函数连续性定义和间断点

x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
2、 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x
解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
例如：sin x , cos x在 ( ,)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续.
例1：证明函数
y x 在 (,) 内是连续的。
n
Hale Waihona Puke Baidu
性质4：（复合函数的连续性） 设函数u ( x)在x0点连续， (即 lim ( x) （x0） u0 ), 函数
算 f 可以交换顺序。即：
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) f ( lim x)
x x0
(2)函数 f ( x) 在 x0 连续.
x x0
lim f ( x) 存在
2.函数 f ( x)在 x0 点连续的等价定义 定义：设函数 f ( x)自变量由 x0变到 x ,则 x x x0
性质1:（局部有界性）若函数 y f ( x) 在 x0点连续 则存在 x0的一个邻域 U ( x0 , ) 及定值 M ，当 x U ( x0 , ) 时，有 f ( x) M 。 性质2:（局部保号性）若函数 y f ( x) 在 x0点连续
f ( x0 ) 0(或f ( x0 ) 0)，则存在 x0的一个邻域 U ( x0 , ) ，
x
2 2 cos x ____________. 4、 lim 2 tan x x
4
6
et 1 ____________. 5、 lim t 2 t e x , x 0 , 当 a _____时，f ( x ) 在 6、设 f ( x ) a x , x 0 ( , ) 上连续 .
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
0 , 0 , 当 x x0 x 时, 有 f ( x) f ( x0 ) y
x 0 x 0
lim y 0 即 : lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0
二、计算下列各极限： sin x sin a 1、lim ； xa xa 2 x 3 x 1 lim ( ) ； 3、 x 2 x 1
(1 3 tan 2 x ) cot x ； 2、lim x0
a x 2 , x 0 三、设 f ( x ) 1 , x 0 已知 f ( x ) 在 ln( b x x 2 ), x 0 x 0 处连续，试确 定 a 和b 的值. 四、设函数 f ( x ) 在 x 0 处连续，且 f (0) 0 ,已知 g( x ) f ( x ) ， 试证函数 g( x ) 在 x 0 处也连续.
四、小结
连续函数的和差积商的连续性.
反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别;
求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x ，试研
2
究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性.
2
x0 x0
g[ f ( x )]在 ( ,0) (0,) 上处处连续
x 0是它的可去间断点
一、填空题： 1 、lim x 2 3 x 4 ____________.
x0
练 习 题
x 11 2 、lim ____________. x 0 x ln( 2 cos 2 x ) ____________. 3 、 lim
1
1
1
x
x2 例3：设 f ( x) 1
x 0 x 0
x0 ,讨论在x=0处的连续性 x0
2
解: lim f ( x) lim x 0 , f (0) 1
lim f ( x) f (0)
x 0
x 0为函数的可去间断点.
注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) , 则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3)
在点
存在 ;
例1:讨论函数
在点
处的连续性
注意: (1)若 f ( x) 在 x0 点连续, 则极限运算和函数运
性质5：（反函数的连续性）
连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续
且严格单调递增（递减）的函数.
例如, y sin x在[
, ]上单调增加且连续, 2 2 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.

五、初等函数的连续性
定理1：基本初等函数在定义域内是连续的. 定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
x4 x 1 7 、函数 f ( x ) 2 的连续区间为 x x6 ________________.
x cos ,当 x 1时 2 8 、设 f ( x ) 确定 x 1 ,当 x 1时
x 1 2
x 1
lim f ( x ) __________; lim f ( x ) ___________.
备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
x 0
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
x 0, 在x 0处的连续性. x 0, y f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点：函数在点 x0处的左、右极限都存在.
3.第二类间断点 函数 f 在 x0 点的左、右极限至少有一个不存在， 则称 x0为 f 的第二类间断点
x x0
y f (u )在点u0连续, 则复合函数y f ( ( x))在点x0连续。 （即 lim f [ ( x)] f (u0 ) f [ lim ( x)].）
x x0 x x0
1 例2：讨论函数 y cos 2 的连续性。 x 1 1 解：函数 y cos 2 可以看做是由 y cos u ，u 2 x x1 u 2 复合而成的，y cos u 在 (,)上连续， x1 在 (,0) (0,)上各自连续连续， 所以 y cos 2 x 在 (,0) (0,)上各自连续。
存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
1.可去间断点
f ( x) A ，而 f 在 x0 点无定义，或者有定义 如果 xlim x
0
但 f ( x0 ) A ，则称 x0 为 f 的可去间断点
x2 1 例2：设 f ( x) ,讨论在x=1的连续性 x 1 1
2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 及 由例2知函数 内是连续的 在其定义域区间
二、 函数的间断点
若函数 f ( x)在 x0点不连续，则称 f ( x)在点 x0间断， x0 称为间断点 . 则下列情形之一函数 (1) 函数 (2) 函数 (3) 函数
x x0
在点
不连续 :
在 在 在
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 不存在;
定义, 则可使其变为连续点.
2.跳跃间断点
f ( x) lim f ( x) 如果 f 在 x0 点存在左、右极限，但 xlim x x x
则称 x0为函数 f 的跳跃间断点
x, 例 4： 讨论函数 f ( x ) 1 x ,
0
0
解
f (0 0) 0,
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
左连续
右连续
例2. 证明函数
同理可证：函数
在
点连续 . 在 点连续 .
3. 区间上的连续函数 .
定义1：若 在某区间上每一点都连续 则称它在 ,
该区间上连续或称它为该区间上的连续函数 , .
定义2：如果函数在开区间(a, b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称函数 f ( x) 在闭区间 [a, b]上连续.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.

故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
x 2, x 0, 1、 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0), 解 lim
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别; 可去间断点 第一类间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 间断点 无穷间断点 左右极限至少有
第二类间断点
振荡间断点
一个不存在
(见下图)
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
四、连续函数的性质与运算性
叫做自变量的增量；相应的函数值由 f ( x0 ) 变到f ( x) , 则 y f ( x) f ( x0 )叫做函数值 y 的增量（改变量）
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
函数 f ( x) 在点 x0 连续有下列等价命题:
例 5： 讨论函数 f ( x) tgx 在 x 处的连续性
2
y
y tan x
2
o
x
1 , x 0, 例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的连续性. x , x 0,
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
y
x 1为函数的第二类间断点.
1, x 0 2 f ( x ) 0, x0 g( x ) 1 x 1, x0 2 f [ g( x )] sgn(1 x ) 1
思考题解答
f [ g( x )]在 ( ,)上处处连续
2, g[ f ( x )] 1 sgn x 1,
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
y x 1
1
2
y x2
y
1
1
1
1
x
1
1
x
x2 1 y x 1
1
2
，x 1 x 1 y ， x 1 x
y
2
1
1
1
1
x
1
1
x
一、 函数在一点的连续性
1.定义: 设函数 y f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且
当 x U ( x0 , ) 时， 有 f ( x) 0(或f ( x) 0)
性质3：（连续函数的四则运算法则）
若函数 f ( x), g ( x)在点 x0处连续, 则 f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) ( g ( x0 ) 0)在点 x0处也连续. g ( x)