工程力学新第八章
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工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
工程力学-第8章
TSINGHUA UNIVERSITY
小挠度微分方程及其积分
M EI
1
力学中的曲率公式
1
数学中的曲率公式
小挠度情形下
d2w dx 2 d w 1 dx 2
2 2 3/ 2
dw dx 2
d2w 0, M 0 2 dx
d2w M 2 dx EI
d2w M 2 EI dx
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
采用向下的w坐标系，有
d2w M EI dx 2
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程 M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠 度方程与转角方程：
在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量， 故通常不予考虑。
基本概念
梁的挠度与转角
在 Oxw 坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
TSINGHUA UNIVERSITY
dw tan dx
在小变形条件下，挠曲线较为平 坦，即 很小，因而上式中 tan 。 于是有 dw dx w＝ w（x），称为挠度方程。
3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
d 2 w1 3 EI 2 M1 x FP x dx 4 l 0 x 4
l 4 x l
2
d 2 w2 3 l EI ＝－ M x － F x ＋ F x － 2 P P dx 2 4 4
基本概念
梁弯曲后的挠度曲线
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载， 梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑 曲线称为弹性曲线，或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
返回主目录
Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
整理课件
24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
整理课件
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
工程力学 第八章 刚体的平面运动
例8.1.曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法; b.速度投影法 解：机构中,OA作定轴转动, AB作平面运动,滑块B作平移。
基点法
研究 AB，以 A为基点， 且 v A l , 方向如图示。 根据
vB vA vBA ,
va ve vr vB vA vBA
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v
B
v
A
v
BA
v
B
v
A
v
BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中
vBA
大小
vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
2 l ( )
在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB v A / sin l / sin 45 vBA v A /tg l / tg 45 l AB vBA / AB l / l
（
）
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
因此，图形S 的位置决定于x A , y A , 三个独立的参变量．
平面运动方程
x A f1 (t ) yA f2 ( t ) f 3 (t )
1)当图形S上A点固定不动，则刚体将作定轴转动； 2)当图形S上角不变时（ =常数），则刚体将作平移。
故刚体平面的运动可以看成是平移和转动的合成运动。
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB sin vA
vB v A / sin l / sin 45 2l( )
工程力学第八章 梁的平面弯曲
在中性轴上，y=0，则正应力σ为零。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
工程力学第八章
梁各横截面相对原来位置转过的角度称为转角。
挠度与位置的函数关系称为挠曲线方程。 梁上各点的转角与位置的函数关系称为转角方 程。
8.10.2 8.10.3 8.10.4
挠曲线近似微分方程 积分法求梁的变形 叠加法求梁的变形
ห้องสมุดไป่ตู้.11
提高梁强度和刚度的措施
合理安排梁的受力情况
8.11.1
8.2
梁的计算简图
8.2.1 载荷的简化 作用在梁上的外力，包括载荷和约束力，可 以简化成三种形式。 8.2.1.1 集中载荷 通过微小梁段作用在梁上的横向力。 8.2.1.2 分布载荷 沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力。 8.2.1.3 集中力偶 通过微小梁段作用在梁轴平面内的外力偶。
的同一截面上的内力符号一致，特规定如下： 凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力 为正，反之为负(如图所示)。
剪力方向的规定
凡使梁段产生下凹弯曲变形的弯矩为正，
反之为负(如图所示)。
弯矩方向的规定
对剪力和弯矩的符号可归纳为一个简单的口诀：
“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为
正”。 这样，计算梁某横截面上的剪力和弯矩，就不 需要画分离体受力图，列平衡方程了。我们计 算时按下面步骤进行： (1)先求大小。梁上任一截面的剪力大小等于截 面之左(或右)梁段上所有外力的代数和；弯矩 大小等于截面之左(或右)梁段上所有外力对截 面形心力矩的代数和。 (2)再判断正负。一般情况下，剪力和弯矩方向 均先假设为正，如计算结果为正，表明实际的 剪力和弯矩与假设方向相同；如计算为负，则 表明与假设相反。
8.2.2.2
固定铰支座
约束情况是梁在支承点不能沿任何方向移动，
《工程力学》教学课件 第8章 刚体的平面运动
行四边形，并由图中几何关系得
因此，B 端的速度为
vB
vA
tan
tan vA ， sin φ vA
vB
v BA
设杆 AB 的角速度为 ，由于 vBA AB l ，则
vBA
vA sin φ
l
因此，杆 AB 的角速度为 ω vA l sin φ
03 用瞬心法求平面图形内各点 的速度
3 用瞬心法求平面图形内各点的速度
其方向垂直于 OA； vBA 垂直于杆 AB，大小未知； vB 沿水平方向，大小未知。由此可以得出速度平行
四边形，并由图中几何关系得 其方向水平向左。
vB
vA cos15
162.54
(cm/s)
2 用基点法求平面图形内各点的速度
例 8-2 如图 8-8 所示的机构中，A 端以速度 vA 沿 x 轴负方向运动， AB l 。试求：当杆 AB 与 x 轴负方向的夹角为 φ 时，B 端的速度以及杆 AB 的 角速度。
动可看作是先随基点 A 平动到位置 O2 A1 ，然后再绕点 A1
顺时针转过 2 到位置 O1A1 。
图8-4
1.2 刚体平面运动的分解
实际上平动和转动是同时进行的。当 t 0 时，上述分析就趋近于真实情况。因此，平面图
形的运动，即刚体的平面运动，可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
根据上述分析可知，在平面图形上选取不同的基点，平动的位移 OO1 或 AA1 是不同的。因而， 平动的速度和加速度也是不同的，即平面图形随基点的平动规律与基点的选择有关。
此时车轮的角速度为 ω vO v r 3a
于是可求得点 A，B，D，E 的速度大小为
v 7v vA AC ω (R r) ω (4a 3a) 3a 3
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
工程力学第八章
4 4
32T × 180 32 × 7640 × 180 d1 ≥ = = 86.4 × 10 −3 m = 86.4mm 2 2 Gπ × [φ ′] 80 × 10 9 × π × 1
d1 = 86.4m m
§8.5 圆轴扭转时的变形
γ
τ = Gγ
2(1 + µ )
§8.4 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系 1.变形几何关系
观察变形： 观察变形： 圆周线长度形状不变， 圆周线长度形状不变，各 圆周线间距离不变， 圆周线间距离不变，只是绕轴 线转了一个微小角度； 线转了一个微小角度；纵向平 行线仍然保持为直线且相互平 只是倾斜了一个微小角度。 微小角度 行，只是倾斜了一个微小角度。
令
T = Wt
Wt =
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上， 在圆截面边缘上， 有最大切应力
§8.4 圆轴扭转时的应力 Tρ I p与 Wt 的计算 τρ = Ip 实心轴
τ max
T = Wt
Wt = I p / R
1 3 = πD 16
§8.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则 令
Wt = I p /( D / 2)
§8.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt = I p / R =
1 π D3 16
Wt = I p /( D / 2)
§8.4 圆轴扭转时的应力 扭转强度条件： 扭转强度条件：
等截面圆轴： 1. 等截面圆轴：
τ max
Tmax = ≤ [τ ] Wt
阶梯形圆轴： 2. 阶梯形圆轴：
由平衡方程
∑M
z
= 0 ，得
M e = 2π rδ ⋅τ ⋅ r
32T × 180 32 × 7640 × 180 d1 ≥ = = 86.4 × 10 −3 m = 86.4mm 2 2 Gπ × [φ ′] 80 × 10 9 × π × 1
d1 = 86.4m m
§8.5 圆轴扭转时的变形
γ
τ = Gγ
2(1 + µ )
§8.4 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系 1.变形几何关系
观察变形： 观察变形： 圆周线长度形状不变， 圆周线长度形状不变，各 圆周线间距离不变， 圆周线间距离不变，只是绕轴 线转了一个微小角度； 线转了一个微小角度；纵向平 行线仍然保持为直线且相互平 只是倾斜了一个微小角度。 微小角度 行，只是倾斜了一个微小角度。
令
T = Wt
Wt =
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上， 在圆截面边缘上， 有最大切应力
§8.4 圆轴扭转时的应力 Tρ I p与 Wt 的计算 τρ = Ip 实心轴
τ max
T = Wt
Wt = I p / R
1 3 = πD 16
§8.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则 令
Wt = I p /( D / 2)
§8.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt = I p / R =
1 π D3 16
Wt = I p /( D / 2)
§8.4 圆轴扭转时的应力 扭转强度条件： 扭转强度条件：
等截面圆轴： 1. 等截面圆轴：
τ max
Tmax = ≤ [τ ] Wt
阶梯形圆轴： 2. 阶梯形圆轴：
由平衡方程
∑M
z
= 0 ，得
M e = 2π rδ ⋅τ ⋅ r
工程力学课后答案第8章
第8章 压杆稳定习题：1.【解】d 图临界力最大，b 图临界力最小。
2.【解】σBC =11.25MPa <[σst ]=16.83MPa ,BC 杆满足稳定性要求3.【解】最合理的情况为AB 、BC 两杆同时失稳，此时F 最大。
()βθ22222cr cos ππcos AC AB AB l EI l EI F F === ()βθ22222cr sin ππsin AC BC BCl EI l EI F F === 两式相除得到βθ2cot tan =即()βθ2cot arctan = 4. 【解】由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。
32123min min b bh hb AI i === 欧拉公式适用于λ≥p λ，即min i l μ≥p2πσE 由此得到 l ≥m 76.1m 10200102105.032π103032π693p =⨯⨯⨯⨯⨯=-σμE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
5. 【解】（1）F cr =329.64kN（2）n =2.29<[n st ]=2.5，结构不安全6. 【解】（1）求挺杆的柔度挺杆的横截面为圆形，两端可简化为铰支座，μ=1，i=d/4计算柔度λ=μli=4μld=4×1×0.2570.008=128.5λ1=π√EσP =π√210×109240×106=92.9挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力（2）校核挺杆的稳定性I=πd464=π×0.008464=2.01×10−10m4P cr=π2EI(μl)2=π2×210×109×2.01×10−10(1×0.257)2=6.31kN工作安全系数n=P crP max=6.311.76=3.59所以挺杆满足稳定性要求7. 【解】[F]=53.31kN8. 【解】（1）F cr=355.31kN（2）bℎ=0.525。
工程力学第8章
剪力和弯矩
M1
M2 承受任意外力产 生平面弯曲的梁 的横截面内力， 为确定梁的任意 截面上的剪力和 弯曲，在坐标为 x处，用假想截 面将梁分为两部 分。
M1 FAy
M
FN
FS
以左侧为研究对象，作用于左侧的力，除外力之外，还有横 截面的内力，根据平衡方程 Fy 0 NhomakorabeaF
3
25
Mc
0
F
y
0 0
2 3
弯曲变形
在一对大小相等、转向相反、作用于杆件纵向平面的外 力偶矩的作用下或垂直于杆件轴线的一组外力的作用下， 直杆的任意两横截面发生相对倾斜，且杆件轴线 变形 为曲线。
受力特点 变形特点
受到垂直于杆件轴线的一组外力(横向力)或作用 于包括杆轴的纵向平面内的外力偶矩作用 杆件的轴线由直线变为曲线，称为弯曲变形。以 弯曲为主要变形的杆件称为梁。
3)固定端支座 3个约束，0个自由度。
XA
MA YA
3. 载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
F
集中力
q — 均布荷载
M
集中力偶
常见的静定梁，按照不同的支承，分为三类：
§4-2
受弯杆的简化
吊车大梁简化
16
目录
直立式反应塔 悬臂梁
美 国 科 罗 拉 多 大 峡 谷 玻 璃 人 行 桥
1 3
扭转变形
在一对大小相等、转向相反、作用平面与杆件轴 向垂直的外力偶矩的作用下，直杆的相邻横截面 绕着轴向发生相对转动，而轴线仍然保持为直线
受力特点 变形特点
杆件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作 用，两力偶大小相等、转向相反 杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动， 称为扭转变形。
工程力学第八章
FN 2 45° B x a A2 200045mm
F AB杆直径为15mm、BC杆边长 45mm更为合理
例8-6
A 1
图示结构，杆AB为100×100的方
木杆[。1]7M，P杆aBC为截面积
600mm的钢杆,[2]16M ，0求PBa处
可吊的最大许可载荷[F]。
解：1、计算各杆件的轴力。
30° B （设AB为1杆，BC杆为2杆）用
F
ac a' c'
F
b' d'
bd
F
m
F
m
F
m
FN
m
FN m
F
m
即
FNAdAA
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
FN
A
适用条件：
⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面 形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截面假 设不成立的某些特定截面, 原则上不宜用上式计 算横截面上的正应力。
⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附 近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力 情况复杂，上述公式不再正确。
n ----- 横向变形因数或泊松比
低碳钢（Q235）： E20~2 01 G0Pa
ν 0 .2~ 4 0 .28
例8-8 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截 面面积A1=400mm2， BC段的横截面面积 A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、 BC段的伸长量和杆的总伸长量。
横截面2-2：
FR
F1 2 FN2
A
B2
FN250kN(拉）
FR
1 F1=40kN 2F2=55kN3 F3=254kN F4= 20kN
工程力学第8章剪切与挤压
[]
[ ] [σbs ] = (1.7 − 2.0)[σ ]
[τ ] = (0.8−1.0)[σ ] [σbs ] = (0.9 −1.5)[σ ]
可从有关设计规范中查得
Hale Waihona Puke 例1：已知：δ =2 mm，b =15 mm，d =4 mm，[τ ] =100 MPa， 已知： ， ， ， ， [σ] bs =300 MPa，[σ ]=160 MPa。 试求：[F] ， 。 试求： 解： 1、剪切强度 、
F
A = πdt
冲孔所需要的冲剪力： 冲孔所需要的冲剪力： 故
F t
3
F
F ≥ Aτu
400×10 A≤ = τu 300×106 F
剪切面
=1.33×10−3 m2
即
1.33×10−3 t≤ = 0.1245m =12.45mm πd
8.1
剪切的概念于实用计算 工程实际中用到各种各样的连接， 工程实际中用到各种各样的连接，如： 铆钉连接
销轴连接
平键连接
榫连接
一、剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相 剪切受力特点： 方向相反且作用线相距很近。 等、方向相反且作用线相距很近。 变形特点： 变形特点：构件沿两力作用线之间的某一截面产生 相 对错动或错动趋势。 对错动或错动趋势。 剪床剪钢板
三、剪切的实用计算
F F
剪切面上的内力 用截面法—— Fs 用截面法
F
m m
F
实用计算中假设切应力在剪切 截面） 面（m-m截面）上是均匀分布的 截面
Fs 名义切应力计算公式： 名义切应力计算公式： τ = A
剪切强度条件： 剪切强度条件： 度条件
F
m
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轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题8- 2 试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力
I
II
III
F1
F2
弹性模量E是直线Oa的斜率
直线部分的最高点a所对应的应力称为
比例极限，p
Oa段材料处于线弹性阶段
ab段不再为直线，但解除拉力后变形仍可完全消 失（弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值-
--弹性极限，e
当应力大于弹性极限后，若再解除拉力，则试样 会留下一部分不能消失的变形---塑性变形。
(2) 阶段Ⅱ——屈服阶段
伸长
lBC
FNBClBC EABC
20103 400 200103 240
0.167mm
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
8.4 材料拉伸时的力学性能
一、 实验的基本情况
要对杆件进行强度、刚度分析，除了要进行应力和变形计 算以外，还必须了解组成杆件材料的力学性能。
式中， 0
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
p cos 0 cos2 max 0
p
s in
0
2
sin 2
max
0
2
45o
FF
1
FF 平面假设: 变形前为平面的横
截面变形后仍保持平面且垂直
2
于轴线
变形前 变形后
由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的
横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
思考-- 横截面上有没有切应力？
F
F
得横截面上正应力:
F
截面积A
FN
FN
A
横截面上的各点正应力相等，
分布均匀
适用条件：
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l lAB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 103 400 200 103 800
0.1mm
对低碳钢Q235试件进行拉伸试验，通过 曲线，整个试验过
程可以分为四个阶段:
• 弹性阶段 • 屈服阶段 • 强化阶段 • 局部变形（颈缩）阶段
低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段Ⅰ——弹性阶段 变形完全是弹性的。
t p
弹性阶段
b a
O
Oa段应力与应变成正比
E
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计
算或积分计算。
F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
2、 横向变形
b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l
b b1 b
O
B
C
4F
3F
D 2F
2A
A
O
B
C
Fox
4F
3F
D
2F 1、求反力
2A
FN 3F
+
O
－
1F
A
易知 O处反力
仅有水平方向的分量 FOx
FOx 4F 3F 2F 0
2F
FOx 3F
+
2、画出轴力图
x
因此 FNmax=3F 在OB段， 性质为拉力
O
B
C
4F
3F
Fox
2A
FN 3F
F3
F4
I
III
F1 5kN F2 20kN F3 25kN F4 10kN
I
II
FN1 5kN FN2 15kN
F1
F2
F3
FN3 10kN
I
II
FN(kN) 15 10
+
5 0
－
-5 -10 -15
III F4
III
x
－
2 横截面上的应力
刚性板
观察中间部分，拉伸变形后， 竖线仍然垂直轴线，只是发生 了平移
+
D
3、计算应力
2F
A
OB
FNOB 2A
3F 2A
(拉)
2F
CD
FNCD A
2F A
(拉)
+
O
－
1F
最大应力位于CD段
x
max
CD
2F A
(拉)
最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。
例题 8-6
A
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。
已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面
符号为正
截面
FN FN
符号为负
截面
3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的 横截面有不同的轴力
轴力图(FN图)—显示横截面上轴力与横截面位置的关系。 截面法求轴力,绘制轴力图步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；
（3）根据分离体的平衡求出内力值。
8.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是 等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与 杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要 变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
1.特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线
与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向 的伸长或缩短。
2. 试验仪器 A、液压式万能试验机 B、游标卡尺
3.试件和实验条件
试
件
和
实
验
条
件
常 温
、
静
载
二、低碳钢拉伸时的力学性能
低 碳 钢 的 拉 伸
2. 曲线图
由测量得到的F -L曲线可以转换为 曲线。
纵坐标 F
A
横坐标 ΔL
L
0
3. 低碳钢Q235拉伸曲线的四个阶段
m F
截面法 F
m
q
q
F
FN FN
F
F
FN
截面
FN ~ 轴向力，简称轴力
FN ~ 拉压杆件截面上分布内力系的合力， 作用线与杆件的轴线重合， 单位: Ｎ kN
FN ~ 轴力正负号规定及其他注意点 1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负
FN FN
A、轴向拉压； B、离杆件受力区域较远处的横截面。
FN
A
正应力，拉应力为“+”，压应力为
“－”
FN 轴力 A 横截面面积
1N 1m2
1Pa
1N 1mm 2
1MPa
* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。
(x) FN (x)
A( x)
x 是横截面的位置。
3. 圣维南原理
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，除 了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力 系作用区域略远处，该影响就非常小。
有限元分析的圣维南原理
例题8- 5
阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面 积是 CD 段横截面面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正 应力的大小及其位置。
材料的力学性能是指: 材料在外力作用下表现出来的变形、 破坏等方面的特性。它主要通过实验来测定。实验均是在常温 下，宜缓慢平稳的方式进行加载的，也称为常温静载试验。
1. 拉伸试验的目的 A、测定低碳钢拉伸的力学性能。 B、测定灰口铸铁的抗拉强度。 C、观察低碳钢拉伸过程中的各种现象，并绘制拉伸曲线。
l1
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系
泊松比
例题8-10
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。
8.3 轴向拉伸或压缩时的变形
1、纵向变形（轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
杆件在轴线方向的伸长 纵向应变
l l1 l
l
l
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗
纵向总变形Δl
（反映绝对变形量）
纵向线应变 l
F
F
l
例题8-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
解：
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)