高等代数之二次型习题

ai1
ai 2
(ai
1
,
ain
,
ain
)
x1
x2
xn
X ' A' AX
( A' A)' A' A 可知，f 的矩阵为 ',有
r(B) r(') r().
.
3.设A是n级实对称矩阵，
证明：存在一正实数c使对任一实n维向量X都有
| X ' AX | cX ' X .
2）f ( x1, x2 , , xn ) 秩为2，且符号差为0， 则可经线性替换X=CY，二次型化为
f ( x1, x2 , , xn ) y12 y22 ( y1 y2 )( y1 y2 ) (a1 x1 a2 x2 an xn )(b1 x1 b2 x2 bn xn ) 总之，f (x1 , x2 , , xn ) 可表成两个一次齐次式的乘积.
可知 A 反对称.
2）
X AX 0,X
则由1）知 A 反对称， A A A
从而 A 0
4.如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共 有几类？
解: 实对称矩阵A与B合同充要条件是 存在可逆矩阵T与C使
.
d1
d2
T ' BT
C'
AC
dr
证:
| X ' AX || aij xi x j | | aij || xi || x j |
0
0
d2
,
D2
0
0
, 0
, Dr
0 dr 0
0
于是
A (C 1 )' D1C 1 (C 1 )' D2C 1 (C 1 )' Dr C 1
3.设A是一个n级矩阵，证明： 1) A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X， 有X’AX=0； 2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X’AX=0， 那么A=0. 证: 1）必要性
A A',则 X ' AX ( X ' AX )' X '( A)X X ' AX 即X ' AX 0
充分性 取 X i (0, ,1, ,0) 取 X i j(i j)
i A i aii 0
X AX aii aij a ji a jj 0
从而 aij a ji (i j).
二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 f ( x1 , x2 , , xn ) 秩为1.
2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 a2
b1
b2
.
y1 y2
a1 x1 b1 x1
a2 x2 b2 x2
an xn bn xn
yi
xi
(i 3, , n)
a 11
a A
21
a12 a22
a a s1
s2
a1n a2n
的秩.
asn
证:
f
s
(ai1 x1
i 1
ain xn )2
s
( x1, i1
ai1
,
xn
)ai 2
(ai1
,
ain
,
ain
)
x1 x2 xn
( x1,
,
xn )
s i 1
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从 而A的所有主子式大于或等于0， 故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.
.
s
2.设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) (ai1 x1 ai2 x2 ain xn )2 i 1
证明：f ( x1, x2, , xn ) 的秩等于矩阵
当t充分大时，k (t) 为严格主对角占优的行列式，且
t aii aij , (i 1,2, , n), ji
k (t ) 0(k 1,2, , n), 从而tE A正定的.
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0, 证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0. 证: 假设任意实n维向量X，有 X' AX 0,
则可经线性替换X=CY，二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 其中 y1 a1 x1 a2 x2 an xn
.
f ( x1 , x2 , , xn ) k(a1 x1 a2 x2 an xn )2 (ka1 x1 ka2 x2 kan xn )(a1 x1 a2 x2 an xn )
设 f (x1, x2 , , xn ) (a1 x1 a2 x2 an xn )(b1 x1 b2 x2 bn xn ) 1) 若上式右边的两个一次式系数成比例，即
bi kai (i 1,2, , n)
.
y1 a1 x1 a2 x2 an xn
y
i
xi
(i 2, , n)
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后， tE+A是正定矩阵.
证:
t a11 a12
tE A
a11
t a22
a1n
a2n
a n1
an1
t
a
nn
它的k级顺序主子式
.
t a11
k(t)
a21
ak1
a12 t a22
ak2
a1k a2k t akk
D
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况， 共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0， 故共有 1 2 3 n (n 1) (n 1)(n 2) 个合同类
2
.
5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的 一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的 秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1. 证: 必要性
二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) y1 y2
y1 y2
z1 z1
z2 z2
yi
zi
(i 3, , n)
.
二次型化为
f
( x1 ,
x2 ,
,
xn )
y1
y2
z12
z
2 2
f (x1 , x2 , , xn ) 秩为2，且符号差为0.
充分性 1） f ( x1 , x2 , , xn ) 秩为1，
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于 1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A', r( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D (D为对角阵)
又因为 C',C 1,(C 1 )' (C' )1均为可逆矩阵，
所以有C' AC D1 D2 Dr
0
d1
D1