CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克

第一天

2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00

广东深圳 深圳市高级中学

1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．

以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题）

2．设(0,1)a ∈，且

323

2

()(14)(51)(35),()(1)(2)(31).

f x ax a x a x a

g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+

求证：对于任意实数x ，

()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题）

3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题）

4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：

1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ；

2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题）

中国女子数学奥林匹克

第二天

2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00

广东深圳 深圳市高级中学

O

M

F

E

D

C

B

A

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题）

6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证：

MF MG =．

（付云皓供题）

7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证：

1212n n

x x x <

L L ．（王新茂供题）

8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题）

试题解答

1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ．

Γ2

Γ1

M

G F E

D

C

B

A

图1

证明 如图，连接DE 、DF ，过O 作ON ⊥AB 交AB 于点N ． 由题意可知，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ． 因此，ON ∥DE ． 又因为DM ∥AO ，所以∠EDM =∠AON ．

因为O 为△ABC 外心，所以∠AON = ∠ACB ． 从而∠EDM =∠ACB ． 同理可得，∠FDM = ∠ABC ． 在△EDF 中，有

sin sin sin sin 1sin sin sin sin EM DE EDM DE ACB DB ABC ACB

MF DF FDM DF ABC DC ACB ABC

⋅∠⋅∠⋅∠⋅∠====⋅∠⋅∠⋅∠⋅∠， 即EM = MF ．

2．设(0,1)a ∈，且

323

2

()(14)(51)(35),()(1)(2)(31).

f x ax a x a x a

g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+

求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．

证明 由于(0,1)a ∈，a 与1a -皆为正数，因此对任意实数x ，

{}{}{}

max (),()(1)max (),()max (),()(1)()()(1)()()

f x

g x a f x g x a f x g x a f x a g x a f x a g x =-⋅+⋅≥-+≥-⋅-⋅

而

222 (1)()()

[(1)(14)][(1)(51)(2)][(1)(35)(31)](21)(2)1a f x a g x a a a x a a a a x a a a a a x x a

-⋅-⋅=--++----+--++=-⋅-+++

又2217

2()024

x x x -+=-+>，故{}max (),()1f x g x a ≥+．问题得证．

3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何

3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．

解 所求黑格个数的最小值12n =．先证明12n ≥．由于12×12单位方格纸可划分为12121234

⨯=⨯个（除边界外）互不相交的3×4方格长方形．由题设可知这些长方形各

至少有一个黑色方格，故至少要涂12个黑色方格．

要证明12n =，只需构作一个可行的例子，见下图．