工程力学新第八章

l1
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系


泊松比
例题8-10
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。
O
B
C
4F
3F
D 2F
2A
A
O
B
C
Fox
4F
3F
D
2F 1、求反力
2A
FN 3F
+
O
－
1F
A
易知 O处反力
仅有水平方向的分量 FOx
FOx 4F 3F 2F 0
2F
FOx 3F
+
2、画出轴力图
x
因此 FNmax=3F 在OB段， 性质为拉力
O
B
C
4F
3F
Fox
2A
FN 3F
符号为正
截面
FN FN
符号为负
截面
3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的 横截面有不同的轴力
轴力图(FN图)—显示横截面上轴力与横截面位置的关系。 截面法求轴力,绘制轴力图步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；
（3）根据分离体的平衡求出内力值。
伸长
lBC

FNBClBC EABC

20103 400 200103 240
0.167mm
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
8.4 材料拉伸时的力学性能
一、 实验的基本情况
要对杆件进行强度、刚度分析，除了要进行应力和变形计 算以外，还必须了解组成杆件材料的力学性能。
式中， 0

F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
p cos 0 cos2 max 0


p
s in
0
2
sin 2

max

0
2
45o
s
材料屈服表现为显著的塑性变形，而零件的塑性变形
将影响机器的正常工作，所以屈服极限是衡量材料强
度的重要指标
Q235 s=235MPa
O

t p s
(3) 阶段Ⅲ——强化阶段
t p s
b
强化阶段
ab c
O
过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变
e
形的能力，要使它继续变形，必须增 加拉力，这种现象称为材料的强化。
材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。
通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶（主矢和主矩）简称为该截面上的内力(实为 分布内力系的合成)。
如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？
FF
1
FF 平面假设: 变形前为平面的横
截面变形后仍保持平面且垂直
2
于轴线
变形前 变形后
由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的
横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
思考-- 横截面上有没有切应力？
F
F
得横截面上正应力:

F
截面积A
FN
FN
A
横截面上的各点正应力相等，
分布均匀
适用条件：
例题8-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
解：
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
第八章 轴向拉伸和压缩
§8-1 轴向拉伸和压缩的概念和实例 §8-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 §8-3 轴向拉伸或压缩时的变形 §8-4 材料拉伸时的力学性能 §8-5 材料压缩时的力学性能 §8-6 轴向拉伸或压缩时的强度计算 §8-7 应力集中的概念 §8-8 拉伸与压缩的静不定问题 §8-9 轴向拉伸或压缩的应变能
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
A
1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
1

FN1 A1


28.3103 202 106

90106 Pa
90MPa
4
B
FF
2

FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa
89MPa
x
F
4 拉(压)杆斜截面上的应力
杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。
1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为 1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为 研究对象
B
Fx 0
FN1 cos 45 FN 2 0
F
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
x
FN1 28.3kN
8.3 轴向拉伸或压缩时的变形
1、纵向变形（轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
杆件在轴线方向的伸长 纵向应变
l l1 l
l
l
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗
纵向总变形Δl
（反映绝对变形量）
纵向线应变 l
F
F
l
3. 圣维南原理
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，除 了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力 系作用区域略远处，该影响就非常小。
有限元分析的圣维南原理
例题8- 5
阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面 积是 CD 段横截面面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正 应力的大小及其位置。
应力基本保持不变，应变显著增 加屈服
在此阶段伸长变形急剧 增大，但抗力只在很小范围 内波动。
此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑
性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴

线成45°的条纹，这是由于材料内部相对滑移
ab
形成的，称为滑移线(

0 sin 2 ，当
2
α=±45°时τ 的绝对值最大)。
弹性模量E是直线Oa的斜率
直线部分的最高点a所对应的应力称为
比例极限，p
Oa段材料处于线弹性阶段
ab段不再为直线，但解除拉力后变形仍可完全消 失（弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值-
--弹性极限，e

当应力大于弹性极限后，若再解除拉力，则试样 会留下一部分不能消失的变形---塑性变形。
(2) 阶段Ⅱ——屈服阶段
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计
算或积分计算。
F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
2、 横向变形
b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l
b b1 b
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
由汽缸、活塞、连杆 所组成的机构中，不仅 连接汽缸缸体和汽缸盖 的螺栓承受轴向拉力， 带动活塞运动的连杆由 于两端都是铰链约束， 因而也是承受轴向载荷 的杆件。
工程实例
8.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 和应力
1 横截面上的内力
8.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是 等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与 杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要 变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
1.特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线
与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向 的伸长或缩短。
2. 试验仪器 A、液压式万能试验机 B、游标卡尺
3.试件和实验条件
试
件
和
实
验
条
件
常 温
、
静
载
二、低碳钢拉伸时的力学性能
低 碳 钢 的 拉 伸
2. 曲线图
由测量得到的F -L曲线可以转换为 曲线。

纵坐标 F
A
横坐标 ΔL
L
0

3. 低碳钢Q235拉伸曲线的四个阶段
斜截面上的内力： F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。
推论:斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
p

F A

F
A / cos

F cos
A
0 cos
材料的力学性能是指: 材料在外力作用下表现出来的变形、 破坏等方面的特性。它主要通过实验来测定。实验均是在常温 下，宜缓慢平稳的方式进行加载的，也称为常温静载试验。
1. 拉伸试验的目的 A、测定低碳钢拉伸的力学性能。 B、测定灰口铸铁的抗拉强度。 C、观察低碳钢拉伸过程中的各种现象，并绘制拉伸曲线。
F3
F4
I
II
III
F1 5kN F2 20kN F3 25kN F4 10kN
I
II
FN1 5kN FN2 15kN
F1
F2
F3
FN3 10kN
I
II
FN(kN) 15 10
+
5 0
－
-5 -10 -15
III F4
III
x
－
2 横截面上的应力
刚性板
观察中间部分，拉伸变形后， 竖线仍然垂直轴线，只是发生 了平移
t p
O

屈服阶段

上屈服极限
在屈服阶段内的最高应力和最低应力称为上屈服 极限和下屈服极限。
ab 下屈服极限 上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素 有关，一般是不稳定的。
下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料 的性能
t p
O

屈服阶段
通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服点
ab
A、轴向拉压； B、离杆件受力区域较远处的横截面。
FN
A
正应力，拉应力为“+”，压应力为
“－”
FN 轴力 A 横截面面积
1N 1m2
1Pa
1N 1mm 2
1MPa
* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。
(x) FN (x)
A( x)
x 是横截面的位置。
对低碳钢Q235试件进行拉伸试验，通过 曲线，整个试验过
程可以分为四个阶段:
• 弹性阶段 • 屈服阶段 • 强化阶段 • 局部变形（颈缩）阶段
低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段Ⅰ——弹性阶段 变形完全是弹性的。
t p
弹性阶段
b a
O
Oa段应力与应变成正比
E
最高点e所对应的应力：
b
材料所能承受的最大应力，称为 强度极限或抗拉极限，它是衡量材 料强度的另一个重要指标。
在强化阶段中，试样的横向尺寸有明显的缩小。
(4) 阶段Ⅳ——局部变形阶段 试样上出现局部收缩—— 颈缩，并导致断裂。
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l lAB lBC
－
20
l AB

FNABl AB EAAB
40 103 400 200 103 800
0.1mm
+
D
3、计算应力
2F
A
OB

FNOB 2A
3F 2A
(拉)
2F
CD

FNCD A

2F A
(拉)
+
O
－
1F
最大应力位于CD段
x
max
CD

2F A
(拉)
最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。
例题 8-6
A
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。
已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面
l
（反映变形程度）
l1
由胡克定律 Eε
FN
A
l FNl EA
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)， 由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa； EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
F
l
F
l FNl EA
l1
公式的适用条件 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
m F
截面法 F
m
q
q
F
FN FN
F
F
FN
截面
FN ~ 轴向力，简称轴力
FN ~ 拉压杆件截面上分布内力系的合力， 作用线与杆件的轴线重合， 单位: Ｎ kN
FN ~ 轴力正负号规定及其他注意点 1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FN FN
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题8- 2 试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力
I
II
III
F1
F2