x) 0
X
'(0)
X
'(a)
0
n
( n a
)2
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
cos
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
Xn (x)
cos
n a
x
n 0,1, 2....
两组边界条件可对调
圆/扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系
区域
边界条件
特征值问题
X (0)
X (a) 0
n
( n a
)2
0
n 1, 2,....
Xn (x)
sin
n a
x
n 1, 2....
0 xa 0 yb
u(0, y) ux (a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 )2 2a
冲量法 特解法
分离变量法解题思路与技巧
– 第一要审题，关键看方程特点（类型、齐次、非齐次的
自由项）与边界条件（一定是齐次的，如果不是齐次 的，首先要化成齐次的） – 第二根据边界条件写出特征值与特征函数（一sin二 cos零端异，相同相异正半长）
分离变量法解题思路与技巧
– 第三，如果方程是齐次的，直接写出通解，通解是叠加 形式，即特征函数的级数展开，特别注意二二类边界条 件还有一项u0不要丢。
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0
n 1, 2,....
Xn (x)
sin
n l
x
n 1, 2....
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
(2n 1 )2 2l
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2l
可得到
(r2 u ) 0 r r
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
u
C1 r
C2
u 1 (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
求其圆对称解 u u(r) （解只与半径有关，与角度无关）可得到
求解得 u C1 ln r C2
平面拉氏方程的基本解
u ln 1 (r 0) r
• 三维拉普拉斯方程的基本解
v1
1
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
• 二维拉普拉斯方程的基本解
v ln 1 ln
1
r
(x x0 )2 ( y y0 )2
4.2 格林公式
• 奥－高公式
P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
特征值
特征函数系
n ( ) 1, cos n ,sin n,
n 1, 2...
n ( )源自文库 1, cos n ,sin n,
n 1, 2...
n
(
)
sin
n
,
n 1, 2...
n
(
)
sin
n
,
n 1, 2...
重点掌握
• 振动、热传导、拉氏问题齐次方程的求解 • 振动、热传导非齐次方程的求解 • 齐次方程可直接利用上表 • 非齐次方程－特征函数法
n n
第二格林公式
格林公式
(u2v)dV
u
v n
dS
(gradu gradv)dV
空间域
求定解问题
utt a2uxx Asint , 0 x l
ux x0 ux xl 0 , t 0
u t0 ( x), ut t0 ( x) , 0 x l
vtt
a 2v xx vx
Asint ,
x0 vx xl
0 0
x
l
特征函数法
v t0 0, vt t0 0
非齐次方程求解
特征函数法
根据边界条件写出特征函数
1 应用拉氏变换方法 2 非齐次方程的通解=所对应的齐次方程的通解+非齐 次方程的特解（参数变异法） 非齐次方程的特解，可以依据f（x，t）的形式来确定。
二 冲量法
某一时刻的强迫振动可以 转换为某时刻的初始速度
对热传导问题亦可，将 自由项转化为某一时刻 的初始温度
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
0 2 0 0
0 2 1 0
0 0 0
0 1 0
u 0 f ( )
u( ,) u(, 2 )
u 0 f0 ( ) u 1 f1( )
u( ,) u(, 2 )
u 0 f ( )
u 0 u 0 u 0 f0 ( ) u 1 f1( )
u 0 u 0
如果能够找到一个点源所产生的场，利 用叠加的方法就可以算出任意源的场
格林函数
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
• §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 • §4.2 格林公式 • §4.3 格林函数 • §4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏
问题的解
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
• 拉普拉斯方程：描述稳定和平衡物理现象的方程
第二章要求
• 分离变量法的实质、适用范围及解题步骤 • 掌握齐次一维振动和热传导方程在11 12 21 22类
边界条件下对应的特征值问题、特征值，特征函数 系及定界问题的形式解，掌握矩形域、扇（环）域 （11 12 21 22类齐次边界）及圆（环）（自然周 期条件）上Laplace方程边值问题的特征值问题， 特征值，特征函数及形式解 • 掌握一维振动和热传导非齐次方程解法
牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
设
此方法在某些情况下失效，比如
•求解一维波动问题的解。
u
utt
t0
a2uxx 0, ut
t 0
A
0
ux
x0 ux
xl 0
已经学过的偏微分方程解法
• 行波法 • 分离变量法 • 特征函数法 • 积分变换法 • 冲量法 • 转换法 • 特解法
数理方程中的定解问题反映了物理现象中一种 特定的场和产生这种场的源之间的关系。
u
v n
dS
(gradu gradv)dV
(4.2)
第一格林公式
格林公式
(u2v)dV
u
v n
dS
(
gradu
gradv)dV
(4.2)
• 将上式中的u，v交换位置，得到
(v2u)dV
v
u n
dS
(gradv
gradu)dV
(4.3)
（4.2）与（4.3）相减，得到
(u2v v2u)dV (u v v u )dS (4.4)
2u
2u x2
2u y2
2u z 2
0
与t无关，无初始条件 边界条件：两种边值问题
第一边值问题（狄氏问题）
• 在空间（x，y，z）中某一区域Ω的边界Г上给定了 连续函数f，
• u（x，y，z）满足：
1、 在闭域Ω＋Г(Ω)上连续；
2、 在Ω内有二阶连续偏导数；
3、 满足拉普拉斯方程 2u 2u 2u 2u 0
必须会
• 一、一（0，l），
• 一、二， • 二、一， • 二、二类边界条件的特征值和特征函数 • 上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问
题(矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式(注意：二 二类解里多一个u0，λ＝0） • 圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 • 解题时可以直接使用，不过要写出“根据。。。。的 边界条件及分离变量法，可得：”
u n
f
内问题
• 在边界上给定某些边界条件，在区域内 部求拉普拉斯方程的解
狄氏问题
牛曼问题
外问题
• 在区域外部求调和函数且满足边界条件 • 在求解外问题时，常常附加一下条件：
limu(x, y, z) 0 r x2 y2 z2
r
limu 0 有界
r
r x2 y2
狄氏外问题（以三维空间为例）
冲量法
wtt a2uxx , 0 x l wx x0 wx xl 0
w t0 ( x), wt t0 ( x)
分离变量法
特解法
• 在某些情况下可通过求非齐次方程的特解 将非齐次方程转化为齐次方程
utt a2uxx Asint , 0 x l
ux x0 ux xl 0 , t 0
Q(x, y, z)
在 上连续，在 内具有
一阶连续偏导数
P x
Q y
R z
dV
P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) dS (4.1) 边界 外法向的方向余弦
格林公式
• 设 u(x, y, z)，v(x, y, z) 在 具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数
u t0 ( x), ut t0 ( x) , 0 x l
非齐次边界条件的处理
没有齐次边界就构不成特征值 问题，就无法使用分离变量法。
解决方法：顶杠法
令
选一函数
不惜一切代价凑
为齐次边界问题
在特殊情况下
方程和边界可以同时齐次化 令
Vtt a2Vxx a2W ( x) f ( x)
– 第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适 当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等）
非齐次方程求解
• 典型的非齐次方程定解问题
也可不分解成两部分，直接 用特征函数法
先分成两部分：齐次 方程非齐次初始条件， 非齐次方程齐次初始 条件，再分别求解。
非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特 征函数法、冲量法求解；
Xn (x)
cos
n l
x
n 0,1, 2....
矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值， 特征函数系
方程 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系
空间两维拉 氏问题（矩
形域）
u(0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
1
x
n 0,1, 2....
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
(2n 1 2l
)2
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
cos
2n 2l
1
x
n 0,1, 2....
X (x) X (x) 0
X
'(0)
X
'(l)
0
n
( n l
)2
0
n 0,1, 2,....