第六章 线性系统的多项式矩阵理论 线性系统理论课件
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线性系统课件
2 2
21
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
则特解为：
1 2 2 10 rf ( t ) t t 3 9 27
可见，特解是由激励与系统方程共同决定的。 激励决定特解形式 系统方程决定系数
四、能控性和能观测性的概念
古典中：C(s)既是输出又是被控量
n 1
d r (t ) d r (t ) dr(t ) an n an 1 n1 a1 a0r (t ) dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de(t ) bm m bm1 m1 b1 b0e(t ) dt dt dt
二、线性定常连续系统的能控性判据
二、线性系统判定方法
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r (t ) 10r ( t ) 5 e( t ) ,t 0 dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 齐次性和叠加性。可以证明：
系统不满足齐次性 系统不具有叠加性
此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
证明齐次性
1.3 传递函数描述法的局限性
对于非零初始条件，这种描述不能应用。更为重要的是，输入输出描述不能揭示系统的内部行为。
例如：
从输入—输出关系来看，它们具有相同的传递函数：
1 G( s) s 1
但事实上这是两个不同的系统。这两个系统是不等价的 ，一个是能观不能控的，一个是能控不能观的。这表明 系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性要复杂 得多，输入—输出描述没有包含系统的全部信息，不能 完整的描述一个系统。
当e1 ( t ) e2 ( t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统， 应有
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1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
则特解为：
1 2 2 10 rf ( t ) t t 3 9 27
可见，特解是由激励与系统方程共同决定的。 激励决定特解形式 系统方程决定系数
四、能控性和能观测性的概念
古典中：C(s)既是输出又是被控量
n 1
d r (t ) d r (t ) dr(t ) an n an 1 n1 a1 a0r (t ) dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de(t ) bm m bm1 m1 b1 b0e(t ) dt dt dt
二、线性定常连续系统的能控性判据
二、线性系统判定方法
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r (t ) 10r ( t ) 5 e( t ) ,t 0 dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 齐次性和叠加性。可以证明：
系统不满足齐次性 系统不具有叠加性
此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
证明齐次性
1.3 传递函数描述法的局限性
对于非零初始条件，这种描述不能应用。更为重要的是，输入输出描述不能揭示系统的内部行为。
例如：
从输入—输出关系来看，它们具有相同的传递函数：
1 G( s) s 1
但事实上这是两个不同的系统。这两个系统是不等价的 ，一个是能观不能控的，一个是能控不能观的。这表明 系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性要复杂 得多，输入—输出描述没有包含系统的全部信息，不能 完整的描述一个系统。
当e1 ( t ) e2 ( t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统， 应有
线性系统理论全
稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
线性系统理论Chapter多项式矩阵理论PPT学习教案
又因为
R(s) = U11(s)D(s) +U12(s)N(s)
推出 R(s) = [U11(s)D1(s) +U12(s)N1(s)]R1(s) = W(s)R1(s)
表明R1(s)为R(s)的右乘因子。所以原 题得证 。
综上，多项式矩阵D(s)和N(s)的一个gcrd R(s)可通过对矩阵[DT(s)，NT(s)]T行初等变换得到，而相 应于各 初等运 算的初 等矩阵 按逆顺 序的乘 积阵则 为所找 的单模 阵U(s) 。
互质性的常用判据互质性的常用判据结论结论718718贝佐特等式判据贝佐特等式判据pppp和和qqpp的多项的多项式矩阵式矩阵ddss和和n在在pppp和和ppqq的多项式矩阵的多项式矩阵xxss和和yyss使成立使成立以下的贝佐特以下的贝佐特bezoutbezout等式等式xxssddssiipp第20页共45页22结论720秩判据给定pp和qp的多项式矩阵ds和nsrank结论722右互质判据给定pp和qp的多项式矩阵dsdetdegdetdeg左互质性判据左互质性判据与右互质性判据对偶第21页共45页23最大公因子构造关系式性质的进一步讨论最大公因子构造关系式性质的进一步讨论推论
结T(s论)为7.任9 A一(sn)维为单n维模非阵奇，异则多A(项s)式和矩阵A~，具(s有) 相A~同(s)的行T埃(s尔)A米(s) 特形。
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14
7.8 公因子和最大公因子
公因子和最大公因子定义
方多项式矩阵R(s)为具有相同列数N (的s) 两D个(s多) 项式矩N阵(s)N(Ns)(和s)RD((ss)),的一D(个s) 右 D公(s因)R子(s)，如果存 在方多项式矩和阵Q(s)为，具使有相同行数的两个多项式矩阵B(s)
多项式矩阵理论
6.1 多项式及其互质性
1 多项式及其性质
以复数 s 为自变量的实系数多项式 d(s)
d (s) dnsn dn1sn1 d1s d0 , s C, di R, i 0,1,2,n
❖ d(s) 的次数
：n = deg d(s)；
❖ d(s)为n 次多项式 ：最高次幂系数dn ≠ 0；
可化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。
6.2 多项式矩阵及其属性
1 多项式矩阵
多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。
以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为
a11(s) a1n (s)
A(s)
am1(s) amn (s)
【例6-3】一个2×3的多项式矩阵
最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个 公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的最大公因式。
注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s) 为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。
互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。
第六章
多项式矩阵理论 （数学基础部分）
引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）
50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的 “经典线性系统理论”。
经典线性系统理论的主要特征： 研究对象 → 线性定常单变量系统； 数学工具 → 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）； 研究方法 → 频率响应法； 理论优点 → 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量； 理论缺点 → ⑴ 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； ⑵ 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。
6-1线性系统综合 34页PPT文档
• 因此,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
本节讨论的主要问题： 基本概念: 状态反馈、输出反馈 基本性质: 反馈闭环系统的能控性/能观性
本节的讲授顺序为: 状态反馈的描述式 输出反馈的描述式 闭环系统的状态能控性和能观性
由于线性定常离散系统状态空间模型以及能控性判据的类同 性,因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统 的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。
– 相应地性能指标函数值则称为最优性能。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
• 系统综合问题,无论是对优化型还是非优化型性能指标函数, 首先存在2个主要问题。
– 一个是控制的存在性问题,即所谓可综合条件、控制规律 存在条件。
• 显然,只有对可综合的问题,控制命题才成立,才有必要去 求解控制规律。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
2. 闭环系统的状态能观性
对被控系统(A,B,C)有如下结论: 采用输出反馈构成的闭环系统H(A-BHC,B,C)后状态能 观性不变,即 输出反馈不改变状态能观性。
– 该问题称为系统鲁棒性问题。
– 基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁棒控制方法。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
6.1 状态反馈与输出反馈
• 控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所期 望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。 – 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策 略,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构 成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系统的 性能指标要求。
其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
本节讨论的主要问题： 基本概念: 状态反馈、输出反馈 基本性质: 反馈闭环系统的能控性/能观性
本节的讲授顺序为: 状态反馈的描述式 输出反馈的描述式 闭环系统的状态能控性和能观性
由于线性定常离散系统状态空间模型以及能控性判据的类同 性,因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统 的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。
– 相应地性能指标函数值则称为最优性能。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
• 系统综合问题,无论是对优化型还是非优化型性能指标函数, 首先存在2个主要问题。
– 一个是控制的存在性问题,即所谓可综合条件、控制规律 存在条件。
• 显然,只有对可综合的问题,控制命题才成立,才有必要去 求解控制规律。
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第6章 线性系统综合
2. 闭环系统的状态能观性
对被控系统(A,B,C)有如下结论: 采用输出反馈构成的闭环系统H(A-BHC,B,C)后状态能 观性不变,即 输出反馈不改变状态能观性。
– 该问题称为系统鲁棒性问题。
– 基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁棒控制方法。
2019/8/30
第6章 线性系统综合
6.1 状态反馈与输出反馈
• 控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所期 望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。 – 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策 略,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构 成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系统的 性能指标要求。
其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。
线性系统理论全课件
内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
2/4,2/50
(3) 状态向量：以系统的 个n 独立状态变量
x t , L, x t 作为分量的向量，即
1
n
x t x t , L, x t T .
1
n
(4) 状态空间: 以状态变量 x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
际上存在无穷多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异
变换.
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 2.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x&t At x t B t u t
yt Ct xt Dtut
g(s)
Y (s) U (s)
bm s m bm1s m1 b1s1 s n an1s n1 a1s
b0 a0
其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
(1)m=n,即系统为真情形
0 1 0 0 0
X 0
0
0 x u
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1 1
bn1s n1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分.
x1 y x2 y xn y(n1)
6/18,19/50
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
2/4,2/50
(3) 状态向量：以系统的 个n 独立状态变量
x t , L, x t 作为分量的向量，即
1
n
x t x t , L, x t T .
1
n
(4) 状态空间: 以状态变量 x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
际上存在无穷多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异
变换.
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 2.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x&t At x t B t u t
yt Ct xt Dtut
g(s)
Y (s) U (s)
bm s m bm1s m1 b1s1 s n an1s n1 a1s
b0 a0
其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
(1)m=n,即系统为真情形
0 1 0 0 0
X 0
0
0 x u
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1 1
bn1s n1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分.
x1 y x2 y xn y(n1)
6/18,19/50
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
线性系统理论课件
3
系统的线性性和非线性性 线性系统的分类 定常系统：参数不随时间变化 时变系统；参数是时间t 的函数
4
2、线性系统理论的主要任务 主要研究线性系统状态的运动规律和改变
这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示 系统结构、参数、行为和性能间的确定的和 定量的关系。 分析问题：研究系统运动规律 综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法
9
线性系统理论的主要学派 （1）线性系统的状态空间法 （2）线性系统的几何理论 （3）线性系统的代数理论 （4）多变量频域方法
10
7
3、线性系统理论的发展过程 20世纪50年代：古典线性系统理论已发展成熟， 传递函数，频率响应法 不足：难于处理多输入—多输出系统 20世纪60年代：现代系统与控制理论 状态空间法 解决：多输入—多输出系统
系统与控制理论 线性系统理论 最优控制理论 最优估计理论 随机控制理论 非线性系统理论 大系统理论
5
建立数学模型 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 变量：状态变量、输入变量、输出变量、 扰动变量 参量：系统的参数或表征系统性能的参数 常数：不随时间改变的参数
6
时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统
频率域模型：用传递函数、频率响应 适用于常系数系统
线性系统理论课件
1
第一章 绪论
1、线性系统理论的研究对象 线性系统，是一种理想化的模型； 可以用线性微分方程或差分方程来描述； 系统是由相互关联和相互作用的若干组成部 分按一定规律组合而成的具有特定功能的整 体； 动态系统---动力学系统
2
动力学系统--可用一组微分方程或差分方程 来描述； 当数学方程具有线性属性时，相应的系统 为线性系统； 线性系统满足叠加性； 线性系统可以用数学变换（付里叶变换， 拉普拉斯变换）和线性代数
系统的线性性和非线性性 线性系统的分类 定常系统：参数不随时间变化 时变系统；参数是时间t 的函数
4
2、线性系统理论的主要任务 主要研究线性系统状态的运动规律和改变
这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示 系统结构、参数、行为和性能间的确定的和 定量的关系。 分析问题：研究系统运动规律 综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法
9
线性系统理论的主要学派 （1）线性系统的状态空间法 （2）线性系统的几何理论 （3）线性系统的代数理论 （4）多变量频域方法
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3、线性系统理论的发展过程 20世纪50年代：古典线性系统理论已发展成熟， 传递函数，频率响应法 不足：难于处理多输入—多输出系统 20世纪60年代：现代系统与控制理论 状态空间法 解决：多输入—多输出系统
系统与控制理论 线性系统理论 最优控制理论 最优估计理论 随机控制理论 非线性系统理论 大系统理论
5
建立数学模型 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 变量：状态变量、输入变量、输出变量、 扰动变量 参量：系统的参数或表征系统性能的参数 常数：不随时间改变的参数
6
时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统
频率域模型：用传递函数、频率响应 适用于常系数系统
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1
第一章 绪论
1、线性系统理论的研究对象 线性系统，是一种理想化的模型； 可以用线性微分方程或差分方程来描述； 系统是由相互关联和相互作用的若干组成部 分按一定规律组合而成的具有特定功能的整 体； 动态系统---动力学系统
2
动力学系统--可用一组微分方程或差分方程 来描述； 当数学方程具有线性属性时，相应的系统 为线性系统； 线性系统满足叠加性； 线性系统可以用数学变换（付里叶变换， 拉普拉斯变换）和线性代数
线性系统理论全PPT课件
详细描述
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定 的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模 型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法 可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的 数学分支，主要研究线性系统的 动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性 和因果性等特性，这些特性使得 线性系统理论在控制工程、信号 处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指 标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方 程来分析系统的动态性能，可以得 到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描 述系统的动态性能，可以得到系统 的频率响应曲线和稳定性边界。
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定 的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模 型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法 可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的 数学分支，主要研究线性系统的 动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性 和因果性等特性，这些特性使得 线性系统理论在控制工程、信号 处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指 标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方 程来分析系统的动态性能，可以得 到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描 述系统的动态性能，可以得到系统 的频率响应曲线和稳定性边界。
线性系统理论第六章
1
0 1 18
1 12 144
所求增益矩阵为
0 0 1
kkQ 4, 66, 14 0 1 12 14, 186, 1220
F 能控（能观）= o 能控（能观）
018
线性反馈系统的时间域综合
状态反馈和输出反馈的比较 反馈信息的性质：
状态 x 可完全地表征系统结构的信息，
状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息 反馈系统，即状态反馈。
线性定常系统 x A x B u y Cx
控制 u 取为状态 x 的线性函数，
u K xv
称为状态反馈，线性的直接状态反馈。
011
线性反馈系统的时间域综合
控制 u 取为输出 y 的线性函数，
uFyv
称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。
v 为参考输入。
012
线性反馈系统的时间域综合
u x ：n 维状态向量，y ：q 维输出向量， ：p 维输入向量，
矩阵 A 、B 和 C 为常阵且为给定。
给定 ：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、
或极小（或极大）值一个性能函数。
003
线性反馈系统的时间域综合
所谓综合：
u 寻找一个控制作用 ，在其作用下系统的运动满足所给
出的期望性能指标。
控制作用规律常取为反馈的形式。 抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。 以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综 合问题。 综合是建立在系统分析的基础上的。
002
线性反馈系统的时间域综合
综合问题的提出
6.1 引言
给定系统的状态空间描述：
0 1 18
1 12 144
所求增益矩阵为
0 0 1
kkQ 4, 66, 14 0 1 12 14, 186, 1220
F 能控（能观）= o 能控（能观）
018
线性反馈系统的时间域综合
状态反馈和输出反馈的比较 反馈信息的性质：
状态 x 可完全地表征系统结构的信息，
状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息 反馈系统，即状态反馈。
线性定常系统 x A x B u y Cx
控制 u 取为状态 x 的线性函数，
u K xv
称为状态反馈，线性的直接状态反馈。
011
线性反馈系统的时间域综合
控制 u 取为输出 y 的线性函数，
uFyv
称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。
v 为参考输入。
012
线性反馈系统的时间域综合
u x ：n 维状态向量，y ：q 维输出向量， ：p 维输入向量，
矩阵 A 、B 和 C 为常阵且为给定。
给定 ：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、
或极小（或极大）值一个性能函数。
003
线性反馈系统的时间域综合
所谓综合：
u 寻找一个控制作用 ，在其作用下系统的运动满足所给
出的期望性能指标。
控制作用规律常取为反馈的形式。 抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。 以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综 合问题。 综合是建立在系统分析的基础上的。
002
线性反馈系统的时间域综合
综合问题的提出
6.1 引言
给定系统的状态空间描述：
线性系统 演示文稿 ppt课件
• 语句执行结果为
• a=
•
x1
x2 x3 x4
• x1 -10 -2.188 -0.3906 -0.09375
• x2 16
0
0
0
• x3
0
8
0
0
• x4
0
0
2
0
• b=
•
u1
• x1 1
• x2 0
• x3 0
• x4 0
• c=
•
x1 x2 x3 x4
• y1
1 0.4375 0.1875 0.09375
•
1 0 1 -2 -2 -4
•
2 1 -5 -2 9 6
•
0 2 3 2 6 -4
Qo =
100
•
0 -1 0
•
1 0 -1
•
120
•
-2 0 -2
•
-1 -4 -1
• Rc =
•
3
Ro =
3
• 从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观性矩阵的秩都是3，
为满秩，因此该系统是能控的，也是能观测的。
• 例4 Simulink中的线性定常系统状态空间描述下 的响应
• d=
•
u1
• y1 0
• 这个结果表示，该系统的状态空间表达式为
• X = [-10 -2.188 -0.3906 -0.09375 ]x
[1]u
[16
0
0
0
]
[0]
•
[0
8
0
0
] + [0]
•
[0
0
2
0
]
[0]
线性系统课件
输出仅取决于在t时刻 和t时刻之前的输入，而与t时刻之后的输入无关， 则称系统具有因果性或因果关系。具有因果关系的 系统称为因果系统，又称为物理可实现系统。
若系统在t时刻的输出不仅取决于在t时刻和t时
刻之前的输入，还与t时刻之后的输入无关，则称
系统不具有因果性。不具因果性的系统能够预测t
12
2.空间描述法
+ u
R
L
C
uc
可以用二阶微分方程式描述该系统 － 以i 和 u c 作为该系统的两个状态变量
duc C i dt di L Ri u c u dt
1 x2 C 1 R 1 x 2 x1 x 2 u L L L x1
1 i C 1 R 1 i uc i u L L L uc
n 1
d r (t ) d r (t ) dr(t ) an n an 1 n1 a1 a0r (t ) dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de(t ) bm m bm1 m1 b1 b0e(t ) dt dt dt
ˆ ˆ ˆ ˆ y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u 2 ( s ) ... g1r ( s )u r ( s ) ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u 2 ( s ) ... g 2 r ( s )u r ( s ) .... ˆ ˆ ˆ ˆ y m ( s ) g m1 ( s )u1 ( s ) g m 2 ( s )u 2 ( s ) ... g mr ( s )u r ( s )
y=Hu
式中，H是某一算子或函数，如传递函数就是一种算子。
若系统在t时刻的输出不仅取决于在t时刻和t时
刻之前的输入，还与t时刻之后的输入无关，则称
系统不具有因果性。不具因果性的系统能够预测t
12
2.空间描述法
+ u
R
L
C
uc
可以用二阶微分方程式描述该系统 － 以i 和 u c 作为该系统的两个状态变量
duc C i dt di L Ri u c u dt
1 x2 C 1 R 1 x 2 x1 x 2 u L L L x1
1 i C 1 R 1 i uc i u L L L uc
n 1
d r (t ) d r (t ) dr(t ) an n an 1 n1 a1 a0r (t ) dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de(t ) bm m bm1 m1 b1 b0e(t ) dt dt dt
ˆ ˆ ˆ ˆ y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u 2 ( s ) ... g1r ( s )u r ( s ) ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u 2 ( s ) ... g 2 r ( s )u r ( s ) .... ˆ ˆ ˆ ˆ y m ( s ) g m1 ( s )u1 ( s ) g m 2 ( s )u 2 ( s ) ... g mr ( s )u r ( s )
y=Hu
式中，H是某一算子或函数，如传递函数就是一种算子。
多项式矩阵理论
如何求gcd 以gcrd为例.
Why:
04级研究生《线性系统理论》教案
Gcd 的性质 以gcrd为例 gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why:
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.
04级研究生《线性系统理论》教案
非既约矩阵的既约化
1
通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
2
实质：降低行或列的次数
3
含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。
4
实现既约化以后，次数不能被降低了。
5
6.12 Smith形
史密斯形的特征
04级研究生《线性系统理论》教案
特征： Smith形的求法 见书。 对Smith形的一些讨论 对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。 （变换U(s),V(s)不唯一）
次数
6.10 列次数和行次数
03
01
02
04级研究生《线性系统理论》教案
如
多项式矩阵的列（行）次表示式
列次表示式 上例中的M(s)可表示为 一般地，
1
2
行次表示式
6.11 既约性
一. 既约性的定义 此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。 M(s)列既约： M(s)行既约： 注： 列既约和行既约之间无必然的联系； M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。 二. 既约性判据 如果已求出detM(s),则可利用定义判断； 利用列（行）次表示式
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G (s一) 个实现，则其最小实现的充分必要条件是（A，B）完全
能控，(A，C）完全能观测.
证: 先证必要性。已知（A，B，C）为最小实现，欲证（A， B）能控和（A，C）能观测。采用反证法，反设（A，B，C） 不是联合能控和能观测，则可通过系统结构规范分解找出其 能控和能观测部分 (A ~11,B ~1,，C ~1且) 必成立：
第六章 线性系统的多项式矩阵理论
在经典线性控制理论中，频率域方法曾是最为主要并占统 治地位的一类方法，研究对象为单输入单输出线性时不变系统， 系统描述为传递函数和频率响应，研究领域涉及系统性能的分 析和综合。
20世纪70年代以来，在线性系统状态空间方法的影响和推 动下，以多项式矩阵理论为基础的线性时不变系统的复频率域 理论得到很大发展，形成较为完整和成熟的现代线性系统复频 率域理论。罗森布罗克（H.H.Rosenbrock）和沃罗维奇 （W.A. Wolovich）在20世纪70年代前期的开创性研究是这 一理论发展的起点。
(A具0,有B0形,C式0)：
10
0 0 0Iq
A0
Iq
1Iq
,
Iq
l1Iq
C0 0, , 0, Iq
P0
B0
P1
Pl1
(6-10)
而真传递函数矩阵 G (s的) 能观形实现为 (A0,B。0,C0,E)
6.2.3 传递函数矩阵的最小实现
设给定严真（真）有理函数矩阵G(s) ，利用6.2.1和 6.2.2中的
C d(sim I A )A )( d 1B i m A ~ C ~ 111 )(s ( IA ~ 11 )1B ~ 1G (s)
4
据定义， (A ~11,B ~也1,C 是~1) 的实G现(s，) 且具有更小维数。这表明， （A，B，C）不是 的最小实G现(，s) 矛盾于已知条件。反设不
成立，即（A，B，C）能控和能观测。必要性得证。
为
5
1(s)
1(s)
M(s) U(s)G(s)V(s)
r(s)
0
0
r(s)
0
其中，U（s）和 V（s）为 q和p p单模p阵。那么， 的状G态(s)
空间实现的最小维数为
r
nmin degi(s) i1
6.2.1 标量传递函数的实现
g(s)esnn1n s n 1 s1n 1 1s1 s00
（6-4） 6
能控规范形实现
式（6-4）所示标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能 控规范形实现具有形式：
0 1
Ac
0
,
1
0 1
n1
能观测规范形实现
0
bc0 , cc0,1,,n1
1
（6-5）
式（6-4）所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的 能观测规范形实现具有形式：
0 0 1
X
o
span100,
0
,
1
1
100
0 0 0 11
P
1
1
0
1
0 0现代复频率域理论的特点是，采用传递函数矩阵的矩阵分 式描述作为系统数学模型，并以多项式矩阵方法作为系统分析 和综合的基本工具。
1
定理6.2（实现间关系） 对传递函数矩阵 G (，s)其不同实现间
一般不存在代数等价关系，但其所有最小实现间必具有代数等 价关系。
定理6.3（最小实现判据） 设（A，B，C）为严真传递函数的
9
0
Ip
Ac
lplp
0
0Ip 1Ip
Cc P0, P1, , Pl1
lplp
Ilp1Ip,
0
Bc
lplp
0
Ip
(6-9)
而真传递函数矩阵G (s的) 能控形实现为 (Ac,Bc,Cc,。E)
能观形实现
对式子（6-8）的以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数
矩阵 G，sp (其s) 能观测形实现
7
0 0 0
Ao1
1,
1 n1
0 bo 1,
n1
co0,,0,1
（6-6）
6.2.2 传递函数矩阵的实现
考虑以有理分式矩阵描述给出的真q传p 递函数矩阵 G (s)
G ( s ) (g i( js )),i 1 , ,q j 1 , ,p
进而，表 G (s为) “严真传递函数矩阵 q阶p G”sp和(s“) 阶q常阵p E”
充分性，略。
证毕。
严真传递函数矩阵 G的(s最) 小实现为不唯一但满足广义唯一 性。即若（A，B，C）和 (A, B为,C) 的任G意(s两) 个n维最小实现， 则必可基此构造出一个 非奇异n常阵nT使成立：
A T 1 A,TB T 1 B , C CT
对 q传p递函数矩阵 G(s)r, a，n其(sk史) 密G r斯-麦克米伦形
G s(p s ) d ( 1 s )P (s) d ( 1 s)P l 1 sl 1 P 1 s P 0
其中， P k(k0,1, 为,l1)常阵q. p
(6-8)
能控形实现
对式（6-8）的以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩 阵Gsp (，s) 其能控形实现 (Ac,具Bc有,C形c)式：
例6.3
1 s 1
G(s)
2
s
2
2
s
s2
0
1
解：可解出它的能控性实现 12
0 0 1 0
A
0
0
0
1
2 0 1 0
0
2
0
1
0 0
B
0
0
1 0
0
1
2 2 1 2
0 1
C
0
0
0
0
E
2
0
2 0 2 0
0 1
进行能观性分解
0
X n0
span
1 0 1
的方法求出 G(s) 的某种实现
x Ax Bu
y Cx
(6-11) 11
如果（6-11）是能观性实现，可应用第三章的方法对它进行 能控性分解，求出能控子系统
~xyA11~xC1~xB1u
就是G(s)的最小实现。
同样，如果（6-11）是能控性实现，可应用第三章的方法对 它进行能观性分解，求出能控子系统，则它是G(s)的最小实现。
之和，即
G ( s ) ( g i( j s ) ) ( e i) j ( g i s( js p ) ) E G s( s p )
（6-7）
8
且有 EG。(再) 表 诸Gs元p (s即) 诸元G的(最s) 小公分母
d(s)为
d (s ) s ll 1 s l 1 1 s0
基此，严真 q传p 递函数矩阵 G可sp (进s)而表为
能控，(A，C）完全能观测.
证: 先证必要性。已知（A，B，C）为最小实现，欲证（A， B）能控和（A，C）能观测。采用反证法，反设（A，B，C） 不是联合能控和能观测，则可通过系统结构规范分解找出其 能控和能观测部分 (A ~11,B ~1,，C ~1且) 必成立：
第六章 线性系统的多项式矩阵理论
在经典线性控制理论中，频率域方法曾是最为主要并占统 治地位的一类方法，研究对象为单输入单输出线性时不变系统， 系统描述为传递函数和频率响应，研究领域涉及系统性能的分 析和综合。
20世纪70年代以来，在线性系统状态空间方法的影响和推 动下，以多项式矩阵理论为基础的线性时不变系统的复频率域 理论得到很大发展，形成较为完整和成熟的现代线性系统复频 率域理论。罗森布罗克（H.H.Rosenbrock）和沃罗维奇 （W.A. Wolovich）在20世纪70年代前期的开创性研究是这 一理论发展的起点。
(A具0,有B0形,C式0)：
10
0 0 0Iq
A0
Iq
1Iq
,
Iq
l1Iq
C0 0, , 0, Iq
P0
B0
P1
Pl1
(6-10)
而真传递函数矩阵 G (s的) 能观形实现为 (A0,B。0,C0,E)
6.2.3 传递函数矩阵的最小实现
设给定严真（真）有理函数矩阵G(s) ，利用6.2.1和 6.2.2中的
C d(sim I A )A )( d 1B i m A ~ C ~ 111 )(s ( IA ~ 11 )1B ~ 1G (s)
4
据定义， (A ~11,B ~也1,C 是~1) 的实G现(s，) 且具有更小维数。这表明， （A，B，C）不是 的最小实G现(，s) 矛盾于已知条件。反设不
成立，即（A，B，C）能控和能观测。必要性得证。
为
5
1(s)
1(s)
M(s) U(s)G(s)V(s)
r(s)
0
0
r(s)
0
其中，U（s）和 V（s）为 q和p p单模p阵。那么， 的状G态(s)
空间实现的最小维数为
r
nmin degi(s) i1
6.2.1 标量传递函数的实现
g(s)esnn1n s n 1 s1n 1 1s1 s00
（6-4） 6
能控规范形实现
式（6-4）所示标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能 控规范形实现具有形式：
0 1
Ac
0
,
1
0 1
n1
能观测规范形实现
0
bc0 , cc0,1,,n1
1
（6-5）
式（6-4）所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的 能观测规范形实现具有形式：
0 0 1
X
o
span100,
0
,
1
1
100
0 0 0 11
P
1
1
0
1
0 0现代复频率域理论的特点是，采用传递函数矩阵的矩阵分 式描述作为系统数学模型，并以多项式矩阵方法作为系统分析 和综合的基本工具。
1
定理6.2（实现间关系） 对传递函数矩阵 G (，s)其不同实现间
一般不存在代数等价关系，但其所有最小实现间必具有代数等 价关系。
定理6.3（最小实现判据） 设（A，B，C）为严真传递函数的
9
0
Ip
Ac
lplp
0
0Ip 1Ip
Cc P0, P1, , Pl1
lplp
Ilp1Ip,
0
Bc
lplp
0
Ip
(6-9)
而真传递函数矩阵G (s的) 能控形实现为 (Ac,Bc,Cc,。E)
能观形实现
对式子（6-8）的以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数
矩阵 G，sp (其s) 能观测形实现
7
0 0 0
Ao1
1,
1 n1
0 bo 1,
n1
co0,,0,1
（6-6）
6.2.2 传递函数矩阵的实现
考虑以有理分式矩阵描述给出的真q传p 递函数矩阵 G (s)
G ( s ) (g i( js )),i 1 , ,q j 1 , ,p
进而，表 G (s为) “严真传递函数矩阵 q阶p G”sp和(s“) 阶q常阵p E”
充分性，略。
证毕。
严真传递函数矩阵 G的(s最) 小实现为不唯一但满足广义唯一 性。即若（A，B，C）和 (A, B为,C) 的任G意(s两) 个n维最小实现， 则必可基此构造出一个 非奇异n常阵nT使成立：
A T 1 A,TB T 1 B , C CT
对 q传p递函数矩阵 G(s)r, a，n其(sk史) 密G r斯-麦克米伦形
G s(p s ) d ( 1 s )P (s) d ( 1 s)P l 1 sl 1 P 1 s P 0
其中， P k(k0,1, 为,l1)常阵q. p
(6-8)
能控形实现
对式（6-8）的以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩 阵Gsp (，s) 其能控形实现 (Ac,具Bc有,C形c)式：
例6.3
1 s 1
G(s)
2
s
2
2
s
s2
0
1
解：可解出它的能控性实现 12
0 0 1 0
A
0
0
0
1
2 0 1 0
0
2
0
1
0 0
B
0
0
1 0
0
1
2 2 1 2
0 1
C
0
0
0
0
E
2
0
2 0 2 0
0 1
进行能观性分解
0
X n0
span
1 0 1
的方法求出 G(s) 的某种实现
x Ax Bu
y Cx
(6-11) 11
如果（6-11）是能观性实现，可应用第三章的方法对它进行 能控性分解，求出能控子系统
~xyA11~xC1~xB1u
就是G(s)的最小实现。
同样，如果（6-11）是能控性实现，可应用第三章的方法对 它进行能观性分解，求出能控子系统，则它是G(s)的最小实现。
之和，即
G ( s ) ( g i( j s ) ) ( e i) j ( g i s( js p ) ) E G s( s p )
（6-7）
8
且有 EG。(再) 表 诸Gs元p (s即) 诸元G的(最s) 小公分母
d(s)为
d (s ) s ll 1 s l 1 1 s0
基此，严真 q传p 递函数矩阵 G可sp (进s)而表为