立体几何大题求体积习题汇总 (1)

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立体几何求体积大题

立体几何中有关体积问题一、知识归纳一、知识归纳1、柱体体积公式：.V S h =2、椎体体积公式：1.3V S h =3、球体体积公式：343V R π=二、点到平面的距离问题二、点到平面的距离问题求解方法：求解方法：1、几何法：等体积法求h2、向量法：、向量法：点A 到面α的距离AB nd n•=u u u u r r r其中，n →是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。

内任意一点。

题型分析：题型分析：1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥,1AB BB ⊥12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥（1）求证：1BB ABC ⊥平面（2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)(3)求三棱椎求三棱椎11-A B DC 的体积的体积2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ∆是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且，且2435BD DC AD AB ====，，.（1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面(2)(2)求三棱锥求三棱锥C BDE -的体积。

的体积。

3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为1DD DB 、的中点。

的中点。

（1）求证：EF ∥平面11ABC D (2) (2)求证求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。

1A 1B 1C A DCB1A 1B 1C AECBDF1D A ECBDF4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

的体积。

5、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．的高．6、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点。

立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：MN //平面PAD ；（2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；F CBAEDA B C D EF 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证：（1）直线EF// 面ACD ；（2）平面⊥EFC 面BCD ．4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由]立体几何大题训练(3)C15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点．求证：（1）MN//平面ABCD ；（2）MN ⊥平面B 1BG ．6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．立体几何大题训练(4)7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G_ M _ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D _ C_ B _ ABA 1FE、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

体积计算速算题目

体积计算速算题目题目一：正方体的体积计算已知一个正方体的边长为a，请计算该正方体的体积。

解答：正方体的体积可以通过边长a的立方来计算。

即体积V等于a的立方，表示为V = a³。

题目二：长方体的体积计算已知一个长方体的长为L，宽为W，高为H，请计算该长方体的体积。

解答：长方体的体积可以通过长、宽和高的乘积来计算。

即体积V等于长L乘以宽W乘以高H，表示为V = LWH。

题目三：球体的体积计算已知一个球体的半径为r，请计算该球体的体积。

解答：球体的体积可以通过半径r的立方乘以π再除以3来计算。

即体积V等于4/3乘以π乘以半径r的立方，表示为V = (4/3)πr³。

题目四：圆柱体的体积计算已知一个圆柱体的底面半径为r，高为h，请计算该圆柱体的体积。

解答：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算。

底面积等于π乘以半径的平方，即底面积A = πr²。

体积V等于底面积A乘以高h，表示为V = Ah，即V = πr²h。

题目五：圆锥体的体积计算已知一个圆锥体的底面半径为r，高为h，请计算该圆锥体的体积。

解答：圆锥体的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。

底面积等于π乘以半径的平方，即底面积A = πr²。

体积V等于底面积A乘以高h 再除以3，表示为V = (1/3)Ah，即V = (1/3)πr²h。

题目六：棱柱的体积计算已知一个棱柱的底面积为B，高为h，请计算该棱柱的体积。

解答：棱柱的体积可以通过底面积乘以高来计算。

即体积V等于底面积B 乘以高h，表示为V = Bh。

题目七：棱锥的体积计算已知一个棱锥的底面积为B，高为h，请计算该棱锥的体积。

解答：棱锥的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。

即体积V等于底面积B乘以高h再除以3，表示为V = (1/3)Bh。

题目八：棱台的体积计算已知一个棱台的上底面积为A，下底面积为B，高为h，请计算该棱台的体积。

专题12：文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版)

专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版）题型一：求体积1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明．（2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ．又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32．又23BP DQ DA ==，所以22BP =．作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE = 13DC ．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥Q ABP -的体积为1111322sin451332Q ABP ABPV QE S-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可. 3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．【答案】（1）见详解；（2）18 【分析】（1）先由长方体得，11B C ⊥平面11AA B B ，得到11B C BE ⊥，再由1BE EC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为2a ，根据题中条件求出3a =；再取1BB 中点F ，连结EF ，证明EF ⊥平面11BB C C ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11AA B B ；BE ⊂平面11AA B B ，所以11B C BE ⊥，又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ；（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =，又3AB =，所以222122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =；取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥；所以EF ⊥平面11BB C C ，所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PCD 面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）43【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取AD 中点M ，由于平面PAD 为等边三角形，则PM AD ⊥，利用面面垂直的性质定理可推出PM ⊥底面ABCD ，设BC x =，表示相关的长度，利用PCD ∆的面积为27.试题解析：（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积【详解】题型二：求距离5．2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）详见解析（245【解析】分析：（1）连接OB ，欲证PO ⊥平面ABC ，只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可；（2）过点C 作CH OM ⊥，垂足为M ，只需论证CH 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =3 连结OB ．因为AB =BC 2AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2．由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=25，CH=sinOC MC ACBOM⋅⋅∠=45．所以点C到平面POM的距离为45．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.6．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -的高为21. 【解析】试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，又因为侧面11BB C C 为菱形，对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，根据线面垂直的判定定理可得：1B C ⊥平面ABO ，结合线面垂直的性质：由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC 的距离，即：作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则由线面垂直的判定定理可得OH ⊥平面ABC ，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA ⋅=⋅，可求出OH 的长度，最后由三棱柱111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高．试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO.由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H. 由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥，又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得3OD. 由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==,由OH AD OD OA ⋅=⋅，且2274AD OD OA =+=，得2114OH ，又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱111ABC A B C -的高为217. 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用 7．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积 34V =，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2） A 到平面PBC 的距离为31313【详解】试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB 又EO平面AEC ，PB平面AEC所以PB ∥平面AEC ．（2）136V PA AB AD AB =⋅⋅=由，可得. 作交于．由题设易知，所以故，又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为法2：等体积法136V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d ，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离8．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，根据题意有3DE =，117C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=⨯⨯，设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得41717d ==，所以点C 到平面1C DE 的距离为417. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.题型三：求面积9．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【详解】试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,AD a PO a ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =．故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21sin606232BC +︒=+10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =32x ,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG =3x . 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知 ∆EBG 为直角三角形，可得BE =22x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6.所以∆EAC 的面积为3， ∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG 所对应的高，然后乘以CG 即可．【详解】(1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥.AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)取CG 的中点M ，连结,EM DM .因为//AB DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE CG ⊥，由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=得EM CG ⊥，故CG ⊥平面DEM ．因此DM CG ⊥．在Rt DEM △中，DE=1，3EM =，故2DM =．所以四边形ACGD 的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.。

高中数学立体几何体积计算应用例题

高中数学立体几何体积计算应用例题在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，其中涉及到的体积计算是一个常见的考点。

本文将通过具体的例题，来说明一些常见的体积计算方法和技巧，帮助高中学生更好地理解和应用。

例题一：一个正方体的边长为3cm，求其体积。

解析：正方体的体积计算公式为 V = a^3，其中 a 表示正方体的边长。

根据题意，可以得到 a = 3cm，代入公式计算得 V = 3^3 = 27cm^3。

因此，该正方体的体积为27立方厘米。

例题二：一个圆柱体的底面半径为4cm，高度为6cm，求其体积。

解析：圆柱体的体积计算公式为V = πr^2h，其中 r 表示底面半径，h 表示高度。

根据题意，可以得到 r = 4cm，h = 6cm，代入公式计算得V = π * 4^2 * 6 = 96πcm^3。

因此，该圆柱体的体积为96π立方厘米。

例题三：一个球的半径为5cm，求其体积。

解析：球体的体积计算公式为V = (4/3)πr^3，其中r 表示球的半径。

根据题意，可以得到 r = 5cm，代入公式计算得V = (4/3)π * 5^3 = 500π/3 cm^3。

因此，该球的体积为500π/3立方厘米。

通过以上例题，我们可以看到，不同几何体的体积计算方法是不同的。

在解题过程中，我们需要根据题目给出的信息，选择合适的公式进行计算。

同时，需要注意单位的统一，确保最终的结果与题目要求的单位一致。

除了基本的体积计算，有时候我们还需要应用到一些几何体的组合和切割问题。

下面，我们通过一个例题来说明这个问题。

例题四：一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，如果将其沿着长方向切割成两个相等的部分，求切割面的面积。

解析：首先，我们需要确定切割面的形状。

根据题意，切割面是一个长方形，其中长为6cm，宽为4cm。

因此，切割面的面积为 6 * 4 = 24cm^2。

通过以上例题，我们可以看到，在解决几何体的体积计算问题时，需要根据题目的要求选择合适的计算公式，并注意单位的统一。

立体形的体积计算练习题

立体形的体积计算练习题为了更好地帮您回答题目“立体形的体积计算练习题”，我将按照数学练习题的格式来撰写文章。

如下：立体形的体积计算练习题1. 计算长方体的体积已知长方体的长为L，宽为W，高为H，请计算其体积V。

解答：长方体的体积计算公式为V = L × W × H。

根据题目中给出的长、宽、高的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。

示例：已知长方体的长L为5m，宽W为3m，高H为2m，代入公式V =5 × 3 × 2，计算得到体积V为30立方米。

2. 计算正方体的体积已知正方体的边长为a，请计算其体积V。

解答：正方体的体积计算公式为V = a³。

根据题目中给出的边长a的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。

示例：已知正方体的边长a为4cm，代入公式V = 4³，计算得到体积V为64立方厘米。

3. 计算圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为r，高为h，请计算其体积V。

解答：圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中π约等于3.14。

根据题目中给出的底面半径r和高h的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。

示例：已知圆柱体的底面半径r为5cm，高h为8cm，代入公式V = 3.14 ×5² × 8，计算得到体积V为628.8立方厘米。

4. 计算球体的体积已知球体的半径为r，请计算其体积V。

解答：球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中π约等于3.14。

根据题目中给出的半径r的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。

示例：已知球体的半径r为10cm，代入公式V = (4/3) × 3.14 × 10³，计算得到体积V为4186.7立方厘米。

总结：通过以上练习题的计算，我们可以学会如何计算不同立体形的体积。

无论是长方体、正方体、圆柱体还是球体，只需根据给定的尺寸数据，代入对应的体积计算公式，即可轻松求解。

(完整版)立体几何体积问题-

立体几何体积问题未命名一、解答题1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．2．如图，多面体中，为正方形，，,且.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积.3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求线段的长.4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.（1）证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的表面积.5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.（1）求证：平面⊥平面PAC.（2）求三棱锥的体积.11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.12．如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求多面体的表面积.13．如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．14．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.15．如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.(1) 求证:平面；(2) 若,求三棱柱的体积.参考答案1．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.2．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A平面即可，（2）由已知，连接交于，作于，由等体积法：，进而可得出结论.（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由已知，连接交于作于，则又由（1）知平面平面，平面平面，面，得面由，知四边形为平行四边形，即，而，进而又由，所以，三棱锥的体积.点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.3．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG 中求出CF的值。

习题范例解决立体几何中的体积问题

习题范例解决立体几何中的体积问题在立体几何的学习中，计算体积是一个重要的问题。

体积表示了一个立体物体所占据的空间大小，它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

为了更好地理解和解决立体几何中的体积问题，本文将通过一些习题范例来进行详细的解析。

1. 三棱柱的体积计算题目：一个三棱柱的底面是一个边长为5cm的等边三角形，高度为8cm。

求这个三棱柱的体积。

解析：首先计算底面的面积。

由于等边三角形的面积公式为 (边长)^2 * √3 / 4，代入数值计算得到底面面积为(5^2 * √3) / 4 = 10.83cm^2。

然后将底面面积乘以高度，即可得到体积。

计算结果为 10.83cm^2* 8cm = 86.64cm^3。

因此，这个三棱柱的体积为 86.64cm^3。

2. 圆柱的体积计算题目：一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm。

求这个圆柱的体积。

解析：圆柱的面积公式为π * (半径)^2 * 高度。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为π * 4cm^2 * 10cm = 125.66cm^3。

因此，这个圆柱的体积为 125.66cm^3。

3. 球的体积计算题目：一个球的半径为6cm。

求这个球的体积。

解析：球的体积公式为4/3 * π * (半径)^3。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为4/3 * π * 6cm^3 = 904.78cm^3。

因此，这个球的体积为 904.78cm^3。

4. 锥体的体积计算题目：一个锥体的底面半径为3cm，高度为5cm。

求这个锥体的体积。

解析：锥体的体积公式为1/3 * π * (半径)^2 * 高度。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为1/3 * π * 3cm^2 * 5cm = 15.71cm^3。

因此，这个锥体的体积为 15.71cm^3。

通过以上习题范例的解析，我们可以看到，计算立体几何中的体积问题需要根据不同的几何体选择相应的公式进行计算。

高中数学立体几何体积复习题集附答案

高中数学立体几何体积复习题集附答案高中数学立体几何体积复习题集附答案一、填空题1. 已知四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，且侧棱长为8cm，求四棱锥的体积。

解答：四棱锥的体积公式为V = (1/3)×底面积×高。

底面积为6^2 = 36cm^2，高为8cm。

所以四棱锥的体积为V = (1/3)×36cm^2×8cm = 96cm^3。

2. 圆柱的底面半径为5cm，高为12cm，求圆柱的体积。

解答：圆柱的体积公式为V = 底面积×高。

底面积为π×5^2 = 25πcm^2，高为12cm。

所以圆柱的体积为V = 25πcm^2×12cm = 300πcm^3。

3. 正方体的体积为64cm^3，求正方体的边长。

解答：正方体的体积公式为V = 边长^3。

已知V = 64cm^3，代入公式可得：64 = 边长^3。

求解得边长 = 4cm。

4. 球的半径为10cm，求球的体积。

解答：球的体积公式为V = (4/3)π×半径^3。

已知半径为10cm，代入公式可得：V = (4/3)π×10^3。

所以球的体积为V = (4/3)π×1000 = 4000πcm^3。

二、选择题1. 下列几何体中，体积最大的是：A. 正方体的棱长为10cmB. 长方体的长、宽、高分别为6cm、8cm、10cmC. 圆柱的底面半径为5cm，高为14cmD. 球的半径为7cm解答：选项C。

计算各几何体的体积，可得：A. 正方体的体积为V = 10^3 = 1000cm^3B. 长方体的体积为V = 6cm×8cm×10cm = 480cm^3C. 圆柱的体积为V = π×5^2×14cm = 350πcm^3D. 球的体积为V = (4/3)π×7^3 = 1434πcm^3可见，C选项的体积最大。

立体几何体积计算练习题

立体几何体积计算练习题1. 正方体计算(1) 已知一个正方体的边长为5cm，计算其体积。

解答：正方体的体积计算公式为V = a³，其中a为正方体的边长。

代入已知数据可得，V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。

(2) 若正方体的体积为64cm³，求其边长。

解答：将正方体的体积计算公式改写为a³ = V。

代入已知数据可得，a³ = 64cm³。

对等式两边开立方根可得，a = ∛(64cm³) = ∛(4 × 4 × 4cm³) = 4cm。

因此，正方体的边长为4cm。

2. 长方体计算(1) 已知一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm和4cm，计算其体积。

解答：长方体的体积计算公式为V = lwh，其中l、w和h分别为长方体的长、宽和高。

代入已知数据可得，V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm³。

(2) 若长方体的体积为360cm³，已知长和宽的比为2:3，求长方体的长、宽和高。

解答：设长和宽分别为2x和3x（其中x为比例系数），代入长方体的体积计算公式可得，(2x) × (3x) × h = 360cm³。

化简该方程可得，6x²h = 360cm³。

解方程可得，h = 360cm³ / (6x²)。

同时，已知长和宽的比为2:3，即有 (2x) / (3x) = 2/3。

解方程可得，x = 3。

代入h的表达式可得，h = 360cm³ / (6 × 3²) = 10cm。

因此，长方体的长为2x = 2 × 3 = 6cm，宽为3x = 3 × 3 = 9cm，高为10cm。

3. 圆柱体计算(1) 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高为10cm，计算其体积。

探索立体几何的体积计算练习题

探索立体几何的体积计算练习题立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是空间中的几何图形以及与其相关的性质和计算方法。

在立体几何中，体积是一个关键的概念，它用来描述一个立体图形所占据的空间大小。

本文将通过一些练习题来探索立体几何的体积计算方法。

练习题一：计算长方体的体积长方体是一种常见的立体图形，它的六个面都是矩形。

我们以一个具体的例子来计算长方体的体积。

例题：一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、5厘米、3厘米，求它的体积。

解析：长方体的体积计算公式为 V = lwh，其中 V 表示体积，l、w、h 表示长方体的长度、宽度和高度。

将给定的数值代入公式，即可计算出体积。

解答：V = 10厘米 × 5厘米 × 3厘米 = 150厘米³练习题二：计算圆柱体的体积圆柱体是另一种常见的立体图形，它的底面是一个圆，侧面是由相同大小的矩形所组成。

下面我们来计算一个圆柱体的体积。

例题：一个圆柱体的底面半径为4厘米，高度为6厘米，求它的体积。

解析：圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中 V 表示体积，r 表示底面半径，h 表示高度，π 是一个常数，约等于3.14。

将给定的数值代入公式，即可计算出体积。

解答：V = 3.14 × 4厘米 × 4厘米 × 6厘米 = 301.44厘米³练习题三：计算球体的体积球体是一种特殊的立体图形，它的表面是由无数个点构成的，体积计算较为复杂。

下面我们来计算一个球体的体积。

例题：一个球体的半径为6厘米，求它的体积。

解析：球体的体积计算公式为V = 4/3πr³，其中 V 表示体积，r 表示半径，π 是一个常数，约等于3.14。

将给定的数值代入公式，即可计算出体积。

解答：V = 4/3 × 3.14 × 6厘米 × 6厘米 × 6厘米 = 904.32厘米³练习题四：计算棱锥的体积棱锥是一种由一个底面和一个尖顶连接而成的立体图形。

立体几何求体积

1.如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．2.如图所示，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的中点，且⊥BF 平面ACE ，G BD AC =⋂（1）求证：⊥AE 平面BCE ；（2）求三棱锥C —BGF 的体积．3.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====2，且F 是CD 的中点．3AF = （1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面DCE; (3) 求此多面体的体积．ABCDEFBPACD4.在如图所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===，2AP CP a ==，//DP AM ，且12AM DP =，,E F 分别为,BP CP 的中点. (1)证明：//EF 平面ADP ; (2)求三棱锥M ABP -的体积.5.如图所示，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1.将AFE ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）. （1）求证：PF//平面A 1EB ；（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ；（3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积.6.如图所示，矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起到'A BE ∆的位置，使''AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点.（1）求证：F A '⊥CD ；（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.7.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形. （1）求证：N B C BC 11//平面；（2）求证：BN 11C B N ⊥平面；（3）求此几何体的体积.8.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （1）求证：//EF 平面1BDC ;（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.9．已知梯形ABCD 中//AD BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D BCF -的体积()f x 的函数式．84主侧俯44DECC 1A 1B 1A。

立体几何计算练习题体积与表面积

立体几何计算练习题体积与表面积在几何学中，计算立体图形的体积和表面积是非常重要的。

掌握这些计算方法不仅可以帮助我们理解立体图形的特性，更能应用到实际生活和工作中。

本文将介绍几个常见的立体几何计算练习题，涵盖了体积和表面积的计算方法，希望能够对读者有所帮助。

以下是几个练习题。

练习题一：正方体的体积和表面积计算正方体是最简单的立体图形之一，它的六个面都是正方形。

我们先来计算一个边长为a的正方体的体积和表面积。

体积的计算公式为 V = a^3，其中a表示正方体的边长。

例如，如果正方体的边长为5cm，那么它的体积就是 V = 5^3 = 125 cm^3。

表面积的计算公式为 S = 6a^2，其中a表示正方体的边长。

以边长为5cm的正方体为例，它的表面积就是 S = 6(5^2) = 150 cm^2。

练习题二：圆柱体的体积和表面积计算圆柱体是常见的立体图形，它的底面是一个圆，高度为h。

我们来计算一个半径为r、高度为h的圆柱体的体积和表面积。

体积的计算公式为V = πr^2h，其中π取近似值3.14。

例如，如果圆柱体的半径为3cm，高度为8cm，那么它的体积就是V ≈ 3.14(3^2)(8) ≈ 226.08 cm^3。

表面积的计算公式为S = 2πr^2 + 2πrh，其中π取近似值3.14。

以半径为3cm、高度为8cm的圆柱体为例，它的表面积就是S ≈ 2(3.14)(3^2) + 2(3.14)(3)(8) ≈ 188.64 cm^2。

练习题三：球体的体积和表面积计算球体是没有棱和角的立体图形，它的表面都是由一个半径为r的圆所构成。

我们来计算一个半径为r的球体的体积和表面积。

体积的计算公式为 V = (4/3)πr^3，其中π取近似值3.14。

例如，如果球体的半径为6cm，那么它的体积就是V ≈ (4/3)(3.14)(6^3) ≈ 904.32 cm^3。

表面积的计算公式为S = 4πr^2，其中π取近似值3.14。

体积计算算式：练习体积计算题目

体积计算算式：练习体积计算题目在数学中，体积是指物体所占的空间大小，常用于计算三维物体的容量或大小。

体积的计算是数学中的基本技能之一，通过练习体积计算题目可以帮助我们加深对体积概念的理解，并提升我们的计算能力。

接下来，我将为大家提供一些练习体积计算的题目，以供大家学习和参考。

练习题1：长方形鱼缸的体积假设一个长方形鱼缸的长为3米，宽为2米，高为1米，求其体积是多少？解答：长方体的体积可通过公式V = 长 ×宽 ×高来计算。

根据题目中给出的数据，将长、宽、高代入公式中，可得出计算结果。

V = 3米 × 2米 × 1米 = 6立方米。

练习题2：正方体的体积一个正方体的边长为5厘米，求其体积是多少？解答：正方体的体积计算公式为V = 边长 ×边长 ×边长。

将题目中给出的边长代入公式中，可得出计算结果。

V = 5厘米 × 5厘米 × 5厘米 = 125立方厘米。

练习题3：三棱柱的体积一个三棱柱的底面是一个边长为6厘米的正三角形，高为10厘米，求其体积是多少？解答：三棱柱的体积计算公式为V = 底面积 ×高 ÷ 3。

首先计算出底面积，正三角形的底面积等于（边长的平方× √3）÷ 4。

将给定的边长6厘米代入公式中，可计算得到底面积。

然后将底面积和高代入体积公式中，可得到计算结果。

底面积 = （6厘米 × 6厘米× √3）÷ 4V = 底面积 ×高 ÷ 3 = （6厘米 × 6厘米× √3）÷ 4 × 10厘米÷ 3 ≈ 103.92立方厘米练习题4：圆柱体的体积一个圆柱体的底面半径为7厘米，高为12厘米，求其体积是多少？解答：圆柱体的体积计算公式为V = π × 半径的平方 ×高。

文科立体几何大题---变换顶点求体积学生版(答案在卷尾)

文科立体几何大题-------求体积题型一：变换顶点求体积例题1如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，2AB =，3CD =，M 为PC 上一点，且2PM MC =.（1）求证：BM ∥平面PAD ；（2）若2AD =，3PD =，3BAD π∠=，求三棱锥P -ADM 的体积.典型题练习1.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.（Ⅰ）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积.练习2在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD ．AB ＝2AD ＝4，3DAB π∠=．（1）证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；（2）若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为6π，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C —MNQ 的体积．巩固练习1.如图示，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PD AD =，E 、F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅲ）设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.练习2如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）若PA AB =，M 为线段PC 的中点，求三棱锥C -MBD 的体积。

文科立体几何大题-------求体积题型一：变换顶点求体积例题1.解析：1.（1）法一：过作交于点，连接.∵，∴.又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.法二：过点作于点，为垂足，连接.由题意，，则，又∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴.又，∴.又∵平面，平面；∵平面，平面，；∴平面平面.∵平面，∴平面.（2）过作的垂线，垂足为.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，；∴平面由（1）知，平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即.在中，，，∴.M //MN CD PD N AN 2PM MC =23MN CD=23ABCD =//AB CD //AB MN ABMN//BM AN BM ⊄PAD AN ⊂PAD //BM PAD M MN CD ⊥N N BN 2PM MC =2DN NC =3DC =2DN =//AB DN ABND //BN AD PD ⊥ABCD DC ⊂ABCD PD DC ⊥MN DC ⊥//PD MN BN ⊂MBN MN ⊂,MBN BN MN N =AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=//MBN PAD BM ⊂MBN //BM PAD B AD E PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD BE ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=BE ⊥PAD //BM PAD M PAD B PAD BE ABC ∆2AB AD ==3BAD π∠=BE =13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯133BE ⋅=⨯典型题练习1.解析：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求. 证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴为中点，∴，又，，∴∴.DC N BD M MN MN BC H AH ABC ∆3H BC AH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =AH ⊂ABCAH ⊥BCD EN ⊥BCD //EN AH EN ⊄ABCAH ⊂ABC //EN ABC M N BD DC //MN BC MN ⊄ABC BC ⊂ABC //MN ABC MN EN N =MN ⊂EMN EN ⊂EMN //EMN ABC EF ⊂EMN //EF ABC DH CH G NG //NG DH //EN ABC E ABC N ABC BCD ∆2DH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =DH ⊂BCD DH ⊥ABC NG ⊥ABC DH =N CD NG =3AC AB ==2BC =12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=V V =1S NG =⋅⋅=练习2解析：（1）证明：∵D 1D ⊥平面ABCD ，， ∴D 1D ⊥BC ．又AB ＝4，AD ＝2，，∴∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ．又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥BD ．又∵D 1D∩BD ＝D ，，，∴BC ⊥平面D 1BD ，而，∴平面D 1BC⊥平面D 1BD ；（2）解：∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即，而，∴DD 1＝2．，∴BC ABCD ⊂平面3DAB π∠=BD ==1BD D BD ⊂平面11D D D BD ⊂平面1BC D BC ⊂平面16D BD π∠=BD =14C MNQ Q CMN Q BDC V V V ---==11121432C MNQ V -=⨯⨯⨯⨯=巩固练习1.解析：（Ⅰ）取PA 的中点G ，连FG ，由题可知：BF=FP ,则FG //AB FG = AB ,又CE= ED ，可得：DE//AB 且DE = AB ，∴ FG //DE 且FG = DE ,∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF //DG且EF =DG ,DG ⊂平面PAD ；EF ⊄平面PAD ，∴ EF//平面PAD ⋯⋯⋯4分（Ⅱ）由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又底面ABCD 是矩形，∴ BA ⊥ AD ，∴BA ⊥ 平面PAD ，∴平面PAB ⊥平面PAD,其交线为PA ，又PD=AD ，G 为PA 的中点，∴DG ⊥ PA ，∴ DG ⊥平面PAB ，由（Ⅰ）知：EF // DG , ∴ EF ⊥平面PAB ⋯⋯⋯8分（Ⅲ）由BC =1, AB =F 为PB 的中点，∴ = = = == = ⋯⋯⋯⋯12分练习2解析：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴. 又∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．又，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （Ⅱ）解：1212AEF P V -AEF B V -ABE F V-ABE P V -21PD S ABE ⋅⋅⋅∆3121112213121⋅⋅⋅⋅⋅122AC BD ⊥PA ⊥BD ⊂≠PA BD ⊥PA AC A =PA ⊂≠PAC AC ⊂≠PAC BD ⊥PAC BD ⊂≠PBD PBD ⊥PAC BCD 11=2232C BDM M V V --=⨯⨯⨯。

数学综合算式专项练习题立体几何中的体积计算

数学综合算式专项练习题立体几何中的体积计算在数学学科中，立体几何是一个重要的部分。

对于学生来说，掌握立体几何的知识点和计算方法，不仅可以提高数学综合能力，还可以帮助解决实际问题。

本文将重点介绍立体几何中的体积计算，通过专项练习题的形式，帮助读者掌握相关知识。

练习题一：长方体的体积计算1. 已知一个长方体的长为10cm，宽为5cm，高为8cm，求该长方体的体积。

解析：长方体的体积计算公式为V = 长 ×宽 ×高，将已知的数值代入公式计算即可。

解答：V = 10cm × 5cm × 8cm = 400cm³。

练习题二：正方体的体积计算2. 已知一个正方体的边长为6cm，求该正方体的体积。

解析：正方体的体积计算公式为V = 边长³，将已知的数值代入公式计算即可。

解答：V = 6cm³ = 216cm³。

练习题三：圆柱体的体积计算3. 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高度为10cm，求该圆柱体的体积。

解析：圆柱体的体积计算公式为V = π × 半径² ×高度，将已知的数值代入公式计算即可。

其中，圆周率π取3.14。

解答：V = 3.14 × 4cm² × 10cm = 125.6cm³。

练习题四：金字塔的体积计算4. 已知一个金字塔的底面为边长为6cm的正方形，高度为8cm，求该金字塔的体积。

解析：金字塔的体积计算公式为V = 底面积 ×高度 ÷ 3，将已知的数值代入公式计算即可。

解答：V = 6cm × 6cm × 8cm ÷ 3 = 96cm³。

练习题五：球体的体积计算5. 已知一个球体的半径为5cm，求该球体的体积。

圆周率π取3.14。

解析：球体的体积计算公式为V = 4/3 × π × 半径³，将已知的数值代入公式计算即可。

《立体几何体体积计算》试题

《立体几何体体积计算》试题立体几何体体积计算试题确定体积的公式计算立体几何体的体积时，需要使用不同形状的几何体的公式，例如：1. 立方体的体积为$a\times b\times h$，其中$a$和$b$为底边的长度，$h$为立方体的高度。

2. 圆柱体的体积为$\pi r^2 h$，其中$r$为圆的半径，$h$为圆柱体的高度。

3. 锥形的体积为$1/3 \pi r^2 h$，其中$r$为圆锥底面的半径，$h$为圆锥的高度。

用实例解决几何题目示例 1一个长为$3$米，宽为$2$米，高为$1.5$米的长方体水箱，可以盛放多少立方米的水？根据立方体的体积公式，$V=a\times b\times h$，代入数据得：$V=3\times 2\times 1.5=9$ 。

因此，该长方体水箱最多可以盛放$9$立方米的水。

示例 2一个圆柱形桶的底面直径是$2$米，高为$3$米。

可以装多少升水？首先要求出桶体积$V=\pi r^2 h$。

那么先求出底面半径$r=2/2=1$米，代入公式中得：$V=\pi \times 1^2 \times 3=3\pi$。

计算可知，该圆柱形桶最多可以装下约$9.42$立方米（即$9420$升）的水。

示例 3一个圆锥形的饰品盒（包括锥形盖子）高$8$英尺，底部半径为$2$英尺。

这个饰品盒的容量是多少？众所周知，锥形的体积为$1/3 \pi r^2 h$。

所以，代入数据得到$V=1/3 \pi \times 2^2 \times8=33.51$立方英尺。

因此，该饰品盒的容量约为$33$立方英尺$51$立方英寸。

以上是立体几何体体积计算的相关公式和实例。

通过这些公式和实例的学习，相信同学们在今后的学习和工作中，能够更加熟练的运用立体几何体计算体积。

挑战立体几何的体积练习题

挑战立体几何的体积练习题在学习立体几何的过程中，计算体积是一个重要的技能。

理解和掌握计算不同几何体的体积公式对于解决实际问题和应用数学知识至关重要。

在本篇文章中，将介绍一些挑战性的立体几何体积练习题，帮助读者提高对体积计算的理解和运用能力。

练习题一：长方体与立方体1. 将一个边长为2厘米的正方形面贴在一个长方体的一个面上，这个正方形位于长方体的中心。

如果长方体的高为5厘米，求这个复合体的体积。

解答：首先计算正方形的面积：2cm × 2cm = 4cm²然后计算长方体的体积：4cm² × 5cm = 20cm³所以，这个复合体的体积为20立方厘米。

2. 一个立方体的棱长为3cm，若将这个立方体切割成六个体积相同的小正方体，求每个小正方体的棱长以及它们的体积。

解答：首先计算原立方体的体积：3cm × 3cm × 3cm = 27cm³然后计算每个小正方体的体积：27cm³ ÷ 6 = 4.5cm³由于六个小正方体在空间中组成一个立方体，所以每个小正方体的棱长也相同，记为x。

则x³ = 4.5cm³，解得x ≈ 1.71cm所以每个小正方体的棱长约为1.71cm，体积为4.5立方厘米。

练习题二：圆柱体与锥体1. 一个圆柱体的直径为8cm，高为10cm，求其体积。

解答：首先计算圆柱体的半径：8cm ÷ 2 = 4cm然后计算圆柱体的底面积：π × 4cm × 4cm = 16π cm²最后计算圆柱体的体积：16π cm² × 10cm = 160π cm³所以，圆柱体的体积为160π立方厘米，约等于502.65立方厘米。

2. 一个锥体的底半径为6cm，高为8cm，求其体积。

解答：首先计算锥体的底面积：π × 6cm × 6cm = 36π cm²然后计算锥体的体积：36π cm² × 8cm ÷ 3 = 96π cm³所以，锥体的体积为96π立方厘米，约等于301.59立方厘米。

体积计算题型大全(有答案)

体积计算题型大全(有答案)本文将为你详细介绍各种体积计算题型，并提供题目及答案，希望能够帮助你更好地掌握计算方法。

立方体类题目一一个边长为3cm的立方体体积是多少？解题思路立方体的体积公式为：$V= a^3$，其中 $a$表示边长，所以我们可以直接代入计算：$V= 3^3 = 27$（$cm^3$）答案该立方体的体积为 27 $cm^3$。

题目二一个立方体的体积为1331 $m^3$，其边长是多少？解题思路同样使用体积公式 $V= a^3$，将已知值代入计算，解出未知变量 $a$：$a= \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{1331} = 11 $（$m$）题目三一个长方体的底面积为10 $m^2$，高度为3 $m$，求该长方体的体积。

解题思路长方体的体积公式为：$V= abh$，其中 $a$ 为长方体底面积，$b$为底面另一个边长，$h$为高度。

将值代入计算：$V= abh = 10 * b * 3$由于只有面积为10 $m^2$的底面，所以 $b = \frac{10}{a}$，代入计算得：$V= abh = 10 * b * 3 = 10 * \frac{10}{a} * 3$化简得：$V= 30a$ （$m^3$）答案该长方体的体积为30$a$ ($m^3$)。

锥形类题目四一个高为12cm，底面半径为5cm的圆锥体积为多少？解题思路圆锥的体积公式为：$V= \frac{1}{3}Sh$，其中 $S$为圆锥底面积，$h$为高度。

圆锥底面为一个半径为5cm的圆，所以 $S= \pir^2 = \pi * 5^2$ （$cm^2$）。

将已知值代入解得：$V= \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}\pi *5^2*12$ （$cm^3$）答案该圆锥的体积为 $100\pi$ ($cm^3$)。

题目五一个直径为8cm，高为10cm的圆柱，一个高度为5cm的圆锥，它们的体积相等，求这个圆柱的高度。

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