【专题复习】专题3.1 函数与方程-高一数学人教版(必修1)

一、函数的零点 1．函数零点的概念

对于函数()y f x =，我们把使_______的实数x 叫做函数()y f x =的零点．

易错提醒

1．函数的零点是实数，而不是点． 2．并不是所有的函数都有零点．

3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．

2．函数零点与方程根的联系

函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的________．所以方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．

二、函数零点的判断

如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是_______一条曲线，并且有_______，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 三、二分法的定义

对于在区间[,]a b 上连续不断且______的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

注意：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）

适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用． 四、用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[,]a b ，验证_______，给定精确度ε． 2．求区间(,)a b 的中点c ． 3．计算()f c ，

（1）若()0f c =，则c 就是函数的零点；

（2）若()()0f a f c ⋅<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； （3）若()()0f c f b ⋅<，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）．

4．判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4．

名师提醒

1．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使： （1）区间[,]a b 的长度尽量小；

（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<．

2．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．

易错辨析

精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x 为准确值，x '为x 的一个近似值，若x x ε'-<，则x '是精确度为ε的x 的一个近似值．而按四舍五入的原则得到准确值x 的前几位近似值x '，x '的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．

K 知识参考答案：

一、1．()0f x =

2．横坐标

二、连续不断的 ()()0f a f b ⋅< 三、()()0f a f b ⋅< 一分为二

四、1．()()0f a f b ⋅<

4．a b ε-<

K —重点

1．函数零点的概念，零点的存在性定理；

2．二分法，用二分法求解函数()f x 的零点近似值． K —难点 1．零点的存在性定理；

2．恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

K —易错

1．函数的零点是一个实数，是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标；

2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数()y f x =在区间

[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线；二是()()0f a f b ⋅<；

3．利用二分法求方程近似解时，要随时检验区间[,]a b 的长度与精确度ε的关系，一旦有a b ε-<，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．

1．函数零点的求法

求函数的零点一般有两种方法．

（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点． （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点．

【例1】已知函数221,1

()1log ,1

x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．

【答案】0

【解析】当1x ≤时，由()210x

f x =-=，解得0x =； 当1x >时，由2()1lo

g 0f x x =+=，解得1

2

x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0．

【名师点睛】求函数的零点就是求使这个函数的函数值为零时的自变量的值，即解相应的方程．若遇到

解高次方程，可用因式分解法．

【例2】若函数()2

f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()2

1g x bx ax =--的零点是

A ．1-和16

B ．1和16

- C ．12和13

D ．1

2

-

和3 【答案】B

2．函数零点个数的判断方法

（1）解方程法：令f （x ）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【例3】已知01a <<，则函数log x

a y a x =-的零点的个数为______． 【答案】2

【解析】函数log x

a y a x =-的零点的个数即为方程log x

a a x =的解的个数，也就是函数

()(01)x

f x a a =<<与()lo

g (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数．

画出函数图象如图所示，

观察可得函数()(01)x

f x a a =<<与()lo

g (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数为2，从而函数

log x

a y a x =-的零点的个数为2．