§ 3.2 可测函数的收敛性

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§3.2 可测函数的收敛性

教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.

本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.

设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.

几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.

在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.

例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.

例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞

注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当

N x ∉时.+∞

因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.

注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示

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存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x x

x f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.

可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →

定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.

(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞

→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞

→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有

.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n

则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ

(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f

在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n n

f lim =f a.un., 或 f f n → a..un.

.

容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限

是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.

例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令

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.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n

则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但

,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,2

1=ε ).

(,0)),[]1,0([})2

1({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.

例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令

.1,)(≥=n x x f n n

则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以

任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f

例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令

.1,,,1,1[≥=−=n n i n

i n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令

)()(x I x f n E n =, 1≥n ,

.0)(=x f

对任意0>ε, 由于

.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε

故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.

几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).

引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有