(完整版)分式的运算及题型讲解
(完整版)分式加减乘除运算
(三)分式 的运算知识点一:分式 的乘法 ---分式乘分式,用分子 的积作为积 的分子,分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ;3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、; 2、; 3、; 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4;x y x y ;x y x y3a 3b 25a b 396、; 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二:分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2; 2、; 3、; 4、; 5、; 6、1、3y3x3zx y知识点四:分式 的除法 --分式除以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4;3x512xy 5a28x y ;2、 3xy6xy16a y 321、;3、 ;4、 ;5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2;9、 x 4y 22x 2y2y x ;7、;8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五:分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、; 4、; 5、;2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2;7、6、2b 22c db a1.下列各式计算结果是分式 的是( ). x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32.下列计算中正确 的是().- 1(A)(-1)=- 1 (B)(- 1)=11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43.下列各式计算正确 的是().1 (A) m ÷n · m =m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m =n).4.计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)-1(B)1(C) (D)aa b5.下列分式中,最简分式是( ).x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9. ( ) ( )2 __________.3 10. [(x ) ]3 2__________.y 2 y知识点六:分式 的加减运算法则:①同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减②异分母分式相加减,先通分,变为同分母 的分式,再加减x 1 1; 2、a 2a 3c117102;1、; 3、; 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ;y x; 6、 ; 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、; 9、; 10、;2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2;12、 xy2 axy知识点 7:分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ; ;2、x1 ;3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8:化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简,再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简,再求值: (2x 3xx 9,其中 x 2.2、先化简,再求值: 1)÷x ,其中 x=.x321 x 1 x 3 5 ),其中 x =- 4x 2x 3.4、先化简,再求值:2、先化简,再求值: 1,其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1,其中aa 1 25、先化简,再求值:a 2 2a 1分式阶段水平测评(二)1.下列分式中是最简分式 的是( ).2x 4 x 1 1 x (D )x 1(A )(B )(C )22x 12xx 12.用科学记数法表示 0.000078,正确 的是().(A )7.8×10-5 (B )7.8×10-4 (C )0.78×10-3(D )0.78×10-41 3.下列计算:① ( 1)01;② ( 1) 1 1;③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2.其;④3a 3中正确 的个数是().(A )4 (B )3(C )1( D )0 1 1 1(R 1 R ),则表示 R 的公式是( 4.已知公式1).2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2(A ) R 1(C ) R 1) .(D ) R 1() R 1B RR 2RR 2R 2RR 25.下列分式 的运算中,其中结果正确 的是(( a ) 231a 1 b2 a 3(A )( B )abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 (C )a b( D )a b a 3a a ).a 24 a 2a6.化简 ( (A )-4的结果是().a 2(B ) 4 (C )2a(D)2a+4二、填空题(每小题 4分,计 16分)27.若 (a 1)0有意义,则 a ≠. 8.纳米是非常小 的长度单位, 1纳米 =0.000000001米,那么用科学记数法表示 1纳米 =米.x y y 1 2 x y9.如果= .,则 a b 2m dc10.若 a 、b 互为相反数, c 、d 互为倒数, m 的绝对值为 2,则 .a b c三、解答题11.计算化简(每小题 5分,计 20分)x 2 4x 2(x 9);( 1) 2 x x 2;(2)2x 3x2 3a 4 1 a 1;( 4) a(3) a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112.请将下面 的代数式尽可能化简,再选择一个你喜欢 的数(要合适哦! )代入求值:a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.(10分)先化简,再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14.(10分)若关于 x 的方程的解是 x=2,其中 a b ≠ 0,求 的值. b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式,则;2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式,则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2.2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c;2mnmn4 2228.已知 x y 3, xy 2,求 x 2 y ,x y的值。
分式的运算例题讲解
15.2 分式的运算1.分式的乘除(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 用式子表示为:a b ·c d =a ·c b ·d . (2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:a b ÷c d =a b ·d c =a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法,然后根据乘法法则进行运算,结果要化为最简分式.【例1】 计算:(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ; (2)a 2-1a 2+2a +1÷a 2-a a +1;(3)a 2-4a 2+4a +4·2a a 2-4a +4; (4)4x 2+4xy +y 22x +y÷(4x 2-y 2).2.分式的乘方(1)法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.(2)用式子表示:⎝⎛⎭⎫a b n =a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时,分子、分母要乘相同次方;(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样.【例2】 计算:(1)⎝⎛⎭⎫a 2-b 34; (2)⎝⎛⎭⎫x 2y -z 23.3.分式的加减(1)同分母分式相加减:①法则:分母不变,把分子相加减; ②用式子表示:a c ±b c =a ±b c. (2)异分母分式相加减:①法则:先通分,变为同分母的分式,再加减;②用式子表示:a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算,分子加减时要将其作为一个整体进行加减,当分子是多项式时,要添加括号;(2)异分母分式加减运算的关键是先通分,转化为同分母的分式相加减,再根据同分母分式加减法进行运算,通分时要注意最简公分母的确定;(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式.【例3】 计算:(1)(a -b )22ab +(a +b )22ab ; (2)a a 2-1-11-a 2; (3)1x +y -1x -y +2x x 2-y 2;(4)12m 2-9+23-m ; (5)x -3x 2-1-2x +1; (6)4a +2-a -2.4.整数指数幂一般地,当n 是正整数时,a -n =1a n (a ≠0).这就是说,a -n (a ≠0)是a n 的倒数.这样引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整数.根据整数指数幂的运算性质,当m ,n 为整数时,a m ÷a n =a m -n ,a m ·a -n =a m +(-n )=a m -n ,因此a m÷a n =a m ·a -n .特别地,a b=a ÷b =a ·b -1,所以⎝⎛⎭⎫a b n =(a ·b -1)n ,即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b -1)n . 这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:(1)a m ·a n =a m +n (m ,n 是整数);(2)(a m )n =a mn (m ,n 是整数);(3)(ab )n =a n b n (m ,n 是整数).【例4】 计算:(1)⎝⎛⎭⎫-23-2; (2)a 2b -3(a -1b )3÷(ab )-1.5.科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为a ×10n 的形式,其中1≤|a |<10,n 为原数整数部分的位数减1;(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时,可以表示为a ×10-n 的形式,其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零),1≤|a |<10.提示:用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小.【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来:(1)650 000; (2)-36 900 000; (3)0.000 002 1; (4)-0.000 006 57.6.分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算.谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同,即从左到右的顺序,有括号先算括号里面的;(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理,以及结果符号的确定;(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式.7.分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同,必须按照运算顺序,先乘方,再乘除,后加减,有括号时先去小括号再去中括号,最后结果要化为最简分式或整式.解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意:(1)按照运算顺序进行,确定合理的运算顺序是解题的关键;(2)灵活运用交换律、结合律、分配律,可以使运算简捷,而且还可以提高运算速度和准确率;(3)将结果化为最简分式或整式;(4)运算过程中要注意符号的确定.8.把分式化简后再求值 分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值.化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算.【例6】 计算:1-x 2x 2+4x +4÷(x -1)2·x 2+3x +2x -1.【例7】 计算:⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2-b 2a 2+2ab +b 2+2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a +1b 2·2a 2-b 2+2ab.【例8】 先化简,再求值:⎝⎛⎭⎫3x x -1-x x +1·x 2-12x ,其中x =-3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题,关键是理解题意,找准各种量之间的关系,这也是解决数学应用题的基本方法,作差法等也是解决这类问题的常用方法.在判断两分式的差的正负的时候,可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题.作差法举例:若x ≠y 且x >0,y >0,比较4x +y 与x +y xy的大小.【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件,甲每小时比乙多生产8个,现要求甲生产出168个零件,乙生产出144个零件,则他们两人谁能先完成任务?10.分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时,首先还是要正确进行分式的化简,然后还要注意问题的多解的情况.举例:已知P =a 2+b 2a 2-b 2,Q =2ab a 2-b 2,用“+”或“-”连接P ,Q 共有三种不同的形式:P +Q ,P -Q ,Q -P ,请选择其中一种进行化简求值,其中a =3,b =2.【例10】 已知A =1x -2,B =2x 2-4,C =x x +2.将它们组合成(A -B)÷C 或A -B÷C 的形式,请你从中任选一种进行计算.先化简,再求值,其中x =3.。
(完整版)分式常见题型汇总
知识点:1、能理解因式分解的概念并能正确判别。
2、会用提取公因式,运用公式法分解因式。
重点:1、运用提取公因式法分解因式。
2、运用公式法分解因式。
难点:综合运用提公因式法,公式法分解因式,体会因式分解的作用。
分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m -n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a -b)= a 2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2(一)分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π,是分式的有: .题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时,下列分式有意义(1)44+-x x (2)232+x x (3)122-x (4)3||6--x x (5)xx 11-题型三:考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0.(1)31+-x x (2)42||2--x x (3)653222----x x x x题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】(1)当x 为何值时,分式x -84为正; (2)当x 为何值时,分式2)1(35-+-x x 为负; (3)当x 为何值时,分式32+-x x 为非负数.练习:1.当x 取何值时,下列分式有意义:(1)3||61-x (2)1)1(32++-x x(3)x 111+2.当x 为何值时,下列分式的值为零:(1)4|1|5+--x x (2)562522+--x x x3.解下列不等式(1)012||≤+-x x (2)03252>+++x x x(二)分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2.分式的变号法则:ba b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.(1)y x y x 41313221+- (2)b a b a +-04.003.02.0题型二:分数的系数变号【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.(1)yx y x --+- (2)b a a --- (3)b a ---题型三:化简求值题【例3】已知:511=+y x ,求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示:整体代入,①xy y x 3=+,②转化出y x 11+.【例4】已知:21=-x x ,求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求yx 241-的值. 练习:1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(1)y x y x 5.008.02.003.0+- (2)b a b a 10141534.0-+2.已知:31=+x x ,求1242++x x x 的值.3.已知:311=-b a ,求a ab b b ab a ---+232的值.4.若0106222=+-++b b a a ,求ba b a 532+-的值.5.如果21<<x ,试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.(三)分式的运算1.确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一:通分【例1】将下列各式分别通分.(1)c b a c a b ab c 225,3,2--; (2)a b b b a a 22,--;(3)22,21,1222--+--x x x x x x x ; (4)aa -+21,2题型二:约分【例2】约分:(1)322016xy y x -;(3)n m m n --22;(3)6222---+x x x x .题型三:分式的混合运算【例3】计算:(1)42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-; (2)22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+; (3)m n m n m n m n n m ---+-+22; (4)112---a a a ; (5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--; (6))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ; (7))12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四:化简求值题【例4】先化简后求值(1)已知:1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值;(2)已知:432z y x ==,求22232z y x xz yz xy ++-+的值;(3)已知:0132=+-a a ,试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五:求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ,试求N M ,的值.练习:1.计算 (1))1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ; (2)ab ab b b a a ----222;(3)ba b b a ++-22; (4))4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-;(5)2121111x x x ++++-; (6))2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2.先化简后求值(1)1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a . (2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(y x x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3.已知:121)12)(1(45---=---x B x A x x x ,试求A 、B 的值. 4.当a 为何整数时,代数式2805399++a a 的值是整数,并求出这个整数值.分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.(一)分式方程题型分析题型一:用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程(1)x x 311=-;(2)0132=--x x ;(3)114112=---+x x x ;(4)x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.题型二:特殊方法解分式方程【例2】解下列方程(1)4441=+++x x x x ; (2)569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法,设y x x =+1;(2)裂项法,61167++=++x x x .【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三:求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根,求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数,求a 的取值范围. 提示:032>-=a x 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a .题型四:解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示:(1)d c b a ,,,是已知数;(2)0≠+d c .题型五:列分式方程解应用题练习:1.解下列方程:(1)021211=-++-x x x x ;(2)3423-=--x x x ; (3)22322=--+x x x ;(4)171372222--+=--+x x x x x x (5)2123524245--+=--x x x x (6)41215111+++=+++x x x x (7)6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2.解关于x 的方程:(1)b x a 211+=)2(a b ≠;(2))(11b a xb b x a a ≠+=+.3.如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根,求k 的值.4.当k 为何值时,关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数.5.已知关于x 的分式方程a x a =++112无解,试求a 的值.(二)分式方程的特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:一、交叉相乘法例1.解方程:231+=x x二、化归法例2.解方程:012112=---x x三、左边通分法例3:解方程:87178=----x x x四、分子对等法例4.解方程:)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5.解方程:417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6.解方程:87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7.解方程:41315121+++=+++x x x x(三)分式方程求待定字母值的方法例1.若分式方程x m x x -=--221无解,求m 的值。
分式题型知识点总结
分式题型知识点总结一、分式的概念分式是指用一整数分子和一整数分母表示的数,其一般形式为a/b。
其中,a称为分子,b称为分母,分子和分母都是整数,且分母不为0。
分式可以表示整数和小数之间的关系,也可以表示两数之间的比值关系。
二、分式的化简1. 化简分式的方法(1)约分:分式的分子分母同时除以它们的最大公约数。
(2)整体化简:可以将分式中的数、字母像化简代数式一样进行整体化简。
2. 化简分式的步骤(1)找分式的最大公约数;(2)约分得到最简分式。
三、分式的性质1. 分式的值域:分式的值域由分母产生,要合理确定分母的范围。
2. 分式的比较:要比较分式大小,可以通分后比较分数值的大小。
3. 分式的乘法:分式的乘法,可以直接将分子相乘得到新的分子,分母相乘得到新的分母。
4. 分式的除法:分式的除法,可以转化为乘法,即将除数取倒数化为乘法。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法:分式的加减法都需要通分后进行计算,计算完毕后再作进一步的化简。
2. 分式的乘法:分式的乘法直接将分子相乘得到新的分子,分母相乘得到新的分母,再进行化简。
3. 分式的除法:分式的除法可以转化为乘法,即将除数取倒数改为乘法,再将两个分式相乘。
五、分式的应用1. 分式在生活中的应用:比如在购物时计算打折后的价格、在合作中分配利润等。
2. 分式在代数中的应用:在方程、不等式的计算过程中,常会出现分式的运算。
六、综合练习1. 简单计算练习:如化简分式、分式的加减乘除等。
2. 应用题练习:如生活中买东西打折、分配利润等应用题。
以上就是关于分式的概念、化简、性质、运算等知识点的总结,希望对你有所帮助。
在学习分式的过程中,要多做练习,加深自己对分式的理解,提高分式的运算能力。
专题07 分式的运算(考点清单+18种题型解读)(解析版)
专题07分式的运算(18种题型解读)【分式的相关概念】分式的概念:如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A B叫做分式,A为分子,B为分母.对于分式A B来说:①当B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意义.②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时,分式值为0.③当A=B时,分式的值为1.当A+B=0时,分式的值为-1.④若A B>0,则A、B同号;若A B<0,则A、B异号.约分的定义:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫分式的约分.最简公式的定义:分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.通分的定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,这一过程叫做分式的通分.通分步骤:①定最简公分母;②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义:通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母叫做最简公分母.确定最简公分母的方法:【考点题型一】分式的判断1.(23-24八年级下·河南南阳·阶段练习)在代数式K,2,2r3,+中,属于分式的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.(23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习)在代数式12、2+12、B、3K、+1中,分式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.(23-24八年级上·全国·课堂例题)下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?,,r,2,−1,3,K,K1,−5,2+.4.(23-24八年级下·山西大同·的取值范围是()A.>0B.≠2C.>2D.≥2【答案】C【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件,此为基础且重要知识点,必须熟练掌握.根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案.【详解】解:由题意可得−2>0,解得>2,故选:C.5.(23-24八年级下·全国·x的取值范围是()A.>2且≠3B.≥2C.≠3D.≥2且≠3【答案】D【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件,根据分式分母不能为零,二次根式被开方数需大于等于零列出不等式,求解即可.【详解】解:由题意得−2≥0且−3≠0,解得:≥2且≠3,故选:D.6.(23-24八年级上·河北邯郸·期末)已知=2时,分式1□无意义,则□所表示的代数式是()A.−2B.+2C.D.2【答案】A7.(23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习)对于分式K r,当J−1时,其值为0,当=1时,此分式没有意义,那么s的值分别是()A.−1,−1B.1,1C.1,−1D.−1,1【答案】A【分析】本题考查了分式没有意义的条件以及分式值为0的条件,解题的关键是由题意正确得到−1−=0,1+=0,求解即可。
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果,一般形式为$\frac{a}{b}$,其中$a$和$b$都是整式,且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法:当分母相同时,可以直接将分子相加或相减,分母保持不变。
例如:$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时,可以先化简再运算。
例如:$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时,需要通分后再计算。
例如:$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法:将两个分式相乘时,只需要将分子相乘得到新的分子,分母相乘得到新的分母。
例如:$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法:将一个分式除以另一个分式时,可以将两个分式的倒数相乘。
例如:$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简:当分式的分子和分母均存在公因式时,可以将分子和分母同时除以最大公因式,化简分式。
例如:$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外,对于复杂的分式运算,可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧:1.提取公因式:当分子或分母中的各项均存在公因式时,可以将这些公因式提取出来,化简分式。
例如:$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解:当分子或分母中的整个式子能够因式分解时,可以进行因式分解后再化简。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数,通常由分子和分母两部分组成,分子表示分数的一部分,分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作,主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后,进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后,化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算,然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用,如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解:分子和分母可以同时除以2,得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$,所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解:先将两个分式通分,得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$,再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解:将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$,再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式,得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解:将两个分式进行倒数运算,得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
分式与分式运算(完整版)
分式的概念及基本性质一、同步知识梳理1.分式的概念形如AB (A ,B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子叫做分式.其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
2.与分式有关的“三个条件” (1)分式AB 无意义的条件是B =0;(2)分式AB 有意义的条件是B ≠0;(3)分式AB值为零的条件是A =0且B ≠0.二、同步题型分析题型一:考查分式的定义例1 指出下列各式中,哪些是分式?221x x -,45b c +,37,221x -,23a a ,2132a b +.题型二:考查分式有意义的条件例2(1)当x 时,分式2132x x ++有意义;当x 时,分式2323x x +-有意义.(2)下列各式中,无论x 取何,分式都有意义的是( )A .121x +B .21x x +C .231x x+ D .2221x x +题型三:考查分式的值为0的条件 例3 当m 为何值时,分式的值为0?(1)1m m -; (2)23m m -+; (3)211m m -+..三、课堂达标检测1. 梯形的面积为S ,上底长为m ,下底长为n ,则梯形的高写成分式为 .2. 下列各式11x +,1()5x y +,22a b a b --,23x -,0 中,是分式的有______ _____;是整式的有___ ______. 3. 当x =_______ ___时,分式x x 2121-+无意义;当x =______ ____时,分式2134x x +-无意义. 4. 当x =____ __时,分式392--x x 的值为零;当x =______ ____时,分式2212x x x -+-的值为零.5. 当x =___ ___时,分式436x x +-的值为1;当x ___ ____时,分式271x -+的值为负数. 6. 下列各式①3x ,②5x y +,③12a-,④2x π-(此处π为常数)中,是分式的有 ( )A .①②B .③④C .①③D .①②③④ 7. 分式21x ax +-中,当x a =-时,下列结论正确的是 ( ) A .分式的值为零 B .分式无意义 C .若12a ≠-时,分式的值为零 D .若12a =-时,分式的值为零 8. 下列各式中,可能取值为零的是 ( )A .2211m m +-B .211m m -+C .211m m +- D .211m m ++9. 使分式21aa -无意义,a 的取值是 ( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 10.已知234x y x-=-,x 取哪些值时: (1)y 的值是正数;(2)y 的值是负数;(3)y 的值是零;(4)分式无意义.1、分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变。
(完整版)分式的运算及题型讲解
(完整版)分式的运算及题型讲解§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则:(1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
(意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘)。
用式子表示:bd ac d c b a =?(2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘。
用式子表示:2、应用法则时要注意:(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则:根据乘方的意义和分式乘法法则,分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方,然后再相除。
用式子表示:(其中n 为正整数,a ≠0)2、注意事项:(1)乘方时,一定要把分式加上括号;(2)在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有bcad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ??多项式时应先因式分解,再约分;(3)最后结果要化到最简。
三、分式的加减法(一)同分母分式的加减法1、法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用式子表示:2、注意事项:(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
(二)异分母分式的加减法1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。
用式子表示:bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项:(1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
(2)若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。
(完整版)分式加减乘除运算
(三)分式 的运算知识点一:分式 的乘法 ---分式乘分式,用分子 的积作为积 的分子,分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ;3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、; 2、; 3、; 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4;x y x y ;x y x y3a 3b 25a b 396、; 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二:分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2; 2、; 3、; 4、; 5、; 6、1、3y3x3zx y知识点四:分式 的除法 --分式除以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4;3x512xy 5a28x y ;2、 3xy6xy16a y 321、;3、 ;4、 ;5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2;9、 x 4y 22x 2y2y x ;7、;8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五:分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、; 4、; 5、;2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2;7、6、2b 22c db a1.下列各式计算结果是分式 的是( ). x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32.下列计算中正确 的是().- 1(A)(-1)=- 1 (B)(- 1)=11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43.下列各式计算正确 的是().1 (A) m ÷n · m =m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m =n).4.计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)-1(B)1(C) (D)aa b5.下列分式中,最简分式是( ).x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9. ( ) ( )2 __________.3 10. [(x ) ]3 2__________.y 2 y知识点六:分式 的加减运算法则:①同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减②异分母分式相加减,先通分,变为同分母 的分式,再加减x 1 1; 2、a 2a 3c117102;1、; 3、; 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ;y x; 6、 ; 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、; 9、; 10、;2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2;12、 xy2 axy知识点 7:分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ; ;2、x1 ;3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8:化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简,再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简,再求值: (2x 3xx 9,其中 x 2.2、先化简,再求值: 1)÷x ,其中 x=.x321 x 1 x 3 5 ),其中 x =- 4x 2x 3.4、先化简,再求值:2、先化简,再求值: 1,其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1,其中aa 1 25、先化简,再求值:a 2 2a 1分式阶段水平测评(二)1.下列分式中是最简分式 的是( ).2x 4 x 1 1 x (D )x 1(A )(B )(C )22x 12xx 12.用科学记数法表示 0.000078,正确 的是().(A )7.8×10-5 (B )7.8×10-4 (C )0.78×10-3(D )0.78×10-41 3.下列计算:① ( 1)01;② ( 1) 1 1;③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2.其;④3a 3中正确 的个数是().(A )4 (B )3(C )1( D )0 1 1 1(R 1 R ),则表示 R 的公式是( 4.已知公式1).2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2(A ) R 1(C ) R 1) .(D ) R 1() R 1B RR 2RR 2R 2RR 25.下列分式 的运算中,其中结果正确 的是(( a ) 231a 1 b2 a 3(A )( B )abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 (C )a b( D )a b a 3a a ).a 24 a 2a6.化简 ( (A )-4的结果是().a 2(B ) 4 (C )2a(D)2a+4二、填空题(每小题 4分,计 16分)27.若 (a 1)0有意义,则 a ≠. 8.纳米是非常小 的长度单位, 1纳米 =0.000000001米,那么用科学记数法表示 1纳米 =米.x y y 1 2 x y9.如果= .,则 a b 2m dc10.若 a 、b 互为相反数, c 、d 互为倒数, m 的绝对值为 2,则 .a b c三、解答题11.计算化简(每小题 5分,计 20分)x 2 4x 2(x 9);( 1) 2 x x 2;(2)2x 3x2 3a 4 1 a 1;( 4) a(3) a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112.请将下面 的代数式尽可能化简,再选择一个你喜欢 的数(要合适哦! )代入求值:a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.(10分)先化简,再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14.(10分)若关于 x 的方程的解是 x=2,其中 a b ≠ 0,求 的值. b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式,则;2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式,则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2.2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c;2mnmn4 2228.已知 x y 3, xy 2,求 x 2 y ,x y的值。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一)分式的定义及有关题型考查分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子A/B为分式。
例1:下列代数式中是分式的有:(x- y)/(2x+ y),π/(2x- y),(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件:分式有意义:分母不为0 (B≠0)分式无意义:分母为0 (B=0)例1:当x有何值时,下列分式有意义:1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件:分式值为:分子为A且分母不为0 (A/B) 例1:当x取何值时,下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2:当x为何值时,下列分式的值为零:1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件:分式值为正或大于0:分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0:分子分母异号 (A/B<0) 例1:(1) 当x为何值时,分式4/(8-x)为正;2) 当x为何值时,分式5-x/(5+x)为负;3) 当x为何值时,分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2:解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1,-1的条件:分式值为1:分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1:分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1:若分式|x-2|/(x+2)的值为1,-1,则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题:1、若a>b>0,a2+b2-6ab=0,则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式:-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
分式的运算(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则;当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法(1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键,它的法则是:①取各分母系数的最小公倍数;②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取;③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。
(2)同分母的分式加减法法则(3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。
3. 分式乘方的法则(n为正整数)4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题:(1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关;(2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式;(3)运算中及时约分、化简;(4)注意运算律的正确使用;(5)结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1:计算的结果是()A. B. C. D.分析:原式故选C说明:先将分子、分母分解因式,再约分。
例2:已知,求的值。
分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。
解:原式例3:已知:,求下式的值:分析:本题先化简,然后代入求值。
化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。
最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解:故原式例4:已知a、b、c为实数,且,那么的值是多少?分析:已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进行简化。
解:由已知条件得:所以即又因为所以例5:化简:解一:原式解二:原式说明:解法一是一般方法,但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式,而它的分解需要拆、添项,比较麻烦;解法二则运用了乘法分配律,避免了上述问题。
分式的运算掌握分式的四则运算方法
分式的运算掌握分式的四则运算方法分式是数学中的一个重要概念,它在实际生活中具有广泛的应用。
掌握分式的四则运算方法是学习和应用分式的基础。
本文将介绍分式的四则运算方法,并提供一些例题进行讲解。
1. 加法运算分式的加法运算可以通过分母的通分来实现。
具体步骤如下:- 首先,将两个分式的分母化为相同的公分母。
- 然后,将两个分式的分子相加得到分式的新分子。
- 最后,将得到的新分子与公分母组合,即得到最简分式。
例题1:计算 1/2 + 1/3解:首先,找到两个分式的公分母,分别为6。
然后,将分子相加得到新分子1+2=3。
最后,得到最简分式3/6,可以进一步化简为1/2。
2. 减法运算分式的减法运算也可以通过分母的通分来实现。
具体步骤如下:- 首先,将两个分式的分母化为相同的公分母。
- 然后,将两个分式的分子相减得到分式的新分子。
- 最后,将得到的新分子与公分母组合,即得到最简分式。
例题2:计算 3/4 - 1/5解:首先,找到两个分式的公分母,分别为20。
然后,将分子相减得到新分子15-4=11。
最后,得到最简分式 11/20。
3. 乘法运算分式的乘法运算可以通过分式的分子和分母的相乘得到结果的分子和分母。
具体步骤如下:- 将两个分式的分子相乘得到新分子。
- 将两个分式的分母相乘得到新分母。
- 最后,将得到的新分子与新分母组合,即得到最简分式。
例题3:计算 2/3 * 1/4解:将分子相乘得到新分子2*1=2。
将分母相乘得到新分母3*4=12。
最后,得到最简分式 2/12,可以进一步化简为 1/6。
4. 除法运算分式的除法运算可以通过将除法转化为乘法来实现。
具体步骤如下:- 将除号改为乘号。
- 将第二个分式取倒数,即将分子与分母互换位置。
- 将乘法运算进行简化,得到最简分式。
例题4:计算 3/4 ÷ 1/5解:将除号改为乘号,得到 3/4 * 5/1。
将第二个分式取倒数,得到3/4 * 5/1 = 3/4 * 5/1 = 15/4。
中考数学专题复习 专题03 分式的运算(教师版含解析)
中考专题03 分式的运算一、分式的概念,A、B是整式,B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A叫做分式1.分式:形如AB的分子,B叫做分式的分母。
分式有意义的条件是分母不等于02.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分。
3.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。
分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。
4.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.二、分式运算法则1.分式的四则运算:(1)同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用(2)异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.2.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. 8.分式的除法法则:(1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.(2)除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数.【经典例题1】(2020年•安顺)当x=1时,下列分式没有意义的是( )A.x+1x B.xx−1C.x−1xD.xx+1【标准答案】B【答案剖析】A.x+1x,当x=1时,分式有意义不合题意;B.xx−1,当x=1时,x﹣1=0,分式无意义符合题意;C.x−1x,当x=1时,分式有意义不合题意;D.xx+1,当x=1时,分式有意义不合题意;【点拨】直接利用分式有意义的条件分析得出标准答案.【知识点练习】(2019江苏常州)若代数式13xx+-有意义,则实数x的取值范围是( )A.x=-1 B.x=3 C.x≠-1 D.x≠3【标准答案】D.【答案剖析】本题考查分式有意义的条件,只要分母不为0,分式就有意义,由x-3≠0得x≠3,因此本题选D.【点拨】分式的分母不能等于0,是求分式有意义的关键。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子,B 叫做分母。
需要注意的是,分式的分母不能为 0,因为分母为 0 时,分式没有意义。
例如:\(\frac{x}{y}\),\(\frac{a + b}{c}\)都是分式,而\(\frac{3}{5}\)(分母不含有字母)就不是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即:对于分式\(\frac{A}{B}\),当\(B ≠ 0\)时,分式有意义。
例如:对于分式\(\frac{x + 1}{x 2}\),要使其有意义,则\(x 2 ≠ 0\),即\(x ≠ 2\)。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时,要同时满足两个条件:1、分子为 0,即\(A = 0\);2、分母不为 0,即\(B ≠ 0\)。
例如:若分式\(\frac{x 3}{x + 5}\)的值为 0,则\(x 3 = 0\)且\(x +5 ≠ 0\),解得\(x = 3\)。
四、分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为 0 的整式,分式的值不变。
用式子表示为:\(\frac{A}{B} =\frac{A×C}{B×C}\),\(\frac{A}{B} =\frac{A÷C}{B÷C}\)(\(C ≠ 0\))例如:\(\frac{2}{3} =\frac{2×2}{3×2} =\frac{4}{6}\),\(\frac{6}{9} =\frac{6÷3}{9÷3} =\frac{2}{3}\)五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子与分母的公因式。
例如:对分式\(\frac{6x}{9x^2}\)进行约分,分子分母的公因式为\(3x\),约分后为\(\frac{2}{3x}\)六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
专题15.2 分式的运算(解析版)
专题15.2 分式的运算1.分式的运算法则(1)同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为a b a b c c c ±±= (2)异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为 a c ad cb b d bd±±= (3)分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为a c ac b d bd⨯= (4)分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为a c a d ad b d b c bc÷=⨯= (5)分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2.整数指数幂:(1)m n m n a a a+⨯=(m n 、是正整数) (2)()n m mn a a =(m n 、是正整数(3)()n n n ab a b =(n 是正整数)(4)m n m n a a a-÷=(0a ≠,m n 、是正整数,m n >) (5)n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭(n 是正整数) (6)1n n aa-=(0a ≠,n 是正整数)【例题1】若+=2,则分式的值为 . 【答案】-4【解析】 +=2,可得m +n =2mn ,===﹣4【点拨】注意整体法思想解决问题。
【例题2】求式子÷的值,其中m=﹣2019.【答案】﹣1512.【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将m的值代入计算可得.解:原式=•=(m+3),当m=2019时,原式=×(﹣2019+3)=×(﹣2016)=﹣1512.【点拨】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.【例题3】先化简,再求值:÷(1﹣),其中a=5.【答案】a+2,7.【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可.【解答】解:÷(1﹣)=÷(﹣)=•=a+2,当a=5时,原式=5+2=7.【点拨】本题考查的是分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则是解题的关键.【例题4】某学生在化简求值:,其中x=时出现错误,解答过程如下,原式=(第一步)=(第二步) =(第三步)当x =是,原式=(第四步)(1)该学生解答过程从第 步开始出错的,其错误原因是 .(2)写出此题的正确解答过程.【答案】见解析。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文:分式,又称有理数,是数学中的一个重要概念,它由分子和分母组成,表示两个数的比值关系。
在分式的运算中,我们需要了解一些基本知识点,并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示,其中a为分子,b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有:1. 当分子为0时,分式的值为0,即0/b=0。
2. 当分母为1时,分式的值等于分子本身,即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时,分式的值为-1,即(-a)/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下:(1)将两个分式的分母化为相同的分母;(2)将两个分式的分子按照相同分母相加减;(3)将结果化简为最简形式。
例如:计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解:首先将三个分式的分母化为12,得到4/12 + 3/12 - 2/12,再将分子相加减,得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除,分母相乘除的原则。
具体步骤如下:(1)将两个分式的分子相乘或相除;(2)将两个分式的分母相乘或相除;(3)将结果化简为最简形式。
例如:计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解:根据乘除法的原则,分子相乘得到10,分母相乘得到24,再将结果化简为最简形式,得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去,使其达到最简形式。
具体步骤如下:(1)求分子和分母的最大公因数;(2)将分子和分母分别除以最大公因数。
例如:将12/18简化为最简分式。
解:求12和18的最大公因数为6,将分子和分母都除以6,得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题:小明爸爸买了一块布长3米,要均分给他和他妹妹,他分到几分之几的布?解:设小明分到的布的长度为x米,他妹妹分到的布的长度为y米,则由题意可得分式x/y=3/2。
完整版分式的计算
完整版分式的计算分式是数学中一种特殊的表达形式,由两个整数之间用分数线表示而成,其中分子表示被除数,分母表示除数。
分式的计算可以包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面将分别介绍这四种计算方法的完整版。
一、加法计算:对于两个分式的加法,可以先找到它们的公共分母,然后将分式的分子相加,分母保持不变。
例如,计算以下两个分式的和:(3/4)+(2/5)步骤1:确定公共分母,4和5的最小公倍数是20。
步骤2:对分子进行相加,得到:3/4+2/5=(15/20)+(8/20)=23/20步骤3:将分子23和分母20写在一起,得到最简分式:23/20所以,(3/4)+(2/5)=23/20二、减法计算:对于两个分式的减法,也需要找到它们的公共分母,然后将分式的分子相减,分母保持不变。
例如,计算以下两个分式的差:(5/6)-(1/3)步骤1:确定公共分母,6和3的公共倍数是6步骤2:对分子进行相减,得到:5/6-1/3=(5/6)-(2/6)=3/6步骤3:将分子3和分母6写在一起,得到最简分式:3/6所以,(5/6)-(1/3)=3/6三、乘法计算:对于两个分式的乘法,只需要将分式的分子相乘,分母相乘。
例如,计算以下两个分式的乘积:(2/3)*(4/5)步骤1:将分子相乘,得到:2*4=8步骤2:将分母相乘,得到:3*5=15步骤3:将分子8和分母15写在一起,得到最简分式:8/15所以,(2/3)*(4/5)=8/15四、除法计算:对于两个分式的除法,需要将除数的分子和被除数的分母相乘,除数的分母和被除数的分子相乘。
例如,计算以下两个分式的商:(3/4)÷(2/5)步骤1:将除数的分子和被除数的分母相乘,得到:3*5=15步骤2:将除数的分母和被除数的分子相乘,得到:4*2=8步骤3:将分子15和分母8写在一起,得到最简分式:15/8所以,(3/4)÷(2/5)=15/8以上就是分式的四种基本运算的完整版计算方法。
(完整版)分式专题讲解(知识点+例题+练习+中考经典题)
分式专题讲解 知识点一、分式的概念: 一般地,如果A 、B 表示两个整式,并且除式B 中含有字母,那么式子叫分式。
解读:(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志,它是分式与分数、整式的根本区别;分式A/B 有意义,则B =0(2)分式的分母的值不能等于零.若分母的值为零,则分式无意义;反之,若分式A/B 无意义,则B =0(3)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值才是零.反之,若分式A/B=0,则A =0,且B ≠0例题1、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?a ab 2,x 1,3s ,b a a --,πy x +,)(21b a -,)(1z x y -,a-31练习:这些代数式中x -,π4,x a ,y x y x -+2,a 5-,71,2ba -,x -3中,是分式的有( )。
A.3个B.4个C.5个D.6个练习:已知的值。
,求x x x 011=--练习:的值是的值为零,则b 32122---b b b ( ) A.1 B.-1 C.1± D.2练习:写出一个含字母x 的分式,使得不论x 取何值,分式都有意义。
练习:若0y 3y 21,322是)为负数()为正数;()(为何值时,y x xx y -=探索题型:观察下列各等式:323112=+,434122=+,545132=+,656142=+,......,设n 为正整数,试用含n 的等式表示这个规律。
1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是:MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于0的整式).特别提示:(1)在解题过程中,分母不为0是作为隐含条件给出的.若是分式,则说明分母中的字母一定能满足使分母不为0;(2)在运用分式的基本性质时,一定要重点强调分母不为0这个条件,没有给出的,要讨论是否等于0.例题1:下列运算中,错误的是( ).A.2b ab b a =B.b ab ab =2 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D .bc acb a =2、分式的约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。
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§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则:(1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
(意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘)。
用式子表示:bd ac d c b a =•(2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘。
用式子表示: 2、应用法则时要注意:(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则:根据乘方的意义和分式乘法法则,分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方,然后再相除。
用式子表示:(其中n 为正整数,a ≠0)2、注意事项:(1)乘方时,一定要把分式加上括号;(2)在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解,再约分;(3)最后结果要化到最简。
三、分式的加减法(一)同分母分式的加减法1、法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用式子表示:2、注意事项:(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
(二)异分母分式的加减法1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。
用式子表示:bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项:(1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
(2)若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。
(3)当分子的次数高于或等于分母的次数时,应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算,可使运算简便。
四、分式的混合运算1、运算规则:分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先乘方,再乘除,最后算加减。
遇到括号时,要先算括号里面的。
2、注意事项:(1)分式的混合运算关键是弄清运算顺序;(2)b c a b c b a ±=±有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用,要灵活运用交换律、结合律和分配律;(3)分式运算结果必须化到最简,能约分的要约分,保证运算结果是最简分式或整式。
例计算:(1)()212242-⨯-÷+-a a a a ; (2)222---x x x ; (3)xx x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+ 【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例 计算2312+++x x x +4222--x xx分析:不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算解:原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析:两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简。
解:原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x =1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x =)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x 分析:此类题可利用)(1m n n +=m 1(n 1-m 1)裂项相消计算。
解:原式=(x 1-11+x )+22(11+x -31+x )+33(31+x -61+x ) =x 1-61+x =)6(6+x x练习:4、分组计算技巧例 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析:通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4,第二项、第三项分母乘积为a 2-1,采取分组计算简捷。
解:原式=(21-a -21+a )+(12+a -12-a ) =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a练习:5、分式求值问题全解1)字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求da d d cbc c b a bd a a +++++++++的值. 【解析】 仔细观察已知条件,虽然出现的字母很多,但都可以用一个字母代替: a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简da d d cbc c b a bd a a +++++++++ =3332122113+++++++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a =32363233132++++++++++a a a a a a a a =)2(32)1(31323+++++++++a a a a a a a =31311++=35 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时,第一个要想到的方法就是字母带入法,因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示,所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2) 设值代入法例2. 已知cz b y a x ==,求证:22a x ca bc ab zx yz xy =++++ 【解析】这道题也可以用字母代入法,可以得到x ab y =,x ac z =,代入后分式的分子分母中有分式,化简麻烦。
我们用一种新的代入方式,考虑到a x 、b y 、c z 连等,让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck代入得cabc ab zx yz xy ++++=ca bc ab ckak bkck akbk ++++ =2k ca bc ab ca bc ab ++++ =222a x k =【探讨】 当遇到连等式,可以采用以下三种方式来运用这个条件设cz b y a x == 则(1)x ab y =,x ac z = (2)设k cz b y a x === 则x=ak y=bk z=ck (3)设k c z b y a x === 则k c b a z y x =++++ 其中0≠++c b a 3) 整式代入法例3. 已知:113a b -=,求分式232a ab b a ab b+---的值. 【解析】如果用字母代入法,要用b 代替a 本来就比较复杂,会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式,得 3=-aba b ,再将分式稍化简变为ab b a ab b a --+-)(3)(2,可以发现分子分母中只有(a-b)和ab 这两项,所以可以用ab 代替b-aab a b 3=-43336)(3)(2232=--+-=--+-=---+ab ab ab ab ab b a ab b a b ab a b ab a 【探讨】用整式代入法,能够很大程度地化简代数式,比字母代入法更优越,但要善于观察代数式的组成部分,比如这题,代数式就含有ab 和a-b 这两项,刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系,题目很快就解出来了。
4) 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的,我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
例4(方程变形). 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0,求2ab bc ca b++的值. 【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多,因为代数式比条件复杂,而且给代数式做形变漫无目的,往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式,三个字母,所以我们可以用一个字母表示其它字母,对已知条件变形得到方程组a+b+c=0 b=-2c==>a+2b+3c=0 a=c用c 代替a 、b 代入到分式中,能很快求解出来2ab bc ca b ++=434222222-=+--c c c c例5(非负变形). 已知:2286250a b a b +-++=,求22222644a ab b a ab b ---+的值. 【解析】观察已知条件,有平方项,所以可以化成平方的形式0)3()4(25682222=++-=++-+b a b a b a其中0)4(2≥-a 0)3(2≥+b 所以2)4(-a =0 2)3(+b =0得3,4-==b a再带入原式很容易求出解。
例6(对应变形). 证明:若a+b+c=0,则2222222221110.b c a c a b a b c ++=+-+-+- 【解析】这题可以用整式代入法,比如用-b-c 代替a ,但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同,如果用22)(c b a +=代入得到的分母截然不同,增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式,反而化简方便,比如:用a=-b-c 代入222a c b -+中的a ,得到-2bc用b=-a-c 代入222b a c -+中的b ,得到-2ac用c=-a-b 代入222c b a -+中的c ,得到-2ab原式=02212121=-++=-+-+-abcc b a ab ac bc 例7(倒数变形). 已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z ===≠+++且求证abac bc abc x -+=2 【解析】已知条件是y x xy +的形式,不能化简,如果颠倒分子分母,将a y x xy =+改写成 yx xy y x a 111+=+=的形式,使得x 、y 相互独立,简化已知条件。
写出变化后的形式y x a 111+=,z x b 111+=,zy c 111+= xz x y x z y c 2)11()11(111-+++=+= =xb a 211-+所以cb a x 1112-+= =abcab ac bc -+ 则ab ac bc abc x -+=2,得证。
例8(归类变形). 已知ac c b b a 111+=+=+,且a 、b 、c 互不相等,求证:1222=c b a 【解析】已知条件有三个字母,两个方程,若用a 表示b 、c ,能不能求出b 、c 的代数式都是问题。