数学分析复习1-一般级数,广义积分的收敛
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n n1
如 a n 收敛 称“绝对收敛” n 1 1. 设 a n收敛, n 1 如 a 发散 称“条件收敛” n n 1
一般级数中较为特殊的一种： 交错级数
设交错级数 ( 1) n1 an , an 0,
n1
三、莱布尼茨（Leibniz）判别法
证 ⑴
A
1
sin xdx cos A cos 1 2, 满 足1
sin x 1 dx收敛. g( x ) , 递减趋向于0, 满足2 1 x x sin x sin x sin2 x 1 cos 2 x ⑵ x x x 2x 2x cos 2 x 1 1 2 x dx收敛, 1 2 x dx 发散, sin x dx 发散. 1 x
k
k n 1
a
n p
.
四、Abel和Dirichlet判别法 — — anbn的判敛
n1
３. Dirichlet判别法
设{a n }, {bn }是两个数列,
Sk a1 a2 ak ,
bn 单调 0; ⒈ 如果它们满足：
则 a k bk收敛.
k 1
⒉ {Sk }有界；
４.阿贝尔（Abel）判别法
则 ak bk收敛.
k 1
设ak , bk 满足 1. bk 单调有界 2.
a 收敛，
k 1 k
sin nx 例2. p ，p 0 n n 1
1 p 单调 0; x (0, ) n
二、绝对收敛和条件收敛
如 ｜f ( x｜ ) dx收敛, 称
a a
f ( x )dx 绝对收敛.
如
a
f ( x )dx收敛, 但 ｜f ( x｜ ) dx发散，
a
称
a
f ( x )dx 条件收敛.
定理11.6
a
f ( x )dx 收敛
a
f ( x )dx 收敛
使得函数项级数收敛的点x0 收敛点.
收敛点的全体称为该级数的收敛点集； 发散点的全体称为该级数的发散点集。
例1.
n 2 n x 1 x x x n 0
解：当 x 1时, 级数收敛; x 1时, 级数发散.
收敛点集 : (1,1); 发散点集 : (,1] [1,).
四、Dirichlet判别法
定理11.9 设f和g满足下面两个条件 :
1 F ( A) f ( x )dx 在(a , )有界;
a A
2 g 在[a , )上单调, 且 lim g( x ) 0,
则
x
a
f ( x )g( x )dx 收敛.
例1
1
sin x dx — —条件收敛 x
x 2k
sin nx 由Dirichlet判别法, 收敛. p n 1 n
cos nx x 2k 收敛. 同理可证: p n1 n
wk.baidu.com
1 1 n ( 1) (1 ) (5 arctan n) 例6. n 2 ln n n
n
1 收敛(莱法) 解： ( 1) n 2 ln n 1 n n 1 (1 ) ( 1) ln n n n 2 1 n (1 ) 单调有界 收敛 ( Abel ) n
二、函数项级数的敛散性
在[a, b]上任取一点x0 , un ( x0 )是数项级数。
若给定x0 [a , b], un ( x0 )收敛,
称函数项级数
n 1
u ( x ) 在点 x 收敛；
n 1 n
0
n1
反之，称函数项级数在点 x0 发散。
如果级数在[a, b]的每点收敛, 称级数在[a, b]上收敛或[a, b]上逐点收敛.
所以g( x )递减趋向于0, 满足2 . x cos x 由Dirichlet判别法知 dx收敛. 1 1 x
三、和函数
在收敛点集D内, 定义S ( x) un ( x), x D
n 1
即 S ( x) lim S n ( x), x D
n
称为和函数.
4. 级数收敛的必要条件：
若 a n收敛，则lim a n 0.
n1 n
等价叙述为：若 lim an 0, 则 an发散.
⒈ 设交错级数 ( 1) n1 an , an 0,
n1
若{a n }递减趋于0, 则 ( 1) n1 an收敛.
n1
称此类交错级数为Leibniz 级数
柯西收敛准则 (Cauchy)：
an收敛
n1
0, N N
p N * 恒有
*
, 使n N时,
x n n sin kx sin 2 又 sin kx x k 1 k 1 sin 2 cos x 2n 1 cos x 1 2 2 x x sin sin 2 2 1 1 1 cos k x cos k x n 2 2 2 x k 1 sin 2
x cos x dx 的敛散性？ 例2 判断1 1 x x 证 设 f ( x ) cos x , g( x ) , 1 x
A
1
cos xdx sin A sin 1 2, 满足1 .
1 1 1 1 (1 x ) x (1 x ) 2 x g' ( x ) 2 x 0, 2 2 (1 x ) (1 x )
n
5 arctan n单调有界,
故原级数收敛（Abel）.
§11.2 无穷积分的Dirichlet和Abel 收敛判别法
一、 柯西收敛原理
定理11.5
a
f ( x )dx 收敛 对 0, A0 a ,
只要A' , A" A0 , 总有
A"
A'
f ( x )dx .
如 a n 收敛 称“绝对收敛” n 1 1. 设 a n收敛, n 1 如 a 发散 称“条件收敛” n n 1
一般级数中较为特殊的一种： 交错级数
设交错级数 ( 1) n1 an , an 0,
n1
三、莱布尼茨（Leibniz）判别法
证 ⑴
A
1
sin xdx cos A cos 1 2, 满 足1
sin x 1 dx收敛. g( x ) , 递减趋向于0, 满足2 1 x x sin x sin x sin2 x 1 cos 2 x ⑵ x x x 2x 2x cos 2 x 1 1 2 x dx收敛, 1 2 x dx 发散, sin x dx 发散. 1 x
k
k n 1
a
n p
.
四、Abel和Dirichlet判别法 — — anbn的判敛
n1
３. Dirichlet判别法
设{a n }, {bn }是两个数列,
Sk a1 a2 ak ,
bn 单调 0; ⒈ 如果它们满足：
则 a k bk收敛.
k 1
⒉ {Sk }有界；
４.阿贝尔（Abel）判别法
则 ak bk收敛.
k 1
设ak , bk 满足 1. bk 单调有界 2.
a 收敛，
k 1 k
sin nx 例2. p ，p 0 n n 1
1 p 单调 0; x (0, ) n
二、绝对收敛和条件收敛
如 ｜f ( x｜ ) dx收敛, 称
a a
f ( x )dx 绝对收敛.
如
a
f ( x )dx收敛, 但 ｜f ( x｜ ) dx发散，
a
称
a
f ( x )dx 条件收敛.
定理11.6
a
f ( x )dx 收敛
a
f ( x )dx 收敛
使得函数项级数收敛的点x0 收敛点.
收敛点的全体称为该级数的收敛点集； 发散点的全体称为该级数的发散点集。
例1.
n 2 n x 1 x x x n 0
解：当 x 1时, 级数收敛; x 1时, 级数发散.
收敛点集 : (1,1); 发散点集 : (,1] [1,).
四、Dirichlet判别法
定理11.9 设f和g满足下面两个条件 :
1 F ( A) f ( x )dx 在(a , )有界;
a A
2 g 在[a , )上单调, 且 lim g( x ) 0,
则
x
a
f ( x )g( x )dx 收敛.
例1
1
sin x dx — —条件收敛 x
x 2k
sin nx 由Dirichlet判别法, 收敛. p n 1 n
cos nx x 2k 收敛. 同理可证: p n1 n
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1 1 n ( 1) (1 ) (5 arctan n) 例6. n 2 ln n n
n
1 收敛(莱法) 解： ( 1) n 2 ln n 1 n n 1 (1 ) ( 1) ln n n n 2 1 n (1 ) 单调有界 收敛 ( Abel ) n
二、函数项级数的敛散性
在[a, b]上任取一点x0 , un ( x0 )是数项级数。
若给定x0 [a , b], un ( x0 )收敛,
称函数项级数
n 1
u ( x ) 在点 x 收敛；
n 1 n
0
n1
反之，称函数项级数在点 x0 发散。
如果级数在[a, b]的每点收敛, 称级数在[a, b]上收敛或[a, b]上逐点收敛.
所以g( x )递减趋向于0, 满足2 . x cos x 由Dirichlet判别法知 dx收敛. 1 1 x
三、和函数
在收敛点集D内, 定义S ( x) un ( x), x D
n 1
即 S ( x) lim S n ( x), x D
n
称为和函数.
4. 级数收敛的必要条件：
若 a n收敛，则lim a n 0.
n1 n
等价叙述为：若 lim an 0, 则 an发散.
⒈ 设交错级数 ( 1) n1 an , an 0,
n1
若{a n }递减趋于0, 则 ( 1) n1 an收敛.
n1
称此类交错级数为Leibniz 级数
柯西收敛准则 (Cauchy)：
an收敛
n1
0, N N
p N * 恒有
*
, 使n N时,
x n n sin kx sin 2 又 sin kx x k 1 k 1 sin 2 cos x 2n 1 cos x 1 2 2 x x sin sin 2 2 1 1 1 cos k x cos k x n 2 2 2 x k 1 sin 2
x cos x dx 的敛散性？ 例2 判断1 1 x x 证 设 f ( x ) cos x , g( x ) , 1 x
A
1
cos xdx sin A sin 1 2, 满足1 .
1 1 1 1 (1 x ) x (1 x ) 2 x g' ( x ) 2 x 0, 2 2 (1 x ) (1 x )
n
5 arctan n单调有界,
故原级数收敛（Abel）.
§11.2 无穷积分的Dirichlet和Abel 收敛判别法
一、 柯西收敛原理
定理11.5
a
f ( x )dx 收敛 对 0, A0 a ,
只要A' , A" A0 , 总有
A"
A'
f ( x )dx .