不等式的性质
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性质2(传递性)
如果a>b,且b>c,则a>c.
证明:根据两个正数之和仍为正数,得
a b
b c
ab bc
0
0
(a
b)
(b
c)
0
a c 0 a c.
这个性质也可以表示为 c b, b a c a.
性质3 如果a>b,则 证a+明c>:b因+为c. a>b,所以a-b>0.
(移项法则)
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的
符号后,从不等式的一边移到另一边.
性质3推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d. (同向不等式可加) 可推广到 几个同向不等式的两边分别相加,所得 到的不等式与原不等式同向.
思考3 不等式还有什么其他性质吗? 解答:
性质4 可乘性 如果a>b,c>0,则ac>bc; 如果a>b,c<0,则ac<bc.
3.1.2 不等式的性质
(1)对于“甲的年龄大于乙的年龄”,你能换一种 不同的叙述方式吗? (2)如果甲的身高比乙高,乙的身高比丙高,你能 得出甲与丙哪个高吗? (3)我的年龄大于你的年龄,2年后我们年龄的关系, 10年后我们年龄的关系又会怎样? 要想解决上述问题,请进入本节课的学习!
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1.掌握不等式性质及各自成立的条件.(重点) 2.能利用不等式的性质比较大小和证明不等式. (难点)
(3)因为0<c<d,根据(1)的结论,得1 1 , 0
cd
又因为a>b>0,所以a 1 b.因 1此
c
d
a b. cd
从以上几个不等式的证明过程,可以看到:应用 不等式性质对已知不等式进行变形,从而得出要 证的不等式,是证明不等式的常用方法之一.
1.(2013·北京高考)设a,b,c∈R,且a>b,则( D )
ab
ab
即 1 1 . 因此 1 1 .
ba
ab
方法二:因为
1 a
1 b
=
b-a ab
,
又因为ab>0,a>b故b-a<0,
所以 1 1 0. ab
所以 1 1 . ab
(2)因为a>b,c<d,所以a>b,-c>-d,根据性质3的推
论2,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.
A.ac>bc
B.
1 a
1 b
C.a2>b2
D.a3>b3
解析:y=x3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a3>b3.
2. (2012·浙江高考)设a>0,b>0.( A ) A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<b C.若2a-2a=2b-3b,则a>b D.若2a-2a=2b-3b,则a<b
其中正确的命题是 ②③⑥⑦ .
1.熟记本节“四性质两法则”. 2.证明不等式时步步都要有依据(注意两数差的符 号,利用已经证明过的性质等). 3.性质4及其推论有条件的限制. 4.注意各个性质的形式.
思考1 在前面三个例子中,根据我们学习的 不等关系,如何加以描述呢? 提示:(1)可以描述成“乙的年龄小于甲的年龄”. (2)由题意知,甲的身高一定大于丙的身高. (3)2年后我的年龄依然大于你的年龄,10年后也 一样.
思考2 同学们结合上面的例子,能否 推测一下不等式的性质呢? 提示:性质1(对称性) 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b. 性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置, 所得不等式与原不等式异向.
解题过程中要注意c=0 .
要点归纳: 性质4推论1 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 可推广为更一般的结论:几个两边都是正数的同 向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原 不等式同向. 性质4推论2 如果a>b>0,则an>bn(n∈N+,n>1).
性质4推论3 如果a>b>0,则 n a (nn ∈b N+,n>1).
解析:当0<a ≤ b时,显然2a≤2b,2a ≤ 2b<3b,所 以2a+2a<2b+3b,即2a+2a≠2b+3b成立.所以它的逆否 命题:若2a+2a=2b+3b,则a>b成立,故A正确.B错误 当0 < a ≤ b时,由2a ≤ 2b,2a<3b,知2a-2a 与2b-3b的大小关系不确定,所以C不正确,D不正确.
3.对于实数,给出下列论述:
① 若a b, 则ac2 bc2 ② 若ac2 bc2,则a b
③若a b 0,则 a2 ab b2 ④ 若a b 0,则 1 1
ab
⑤若a b 0, 则 b a
⑥ 若a b 0,则 a b
⑦若c a b 0,则
a
a
bb
ca cb
例.应用不等式的性质,证明下列不等式:
(1)已知a>b,ab>0,求证:1 1 ;
a
b
(2)已知a>b,c<d,求证:a c b d ;
(3)已知a>b>0,0<c<d,求证:a b .
c
d
证明:
(1)方法一:因为ab 0, 所以 1 0. ab
又因为a b, 所以a 1 b 1 ,
因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=ab>0,即(a+c)-(b+c)>0. 因此a+c>b+c.
性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得 到的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
a b c a b (b) c (b) a c b.
要点归纳:
性质3推论1 a+b>c⇒a>c-b