高考导数的综合应用课件

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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
c．当 a∈(0,1)时，1－1a＋ln a<0，即 f(－ln a)<0. 又 f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0， 故 f(x)在(－∞，－ln a)有一个零点． 设正整数 n0 满足 n0>ln3a－1，则 f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－ n0>en0－n0>2n0－n0>0. 由于 ln3a－1>－ln a，因此 f(x)在(－ln a，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．
值的位置.
(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有 一个清晰、直观的整体展现． 如本题采用了利用导数来判断函数的零点个数，先利用导数研
究函数的单调性和极值，再利用零点存在性定理得参数范围.
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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
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考点三
利用导数研究与不等 式有关问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
当 x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当 x＝1 时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)＝0. 所以当 x>0 时，g(x)≤0. 从而当 a<0 时，ln(－21a)＋21a＋1≤0， 即 f(x)≤－43a－2.
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考点三
利用导数研究与不等 式有关问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
方法技巧
利用导数证明不等式的常用方法 (1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x) －g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对 数；把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的结构，根据 “相同结构”构造辅助函数． (3)巧妙构造函数．根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最 值进行解决．在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验.
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考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x) ＋
0
－
f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减
由上表可得，x＝4 时，函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也
是最大值点．
利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
解析：(1)h(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－3 时，h(x)＝1x＋3ln x－2x， h′(x)＝－x12＋3x－2＝－2x2－x32x＋1＝－2x－1x2x－1， ∴h(x)的单调递减区间是0，12和(1，＋∞)．
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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
则要使方程 xln x＝1a有唯一的实根，只需直线 y＝1a与曲线 y＝ φ(x)有唯一的交点，则1a＝－e－1 或1a＞0，解得 a＝－e 或 a＞0. 故实数 a 的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．
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考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
[典例] (2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－ x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围．
(2)证明：由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－21a处取得最大值， 最大值为 f(－21a)＝ln(－21a)－1－41a. 所以 f(x)≤－43a－2 等价于 ln(－21a)－1－41a≤－43a－2，即 ln(－ 21a)＋21a＋1≤0. 设 g(x)＝ln x－x＋1，则 g′(x)＝1x－1.
若 a<0，则当 x∈(0，－21a)时，f′(x)>0；
当 x∈(－21a，＋∞)时，f′(x)<0.
故 f(x)在(0，－21a)上单调递增，在(－21a，＋∞)上单调递减．
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考点三
利用导数研究与不等 式有关问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
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考点三
利用导数研究与不等 式有关问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
[锁定考向] 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内 容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中、高档题． 常见的命题角度有：(1)证明不等式．(2)不等式恒成立问题．(3) 存在型不等式成立问题．
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考点三
利用导数研究与不等 式有关问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
角度一 证明不等式 1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
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来自百度文库
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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
(2)①若 a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点． ②若 a>0，由(1)知，当 x＝－ln a 时，f(x)取得最小值，最小值 为 f(－ln a)＝1－1a＋ln a. a．当 a＝1 时，由于 f(－ln a)＝0，故 f(x)只有一个零点； b．当 a∈(1，＋∞)时，由于 1－1a＋ln a>0， 即 f(－ln a)>0，故 f(x)没有零点；
导数的综合应用
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1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有 关的方程(不等式)问题． 2．会利用导数解决某些简单的实际问题．
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核心考点 互动探究
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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
(2)问题等价于 aln x＝1x有唯一的实根，显然 a≠0，则关于 x 的 方程 xln x＝1a有唯一的实根． 构造函数 φ(x)＝xln x，则 φ′(x)＝1＋ln x. 令 φ′(x)＝1＋ln x＝0，得 x＝e－1. 当 0＜x＜e－1 时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减， 当 x＞e－1 时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， ∴φ(x)的极小值为 φ(e－1)＝－e－1.
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考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正 比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k(k>0)．现已 知相距 18 km 的 A，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为 a， b，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该 处的污染指数之和．设 AC＝x(km)． (1)试将 y 表示为 x 的函数； (2)若 a＝1，且 x＝6 时，y 取得最小值，试求 b 的值．
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.
所以，当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得
的利润最大．
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考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
思维升华
互动探究 基础送分考点——自主练透
利用导数解决生活中的优化问题的 4 步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模 型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最 大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答.
即时应用
互动探究 重点保分考点——师生共研
已知函数 f(x)＝1x－aln x(a∈R)． (1)若 h(x)＝f(x)－2x，当 a＝－3 时，求 h(x)的单调递减区间； (2)若函数 f(x)有唯一的零点，求实数 a 的取值范围．
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利用导数研究函数的零 点或方程根
互动探究 重点保分考点——师生共研
解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex －1＝(aex－1)(2ex＋1)． ①若 a≤0，则 f′(x)<0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若 a>0，则由 f′(x)＝0 得 x＝－ln a. 当 x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)<0；当 x∈(－ln a，＋∞)时， f′(x)>0.所以 f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋ ∞)上单调递增．
考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
[典例] (2018·四川绵阳模拟)某商场销售某种商品的经验表 明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元 /千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常 数．已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大．
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利用导数研究与不等 式有关问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋1x2ax＋1.
若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
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考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
解析：(1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知， 该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润
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考点一
利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
解析：(1)设点 C 受 A 污染源污染程度为kxa2，点 C 受 B 污染源 污染程度为18k－bx2，其中 k 为比例系数，且 k>0. 从而点 C 处受污染程度 y＝kxa2＋18k－b x2.
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考点二
利用导数研究函数的零 点或方程根
思维升华
互动探究 重点保分考点——师生共研
利用导数研究方程根的方法
(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大 值、最小值、变化趋势等． (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)
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利用导数解决生活中的 优化问题
互动探究 基础送分考点——自主练透
(2)因为 a＝1，所以 y＝xk2＋18k－b x2， y′＝k－x23＋182－b x3. 令 y′＝0，得 x＝ 18 ，
1＋3 b 又此时 x＝6，解得 b＝8，经验证符合题意， 所以，污染源 B 的污染强度 b 的值为 8.