§ 3.2 可测函数的收敛性

83§3.2 可测函数的收敛性教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞<f 则称f 是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e.注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ∉时.+∞<f 令.~c N fI f = 则f ~是处处有限的可测函数并且 a.e..~f f =因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或 f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=−=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 证明 设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥−x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥−1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ⊂由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥−∞=∞=IU n n i i f f εµ 由于+∞<)(X µ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥−= ≥−∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εµεµ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X µ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δµ< ≥−∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥−=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有 .2}1{)(11δδµµδ=≤ ≥−≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<−⊂<−=∞=∞=∞=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<−kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X µ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → µ证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 由测度的单调性立即得到()≤≥−∞→}{lim εµf f n n .0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 即.f f n → µ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X µ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → µ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明 设.f f n → µ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεµ<≥−})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥−µ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{=<−=∞=i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <− 这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E µ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥−==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E µ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥−≤ ≥−=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k µµµU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X µ. 则f f n → µ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明 必要性(此时不需设+∞<)(X µ). 设.f f n → µ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥−εµf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得 .})({δεµ≥≥−f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → µ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(µF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → µ .g g n → µ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → µ特别地, .fg g f n n → µ证明 不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → µ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → µ ■小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题 习题三, 第18题—第28题.。