高等代数之二次型习题

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《高等代数》二次型

1
c1
S
0
0 1
d1
1
T
cr
1
1
0
0
1
dr
1
1
这里 ci , di 分别表示复数 ci , di 的一个平方根.
那么 S S, T T，而
SPAPS
T
QBQT
Ir O
O O
二次型（1）定义了一个函数型也叫n 个变量的二次型.
q 所: F以nn元F二. 次
在（1）中令 aij a ji (1 i, j n因) . 为 xi x j 所x以j xi , （1）式可以写成以下形式：
nn
（2） q( x1, x2 ,, xn )
aij xi x j , aij a ji
实二次型的惯性定律.
复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.
9.2.1 复二次型的典范形
定理9. 2. 1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.
证显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充
9.1.2 线性变换
如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：
n
（4） xi pi j y j , i 1,2,, n, pij F (1 i, j n)
i 1
那么就得到一个关于 y1, y2 ,, yn 的二次型
q( y1, y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4）的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
性变换将 q 变为 q，则B与A 合同. 反之，设B与A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B PAP. 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q.

二次型的矩阵表示[达标训练题]

第五章二次型§1 二次型的矩阵表示[达标训练题]A 组一、填空题1．下列各式中等于22212154x x x x ++.（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215221),(x x x x ；（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215311),(x x x x ；（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21215481),(x x x x ；（D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21215221),(x x x x . 2．上题中是二次型22212154x x x x ++的矩阵. 3．二次型222121462x x x x ++的矩阵是 .4．二次型23323121432122),,,(x x x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 .5 二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21214221),(x x x x 的矩阵是 . 6．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4331对应的二次型是 . 7．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131对应的二次型是 . 8．二次型经线性替换化为 . 二、判断题1．二次型AX X f '=经线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则 ①B A ,等价；②B A ,合同.2．二次型AX X f '=经非退化线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则①B A ,等价；②B A ,合同.3．若二次型BX X AX X f '='=，则B A =. 4．B A ,合同，则B A ,等价. 5．B A ,等价，则B A ,合同. 三、解答题1．若21,A A 合同，21,B B 合同，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A 合同. 2．证明：如果A 是n 级对称矩阵，且对任意n 维向量X ，有0='A X X ，则0=A .B 组1．（选择）实方阵A 与单位矩阵E 合同，则必有成立. （A ）0<A ；（B ）0=A ；（C ）0>A ；（D ）不能确定. 2．证明：E E -,在复数域上合同，但在实数域上不合同. 3．举例说明，B A ,合同，存在可逆矩阵,C 使AC C B '=，这里的C 不是唯一的.§1 二次型的矩阵表示[达标训练题解答]A 组一、填空题1．（A ）（B ）（C ）（D ）； 2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4332；4.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001121010102110；5.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4001； 6， 22212146x x x x ++； 7.22212122x x x x ++; 8.二次型. 二、判断题 1.F ； 2.T ； 3.F ；4.T ； 5.F. 三、解答题1．证明根据条件存在可逆的21,C C ，使2222111,B BC C A C A C ='='，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100C C C ，则C 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'2211B A C B A C .故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A 合同.2．证明：如果取Ti X )0,0,1,0,0()( =利用已知条件可以得出),2,1(0n i a ii ==，在取T j i X )0,0,1,0()()( =，利用已知条件容易得出)(0j i a ij ≠=.证毕.B 组1．（C ）2. 证明：在复数域上取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i C ，即得E EC C -='.而在实数域上对任意的可逆矩阵C ，EC C '的主对角线上元素是C 的行向量元素的平方和，不可能是-1.故E EC C -='不成立.3．例如，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2001B A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121C ，则B AE E AC C ='='.§2 标准形[达标训练题]A 组1．分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：（1）32312122216223x x x x x x x x -+--；（2）323121224x x x x x x --.2．求证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3．用合同变换将下列对称矩阵为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022,542452322B A4．证明：秩为r 的对称矩阵可以表示成r 个秩为1的对称矩阵之和.B 组1．化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++；（2）112221+-+++n n n n x x x x x x .2．证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同，其中11A 为可逆的对称矩阵.§2 标准形[达标训练题解答]A 组1．解（1）用配方法：23223212332223231213322213231212221)21(4)()41(4)222(6223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=++--+-++=-+--⎪⎩⎪⎨⎧==+=+-33232132121z x z x x z x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232112123z x z z x z z z x ，则22213231212221416223z z x x x x x x x x -=-+--.(2)用合同变换法二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，对A 施行合同变换： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10021102311000040001100010111020040001100010001031331111，所以令CY X =，则2221323121222146223y y x x x x x x x x -=-+--.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10021102311C .（2）配方法令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211xy x x y x x y ，则23222123222312322233121322221323121242)21(42)41(4444224z z z y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x --=---=--+-=--=--其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=332231141yz y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33323118583z x z x z z x .合同变换法：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011102120A ，对A 施行合同变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1001032115121151000500041004121141211412102150004100011001011142124100010001011102120，所以令CY X =，2322213231215154224y y y x x x x x x --=--，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10010321151211C . 2.证明：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21对应的二次型是2222211)(n n x x x X f λλλ+++= .作非退化的线性线性替换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===in n i i x y x y x y 2121，则二次型化为2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= ，而2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i i λλλ 21.故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3．解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321031113500030002100010111320230002100010001542452222E A ，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10032103111C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='3532AC C . （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210211000010002100010011020210002100010001020212022E B .，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='012BC C . 4．证明：设A 为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵C ，使Cd d C A r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=001，令rr r DD D d d d d++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000000，则C D C C D C C D C A r '++'+'= 21，其中),,2,1(r I C D C i ='为秩为1 的矩阵.B 组1．解（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++23232232113)4()(2x x x x x x --++-= 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y C x x x ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100410311C . （2）112221+-+++n n n n x x x x x x ，令2211n y y x +=,2,1++=n n n y y x211++-=n n n y y x yy y x nn 2,,212-= ，则2221224232221112221n n n n n n y y y y y y x x x x x x -++-+-=+++-+- .所用的非退化的线性替换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==2121212121212121, C CY X 2 . 证明：因为=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212111122211211212111100E A A E A A A A E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211112221100A A A A A ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A A A A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同.§3 唯一性[达标训练题]A 组一、填空题1．秩为r 的复二次型的规范形，秩为r 的复对称矩阵合同于对角矩阵 .2．复n 对称矩阵B A ,合同的充要条件是，B A ,等价的充要条件是，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .3． n 级实对称矩阵B A ,合同的充要条件是，B A ,等价的充要条件是，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .4． n 级复对称矩阵按合同分类共有类. 5．n 级实对称矩阵按合同分类共有类. 二、解答题1．写出下列复二次型的规范形(1)22212)1()(ix x x i x f +--=; (2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=. 2.将实二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=化为标准形，并求其秩、正负惯性指标和符号差.2．实二次型的秩为r ，正负惯性指标分别为q p ,，证明r 与q p -有相同的奇偶性，且r q p r ≤-≤-. 4．nn KS S ⨯∈='，证明；存在nn KA ⨯∈，使A A S '=.B 组1．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A ，证明；B A ,在实数域上合同，并且求一实可逆矩阵P 使B AP P ='.2．证明：任何一个n 级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一..12,1000000;2,00+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛v n E E v n E E v v v v3．证明：一个n 级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一,000000,00000022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v n v vv n v v E E E E E E4．设n 元实二次型f f -,可以经过非退化的线性替换互化，问f 的符号差应满足什么条件.§3 唯一性[达标训练题解答]A 组一、填空题 1.221r y y ++ ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 ； 2.有相同的秩，秩相同；3.秩与惯性指标形同，秩与惯性指标相同；4.1+n ；5.)1(21+n n .二、解答题1．解（1）22212)1()(ix x x i x f +--=矩阵的秩为 2 ，所以它的规范型是2221y y + .(2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 4 ，所以它的规范型是24232221y y y y +++.2．解利用配方法或合同变换法容易求出它的规范型为：232221y y y -+，故其秩是3，正惯性指标2，负惯性指标为1，符号差1.3．证明：因为,2p r q p -=-所以r 与q p -有相同的奇偶性.又因为r q r p ≤≤≤≤0,0，所以r q p r ≤-≤-.4．证明：设矩阵的秩为r ，则BC C S '=，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 B ，显然B B =2，因此BC A A A BC BC BBC C BC C S ='='='='=,)()(.B 组1．解容易利用合同变换把⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A 化成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵 P 使B AP P ='.2．证明：法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于00v vE E ⎛⎫⎪⎝⎭，如果是奇数级的则合同于0000.001vv E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭法二）对于2n v =11221100022v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 在复数域上v v v v v v v v E E E E iE E iE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用传递性，2n v =得证.21n v =+，只需考察000001v v E E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭即可.3．证明：由111110*********222⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭设实对称矩阵A 的正、负惯性指标分别是,p q当2np q v===，A 与矩阵vv E E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同，于是A 与矩阵v v E E ⎛⎫⎪⎝⎭合同；p q n p v >=-=时 2q n qq E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭与2q qn q E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，A 与矩阵200v v n v E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭合同；v p q n p =<=-00vn v E E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭与2v vn v E E E -⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭合同A 与20000v v n v E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭合同.4．显然秩相同，符号差相反.§4 正定二次型[达标训练题]A 组一、填空题1．二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组的 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，f 的规范形是 .2．二次型),,,(21n x x x f 称为半正定的如果对任意一组 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，其规范形为 .3．负定二次型的规范形是 .4．设B A ,是n 级正定矩阵，下列矩阵是正定的.)0,(),0(,,,,,,,,1*>+≠'±''-l k lB kA C AC C B A AB A A kA A A A A n . 二、解答题1. 用三种方法证明二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=是正定的.2． t 取何值时，二次型32312123222132122232),,(x tx x x x x x x x x x x f +-+++=是正定的.3．若A 是可逆方阵，证明A A A A '',正定.B 组1．判断下列二次型是否正定（1）∑≠=ji ji n x x x x x f ),,,(21 ；（2）∑∑≠=+=j i ni ji in x x x x x x f 1221),,,( .2．假设二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组全不为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f ，问),,,(21n x x x f 是否为正定.3．证明n 级实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.4．证明n 级实对称矩阵A 半正定的充分必要条件是它的任意主子式非负.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.5．设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，证明nn a a a A 2211≤，等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵.§4 正定二次型[达标训练题解答]A 组一、填空题1．非零的，0>，22221n y y y +++ ；2.实，非零的，0≥，)(22221n r y y y r ≤+++ ； 3.22221n y y y ---- ；4.)0,(),0(,,,,1*>+≠''-l k lB kA C AC C A A A A n . 二、解答题1．解：（1）配方法=--+++=323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f 2221(2x x +)22232312123x x x x x x x --++2323322235)9434((3x x x x x ++-+=2321)(2x x x --+2323235)32(3x x x +-=232221y y y ++. 所以正定.（2）合同变换法对二次型矩阵进行合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1530152310151312110001000110032103111350030002100010111320230002100010001542452222，即二次型矩阵是正定的，从而二次型正定.（3）求二次型矩阵的特征值，容易得出二次型矩阵的特征多项式为)9)(2)(1(---x x x .矩阵的特征值都是大于0的，从而二次型正定.2．解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121111t t A ，12,1,1221++-==∆=∆t t A显然当2121012.,02+<<-⇔<-->t t t e i A 时二次型正定. 3．证明：利用若实对称矩阵与单位矩阵合同则正定得出结论显然成立.B 组1．解（1）二次型矩阵的k 级主子式为0)21(021212102121210)(≠-==∆k k k k.因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的.（2）二次型矩阵的k 级主子式为0)211()21(121212112121211)(>-+==∆k k k k，所以二次型正定.2．解：正定二次型指二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组不全为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f .因此该题给出的条件不能说明),,,(21n x x x f 是否为正定.同时容易举出反例.3．证明n 级对称矩阵正定，而)0(212112*********n i i i a a a a a a a a a A k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k ≤<<<≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 为A 的任意主子式所对应的一个k 级矩阵，二次型),,,(21n x x x f ，为正定，则对于任意不全为0 的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ，从而对于任意不全为零的实数n i i i c c c ,,,21 都有)0.,0,,0,,0,,0,,0(1> k i i c c f 但对于文字为ni i i x x x ,,,21 而矩阵为k A 的二次型)0,,0,,0,0,0,,0(),,,(121 k n i i i i i x x f x x x g =，显然是正定的，故k A 的行列式大于0.4．证明必要性令n k n i i i k ,,2,1,021 =≤<<<≤且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n nn n a a a a a a a a a A 21222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k a a a a a a a a a A 2112221212111.设它们对应的二次型分别是),,,,(21n x x x f ),,(11k i i x x f . 若A 是半正定，即f 半正定，从而1f 半正定.于是存在实可逆矩阵k C ，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='k ii k k kC A C λλ 1)0(≥j i λ，从而02≥='k k k k kA C C A C ，故得0≥k A .充分性设A 的主子式全大于或等于0，令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m m a a a a B 1111，则mm m m mmm m m mm m p p p a a a a a a a a a B E ++++=+++=+--λλλλλλλ111212222111211.其中i p 是m B 的一切i 级主子式之和. 故0≥i p ，从而当0>λ时0>+m m bB E λ.即对一切正实数λ，A E +λ正定.如果A 不是半正定，则存在不为0 的实向量Tn c c c X ),,,(210 =有00<-='a AX X ，于是取01200>='=∑=ni icaX X aλ，0)(00=+'X A E X λ，这与对一切正实数λ，A E +λ正定矛盾.故A 是半正定的.5．证明：设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，首先我们证明二次型0),,(1111111nnnnn n n y y y a a y a a y y f=负定.事实上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--Y A Y Y O AY A E Y Y A 11100，从而Y A Y A f 1-'-=，所以f 负定.其次我们证明1-≤n nn A a A ，其中1-n A 是1-n 级顺序主子式.由于11,11,11,11,1111,1,11,11,111,111000------------+=+=n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n A a D a a a a a a a a a a a a a a a A其中),,(1,1,11,11,111,111,11-------==n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a f D.由于A 正定，从而1-n A 正定.因此由上面证明可知0≤D .即1-≤n nn A a A .显然当A 的第一行第一列除11a 外全为0 时等号成立.最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即nn a a a A 2211≤，且等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵第五章测试题A 卷一、填空题1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213821),(),(x x x x x x f 的矩阵是，当时，线性替换CY X =是非退化的.2．21222132166),,(x x x x x x x f ++=的矩阵是，矩阵表示式是 .3．若B A ,是n 级正定矩阵，则AB B A B A ,,,1-'-中不是正定的.4．两个实二次型经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .5．实二次型),,,(21n x x x f 是不定的，其规范形是（q r ,分别是f 的秩与正惯性指标）.二、解答题1．用非退化的线性替换化下列二次型为标准形：（1）（配方法）4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=；（2）（合同变换法）433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=. 2．t 取何值时，3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3．设A 是实反对称矩阵，证明2A E -正定.4．证明：22,(0)a b ac bc c bc c A B c b c bc c c ⎛⎫+++⎛⎫==≠⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭合同.5．令R a a a n ∈,,,21 ，证明：212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--正定的充要条件是0)1(1211≠-++n n a a a . B 卷一、选择填空1．A 是n 级反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有AX X '. （A ）0>；（B ）0<；（C ）等于0；（D ）不确定.2．实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它必有 .（A ）秩为2；（B ）秩为0；（C ）秩为2符号差为0；（D ）秩为1.3．二次型f 经非退化的线性替换化为g ，则它们的矩阵B A ,满足 .（A ）等价；（B ）合同；（C ）存在P ，使AP P B 1-=；（D ）存在Q P ,，使Q P PAQ B ,(=可逆）.二、解答题1．设A 为实对称方阵，证明，当ε充分小时，A E ε+是正定的. 2．设S 是n 级复对称矩阵，证明存在复矩阵A ，使A A S '=.3．设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'第五章测试题解答一、填空题1.0,3521≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；2.XX ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6331,6331；3.B A -；4.有相同的秩与正惯性指标； 5.rp p y y y y ---+++ 11. 二、解答题1．解：用配方法4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+=43433212211y y x y x y y x y y x ，则2423222124243232231242443232332222331214323323122214332214141)21()21()21(41)41()41()41(z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x -+-=--+---=-+-+++-+-=-+---=++其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=44433322311212121y z y y z y y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432432111002121000211102111x x x x z z z z .2．解：用合同变换法：433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100112002110011，下面对矩阵作合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001311023210232114000031000030000110000311003210032111100131000030000110001100010001111001120023000011000010000100011110011100100000110000100001000011100111001110011故作线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1000110210211,313232C CY X ，二次型化为242322214313y y y y +-+.2.解：二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t 11112125，显然其一级、二级顺序主子式大于零，其行列式为2-t 故当2>t 时二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3．证明： A 是实反对称矩阵，容易证明2A E - 是实对称矩阵，对任意的n 维向量0≠x 有，0)()()()(2>'+'='+'=-'Ax Ax x x x A A E x x A E x .故 2A E -正定.4．证明:对矩阵a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭作合同变换 222a b ac bc ac bc c bc c A Bb c bc c bc c c ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭)0(22,2≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c c c bc c bc c bc ac B c b b a A5．证明：充分性：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=n n n x x a y x a x y x a x y 132222111 ，则二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=-- 化为221n y y ++ ，容易计算线性替换的矩阵行列式等于0)1(1211≠-++n n a a a ，所以所给的线性替换是非退化的，因此二次型是正定的.必要性若0)1(1211=-++n n a a a ,则线性替换不是非退化的,因此存在不全为0 的12,,,n x x x ,使1122231110,0,0,0n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=+=+=+=故与正定矛盾,所以0)1(1211≠-++n n a a aB 组一、选择填空 1.（C ）；2.（C ）； 3.（A ）（B ）（D ）.二、解答题1．证明由于对任意的正实数ε，)1(A E A E +=+εεε成立，所以当ε充分小时ε1充分大，利用北大高等代数教材习题知：AE +ε1为正定矩阵.故A E ε+是正定的.2．证明：设S 是n 级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵C 使A A C E C E C E E C C E C S r r r r r '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=)0()0(000.3.设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'证明：j nj i i j i nj i ijnj i j i ijx x a x x ax x aAX X ∑∑∑===≤=='1,1,1,=+≤∑=nj i ji x x a 1,222XX c x an x n x n a ni i n j j n i i '==+∑∑∑===121212)(2，其中ij a a max =.。

(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II

。
证 1）作变换，即
，
则
。
因为是正定矩阵，所以是负定二次型。
2）为正定矩阵，故对应的阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或，
从而
，
令
，
则
。
由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。
即证。
3．设
。
其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。
证设，
的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明。采用反证法。设，考虑线性方程组
，
该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是
，
上式要成立，必有
，，
这就是说，对于这组非零数，有
，，
这与线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数，即证。
4．设
是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。
证只要令，则，
注意到
，，
则有
。
即证。
5．设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵
。
设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型
，
其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使
和，
故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，
且，即
，
这时与存在三种可能：
，，
下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，
则由可求得非零向量使
，
即证。
证采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。

高等代数二次型单元测验答案

（ A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 四、证明题（40 分） 1、设 A , B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0，则 r(A) r(B) n .
设 B 的列向量组为 B1, B2 ,, Bn ，则 AB A(B1, B2,, Bn ) ( AB1, AB2,, ABn ) 0 故有 AB1 AB2 ABn 0 , 即方程组 AX 0有 n 组解 B1, B2,, Bn . 若 r( A) r ，则 B1, B2,, Bn 可由 AX 0的基础解系线性表出，于是 r(B) n r .因此 r( A) r(B) r (n r) n 2、设 A 是一个实矩阵，证明： r(AT A) r(A) .
从而 AX T AX 0 ,又因为 AX 是一个 n 维实列向量, 推出 AX 0
即证 AX 0 与 AT AX 0 同解，故 r AT A r A
3、设 A , B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A1 ， A B 都是正定矩阵 (1) 因为 A 正定,存在可逆矩阵 C , 使得 A CT C , 从而 A1 (CTC)1 C1(CT )1 C1(C1)T , 推出 A1 正定 (2) 任取 X 0 , X T (A B)X X T AX X T BX 0 , 推出 A B 是正定矩阵.
0 6 3 6 6 0 0 2 1 2 2 0
1 2

0
1
0 0
2 2 3

4 2 2 1 2 2

第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ，B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =TC A C ．4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.习题6.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形.3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211xx y x x y x x y 得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.习题6.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x1122． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.21013. 020,(),101A B kE A k B k B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ΛΛ设矩阵其中为实数.（1）求对角阵，使与相似；（2）求参数的值，使为正定矩阵.习题六 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为.3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为.4．二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为. 6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 .7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为.8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a =. 9．当t 满足, 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的. 10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =.二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 3. , T T Tn f X AX A A X CY f Y BY ====如果元二次型（其中）可经可逆线性变换化为则下列结论不正确的是（）.(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n (D) A 合同于单位矩阵22212312323123 (,,)(2)(23)(3)( ).() 1 () 1 () 1 ()1f x x x x ax x x x x x ax A a B a C a D a =+-+++++<-≠-≠>6.二次型正定的充要条件是7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ). (A)1 (B) -1 (C) 2 (D)-2 9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.222123123121323123(,,)55266 2.(1);(2)(,,)1f x x x x x cx x x x x x x c f x x x =++-+-=2. 已知二次型的秩为求和二次型矩阵的特征值指出方程表示哪种二次曲面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型. 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换1123212331232221231(22)31 (22)31(22)342,x y y y x y y y x y y y f y y y ⎧=++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩=+-化为了标准形求该二次型。

高等代数第5章二次型 5.4 恒正二次型

4、顺序主子式、主子式、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 K 1) A(1,2,L ,k) M O
ak1 L
a1k M

Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11 K a1k 2) Pk det A(1, 2,L , k) M O M
ak1 L akk
其中，c j

cis , 0,
当 j is , s 1, 2,L ,k 当 j is , s 1, 2,L , k
由于 A 正定，有 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 正定，即有 X0 AX0 0, 从而， g(ci1 ,ci2 ,L ,cik ) f (0,L ,0,ci1 ,0,L ,ci2 ,0,L ,cik ,0,L ,0)

1
0,
P3 A 0.
f 正定.
n
2) f ( x1, x2,K , xn ) xi2
xi x j
i 1
1i jn
（习题7）

1
1
1 L
2
1
2 1

解： f ( x1, x2 ,K , xn )的矩阵
A

2 L 1
1
L 1
L L L
2 L
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为
z12 z22 L zn2 .

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4

从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵，当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2

第八章二次型

f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型

高等代数_二次型的考研真题

而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同的秩和符号差（或是正负惯性指数相同）Th11.8 结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自正特征根，负特征根的个数是相等的（或是秩相等，正特征根个数相等）。
结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自正特征根，负特征根的个数是相等的。
1 2 3、练习：与在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ；；； 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 4 0 1 1 1 0 0 ,B 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 讨论A，B的相似和合同关系
1 1 3、A 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 练习：与在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ；；； 1 2 1 2 1 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
考研真题 1、f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的秩为2 (1)求c及其二次型矩阵的特征值 (2) f 1表示何种二次曲面。 2、设A为m阶实对称矩阵且正定， B为m n实矩阵，证明 BT AB为正定阵 RankB n
阶实对称阵正定的特征值全大于2981016对于阶实对称矩阵有正交矩阵使得的特征根而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同的秩和符号差或是正负惯性指数相同th118结论
n 阶实对称阵 A正定 A的特征值全大于0.
由P298 Th10.16，对于n阶实对称矩阵A, 有正交矩阵T , 使得 1 1 . T 1 AT T T AT n 1 , , n为A的特征根

高等代数第5章习题参考答案

第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3；4)8x 1x 4 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4 ；5)x 1x 2 x 1x 3 x 1x 4 x 2x 3 x 2x 4 x 3x 4；解1 )已知f x 1,x 2,x 3 4x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 ( 1)x 3 y 3则f x 1,x 2,x 3 4y 124y 224y 1y 322 2 24y 1 4y 1 y 3 y 3 y 34y 22y 1 y 3 3y 324y 22，再作非退化线性替换11 y 1z 1212y 2 z 2y 3 z 3则原二次型的标准形为最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为2) x 12 2x 1 x 2 2x 224x 2x 3 4x 32；3) x 123x 222x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3；6) x 12 2x 22 x 424x 1x 2 4x 1x 32x 1x 42x 2x 3 2x 2 x 4 2x 3x 4；7) x 12 x 22 x 322x 42x 1x 2 2x 2x 32x3 x4 。

x 1,x 2,x 32 z124z 223)x 1x 212z 1 1 2z 1z 2z 21 2z 3 1 2z 3x 31 0111 022 T1100 1 000 100 1且有100 T AT0 4 00 1 2 ）已知f x 1,x 2,x 3x1 2x 1x2 2x 22由配方法可得f x 1,x 2,x 3 2 x 12x 1x 22 x 22x 1 x 2x 2于是可令 y 1 x 1 x 2y 2 x 22x 3 ，y 3x 3则原二次型的标准形为f2 2x 1,x 2 ,x 3y 1y 2，且非退化线性替换为 x 1 y 1 y 2 2y 3 x 2 y 2 2y 3x 3 y 3于是相应的替换矩阵为 4x 2 x 3相应的替换矩阵为 2x 22x 3 2，2 1 2 02，21， 2，14x 32，4x 2x 3 4x 320。

高等代数讲义ppt第五章二次型

顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。

高等代数学习题集

高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。

大学高等代数二次型试题

第五章二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1) 称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij ji a a i j =<由于i j j i x x x x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个nn ⨯矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(2)它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ij ji a a i j n ==,所以A A =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n n n n n n n n ij i ji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x a x x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪'=== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AX X x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX ''==,且B B A A ='=',,则B A =. 定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式0≠ijc ,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。

高等代数考研复习二次型

1.1 二次型及其矩阵
1)定义：设P是数域,系数在数域P上的关于x1,x2, ,xn 的二次齐次多项式
f (x1,x2, ,xn) a11x12 2a12x1x2 2a1nx1xn
a22x22 2a2nx2xn
annxn2
nn
aijxixj, aij aji.
i1 j1
称为数域P上的一个n元二次型.
数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：
它的秩等于2和符号差等于0或秩等于1.
例2 设A为一个n阶实对称矩阵，且 | A| 0. 证明：
存在实n维列向量
X使0 得0,
X0AX00.
例3 设 f(x 1 ,x 2 , ,x n ) X A X 是一个实二次型，若
存在n维向量 X1, X 2 使得 X 1 A X 1 0 ,X 2 A X 2 0
Ep
同于唯一的n阶对角矩阵
Erp
0
.
注意：实数域上的两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数.
1.4 化二次型为标准型的方法
a)配方法；
b)初等变换法；
设A 是对称矩阵，故存在可逆矩阵 C , 使
d1
CAC
d2
D.
d
n
由 C 可逆知，存在初等矩阵 P1,P2, ,Ps, 使得 CP1P2 Ps, 于是
.
λn
题型分析: (1)化二次型为标准型； (2)矩阵合同的应用； (3)惯性定理的应用.
例1 用配方法化二次型为标准形 (1) f x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3 . (2) f x 1 x 2 3 x 1 x 3 3 x 2 x 4 x 3 x 4 .

高等代数二次型知识点

高等代数二次型知识点一、知识概述《高等代数二次型知识点》①基本定义：二次型呢，简单说就是一个多元二次齐次多项式。

就好比有一堆变量（假设是x₁，x₂，x₃等），然后这些变量或者它们的乘积再乘以一些系数，组合起来的一个多项式，而且每一项都是二次的，像3x₁²+ 2x₁x₂+ 5x₂²这种。

②重要程度：在高等代数中可是相当重要的一块。

它就像是高楼大厦的一块重要基石一样，很多地方都会用到这个概念。

像研究矩阵的特征值、正定矩阵之类的，都和二次型有着千丝万缕的联系。

③前置知识：得先掌握好矩阵的相关知识，比如矩阵的乘法、秩这些概念。

向量空间的基础知识也很必要，因为二次型可以用矩阵来表示，而这个矩阵和向量空间里的向量是有联系的。

④应用价值：实际应用可多了。

在物理里，一个物体的能量表达式有时候可以用二次型表示。

在工程上，分析结构的稳定性之类的问题，二次型也能提供理论基础。

就像在建筑工程中，判断一个桥梁结构是否稳定，可能就需要通过建立二次型模型来分析。

二、知识体系①知识图谱：在高等代数这个学科里，二次型是矩阵理论与线性代数内容的延伸部分。

它和线性变换、特征值这些内容都同属一个知识体系的分支。

②关联知识：和很多知识点都有联系呢。

与矩阵的合同关系密切相关，因为二次型经过非退化线性替换后对应的矩阵是合同的。

和正定矩阵的关系也很紧密，正定矩阵可以用来判断二次型的一些性质。

③重难点分析：掌握难度点在于对二次型矩阵表示的理解，得能清楚地看出二次型就相当于一个矩阵。

还有就是二次型的标准形、规范形的转化过程有点复杂。

关键点就是要把二次型和矩阵之间的各种关系都梳理明白。

④考点分析：在考试里挺重要的。

考查方式可多样了，比如给个二次型，让你求它的矩阵，或者是把二次型化成标准形，也会考查正定二次型的判定这种比较难的知识点。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：二次型的准确含义就是前面说的多元二次齐次多项式，但是还可以用矩阵形式简洁地表达，例如二次型f(x₁,x₂)=x₁²+ 2x₁x₂+ x ₂²，它的矩阵表示是[1 1; 1 1]（这里用分号表示换行）。

高代-二次型

第五章二次型练习与测试题一、填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为 __ ，正惯性指数为，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同： .二、判断题1、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （）7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （）三、计算1．用可逆线性替换将二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．2．求二次型3231213212),,(x x x x x x x x x f -+=的标准形，并写出所作的非退化线性代换.四、证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2、实二次型1211(,,,),()n nn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)nnij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数自测题一、填空题(每小题3分,共15分)1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为．2．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为类．3．两个n 元实二次型等价的充分必要条件是． 4．A 正定⇔ ．⇔ ． ⇔ ．5．某四元二次型有标准形24232221432y y y y ++-，则其规范形为．二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分）1．n 元实二次型Ax x x x x f n '21),,,(= 的符号差与秩有相同的奇偶性． 2．n 阶实对称矩阵A 若满足0||>A ，则A 正定． 3．A 为n 阶复对称矩阵，则A 与A -合同．4．设A ，B 分别是n m ,阶正定矩阵，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00也是正定矩阵．三、计算题（每小题15分，共45分）1．用可逆线性替换将二次型323121321),,(x x x x x x x x x f ++=化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ．矩阵2)(A kI B +=其中k 为实数，I 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3．已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过非退化线性变换化为标准形23222152y y y f ++=，求a 的值及所作的线性变换．四、证明题（每小题10分，共20分）1．A 为实对称矩阵，B 为对称正定矩阵，证明：存在可逆矩阵T ，使AT T '为对角形，I BT T ='．2．设A 为3级实对称矩阵，且O I A A A =-+-35323，证明A 为正定矩阵．小测验五姓名学号一、填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为，正惯性指数为，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同：，，，，，，，，， .二、判断题2、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使CAC B '=，则A 与B 合同. （）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （）7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （）三、求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四、证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2、实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数。

北京大学数学系《高等代数》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣才出品】

第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。

高等代数第五章练习题

第五章练习题1．写出下列二次型的矩阵.（1）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（2）1234135(,,,)246785T f x x x x X X⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型 2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.4. 用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++5．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.6．用配方法、初等变换法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++7．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211x x y x x y x x y得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.8． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.9. 化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为 .10．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为 11．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =12. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 314. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ).(A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零(C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n(D) A 合同于单位矩阵15. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定16. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似17．试证：若A 是n 阶方阵，则TA A 是半正定矩阵．18．设A 为n 阶实对称矩阵，且满足A A A ++23= 3 E ，证明A 是正定矩阵．19．设B 为可逆矩阵，A =B T B ,证明f =T X A X 为正定二次型20. 证明：A ，B 正定，则BAB 也正定。

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当t充分大时，k (t) 为严格主对角占优的行列式，且
t aii aij , (i 1,2, , n), ji
k (t ) 0(k 1,2, , n), 从而tE A正定的.
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0, 证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0. 证: 假设任意实n维向量X，有 X' AX 0,
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于 1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A', r( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D (D为对角阵)
又因为 C',C 1,(C 1 )' (C' )1均为可逆矩阵，
所以有C' AC D1 D2 Dr
0
d1
D1
A A',则 X ' AX ( X ' AX )' X '( A)X X ' AX 即X ' AX 0
充分性取 X i (0, ,1, ,0) 取 X i j(i j)
i A i aii 0
X AX aii aij a ji a jj 0
从而 aij a ji (i j).
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从而A的所有主子式大于或等于0，故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.
.
s
2.设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) (ai1 x1 ai2 x2 ain xn )2 i 1
证明：f ( x1, x2, , xn ) 的秩等于矩阵
则可经线性替换X=CY，二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 其中 y1 a1 x1 a2 x2 an xn
.
f ( x1 , x2 , , xn ) k(a1 x1 a2 x2 an xn )2 (ka1 x1 ka2 x2 kan xn )(a1 x1 a2 x2 an xn )
0
0
d2
,
D2r
0 dr 0
0
于是
A (C 1 )' D1C 1 (C 1 )' D2C 1 (C 1 )' Dr C 1
3.设A是一个n级矩阵，证明： 1) A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有X’AX=0； 2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X’AX=0，那么A=0. 证: 1）必要性
可知 A 反对称.
2）
X AX 0,X
则由1）知 A 反对称， A A A
从而 A 0
4.如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？
解: 实对称矩阵A与B合同充要条件是存在可逆矩阵T与C使
.
d1
d2
T ' BT
C'
AC
dr
二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 f ( x1 , x2 , , xn ) 秩为1.
2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 a2
b1
b2
.
y1 y2
a1 x1 b1 x1
a2 x2 b2 x2
an xn bn xn
yi
xi
(i 3, , n)
证:
| X ' AX || aij xi x j | | aij || xi || x j |
a 11
a A
21
a12 a22
a a s1
s2
a1n a2n
的秩.
asn
证:
f
s
(ai1 x1
i 1
ain xn )2
s
( x1, i1
ai1
,
xn
)ai 2
(ai1
,
ain
,
ain
)
x1 x2 xn
( x1,
,
xn )
s i 1
ai1
ai 2
(ai
1
,
ain
,
ain
)
x1
x2
xn
X ' A' AX
( A' A)' A' A 可知，f 的矩阵为 ',有
r(B) r(') r().
.
3.设A是n级实对称矩阵，
证明：存在一正实数c使对任一实n维向量X都有
| X ' AX | cX ' X .
设 f (x1, x2 , , xn ) (a1 x1 a2 x2 an xn )(b1 x1 b2 x2 bn xn ) 1) 若上式右边的两个一次式系数成比例，即
bi kai (i 1,2, , n)
.
y1 a1 x1 a2 x2 an xn
y
i
xi
(i 2, , n)
2）f ( x1, x2 , , xn ) 秩为2，且符号差为0，则可经线性替换X=CY，二次型化为
f ( x1, x2 , , xn ) y12 y22 ( y1 y2 )( y1 y2 ) (a1 x1 a2 x2 an xn )(b1 x1 b2 x2 bn xn ) 总之，f (x1 , x2 , , xn ) 可表成两个一次齐次式的乘积.
二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) y1 y2
y1 y2
z1 z1
z2 z2
yi
zi
(i 3, , n)
.
二次型化为
f
( x1 ,
x2 ,
,
xn )
y1
y2
z12
z
2 2
f (x1 , x2 , , xn ) 秩为2，且符号差为0.
充分性 1） f ( x1 , x2 , , xn ) 秩为1，
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后， tE+A是正定矩阵.
证:
t a11 a12
tE A
a11
t a22
a1n
a2n
a n1
an1
t
a
nn
它的k级顺序主子式
.
t a11
k(t)
a21
ak1
a12 t a22
ak2
a1k a2k t akk
D
0
0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0，故共有 1 2 3 n (n 1) (n 1)(n 2) 个合同类
2
.
5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1. 证: 必要性